新定義試題求解障礙及其對策

李秀元，饒火云

(1.武穴市實驗高級中學(xué)，湖北 武穴 435400；2.武穴中學(xué)，湖北 武穴 435400)

普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)考試大綱(以下簡稱考試大綱)指出：“對數(shù)學(xué)能力的考查，強調(diào)‘以能力立意’，即以數(shù)學(xué)知識為載體，從問題入手，把握學(xué)科的整體意義，用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)觀點組織材料，側(cè)重體現(xiàn)對知識的理解和應(yīng)用，尤其是綜合和靈活的應(yīng)用，以此檢測考生知識的遷移能力，從而檢測出考生個體理性思維的廣度和深度以及進一步學(xué)習(xí)的潛能?！盵1]以能力立意的試題表現(xiàn)方式之一，就是每年高考不斷出新的新定義試題。 基于新定義而命制的試題為新定義試題。羅增儒教授將這類試題定義為“信息遷移題”，它主要包括兩部分，一是給出新信息，創(chuàng)設(shè)新情境；二是圍繞信息進行某項設(shè)問。一般地，試題往往依托教材的某個定義，定義一個新概念，或直接在高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的結(jié)合部給出新定義、約定一種運算，或給出一個性質(zhì)、模型，要求答題者認真閱讀材料，按照新定義或新規(guī)則的指令進行判斷、解題。

由于新定義試題的背景材料是全新的，考查的不僅僅是高中數(shù)學(xué)知識點，更重要的是考查學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的運用和知識遷移能力，有利于激發(fā)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和分析解決問題的綜合能力。

本文將對新定義試題求解現(xiàn)狀予以簡要疏理，分析其中原因，并結(jié)合案例提出相應(yīng)的對策。

1 新定義試題求解現(xiàn)狀

調(diào)研發(fā)現(xiàn)，對于新定義試題，學(xué)生的反應(yīng)不一，效果也不是很理想。劉慧敏等人分別作了調(diào)查分析，他們認為，學(xué)生做新定義試題是有差異的，這種差異表現(xiàn)在校際之間、男女之間、年級之間及學(xué)生層次之間[2]。新定義試題命題角度不同，學(xué)生求解的難度系數(shù)也就不同。一般地，基于教材某種運算而命制的新定義試題，如基于集合運算而定義的差集、商集，難度比較小，絕大部分學(xué)生的得分情況比較理想；基于某種條件判斷的新定義試題，如凹函數(shù)、凸函數(shù)、正對數(shù)等，由于條件解讀需要較強的數(shù)學(xué)運算能力和邏輯判斷能力，難度略大，學(xué)生得分情況差異較大，基礎(chǔ)好能力強的學(xué)生明顯高于一般學(xué)生；至于圍繞新的問題情境或某些思想方法而命制的新定義試題，大部分學(xué)生就顯得有些力不從心?？傮w來說，新定義試題中，運算型比判斷型得分高，簡單運算型比復(fù)雜運算型得分高，數(shù)學(xué)情境型比生活情境型得分高，情境簡單型比情境復(fù)雜型得分高，直接型比轉(zhuǎn)化型得分高。

2 新定義試題求解障礙分析

新定義試題求解障礙，既有來自學(xué)生層面，也有來自教師教學(xué)方式層面。學(xué)生并不是對所有的新定義試題感到恐懼，無所適從，只是對那些新情境下較復(fù)雜問題感到恐慌，由于做題時間有限，需要閱讀、理解、提取信息和轉(zhuǎn)化，這才是他們不愿意面對的問題。教師層面則與教師對數(shù)學(xué)概念的教學(xué)方式有關(guān)。

