優(yōu)化的灰色馬爾科夫模型在油氣集輸管道腐蝕預(yù)測中的應(yīng)用

李昊燃,鄭度奎,程遠(yuǎn)鵬,何天隆,唐善法

(長江大學(xué) 石油工程學(xué)院，武漢 430100)

隨著油氣集輸管道在役時間的延長，多數(shù)管道出現(xiàn)腐蝕現(xiàn)象。油氣集輸管道腐蝕直接關(guān)系到管道的使用壽命、經(jīng)濟(jì)效益以及環(huán)境安全[1-2]。因此，科學(xué)、準(zhǔn)確地預(yù)測油氣集輸管道的腐蝕速率，對延長管道的使用年限、減少經(jīng)濟(jì)損失、保障環(huán)境安全具有重要的意義。

油氣管道的腐蝕預(yù)測有多種方法，其中灰色模型(GM)是應(yīng)用比較多的一種方法[3-7]。但是灰色模型并沒有考慮各個因素間的關(guān)系，只是對數(shù)據(jù)間的變化規(guī)律進(jìn)行了分析，對數(shù)據(jù)依賴性較強，預(yù)測結(jié)果會隨著數(shù)據(jù)的波動而產(chǎn)生較大的誤差。為了追求更為精確的預(yù)測結(jié)果，許多學(xué)者對灰色預(yù)測模型進(jìn)行了改進(jìn)。龍學(xué)淵等[8]在原有灰色預(yù)測模型基礎(chǔ)上建立了不等時距灰色預(yù)測模型，擴(kuò)大了等時距灰色模型的使用范圍，且取得了比較準(zhǔn)確的預(yù)測結(jié)果。李秀娟等[9]通過灰色預(yù)測模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型相結(jié)合的方式對原有模型進(jìn)行改進(jìn)，較大程度上提升了預(yù)測精度和計算速度。經(jīng)建芳等[10]建立了灰色線性回歸組合模型，新模型即考慮到了原始數(shù)據(jù)的線性因素，又考慮了其他非線性因素，最終得到了較好的預(yù)測結(jié)果。

然而僅利用灰色模型來進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果會受到原始數(shù)據(jù)的影響，從而產(chǎn)生較大的誤差。為了在油氣管道腐蝕預(yù)測中獲得更加可靠的數(shù)據(jù)，需要對預(yù)測結(jié)果進(jìn)行誤差修正，使其具有更高的預(yù)測精度。馬爾科夫模型適用于隨機(jī)過程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移行為，且需要修正的樣本數(shù)據(jù)具有平穩(wěn)過程、等均值的特點?；疑Ｐ皖A(yù)測結(jié)果產(chǎn)生的誤差比較適合使用馬爾科夫模型來進(jìn)行修正。因此，本工作先從無偏模型、背景值、數(shù)據(jù)更新等方面對原有的灰色預(yù)測模型進(jìn)行改進(jìn)，而后引入馬爾科夫模型對預(yù)測出的數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差修正，有效減小了由原始數(shù)據(jù)的波動而產(chǎn)生的誤差。

1 灰色馬爾科夫預(yù)測模型

1.1 GM(1，1)預(yù)測模型

1.1.1 GM(1，1)預(yù)測模型建立

(1)

由算子序列X(1)求出GM(1,1)模型背景值Z(1)={z(1)(1),z(1)(2),z(1)(3),z(1)(n)}。其中，z(1)(k)=0.5[x(1)(k)+x(1)(k-1)],(k=2,3,4,…n)。根據(jù)所得的背景值，對GM(1,1)模型的白化方程離散化，使其由微分轉(zhuǎn)變成差分，從而得到GM(1,1)模型的灰微分方程，如式(2)所示。

X(0)(k)+aZ(1)(k)=u

(2)

根據(jù)式(2)建立矩陣，通過最小二乘法原理求得發(fā)展系數(shù)a和灰色作用量u，如式(3)所示。

(3)

則算子序列X(1)的預(yù)測公式為

(4)

將上式進(jìn)行累減還原就可以得到預(yù)測值為

(1-eα)e-αk,(k=1,2,3,…n)

(5)

1.1.2 模型檢驗

為了確認(rèn)模型預(yù)測結(jié)果的可靠程度，需要對預(yù)測模型的精度和可信度進(jìn)行檢驗。一般使用殘差檢驗和后驗差檢驗[11]。

殘差檢驗是逐點檢驗，即k時刻的殘差為

ε(0)(k)=X(0)(k)-X′(0)(k),(k=1,2,3,…n)

(6)

式中:X(0)(k)是樣本數(shù)據(jù)值，X′(0)(k)是預(yù)測值。

殘差均值：

(7)

殘差方差：

(8)

原始數(shù)據(jù)均值：

(9)

原始數(shù)據(jù)方差：

(10)

