基于離散剪切波變換的傅里葉疊層成像算法研究

胡躍輝 姚子賢 方勇 房國慶 岳明強(qiáng)

（合肥工業(yè)大學(xué)特種顯示技術(shù)國家工程實驗室光電技術(shù)研究院 安徽省合肥市 230000）

1 引言

傅里葉疊層顯微成像技術(shù)（FPM）是可以通過同時恢復(fù)強(qiáng)度和相位分布來提供寬域高分辨率的成像技術(shù)，該技術(shù)由光學(xué)顯微鏡和LED 照明陣列組合而成，利用相位恢復(fù)算法成功的恢復(fù)出樣本的高分辨率圖像。1969年，Hoope 等提出了疊層成像技術(shù)[1-2]，在此基礎(chǔ)上Zheng 在2013年提出了FPM[3]，由于其兼顧了高分辨率、大視場等優(yōu)點，近些年在生物醫(yī)學(xué)等眾多領(lǐng)域已經(jīng)引起了廣泛關(guān)注和大量應(yīng)用。FPM 中迭代用到的約束條件為空域中的光強(qiáng)信息和頻域中對應(yīng)的映射關(guān)系。FPM 由照明結(jié)構(gòu)、成像系統(tǒng)、圖像恢復(fù)等幾部分組成,通過在頻域內(nèi)的迭代更新，大量低分辨率圖像實現(xiàn)大視場、高分辨率的圖像重構(gòu)。

已有研究表明CCD 采集的低分辨率圖像對高分辨率圖像的重構(gòu)質(zhì)量有著直接的影響[4]，為解決這一問題，研究分別是用圖像超分辨率重建對重構(gòu)算法的改進(jìn)和通過稀疏先驗對采集的低分辨率圖像的去噪處理[5]，李國燕等人[6]將離散剪切波用于MRI 圖像重建中，其優(yōu)良的稀疏分解和重構(gòu)大大提高了MRI 圖像信息采集效率和重建質(zhì)量。2017年吳遠(yuǎn)等人[7]將常見的稀疏變換引入到FPM 中，對重建質(zhì)量有一定提升。而傳統(tǒng)稀疏基下的恢復(fù)算法的缺陷在于會導(dǎo)致圖像原始信息的丟失，嚴(yán)重影響著重建圖像質(zhì)量。以此本文引入離散剪切波變換作為稀疏基[8]，其多尺度和各向異性的優(yōu)勢可以對對采集圖像進(jìn)行稀疏分解，使得重構(gòu)的圖像信息更加完整清晰。

2 算法思想與原理

2.1 離散剪切波變換原理

離散剪切波（Shearlet）變換能夠彌補小波變換的不足，對各向異性的進(jìn)行多尺度表達(dá)能力，有效逼近圖像信息中的曲線狀邊緣信息，相比離散小波變換，能對二維圖像信號進(jìn)行更稀疏的表示和分解，使基于CS 的傅里葉疊層成像信息重建效果更加豐富完整。

剪切波變換理論：剪切波變換實行縮放、剪切、平移等尺度仿射變換操作基礎(chǔ)函數(shù)后合成的帶有多種尺度的高維度函數(shù)。Guo 等人于 2008年提出 Shearlet 變換。Shearlet 變換與其他多尺度變換（Curvelet、Contourlet 等）比較起來有其自身的過人之處。表現(xiàn)在：

（1）Shearlet 為真正的多尺度分析手段，因為它對參數(shù)中的支撐集大小和方向數(shù)量沒有要求，可以自由根據(jù)自己的需求進(jìn)行設(shè)置，從而可以對信號真正多尺度和多方向分解，具有各向異性；

（2）Shearlet 逆變換合成的僅有剪切波的濾波器，這樣 Shearlet 的逆變換運算效率在多尺度中具有較大優(yōu)勢，如 Contourlet 輪廓波的逆變換就需計算方向濾波和和輪廓波濾波器。這樣在圖像處理中運算重構(gòu)效率得到提升。

通過將離散剪切波作為稀疏先驗，其多方向和各向異性的特點對圖像分解主要有以下兩步：

（1）多尺度剖分：用Symmlet 小波基作為母函數(shù)，對離散域的圖像f 進(jìn)行分解，可以得到低頻子帶信息 和不同方向下的高頻子帶信息，其中j 為分解尺度

（2）方向局部化：如圖1 所示，采用方向變換函數(shù)對采集圖像多個不同方向尺度的高頻子帶信息進(jìn)行方向剖分，進(jìn)而得出各方向尺度下的圖像高頻信息分量。重復(fù)上述步驟, 即可完成對圖像的各向異性的稀疏分解。