2.1 新定義試題求解障礙學(xué)生層面原因分析

就學(xué)生個體來說，新定義試題的求解障礙往往是多方面的，主要表現(xiàn)在以下幾個方面。

2.1.1學(xué)生閱讀能力不足

“閱讀是一種多維思考方式”[3]。新定義試題畢竟不同于課本概念，需要提供一些全新的背景材料(往往是少量的，簡明的和直接的)，通過閱讀，學(xué)生從中提取有用的直接信息，這個過程即為數(shù)學(xué)抽象?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(2017年版)》(以下簡稱《新課標(biāo)》)在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的水平劃分中，對數(shù)學(xué)抽象的水平二界定為：能夠在關(guān)聯(lián)的情境中抽象出一般的數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，能夠?qū)⒁阎獢?shù)學(xué)命題推廣到更一般的情形，能夠在新的情境中選擇和運用數(shù)學(xué)方法解決問題[4]。數(shù)學(xué)考試大綱也提到，“抽象概括能力是對具體、生動的實例，經(jīng)過分析提煉，發(fā)現(xiàn)研究對象的本質(zhì)；從給定的大量信息材料中概括出一些結(jié)論，并能將其應(yīng)用于解決問題或做出新的判斷”[1]。如何抽象？首先是建立在閱讀的基礎(chǔ)之上，明白試題的主要意思，然后進行綜合提煉和數(shù)學(xué)理解?，F(xiàn)實情況如何，調(diào)研發(fā)現(xiàn)，學(xué)生不愿意讀題，讀不懂題意，無法從一堆材料(信息)中提出數(shù)學(xué)問題。造成這種局面的原因《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(實驗)解讀》(以下簡稱《課標(biāo)解讀》)作出了解釋：“在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師為學(xué)生想得非常仔細，學(xué)生就養(yǎng)成了過于依賴教師的習(xí)慣，無論是整個知識結(jié)構(gòu)，還是要注意的一些問題，都等著教師來講、來安排，他自己不知道怎樣去安排自己的學(xué)習(xí)，更不會反思自己的學(xué)習(xí)，也就更難說對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認識和理解了。”因此，“發(fā)展獨立獲取數(shù)學(xué)知識的能力比數(shù)學(xué)能力本身更為重要”[5]?？梢哉f，現(xiàn)在的學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力是相當(dāng)弱的，往往只是停留在認字的階段，缺乏好奇感和深入解讀的意愿。閱讀能力弱，直接導(dǎo)致理解能力不足。這與教師平時的教學(xué)方式密不可分，章建躍博士說：“數(shù)學(xué)根本上是教概念的，數(shù)學(xué)教師是玩概念的?！钡珒H僅停留在教師自己“玩”概念是遠遠不夠的，如果教師能把自己玩概念的方式方法教給學(xué)生(光靠感受是遠遠不夠的，需要體驗與嘗試)，學(xué)生通過閱讀，能自己獨立玩概念，那么面對新定義問題就不至于有多大的障礙了。

2.1.2學(xué)生轉(zhuǎn)化能力缺陷

數(shù)學(xué)問題一般分為數(shù)學(xué)知識直接應(yīng)用和數(shù)學(xué)能力考查兩大類，后者需要轉(zhuǎn)化。在中學(xué)數(shù)學(xué)解題過程中,對同一問題的不同數(shù)學(xué)解釋,就是轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化的實質(zhì)就是調(diào)動數(shù)學(xué)語言的各分支系統(tǒng)，解釋(理解)數(shù)學(xué)問題，并把其納入相應(yīng)的分支系統(tǒng)中。數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化包括語言轉(zhuǎn)化(如將一般文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為自己的語言，圖形語言與數(shù)學(xué)符號語言相互轉(zhuǎn)化等等)和方法轉(zhuǎn)化(等價轉(zhuǎn)化，化歸，一般與特殊，高維與低維，數(shù)與形等)。