后檢驗差檢驗指標(biāo)為后驗差比值C和小誤差概率P，分別如式(11)和(12)所示。

(11)

(12)

根據(jù)P、C值參照精度檢驗表(見表1)可對已建模的精度做出評估。

表1 精度檢驗表Tab. 1 Accuracy inspectionTable

1.2 馬爾科夫預(yù)測模型

油氣管道腐蝕速率的實測值和使用灰色預(yù)測模型預(yù)測出的預(yù)測值之間存在較大的誤差，故使用馬爾科夫鏈對預(yù)測結(jié)果中產(chǎn)生的波動性誤差進(jìn)行修正[12]。對灰色預(yù)測模擬產(chǎn)生的誤差進(jìn)行區(qū)間狀態(tài)劃分，把區(qū)間劃分為E1，E2，…，En，依據(jù)馬爾科夫的無后效性，i(1≤i≤n)時刻的狀態(tài)只與i-1時刻的狀態(tài)有關(guān)系，不受之前狀態(tài)的影響。從狀態(tài)Si經(jīng)過一步轉(zhuǎn)變成狀態(tài)Sj的概率為Pij，通常用n階方陣P來表示一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，如式(13)所示。

(13)

則從狀態(tài)S經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移后的狀態(tài)S0可表示為S0=S×P，預(yù)測出狀態(tài)后，其腐蝕速率計算式[13]為

(14)

2 優(yōu)化的灰色馬爾可夫預(yù)測模型

2.1 無偏灰色預(yù)測模型

(15)

得到

(16)

無偏GM(1,1)模型的預(yù)測值為

(17)

相比于傳統(tǒng)的GM(1,1)預(yù)測模型，無偏GM(1,1)模型消除了傳統(tǒng)模型中的灰色偏差，即使在數(shù)據(jù)增長較大的情況下也可以進(jìn)行有效可靠的預(yù)測，同時無偏GM(1,1)模型是以原始數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)構(gòu)建的模型，不需要對得到的數(shù)據(jù)再進(jìn)行累減還原，從而簡化了整個計算的過程。

2.2 灰色預(yù)測模型背景值的優(yōu)化

由傳統(tǒng)的GM(1,1)預(yù)測模型能夠看出，發(fā)展系數(shù)a和灰色作用量u是決定GM(1,1)模型預(yù)測精度的關(guān)鍵因素，而a和u的值是由矩陣B決定的，矩陣B由背景值構(gòu)成。所以GM(1,1)模型的預(yù)測精度受到背景值的影響[15]。傳統(tǒng)GM(1,1)預(yù)測模型的背景值為Z(1)(k)=0.5[x(1)(k)+x(1)(k-1)],(k=2,3,4,…,n)，在傳統(tǒng)的灰色預(yù)測模型中，用每個空間步長所對應(yīng)梯形的面積來替代積分區(qū)域的面積(如圖1所示)，空間步長越大兩者差值越大，進(jìn)而使得預(yù)測結(jié)果產(chǎn)生一定的誤差。模型背景值優(yōu)化即使用積分區(qū)域的面積作為背景值，可消除背景值產(chǎn)生的誤差。

圖1 背景值誤差分析Fig. 1 Error analysis of background value

2.3 數(shù)據(jù)更新

為了減小數(shù)據(jù)波動產(chǎn)生的誤差，采用數(shù)據(jù)實時更新的預(yù)測方法[16]，即使用原始數(shù)據(jù)X(0)={x(0)(1),x(0)(2),x(3),…,x(0)(n)}預(yù)測出x(0)(n+1)，然后在原始數(shù)據(jù)列X(0)的基礎(chǔ)上去掉x(0)(1)，以x(0)(2)為起始數(shù)據(jù)，加入x(0)(n+1)構(gòu)成新的等長度數(shù)據(jù)列X(i)，使用新構(gòu)造的數(shù)據(jù)列來預(yù)測x(0)(n+2)。這樣每次預(yù)測能使用最新數(shù)據(jù)，可以有效減少由于預(yù)測遠(yuǎn)期問題而產(chǎn)生的動態(tài)偏差。

3 實例分析

以某油田特定實驗區(qū)集輸管道腐蝕速率檢測數(shù)據(jù)為例[17],每30 d測量一次數(shù)據(jù)，在420 d內(nèi)進(jìn)行15次測量，其腐蝕速率實測值如表2所示。

使用Matlab軟件對預(yù)測模型進(jìn)行編程計算，分別采用傳統(tǒng)GM(1,1)模型和改進(jìn)后GM(1,1)模型以表2中的前12組腐蝕速率實測數(shù)據(jù)為樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬預(yù)測，預(yù)測結(jié)果列于表3中。計算得改進(jìn)后模型預(yù)測結(jié)果的后驗差比值C約為0.180 42，小誤差概率P為1，對比精度檢驗表可知，該模型的預(yù)測精度等級為好，可以使用該模型進(jìn)行腐蝕預(yù)測[13]。

