場(chǎng)強(qiáng)方向判斷容易出現(xiàn)的一個(gè)隱蔽性錯(cuò)誤
——帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)的相關(guān)規(guī)律

張 黎

(黃陂區(qū)前川街第三中學(xué) 湖北 武漢 430317)

何崇榮

(黃陂區(qū)第一中學(xué) 湖北 武漢 430300)

帶電粒子(不計(jì)重力)在勻強(qiáng)電場(chǎng)中僅受電場(chǎng)力作用時(shí)，若粒子速度與場(chǎng)強(qiáng)方向不共線，則粒子做勻變速曲線運(yùn)動(dòng).教學(xué)過程中會(huì)碰到，如果給出粒子運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過若干點(diǎn)的能量間的關(guān)系或者給出經(jīng)過兩點(diǎn)時(shí)速度方向，如何判斷場(chǎng)強(qiáng)方向問題.而在解決此類問題時(shí)，特別容易犯一些隱蔽性錯(cuò)誤[1].

1 已知3點(diǎn)動(dòng)能關(guān)系判斷場(chǎng)強(qiáng)方向

1.1 題目

【例1】(2020年湖北八校聯(lián)考)如圖1所示，半徑為R的圓形區(qū)域，c為圓心，∠acb=60°，在圓上a點(diǎn)有一粒子源以相同的速率向圓面內(nèi)各個(gè)方向發(fā)射多個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子，圓形區(qū)域內(nèi)存在平行于圓面的勻強(qiáng)電場(chǎng)，粒子從電場(chǎng)中射出的最大動(dòng)能是初動(dòng)能的4倍，經(jīng)過b點(diǎn)的粒子動(dòng)能是初動(dòng)能的3倍，已知初動(dòng)能為Ek，不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用，下列選項(xiàng)正確的有( )

圖1 例1題圖

C.電場(chǎng)強(qiáng)度方向從a到b

D.電場(chǎng)強(qiáng)度方向從a到c

1.2 解析

設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度方向與ac連線的夾角為θ，如圖2所示.

圖2 例1解析圖

由a點(diǎn)到最大動(dòng)能處，根據(jù)動(dòng)能定理有

qER(1+cosθ)=Ekm-Ek

(1)

由a到b點(diǎn)有

qERcos(60°-θ)=Ekb-Ek

(2)

聯(lián)立式(1)和式(2)解得

1.3 評(píng)析

圖3 例1評(píng)析圖

通過上述分析，根據(jù)3點(diǎn)動(dòng)能關(guān)系，可以確定場(chǎng)強(qiáng)方向.所以此題正確選項(xiàng)為A和C.

2 已知兩點(diǎn)速度方向判斷場(chǎng)強(qiáng)方向

2.1 題目

【例2】在平行于紙面的勻強(qiáng)電場(chǎng)中,有一電荷量為q的帶正電粒子僅在電場(chǎng)力作用下,粒子從電場(chǎng)中的A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，速度大小由2v0變?yōu)関0，粒子的初、末速度與AB連線的夾角均為30°，如圖4所示，已知A和B兩點(diǎn)間的距離為d，則該勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為( )

圖4 例2題圖

2.2 解析

建立圖5所示的坐標(biāo)系，將粒子的運(yùn)動(dòng)按x軸方向和y軸方向分解，兩方向電場(chǎng)強(qiáng)度的分量分別為Ex和Ey，加速度分別為ax和ay，根據(jù)速度位移公式有

圖5 例2解析圖

x方向：(v0cos 60°)2-(2v0)2=2axdcos 30°

(3)

y方向：(v0sin 60°)2=2aydsin 30°

(4)

根據(jù)牛頓第二定律

qEx=maxqEy=may

(5)

根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加

(6)

聯(lián)立式(3)～(6)解得

于是正確選項(xiàng)為D.

2.3 評(píng)析

這個(gè)解析似乎也很完美，然而若選擇將粒子的運(yùn)動(dòng)按AB連線和垂直于AB連線分解，兩個(gè)方向都是勻變速直線運(yùn)動(dòng)，垂直于AB連線方向，相當(dāng)于做類豎直上拋，A和B兩點(diǎn)在垂直于AB連線方向速度應(yīng)該等大反向.而代入數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，兩分量不等.于是題目條件出現(xiàn)不自洽.那么給出兩點(diǎn)速度方向，如何確定場(chǎng)強(qiáng)方向呢？下面按一般性討論，物體做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，所受恒力方向有什么規(guī)律.

3 勻變速曲線運(yùn)動(dòng)速度方向恒力方向各自滿足的規(guī)律

質(zhì)點(diǎn)受恒力作用，當(dāng)初速度與力不共線時(shí)，質(zhì)點(diǎn)做勻變速曲線運(yùn)動(dòng).若已知運(yùn)動(dòng)過程中兩點(diǎn)速度方向，如圖6所示，那么如何確定該恒力(或加速度)的方向呢？

圖6 勻變速曲線運(yùn)動(dòng)中已知兩點(diǎn)速度方向

如圖7所示，設(shè)質(zhì)點(diǎn)加速度大小為a，A和B兩點(diǎn)速度延長(zhǎng)線相交于D點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)由A運(yùn)動(dòng)到B，沿v1方向的位移為AC，合位移為AB，過D點(diǎn)作DD′平行于恒力方向與合位移AB相交于D′.

圖7 速度和位移

將質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分解為沿v1方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和沿恒力方向的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，于是有

再根據(jù)速度矢量三角形與△BCD相似，于是有

解得

即D為AC的中點(diǎn)，D′為AB的中點(diǎn)，恒力方向平行于DD′.

于是可以得出以下規(guī)律.

規(guī)律1：類似于平拋運(yùn)動(dòng)速度方向特點(diǎn)，速度方向反向延長(zhǎng)線相交于其中一分運(yùn)動(dòng)(勻速直線運(yùn)動(dòng))的位移中點(diǎn).

規(guī)律2：質(zhì)點(diǎn)所受恒力方向平行于某兩點(diǎn)的連線，這兩點(diǎn)分別為任意兩點(diǎn)速度方向的交點(diǎn)以及該兩點(diǎn)連線的中點(diǎn).

規(guī)律3：質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過任意兩點(diǎn)的速度沿垂直于兩點(diǎn)連線方向的分量等大反向.