轉(zhuǎn)化作為解題手段，是數(shù)學(xué)解題的一個重要環(huán)節(jié)，它是培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性和辯證思維的有效手段。所謂“多題一解”“一題多解”“舉一反三”等能得以實現(xiàn)，靠的是挖掘數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)聯(lián)系和解決數(shù)學(xué)問題的基本方法。同時，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的同構(gòu)思想，便于學(xué)生對所學(xué)知識系統(tǒng)化，形成有個性的優(yōu)化數(shù)學(xué)解題模式，使之成為學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的有力工具。轉(zhuǎn)化的本質(zhì)就是化繁為簡、化生為熟，即將陌生的復(fù)雜情境轉(zhuǎn)化為熟悉的簡單模型或應(yīng)用，把不熟悉的背景轉(zhuǎn)化為熟悉的方法和題型。中學(xué)生數(shù)學(xué)解題現(xiàn)狀不容樂觀，學(xué)生比較善于處理多次訓(xùn)練后的試題(題海戰(zhàn)帶來的模型識別起到關(guān)鍵作用)，對于不太熟悉或者陌生的試題，分析解決問題的能力就非常欠缺，要么理解不了題意(閱讀和理解能力)，要么不知如何轉(zhuǎn)化題意，好不容易轉(zhuǎn)化出基本題型，找到了處理問題的基本方法，結(jié)果又困死在解題的路上。

2.1.3計算能力不過關(guān)

《新課標(biāo)》對計算能力表述為：數(shù)學(xué)運算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，主要包括理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，求得運算結(jié)果等。數(shù)學(xué)運算版塊教育的目標(biāo)是“通過數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，進一步發(fā)展數(shù)學(xué)運算能力；有效借助運算方法解決實際問題；通過運算促進數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學(xué)精神”[4]。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開計算，但受教學(xué)內(nèi)容和課時的影響，現(xiàn)實中很難去專門訓(xùn)練學(xué)生的計算能力，基本上都是在解決問題的過程中體現(xiàn)思路探究和程序設(shè)計，計算過程往往一筆帶過，久而久之，學(xué)生也變懶了。學(xué)生獨立解決計算問題時，受書寫習(xí)慣、動手速度、思維嚴謹性等的影響，往往錯誤百出，如運算法則使用不當(dāng)(屬于識記內(nèi)容)、運算程序出錯(明明是除法硬是算成了乘法，造成詭異的結(jié)果)、運算過程中的遺漏與看錯等等，使得計算結(jié)果很不理想。

2.1.4學(xué)生意志品質(zhì)較差

很多學(xué)生愿意或善于處理基于過去解題經(jīng)驗的數(shù)學(xué)試題，進行直接運算或判斷。由于新定義試題往往依賴一定的陌生新穎問題情境，涉及較多文字和新的符號，甚至出現(xiàn)一些生僻字(如2015年湖北卷中的 “鱉臑”)，會轉(zhuǎn)移學(xué)生的注意力，淡化對問題本質(zhì)的理解。如果試題稍偏難，所述關(guān)系再復(fù)雜一些，對意志力不強、缺乏探究精神的學(xué)生而言，幾乎就是災(zāi)難，導(dǎo)致他們采用主動放棄或者隨便選擇的處理方式。

2.2 新定義試題求解障礙教師層面原因分析

對教師而言，學(xué)生求解新定義試題的障礙，主要來自于教師的教學(xué)模式?！皵?shù)學(xué)教學(xué)模式”是指在某種教學(xué)思想與教學(xué)原理的指導(dǎo)下，圍繞一個特定的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)形成的相對穩(wěn)定的規(guī)范化教學(xué)程序與操作體系?！盵6]劉秋香等人認為，理論演繹法與總結(jié)歸納法是構(gòu)建數(shù)學(xué)教學(xué)模式的常用方法[7]。布魯斯·喬伊斯等認為“教學(xué)模式就是學(xué)習(xí)模式”。當(dāng)我們在幫助學(xué)生獲取信息、形成思想、掌握技能、明確價值觀、把握思維方式和表達方式時，也在教他們?nèi)绾螌W(xué)習(xí)。事實上，教學(xué)的終極目標(biāo)就是提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，使他們將來能夠更加便捷有效地進行學(xué)習(xí)，使他們一方面獲得知識技能，另一方面掌握學(xué)習(xí)的過程。 “教學(xué)模式發(fā)揮效用的關(guān)鍵是使學(xué)生成為更強的學(xué)習(xí)者?！盵3]這與新課程改革的要求是一致的?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(2017年版)解讀》(以下簡稱《新課標(biāo)解讀》)認為：“豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、改進學(xué)生的學(xué)習(xí)方法是課程標(biāo)準的基本價值取向，數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)與內(nèi)容的調(diào)整和變化，旨在促進學(xué)生學(xué)習(xí)方式的變化”“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于對概念、結(jié)論和技能的記憶、模仿與接受，獨立思考、自主探索、動手實踐、合作交流、預(yù)閱讀自學(xué)等都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。教學(xué)應(yīng)根據(jù)不同內(nèi)容，采用不同的教學(xué)和學(xué)習(xí)方式。”[8]

