新高考背景下高中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的探究
——以人教版選修2-3“二項式定理”為例

張 青

(廣東省廣州市番禺區(qū)大龍中學(xué) 廣東廣州 511400)

深度學(xué)習(xí)理念要求學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的過程中，能夠?qū)⒅R化為自己解決問題的能力，借助思維導(dǎo)圖，構(gòu)建完整的知識網(wǎng)絡(luò)，并進行有效應(yīng)用。深度學(xué)習(xí)是一種積極主動性的探究活動，要求學(xué)習(xí)者將所學(xué)知識應(yīng)用于實際問題的解決中，教師在教學(xué)過程中應(yīng)該是課堂的創(chuàng)設(shè)者、組織者、管理者、引導(dǎo)者、促進者。深度學(xué)習(xí)不是一種教學(xué)模式，而是一種新的教學(xué)理念，是教學(xué)改進的一個方向，因此，教師要轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)教學(xué)思想。那么，教師在平時的教學(xué)中應(yīng)如何引導(dǎo)學(xué)生進行深度學(xué)習(xí)呢？如何對歷史班學(xué)生進行有效的教學(xué)，取得高考的雙贏、共贏、多贏，是每一位在普通高中任教的教師都必須重視的問題。本文將以人教版選修2-3“二項式定理”為例，利用深度學(xué)習(xí)理念指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)，目的是讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上去同化，引導(dǎo)學(xué)生通過深切的體驗和深入的思考，達成對概念的透徹理解，有效克服數(shù)學(xué)淺層次的學(xué)習(xí)，以促進核心素養(yǎng)的發(fā)展。

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

“二項式定理”的新課標(biāo)要求，用計數(shù)原理分析(a+b)2，(a+b)3，(a+b)4的展開式，歸納類比得到二項式定理，并能用計數(shù)原理證明。掌握二項展開式的通項公式，解決簡單問題，會求各種類型的二項式系數(shù)。由于二項式系數(shù)是一些特殊的組合數(shù)，利用二項式定理可進一步深化對組合數(shù)的認(rèn)識，總之，二項式定理是綜合性較強的、具有聯(lián)系不同內(nèi)容作用的知識，教學(xué)目標(biāo)應(yīng)體現(xiàn)學(xué)生學(xué)會知識與技能，同時成為學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，形成正確價值觀的過程。本節(jié)課的教法應(yīng)當(dāng)遵循“以學(xué)生為主體、教師是數(shù)學(xué)課堂活動的組織者、引導(dǎo)者和促進者”的教育原則，采用“啟發(fā)式教學(xué)法”，學(xué)生主要采用“探究式學(xué)習(xí)法”，倡導(dǎo)學(xué)生主動參與，通過不斷探究、發(fā)現(xiàn)，在師生互動，生生互動中，完成二項式定理的探究，掌握求二項式定理展開式系數(shù)的方法。

引入：提出問題：(a+b)2+? (a+b)3=? (a+b)4=? 學(xué)生思考。

那么(a+b)10=? (a+b)n=? 展開式是什么？

二、體驗感知，探究歸納

（一）探究歸納，總結(jié)規(guī)律

觀察下列的展開式，歸納猜想(a+b)n的展開式有怎樣的規(guī)律？

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

引導(dǎo)學(xué)生觀察每個展開式中有多少項，每一項的次數(shù)有什么規(guī)律，每一項的系數(shù)之間有什么規(guī)律，從而發(fā)現(xiàn)n次展開式中有n+1項，展開式中每一項都是n次式，系數(shù)先增后減，且對稱相等。這種由特殊到一般的歸納總結(jié)，離不開對特殊實例的觀察和教師的引導(dǎo)，只有將具體實例進行整體和局部多方面的分析，才能得到接近一般性規(guī)律的總結(jié)，才能讓學(xué)生順暢抓住展開過程的兩個要點，即項的結(jié)構(gòu)和項的系數(shù)，有目的地進行下一步的探討和分析。

（二）探究項的結(jié)構(gòu)特點

展開式中的各項是如何得到的呢？教師引導(dǎo)，學(xué)生思考討論。根據(jù)多項式乘法法則，(a+b)n的展開式是從每個因式中任取一項相乘得到展開式的項。多項式乘法法則是展開式的運算基礎(chǔ)，同時為用組合數(shù)表示系數(shù)創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生的思維能夠活躍起來，為下面的系數(shù)研究奠定基礎(chǔ)。

（三）探究項的系數(shù)特點

展開式各項的系數(shù)是如何確定的呢？根據(jù)多項式乘法法則，各項的形成過程就是有關(guān)計數(shù)原理的問題。而各項的系數(shù)，就是展開過程中該項出現(xiàn)的個數(shù)。本節(jié)課的重點是利用多項式的乘法法則和計數(shù)原理對展開式中的各項進行分析，透徹理解系數(shù)的產(chǎn)生過程和規(guī)律，從而為熟練求二項展開式的系數(shù)打下堅實的基礎(chǔ)，符合學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律，能準(zhǔn)確檢驗學(xué)生對問題分析能力和解決方法的掌握。