剪切波變換為合成小波變換的一種特殊變換，合成小波概念作為離散剪切波的理論依據(jù)，其可以完成信號的多尺度多方向的的分析，經(jīng)剪切波分解后獲得的子帶圖像的面積大小與原圖像相同。在二維條件下，其仿射系統(tǒng)形式如下：

通過對尺度參數(shù)a 和剪切參數(shù)s 進(jìn)行離散化, 可實現(xiàn)離散剪切波變換。離散剪切波的局部化特性非常好, 基函數(shù)的支撐區(qū)域滿足拋物線尺度化, 隨著尺度的變化, 可精確描述函數(shù)的奇異性特征。通常取剪切矩陣B，和各向異性擴(kuò)張矩陣A 為：

離散剪切波函數(shù)如下：

圖1：剪切波變換流程圖

圖2：測試圖像和孔徑示意圖

如果假定：

綜上所述離散剪切波有下面幾個優(yōu)勢：

（1）離散 Shearlet 擁有很強(qiáng)的局部特性；

（2）多尺度分解方向性突出；

（3）離散 Shearlet 變換可幾乎完美地分解方向和邊緣信息豐富的圖像。

2.2 基于Shearlet的傅里葉疊層成像原理

傅里葉疊層成像相位恢復(fù)問題也是一種約束型凸優(yōu)化問題，為了求解此類凸優(yōu)化問題，可以在FPM 中引入離散剪切波作為稀疏基進(jìn)行圖像重構(gòu)，令要重構(gòu)的圖像為目標(biāo)的第i 個照射部分為本文中表示光瞳函數(shù)即為圓形，要從測量數(shù)據(jù)bi中重構(gòu)出，其對應(yīng)的優(yōu)化問題可以表示為：

圖3：無噪聲時CFP 和STFP 算法重構(gòu)效果

圖4：Barbara 圖像不同噪聲條件下兩種算法的重建質(zhì)量對比

表1：無噪聲情況下不同算法重構(gòu)對比

交替方向乘子法（ADMM）是一種快速求解凸優(yōu)化問題的方法，本文用該法去求解。令將（12）表示成增廣拉格朗日形式：

其中λ1、λ2為正則項系數(shù)，h1、hi為尺度對偶變量，交替迭代優(yōu)化zi、x、ψ、h1、hi，最后得到重建圖像，步驟如下：

（1）首先固定圖像ψ 值，中間變量x 和尺度對偶變量h1、hi，以此更新中間變量zi進(jìn)行求解：

表2：有噪聲情況下不同算法重構(gòu)對比

將上式等效為：

所以，zi的最優(yōu)解為：

（2）固定其他變量，更新中間變量x

采用硬閾值函數(shù)對式（18）進(jìn)行求解，求得xk：

（3）固定其他變量，更新圖像ψ：

通過與上面相同的方式對ψ 求偏導(dǎo)，令其為0，獲得ψk的最優(yōu)解：

其中FH表示傅里葉逆變換，QiH為Qi的共軛。

（4）固定其他變量，更新圖像h1、hi：

以上給出了基于離散剪切波的稀疏先驗來重構(gòu)傅里葉疊層成像的全過程，用交替方向乘子法ADMM 和硬閾值法優(yōu)化傅里葉疊層成像問題的詳細(xì)公式推導(dǎo)，在實現(xiàn)過程中對上述公式中的各個變量進(jìn)行更新，直到達(dá)到最大迭代次數(shù)。

3 實驗與討論

3.1 無噪聲情況

本節(jié)主要對本文提出的基于離散剪切波變換的傅里葉疊層成像算法STFP 和傳統(tǒng)的傅里葉疊層成像算法(Conventional Fourier Ptychography Algorithm, CFP)進(jìn)行實圖像下的仿真。仿真環(huán)境在CPU 八核 1080Ti 的計算機(jī)上，實驗MATLAB2018b 為編程軟件。傳統(tǒng)的FPM 在通過點亮15×15 的可編程LED 陣列來采集低分辨率圖像，本實驗為了與其一致，通過15×15=225 個小孔來模擬LED陣列光源。實驗中將圓形孔徑平移到頻譜的不同位置來采集低分辨率LR 圖像，這樣可以模擬不同角度LED 的照明光，孔徑半徑為40 個采樣點，每個采樣點對應(yīng)圖像中的一個像素，相鄰孔徑之間的交疊率為60%：