《新課標(biāo)解讀》在對“教師經(jīng)常采用的課堂教學(xué)方式”的調(diào)查顯示：67.9%的教師選擇以教師講授為主，74.2%的教師選擇師生共同探究，48.9%的教師選擇教師指導(dǎo)下的小組合作學(xué)習(xí)，31.2%的教師選擇學(xué)生自學(xué)[8]。相對于2001年的調(diào)查結(jié)論“基本以講授為主”，這個比例雖然有些變化，但“講在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中依然占據(jù)絕對地位”[9]。一般地，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，基本以老師講解為主，從概念的引入、生成，到理解概念、辨析概念，最后進行概念應(yīng)用、鞏固與升華，很少有依據(jù)提綱的閱讀自學(xué)方式，甚至是完全的自學(xué)探討方式。教師對概念的講解，一方面能促進學(xué)生對概念的快速理解，另一方面可培養(yǎng)學(xué)生逐步形成研究新事物的范式。但持續(xù)的強化，容易形成學(xué)生學(xué)習(xí)的惰性。由于是包辦，學(xué)生很難從接觸新事物的過程提出自己的認識和想法，無法抓住重點和核心。一旦面對新的概念，缺乏引導(dǎo)就會一籌莫展，這也是導(dǎo)致新定義試題得分偏低的原因之一。

3 新定義試題求解障礙突破

要突破新定義試題求解障礙，必須從高中數(shù)學(xué)的概念教學(xué)改革著手。高中數(shù)學(xué)概念頗多，邵光華、章建躍博士等從來源上將概念分為兩類，一類是對現(xiàn)實對象或關(guān)系直接抽象而成的概念，另一類是純數(shù)學(xué)抽象物，概念具有判定特征、性質(zhì)特征、過程性特征、對象特征、關(guān)系特征和形態(tài)特征等六大特征[10]。因此，概念的教學(xué)應(yīng)結(jié)合概念的特點進行，不應(yīng)該是一致的、統(tǒng)一的。羅增儒教授認為，概念教學(xué)應(yīng)從概念的名稱、定義、屬性、示例等四個方面展開研究與學(xué)習(xí)。弗賴登塔爾則認為，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，實質(zhì)就是學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)化”。邵光華、章建躍博士認為，應(yīng)從直觀化、正反例對比、同類概念對比、變式、概念精致與多元表征等角度進行概念教學(xué)。而核心數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，必須實現(xiàn)從工具性理解到關(guān)系性理解的過渡。重點考慮概念的來源、概念的作用(新知識的詮釋、舊知識的翻新)、與相關(guān)概念間的關(guān)系等，并更要突出概念形成的過程性。

《課標(biāo)解讀》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)強調(diào)對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心的概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步理解。由于數(shù)學(xué)高度抽象的特點，注意體現(xiàn)基本概念的來龍去脈。在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷具體實例抽象數(shù)學(xué)概念的過程，在初步運用中逐步理解概念的本質(zhì)。”[5]因此，開展核心數(shù)學(xué)概念教學(xué)要注重知識發(fā)展過程，抓住問題本質(zhì)，突出核心內(nèi)容，以問題引導(dǎo)教學(xué)，實現(xiàn)知識的學(xué)術(shù)形態(tài)向教育形態(tài)的轉(zhuǎn)變。