表2 管道腐蝕速率實測值Tab. 2 Measured values of pipeline corrosion rate

從表3可以看出，傳統(tǒng)GM(1,1)模型預(yù)測結(jié)果的平均相對誤差為3.601%；而改進(jìn)后無偏GM(1,1)模型預(yù)測結(jié)果的平均相對誤差為3.166%，相比于改進(jìn)前，精度提高了12.08%。雖然改進(jìn)后無偏GM(1,1)模型的預(yù)測精度有所提高，但是仍然存在誤差較大的預(yù)測值。

表3 不同模型預(yù)測的管道腐蝕速率及誤差分析Tab. 3 Corrosion rates of pipeline predicted by models and error analysis

優(yōu)化的灰色馬爾可夫預(yù)測模型是指用馬爾科夫模型對改進(jìn)后無偏GM(1,1)模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行修正，預(yù)測管道的腐蝕速率。首先，以預(yù)測結(jié)果產(chǎn)生的相對誤差為劃分依據(jù)進(jìn)行狀態(tài)區(qū)間劃分；然后，按照劃分的結(jié)果對相對誤差比較大的預(yù)測值進(jìn)行修正，劃分結(jié)果見表4。

表4 平均誤差狀態(tài)區(qū)間劃分Tab. 4 Average error state interval division

根據(jù)殘差狀態(tài)劃分結(jié)果計算出狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣,如式(18)所示。

(18)

通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩，根據(jù)已經(jīng)預(yù)測的數(shù)據(jù)結(jié)果對未來的狀態(tài)做出較為可靠的預(yù)測。根據(jù)每組數(shù)據(jù)所處的狀態(tài)，對誤差較大的(一般誤差>1%)預(yù)測結(jié)果進(jìn)行修正[18]，以第2組數(shù)據(jù)為例，第2組數(shù)據(jù)處于狀態(tài)4，根據(jù)式(14)計算得到修正后的預(yù)測值為

(19)

最終得到誤差修正后的預(yù)測結(jié)果，如表3所示。

結(jié)果表明，引入馬爾科夫模型對誤差進(jìn)行修正后，預(yù)測結(jié)果的平均相對誤差減小至0.83%，相對于無偏GM(1,1)模型和傳統(tǒng)GM(1,1)模型，其預(yù)測精度有較大幅度的提升，分別提高了73.8%和76.95%。

依靠樣本數(shù)據(jù)直接采用不同模型預(yù)測腐蝕不同時間后管道的腐蝕速率(表3中最后3組數(shù)據(jù))，用相應(yīng)的實測腐蝕速率(表2中最后3組數(shù)據(jù))進(jìn)行驗證,結(jié)果如表5所示。從表5中可以看到：傳統(tǒng)GM(1,1)模型的誤差較大，平均相對誤差達(dá)到了4.67%；而改進(jìn)后的無偏GM(1,1)模型的誤差明顯減小，平均相對誤差降低至2.41%，與傳統(tǒng)GM(1,1)模型比，預(yù)測精度提升了48.39%；優(yōu)化的灰色馬爾科夫模型，其平均相對誤差只有1.12%，相對于無偏GM(1,1)模型，精確度提高了53.5%，有著較為明顯的提高?？偟膩碚f，改進(jìn)后模型比原模型預(yù)測精度更高，并且有效改善了傳統(tǒng)GM(1,1)模型中長期預(yù)測誤差較大的缺陷。

表5 驗證數(shù)據(jù)與各模型預(yù)測結(jié)果的比較Tab. 5 Comparison of verification data and prediction results of different models

圖2為不同模型預(yù)測的管道腐蝕速率隨時間的變化曲線。從圖2可以直觀地看到，三種預(yù)測模型中，灰色馬爾科夫模型的預(yù)測值最接近實測值。

圖2 不同模型預(yù)測的管道腐蝕速率隨時間的變化曲線Fig. 2 Curves of pipeline corrosion rate predicted by different models with time

4 結(jié)論

(1) 改進(jìn)后的灰色無偏模型相比于傳統(tǒng)灰色模型，預(yù)測精度有較大提高，有效改善了傳統(tǒng)灰色預(yù)測模型在中長期預(yù)測時精度下降的問題；再引入馬爾科夫模型對灰色模型預(yù)測出的結(jié)果進(jìn)行誤差修正，避免了因為原始數(shù)據(jù)波動而產(chǎn)生的誤差，修正后的模型能夠更加精確的預(yù)測管道腐蝕速率。

(2) 使用優(yōu)化的灰色馬爾科夫模型能夠提供更加可靠的管道腐蝕速率預(yù)測數(shù)據(jù)，有利于掌控管道的腐蝕狀態(tài)，對管道維修和腐蝕安全防護(hù)以及提高經(jīng)濟(jì)效益起到至關(guān)重要的作用。