均勻帶電半球面軸線上場強(qiáng)的計(jì)算*

白春華 高國明 文麗敏

(云南大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院 云南 昆明 650500)

1 均勻帶電球面和半球面電場強(qiáng)度的相關(guān)計(jì)算

電磁學(xué)教學(xué)中電場強(qiáng)度的計(jì)算是一個(gè)重要且基礎(chǔ)的問題.有關(guān)電場強(qiáng)度的計(jì)算可以總結(jié)歸納出幾種常用方法[1,2]：(1)場強(qiáng)疊加原理;(2)高斯定理;(3)電場和電勢的梯度關(guān)系.上述各種方法中,場強(qiáng)疊加原理是求解電場強(qiáng)度最基本的方法，適用于求解各種電荷分布的帶電體的場強(qiáng)分布；高斯定理在求解電荷分布具有高度對稱性(球?qū)ΨQ、軸對稱、平面對稱)的幾何體的電場時(shí)非常簡便.除此之外，還可以利用電勢和電場強(qiáng)度的梯度關(guān)系先求電勢再求電場分布.近年來，學(xué)者們對均勻帶電球面電場的求法以及能否求解球面上的電場進(jìn)行了反復(fù)分析和討論[3～6].由于不能把高斯面取在帶電表面上，所以面上的場強(qiáng)不能由高斯定理直接求出.雖然均勻帶電幾何面兩側(cè)的場強(qiáng)會(huì)發(fā)生躍變，但面上的電場強(qiáng)度也有唯一的確定值.

我們在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)遇到所求問題為均勻帶電球面、圓柱面、多層同心球面、同軸柱面等，學(xué)生利用高斯定理很容易就能求解出空間電場的分布，但對半球面電場該如何求解并不是很清楚.因?yàn)榘肭蛎嫔系碾姾煞植紱]有整個(gè)球面那樣高度的球?qū)ΨQ性，所以我們不能利用高斯定理求解.一般而言，適用球面電場的計(jì)算方法大多適用于計(jì)算半球面的電場.張曉燕等根據(jù)疊加原理求解了均勻帶電半球面底面上的電勢分布和電場強(qiáng)度[7].何海衛(wèi)等分析了均勻帶電半球殼軸線上的電場及其增減性[8].林建福先利用積分法求出均勻帶電半球面軸線上的電勢表達(dá)式，然后利用電場強(qiáng)度與電勢的關(guān)系導(dǎo)出均勻帶電半球面軸線上的電場強(qiáng)度[9].王世芳等利用圓環(huán)帶法、電勢梯度法等多種方法求解均勻半球面球心處的電場強(qiáng)度[10].

上述研究利用多種解法給出了均勻帶電半球面的電場強(qiáng)度.作為一種補(bǔ)充，下面我們直接利用庫侖定律和場強(qiáng)疊加原理，通過球面積分的方法計(jì)算均勻帶電半球面在球心、球面上以及球面內(nèi)外的電場分布，并給出電場分布的E-z曲線.

2 用場強(qiáng)疊加原理計(jì)算均勻帶電半球面軸線上的電場強(qiáng)度

【例題】設(shè)均勻帶電半球面電荷面密度為σ，半徑為R，求半球面軸線上電場強(qiáng)度的分布.

2.1 均勻帶電半球面在球心處的電場強(qiáng)度

取如圖1所示的xyz坐標(biāo)系，半球面位于z軸正半軸.場點(diǎn)P點(diǎn)為半球面軸線上一點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)取在球心O處時(shí)，在半球面上任取一面積元dS.

圖1 半球面球心處的電場

dS=R2sinθdθdφ

面積元dS所帶電荷量dq=σdS，在球心O處所產(chǎn)生的場強(qiáng)為

由對稱性分析可知，dE垂直于z軸方向的分量相互抵消，沿z軸方向的分量為dEz.

(1)

球心處電場強(qiáng)度的方向沿z軸負(fù)方向.

2.2 均勻帶電半球面軸線上一點(diǎn)P(0,0,z)的電場強(qiáng)度

圖2為場點(diǎn)P位于z軸上不同位置的幾種情況.

(1)若0

圖2 均勻帶電半球面P點(diǎn)處的電場

(2)

采用換元法，令

t2=R2-2Rzcosθ+z2

(3)

由式(3)可得

對式(3)兩邊分別求導(dǎo)得

tdt=Rzsinθdθ

代入式(2)，得

(4)

該電場強(qiáng)度的方向沿z軸的負(fù)方向.

(2)若z>R，場點(diǎn)P位于半球面外

(5)

該電場強(qiáng)度的方向指向z軸的正方向.

(3)當(dāng)z=R，即P點(diǎn)在半球面上時(shí)

(6)

場強(qiáng)方向沿z軸正方向.

(4)若0>z>-R，場點(diǎn)P位于球內(nèi)z軸負(fù)半軸，則

(7)

(8)

電場強(qiáng)度的方向指向z軸的負(fù)方向.

(5)若z<-R，被積函數(shù)與式(7)形式相同,在z=-R上沒有電荷，場強(qiáng)在這點(diǎn)連續(xù)，場強(qiáng)表達(dá)式與式(8)相同，只是z的取值范圍不同.

(9)

該電場強(qiáng)度的方向沿z軸的負(fù)方向.

(6)當(dāng)z=-R，P點(diǎn)在z軸負(fù)半軸與球面交點(diǎn)上

(10)

場強(qiáng)方向沿z軸負(fù)方向.

綜上，均勻帶電半球面軸線上的電場強(qiáng)度分布為

3 分析與結(jié)論

圖3是用Matlab軟件模擬的均勻帶電半球面軸線上的電場強(qiáng)度E隨z變化的曲線.

圖3 均勻帶電半球面軸線上的E-z曲線

4 總結(jié)

對于均勻帶電的半球面來說，電荷分布不像整個(gè)球面電荷那樣高度對稱分布，不能用高斯定理求解.其他求解的方法也有多種，最基本的方法還是利用場強(qiáng)疊加原理，再通過面積分求出帶電半球面軸線上的場強(qiáng)大小.類似的方法包括分割圓環(huán)帶法、電勢梯度法等.雖然這些解法稍有不同，最終都可歸為場強(qiáng)疊加方法的運(yùn)用.當(dāng)然，直接用場強(qiáng)疊加原理求解計(jì)算量相對要大些，但這種方法適用性最廣.同樣的解題思路也適用于求解均勻帶電球冠電場強(qiáng)度等相關(guān)問題.