音樂(lè)與數(shù)學(xué)

“do、re、mi、fa、so、la、si……”從一間教室里飄出美妙的音樂(lè)聲，這是孩子們?cè)谏弦魳?lè)課。

戴著眼鏡的音樂(lè)老師笑瞇瞇地說(shuō)：“在簡(jiǎn)譜中，我們最為熟悉的音階do～si被表示為數(shù)字1～7，休止符以0表示。在數(shù)學(xué)中，數(shù)字0～9可以組成各種各樣的算式。在音樂(lè)中，1～7也能構(gòu)成千變?nèi)f化的樂(lè)章。”

老師話剛說(shuō)完，哈哈樂(lè)就站起來(lái)問(wèn)道：“老師，數(shù)學(xué)和音樂(lè)有什么關(guān)系呢？”

老師看著這個(gè)勤學(xué)好問(wèn)的學(xué)生，溫和地說(shuō)：“數(shù)學(xué)和音樂(lè)當(dāng)然是有關(guān)系的。音樂(lè)中音的高低、長(zhǎng)短、節(jié)奏等都是以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的。提到數(shù)學(xué)與音樂(lè)的關(guān)系，我們所能想到的第一個(gè)有關(guān)音樂(lè)與數(shù)學(xué)的結(jié)合，也許就是這7個(gè)基本音階了。你們想知道這些音階是按照什么規(guī)律排列的嗎？讓我們回到2500年前，追隨大名鼎鼎的古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的腳步，看看他是怎么解答的吧?！?/p>

畢達(dá)哥拉斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家。一天，他在散步時(shí)路過(guò)一家鐵匠鋪，鐵匠鋪里傳出叮叮當(dāng)當(dāng)?shù)拇蜩F聲，就像是打鐵進(jìn)行曲，聲音要比別的鐵匠鋪更加協(xié)調(diào)、悅耳。這吸引了他的注意。他以數(shù)學(xué)家的敏感，馬上開(kāi)始思考：音樂(lè)由何而生，音符的高低到底由什么決定呢？于是，他走進(jìn)鐵匠鋪?zhàn)屑?xì)觀察，發(fā)現(xiàn)這些美妙的聲音原來(lái)是源于鐵錘和鐵砧的大小不一，故而發(fā)出的聲音也不同。他拿出一把尺子量了量鐵錘和鐵砧的尺寸，發(fā)現(xiàn)它們之間存在著一種十分和諧的關(guān)系。這同時(shí)也激發(fā)了他的思考：這些音樂(lè)與和諧什么有關(guān)呢？

畢達(dá)哥拉斯用不同的樂(lè)器做了許多的實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)每一個(gè)音高的高低取決于音弦的長(zhǎng)短，而這背后藏著數(shù)學(xué)原理。他由此定義音階：1、2、3、4、5、6、7。他還發(fā)現(xiàn)聲音與發(fā)聲體體積有著一定的比例關(guān)系。然后，他又在琴弦上做了試驗(yàn)，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)只要按比例劃分一根振動(dòng)著的弦，就可以發(fā)出和諧的聲音，如2∶1產(chǎn)生八度音，3∶2產(chǎn)生五度音，4∶3產(chǎn)生四度音等等。就這樣，畢達(dá)哥拉斯在世界上第一次發(fā)現(xiàn)了音樂(lè)和數(shù)學(xué)的聯(lián)系。

畢達(dá)哥拉斯當(dāng)年做測(cè)試時(shí)用的很可能是豎琴。豎琴是一種大型撥弦樂(lè)器，它所發(fā)出的音色空靈純凈，清澈動(dòng)聽(tīng)，作為和聲伴奏極具感染力，而獨(dú)奏時(shí)又能演繹柔和優(yōu)美的抒情片段。

那為什么弦長(zhǎng)符合這些比例時(shí)，我們會(huì)覺(jué)得音樂(lè)和諧悅耳呢？

我們知道，聲音是由振動(dòng)產(chǎn)生的，但音的頻率是按照等差數(shù)列排列的，同一根弦，其有效弦長(zhǎng)與發(fā)音頻率成反比關(guān)系。因此，當(dāng)撥動(dòng)一根弦時(shí)，各等分點(diǎn)為界的弦也在各自振動(dòng)，因而會(huì)產(chǎn)生一系列的音，而這些音之間，某些分界點(diǎn)產(chǎn)生的音連接起來(lái)會(huì)顯得特別優(yōu)美，我們可以說(shuō)這些是泛音列中占優(yōu)勢(shì)的音程關(guān)系。而按照畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)，這些純音程的頻率之比都是最簡(jiǎn)單的自然整數(shù)比。

美的東西，總是簡(jiǎn)單而和諧。依據(jù)五度相生律產(chǎn)生的基礎(chǔ)音階構(gòu)成的旋律，按照任意的方式組合，都有各自的美感，而將全部半音階推算出來(lái)后，旋律的緊張度和動(dòng)力性會(huì)得到增強(qiáng)，更能產(chǎn)生旋律之間動(dòng)態(tài)的美感和張力。

正如萊布尼茨的名言所說(shuō)：“音樂(lè)是數(shù)學(xué)在靈魂中無(wú)意識(shí)的運(yùn)算?！币魳?lè)正如有情緒的數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)則像最純粹的音樂(lè)，音樂(lè)與數(shù)學(xué)看似不同，實(shí)際上卻有著密切的關(guān)聯(lián)，它們恰似人類心中開(kāi)出的兩朵玫瑰。

你知道嗎？

畢達(dá)哥拉斯還曾提出十二等程律的概念，指的是將一個(gè)八度的頻率平均分成十二等分，每分相差一個(gè)半音，也就是100音分。

明朝數(shù)學(xué)家朱載堉（yù）則是世界上首位推算并制造出十二音律樂(lè)器的人。在當(dāng)時(shí)常用五聲音階“宮、商、角、徵（zhǐ）、羽”的中國(guó)，他力排眾議，創(chuàng)造了十二音律，也就是我們現(xiàn)在常用的七聲音階（即由原有的五聲音階宮、商、角、徵、羽加上變徵與變宮兩音而成，相當(dāng)于現(xiàn)行簡(jiǎn)譜中的1、2、3、4、5、6、7）。他用竹子制造而成的36根律管，分別為倍率管12根，正律管12根與半律管各12根;其口徑、長(zhǎng)度都經(jīng)由嚴(yán)密的測(cè)算得出，是世界上最早的十二音律樂(lè)器。