其中l(wèi) 為相鄰圓形孔徑之間距離，r 為圓形孔徑的半徑。

為了驗證本文算法的有效性，本文在仿真時選取了BM3D 標(biāo)準(zhǔn)圖庫中的Lena 和Barbara、Peppers 作為測試圖像進(jìn)行重構(gòu)，實驗過程中采用256×256 大小的圖像 ，如圖 2 所示。在實驗中，將圖片嵌入到512×512 的空白矩陣當(dāng)中，即圖片的過采樣率為(512/256)×2=4，迭代開始時的輸入為隨機(jī)產(chǎn)生的256×256 的圖片。

本實驗采用PSNR 和SSIM 作為圖像質(zhì)量評價指標(biāo)，對比了無噪聲情況和添加高斯噪聲情況下的重建圖像質(zhì)量，以此來對比兩種算法的重構(gòu)性能和抗噪性。如圖3 所示，在無噪聲情況下，對比了CFP 和STFP 兩種算法下的重建圖像。

結(jié)合表1 數(shù)據(jù)可得，對于Lena 圖像通過傳統(tǒng)傅里葉疊層成像CFP 算法重建圖像丟失了部分細(xì)節(jié)信息，并且含有部分噪聲，而通過基于離散剪切波變換的傅里葉疊層成像算法重建圖像有效去除噪聲，并且獲得了更多的邊緣信息，重構(gòu)質(zhì)量更好，其PSNR 比CFP 重構(gòu)下要高出2.75dB，SSIM 值也高出0.2137。從Barbara 和Perpper 圖像的重構(gòu)效果來看，本文提出的STFP 算法都要更優(yōu)于CFP 算法，能夠獲得更優(yōu)的重建質(zhì)量。

3.2 無噪聲情況

在真實實驗中，無論是圖像采集過程還是傳輸過程，一定存在著或多或少的噪聲干擾，測量值也會受到噪聲影響。所以本實驗添加了高斯噪聲以模擬存在噪聲的情況下兩種算法的重構(gòu)質(zhì)量。噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差σ 分別為0.02、0.04、0.06，觀察在不同噪聲情況下兩種算法的重建效果，實驗結(jié)果如圖4 和表2 所示。

由表可得，兩種重構(gòu)算法隨著噪聲的增大，其重建圖像的性能也隨之下降。但是，在相同的噪聲條件下，通過基于離散剪切波變換的傅里葉疊層成像算法STFP 重建圖像的PSNR 和SSIM 都要由于通過傳統(tǒng)傅里葉疊層成像算法CFP 重構(gòu)出的圖像。比如Barbara圖像，當(dāng)σ=0.02，0.04 和0.06 的情況下，SFTP 算法的SSIM 值比CFP 算法的SSIM 值分別高出0.2525、0.2124、0.0859。隨著高斯噪聲σ 的增大，STFP 和CFP 受其影響也在增大，差距越來越小。但從整體數(shù)據(jù)來看，STFP 算法要明顯優(yōu)于CFP 算法

為了更加直觀的表示數(shù)據(jù)，圖4 展示了Barbara 圖像在不同噪聲σ 值的情況下，對比了CFP 和STFP 算法的重建質(zhì)量。

由圖4 可以看出，在添加了高斯噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為0.02 情況下，Barbara 圖像通過傳統(tǒng)傅里葉疊層成像算法CFP 重構(gòu)出的圖像依然存在噪聲，且細(xì)節(jié)信息部分丟失，邊緣位置明顯不夠清晰，而通過基于離散剪切波變換的傅里葉疊層成像算法STFP 對邊緣信息重構(gòu)清晰，局部信息較為完整，顯著降低了噪聲影響。隨著σ 的增大，對CFP 算法重構(gòu)質(zhì)量影響較大，而STFP 算法影響比較弱，證明其具有良好的魯棒性。

4 結(jié)論

本文根據(jù)FPM 中采集的大量低分辨率圖像會直接影響著高分辨率圖像的重構(gòu)質(zhì)量，提出了基于離散剪切波變換的傅里葉疊層成像算法對采集的低分辨率圖像進(jìn)行稀疏分解，以達(dá)到重構(gòu)圖像質(zhì)量提升的目的。文中著重介紹了離散剪切波變換作為稀疏先驗在傅里葉疊層成像中的應(yīng)用，并進(jìn)行了兩組對比實驗。實驗結(jié)果表明：本文提出的STFP 算法要優(yōu)于傳統(tǒng)的傅里葉疊層成像恢復(fù)算法，能夠顯著提升重構(gòu)圖像質(zhì)量，并具有較強(qiáng)的魯棒性。