縱觀近幾年的高考試題，我們發(fā)現(xiàn)，部分省市(如江蘇、上海、北京等)在命題時，喜歡以新定義試題的方式，考查數(shù)學(xué)基本思想方法的運用，全國卷偶爾也會涉及到一些新定義試題。在新定義試題的突破上，一般采取下面的流程：

3.1 完成整體閱讀，剔除背景資料，提煉核心要素

作為切入點，新定義試題往往以實際問題為背景，既增加了文字閱讀(新課改高考命題要求)，又加強了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，讓學(xué)生體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的作用和數(shù)學(xué)知識的用途。解答新定義試題，首先通過整體閱讀，初步明確材料的主要內(nèi)容，然后進行材料內(nèi)容的刪減，剔除背景資料，提煉出主要的有用信息。

案例1用a代表紅球，b代表藍球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個紅球和1個藍球中取出若干個球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展開式1+a+b+ab表示出來，如：“1”表示一個球都不取，“a”表示取出一個紅球，而“ab”表示把紅球和藍球都取出來。依此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從5個無區(qū)別的紅球、5個無區(qū)別的藍球、5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球，且所有的藍球都取出或都不取出的所有取法的是( )

A. (1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5

B. (1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5

C. (1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5

D. (1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)

材料將取球方式與多項展開式的項對應(yīng)起來，形式新穎，形象直觀。讀懂展開式各項的含義成為解決問題的關(guān)鍵，這個材料就是問題核心，需要重點閱讀，深入理解，對號入座。忽視材料閱讀，缺乏理解，就意味著無法解題。

案例2“和諧”是近年來網(wǎng)絡(luò)上比較流行的名詞之一，社會上的很多現(xiàn)象都被冠以“和諧”之名。在數(shù)學(xué)中也同樣存在著關(guān)于“和諧”的概念，例如：對于定義域為D的函數(shù)f(x)，若存在閉區(qū)間[a,b]?D，使得函數(shù)f(x)滿足：①f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)是單調(diào)的；②f(x)在[a,b]上的值域為[3a,3b]，則稱區(qū)間[a,b]為f(x)的“和諧區(qū)間”。由上面的描述，判斷下列函數(shù)中存在“和諧區(qū)間”的是__________。(填所有滿足條件的函數(shù)序號)

關(guān)于“和諧”的一段文字對本題的求解沒有任何意義，因此閱讀后需要剔除，以排除干擾(如2015年高考湖北卷以《九章算術(shù)》中的鱉臑和陽馬為載體，用生僻字成功將學(xué)生的注意力吸引住了)。類似的試題一般直接定義，如:

A.(0,1) B.(0,1]

3.2 轉(zhuǎn)化問題的表征形式

所謂表征，《現(xiàn)代漢語詞典》解釋說：“顯示出來的現(xiàn)象，表現(xiàn)出來的特征”[11]。表征是認知心理學(xué)的術(shù)語，是指信息記載或表達方式，能把某些實體或某類信息表達清楚的形式化系統(tǒng)，以及說明該系統(tǒng)如何行使其職能的若干規(guī)則。轉(zhuǎn)化問題的表征形式，就是先用自己的語言表達題意，然后借助常用的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)概念等，去重新認識、翻譯新定義。

①f(x)=ex②f(x)=lnx

③f(x)=3x2+5x-π④f(x)=sinx

3.3 應(yīng)用基本數(shù)學(xué)解題方法求解新問題

新定義問題經(jīng)過轉(zhuǎn)譯，最終成為一道用高中數(shù)學(xué)方法可以解決的數(shù)學(xué)問題。用基本數(shù)學(xué)方法解決常規(guī)數(shù)學(xué)問題，是新課標(biāo)提到的“四能”之一。解題的目的，既是為了鞏固對知識的理解，積累解題經(jīng)驗，強化解題方法，發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，掌握解題策略，形成解題意識，也是為了培養(yǎng)堅忍不拔、鍥而不舍的意志品質(zhì)。