這一部分的逐步探究過程，可以讓學(xué)生以小組合作的方式進行，通過同伴的探索、協(xié)作與交流，發(fā)揮小組學(xué)習(xí)共同體的作用，讓每個學(xué)生都參與到深度思考中，從而促進學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。深度學(xué)習(xí)從本質(zhì)上看就是一種主動的、探究式的、理解性的學(xué)習(xí)方式，要求學(xué)習(xí)者在發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上同化，通過小組合作討論能更好地實現(xiàn)促進式、層次式的、階梯式的深度學(xué)習(xí)[2]。

三、知識建構(gòu)，形成定理

（一）二項式定理：(a+b)n的展開式為：

證明：(a+b)n是n個(a+b)相乘，每個(a+b)在相乘時，有兩種選擇，選a或者選b，由分步計數(shù)原理可知展開式共有2n項（包括同類項），其中每一項都是an-kbk(k=0,1,…n)的形式，對于每一項an-kbk，它是由k個(a+b)中選了b，n-k個(a+b)中選了a得到的，它出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從n個(a+b)中取k個b的組合數(shù)Ckn，將它們合并同類項，就得到二項展開式，這就是二項式定理。

（二）深化認(rèn)知，加強理解

二項式定理的公式特征：

1.展開式中每一項的次數(shù)都是n；

2.展開式共有n+1項；

3.展開式各項按照字母a降冪排列，次數(shù)由n遞減到0，字母b升冪排列，次數(shù)由0遞增到n；

4.二項展開式的通項為第k+1項，用Tk+1表示，即Tk+1=Ck

nan-kbk；

5.各項的系數(shù)Ck

n(k=0,1,…n),叫二項式系數(shù)。

對于二項式定理的公式特征的歸納總結(jié)，是從特殊到一般的歸納過程，訓(xùn)練學(xué)生的類比、聯(lián)想、歸納的探究能力。對于這部分內(nèi)容，可以先讓學(xué)生小組討論，總結(jié)歸納，但學(xué)生的表述能力有限，理解能力有限，教師要及時發(fā)揮引導(dǎo)作用，幫助學(xué)生完善思維，進行有效性的學(xué)習(xí)活動。深度學(xué)習(xí)是提高學(xué)生有效性意義建構(gòu)成效的有效途徑和策略，教師要把握住兩個基本要點，教師可以一方面立足于深度學(xué)習(xí)，另一方面立足于學(xué)生的實際，努力設(shè)計一個能夠讓學(xué)生進行深度學(xué)習(xí)的過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

四、鞏固知識，提升解題能力

設(shè)計幾道例題，讓學(xué)生熟悉二項展開式及其通項，區(qū)分二項式系數(shù)和系數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力。練習(xí)題是考查學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，應(yīng)用新知的能力，各個題目設(shè)計得比較有梯度，逐漸加大難度，符合學(xué)生的認(rèn)知水平，并向高考題靠攏，提高學(xué)生的解題能力。

例1（小試身手）：寫出(x+1)8=?

變式：寫出(2x-1)8的展開式。

例2（課本例題）：（1）求(1+2x)7的展開式的第4項的系數(shù)；

例3（走進高考題）：

（1）(1+x)7的展開式中x2的系數(shù)是（ ）。

A.42 B.35 C.28 D.21

A.80 B.-80 C.40 D.-40

（3）(1+2x2)(1+x)4的展開式中x3的系數(shù)為（ ）。

A.12 B.16 C.20 D.24

（4）(x+y)(2x-y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為（ ）。

A.-80 B.-40 C.40 D.80

上面的幾個例題由易入難，層層遞進，可以用基本方法二項式定理展開式的通項解決（需要較強的指數(shù)冪計算功底），還可以利用計數(shù)原理，直接寫出指定項的系數(shù)，這個方法通俗易懂，學(xué)生容易掌握，且可以舉一反三，各種類型的二項式系數(shù)都可以解決，一個括號的二項式系數(shù)（例3（1）（2）），兩個括號的二項式系數(shù)（例3（3）（4）），甚至三項式系數(shù)（拓展提升（2））。

拓展提升：

（1）(2x-3y)(3x+2y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為_________。（用數(shù)字填寫答案）

（2）(x2+x+y)5的展開式中x5y2的系數(shù)為__________。（用數(shù)字填寫答案）

解決問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，在學(xué)生原有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，問題設(shè)計是非常重要的，因為教師對問題的設(shè)置和導(dǎo)向，直接決定了學(xué)生的思維方向和思維深度，教學(xué)中以問題為主線，激發(fā)學(xué)生探究問題的興趣和積極性，使學(xué)生的思維始終處于“提出問題，解決問題”的狀態(tài)中。在學(xué)生無法自主完成思維方法提升的時候，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析問題，促進學(xué)生思維的發(fā)展，使學(xué)生能夠熟練掌握所學(xué)知識，并將之運用于解決實際問題?？傊?，教師要重視學(xué)生的參與過程，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、邏輯推理、解決問題的能力。

綜上所述，開展深度學(xué)習(xí)的研究與實踐是把握教學(xué)本質(zhì)的一種積極努力，是我國課程教學(xué)改革走向深入的必需。授之以魚不如授之以漁，教師要轉(zhuǎn)變立場和思想觀念，思考讓學(xué)生做什么，如思考、探究、小組合作、回答問題等，還要關(guān)注教什么，怎么教，學(xué)生為什么學(xué)，學(xué)什么，怎么學(xué)，只有教師的深度教學(xué)才能促進學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進知識的深度加工與機構(gòu)化，實現(xiàn)從知識到素養(yǎng)的進階[7]。