案例4“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同?！蓖皇挛飶牟煌嵌瓤矗瑫胁煌恼J識。據(jù)此，請解決以下問題：設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+(2b+1)x-a-2(a,b∈R,a≠0)在區(qū)間[3,4]上至少有一個零點，則a2+b2的最小值為______。

雖然沒有明確的定義，但試題前的文字，提示了解決問題的方向——轉(zhuǎn)換角度，即對方程f(x)=ax2+(2b+1)x-a-2=0和符號a2+b2要重新定義，換個角度看待。這是核心，需要把握，否則，試題求解會落入俗套(線性規(guī)劃)，造成求解困難或不便。

如果以點P所在線段分四種情形，依次確定解的個數(shù)，然后匯總，確定方程只有4解的條件，解法雖然簡單直觀，但過程麻煩，不符合小題解法的簡潔性與快捷性。因此需要轉(zhuǎn)換角度，利用幾何直觀來確定問題的解。以AB為x軸，AD為y軸，A為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則M(4,2),N(0,1)。

圖1 案例5的解

①若a>0,b>0，則ln+(ab)=bln+a；

②若a>0,b>0，則ln+(ab)=ln+a+ln+b；

④若a>0,b>0，則ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2。

本題定義了一個新的運算：正對數(shù)，考查的是對數(shù)運算法則，代數(shù)式大小比較和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，思想方法上主要是分類討論和特殊化。由于討論層次多，有一定的難度。

當(dāng)a=b時，不等式顯然成立，且當(dāng)0

對于①，當(dāng)01，ln+a=lna，ln+(ab)=lnab=blna，等式也成立。故①正確；

對于④，當(dāng)01，ln+(a+b)=ln(a+b)

案例7設(shè)P1,P2,…,Pn為平面a內(nèi)的n個點，在平面a內(nèi)的所有點中，若點P到P1,P2,…,Pn點的距離之和最小，則稱點P為點P1,P2,…,Pn的一個“中位點”。例如，線段AB上的任意點都是端點A,B的中位點。則有下列命題，其中的真命題__________。(寫出所有真命題的序號)

①若A,B,C三個點共線，C在線段上，則C是A,B,C的中位點；

②直角三角形斜邊的點是該直角三角形三個頂點的中位點；

③若四個點A,B,C,D共線，則它們的中位點存在且唯一；

④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點。

借助距離概念，定義中位點，考查的是距離和的最小值求法，一般用到三角形兩邊之和大于第三邊等知識。

對于①，點P必在線段上，且C為中位點，故①正確；

對于②，點P在斜邊上，且中位點為直角頂點在斜邊上的射影點，故②不正確；

對于③，若四個點A,B,C,D共線，則它們的中位點是線段中間兩點連線段上的任意一點，即中位點存在但不唯一，故③不正確；

對于④，設(shè)O為對角線的交點，則PA+PB+PC+PD≥AC+BD=OA+OB+OC+OD，故④正確。

(1)當(dāng)f(x)=__________(x>0)時，Mf(a,b)為a,b的幾何平均數(shù)；

(以上兩空各只需寫出一個符合要求的函數(shù)即可)

作為新定義問題，本題以開放性形式出現(xiàn)，給出結(jié)果，需要學(xué)生提供滿足條件的函數(shù)式。確定函數(shù)，一般不會超出中學(xué)階段的函數(shù)類型，但也不能漫無目的一個個地試，我們需要根據(jù)結(jié)果推理出符合條件的函數(shù)，考查的是學(xué)生的推理論證能力。

任意取正數(shù)k1和k2，就可以得到滿足條件的函數(shù)。

雖然新定義試題有難易之別，但總體來說，解題方向上是行得通的，沒有超出學(xué)生的能力范圍和接受水平，難度是可控的。即使部分難題只有少數(shù)學(xué)生能順利求解，但也正好甄別出學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的高低，體現(xiàn)了高考試題的選拔功能。