《數(shù)學(xué)物理方法》定解問題的可視化仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

許 超，王 琪，陳玉艷，高森源，丁 勇*

(1.遼寧大學(xué) 物理學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110036；2.威海市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)，山東 威海 264200)

0 引言

《數(shù)學(xué)物理方法》是物理類、力學(xué)類、儀器類、電子信息類等學(xué)科的重要基礎(chǔ)課.其課程特點(diǎn)是將精妙的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法應(yīng)用在物理或交叉學(xué)科的實(shí)際具體問題中，通過物理現(xiàn)象建立數(shù)學(xué)模型，在分析模型和問題求解的過程中進(jìn)一步研究物理現(xiàn)象，從而發(fā)現(xiàn)解決實(shí)際具體問題的途徑和方法.由于該課程理論性強(qiáng)、概念抽象、推導(dǎo)繁多、場(chǎng)圖復(fù)雜，要求學(xué)生具有較強(qiáng)的抽象思維能力和空間想象力.所以，課程的教學(xué)現(xiàn)狀往往是多數(shù)學(xué)生對(duì)基本概念掌握較好，但不會(huì)從實(shí)際問題出發(fā)，運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)去建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，實(shí)際上就是對(duì)知識(shí)的掌握和運(yùn)用不能協(xié)調(diào)，對(duì)知識(shí)掌握與實(shí)際應(yīng)用之間脫節(jié).

探索新工科建設(shè)模式，主動(dòng)適應(yīng)當(dāng)前社會(huì)的新技術(shù)、新產(chǎn)業(yè)、新經(jīng)濟(jì)發(fā)展，已經(jīng)成為高校理工科專業(yè)的發(fā)展目標(biāo).怎樣培養(yǎng)具有創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)意識(shí)、邏輯思維和跨界應(yīng)用能力的“新工科”人才?這是高校理工科專業(yè)教師需要深入思考的問題.其解決途徑之一就是要在理論講授和實(shí)踐應(yīng)用之間找到合適的教學(xué)平衡點(diǎn)[1-3].因此，教學(xué)團(tuán)隊(duì)依托《數(shù)學(xué)物理方法》課程，選取數(shù)學(xué)物理方法的定解問題作為教學(xué)改革的突破點(diǎn)，將理論建模與三維仿真相融合、基礎(chǔ)知識(shí)與教學(xué)案例相融合、創(chuàng)新實(shí)踐與科學(xué)研究相融合，重點(diǎn)解決學(xué)生在《數(shù)學(xué)物理方法》部分章節(jié)學(xué)習(xí)時(shí)對(duì)教學(xué)內(nèi)容理解困難和創(chuàng)新思維訓(xùn)練不足的教學(xué)問題.

1 《數(shù)學(xué)物理方法》定解問題

《數(shù)學(xué)物理方法》是以物理學(xué)科或工程技術(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題作為研究對(duì)象，其研究步驟一般包括確定定解問題、定解問題求解和解的適定性.以工程技術(shù)的溫度監(jiān)測(cè)為例，通常會(huì)分析溫度在測(cè)量區(qū)域的分布情況或研究其隨時(shí)間變化的規(guī)律.那么，將溫度分布及其隨時(shí)間變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述出來(lái)，即數(shù)學(xué)物理方程；而溫度變化在測(cè)量區(qū)域所滿足的約束邊界條件和時(shí)間初值條件稱為定解條件.由于描述的是同一類物理現(xiàn)象的共同規(guī)律，反映的是物理量變化的最本質(zhì)關(guān)系，所以這種方程也稱為泛定方程.確定定解問題就是求解某一具體問題時(shí)提出泛定方程和定解條件.

求解不同的定解問題，需要采用不同的方法一類一類求解.但具體問題研究時(shí)，僅僅求解出方程是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還必須考慮解的適定性，即存在性、唯一性和穩(wěn)定性.依舊以溫度監(jiān)測(cè)為例，需要考慮求解的溫度變化是否符合實(shí)際物理問題的意義，需要討論在什么樣的定解條件下溫度方程的解是唯一的，更要確保當(dāng)定解條件有微小變化時(shí)，溫度方程的解也只有微小變化.只有定解問題的解具有存在性、唯一性和穩(wěn)定性，那么在合理誤差范圍內(nèi)所得到的解就可以看做是實(shí)際問題解的良好近似.只有得到符合實(shí)際問題的物理規(guī)律的解，這樣的解才是具有實(shí)際意義的.

2 基于新工科理念的可視化仿真教學(xué)模式

教學(xué)團(tuán)隊(duì)積極探索新工科的教學(xué)理念，以解決實(shí)際問題和自主創(chuàng)新設(shè)計(jì)的能力作為本科學(xué)生的主要培養(yǎng)目標(biāo)，將數(shù)學(xué)物理建模思想、三維可視化仿真方法、創(chuàng)新實(shí)踐的手段應(yīng)用于《數(shù)學(xué)物理方法》課程的教學(xué)實(shí)踐中，重點(diǎn)實(shí)現(xiàn)了將理論建模與三維仿真相融合、基礎(chǔ)知識(shí)與教學(xué)案例相融合、創(chuàng)新實(shí)踐與科學(xué)研究相融合.其中，教學(xué)方法三維可視化使抽象、煩瑣的理論模型變得直觀、明了；教學(xué)案例項(xiàng)目化鍛煉學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐和解決問題能力；教學(xué)實(shí)踐創(chuàng)新自主化加強(qiáng)科研促教，引導(dǎo)學(xué)生開展自主研究型學(xué)習(xí)；教學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)化更新了課程結(jié)構(gòu)，充實(shí)了課程內(nèi)容，完善了課程體系[4-5].可以說(shuō)，《數(shù)學(xué)物理方法》的這種基于新工科理念的可視化仿真教學(xué)模式，既解決了前沿性的科研促教中缺乏實(shí)驗(yàn)條件的問題，加強(qiáng)了創(chuàng)新思維實(shí)踐能力訓(xùn)練，又改進(jìn)了學(xué)生在部分章節(jié)學(xué)習(xí)時(shí)對(duì)教學(xué)內(nèi)容理解困難的教學(xué)狀況，解決了課程教學(xué)模式單一且脫離實(shí)際應(yīng)用的教學(xué)問題[6-8].

3 定解問題實(shí)例設(shè)計(jì)與仿真

教學(xué)團(tuán)隊(duì)堅(jiān)持新工科理念的可視化教學(xué)模式，開展了復(fù)變函數(shù)計(jì)算、留數(shù)計(jì)算、傅里葉變換、拉普拉斯變換、特殊函數(shù)仿真、本征值計(jì)算和偏微分方程求解等部分定解問題的案例式創(chuàng)新實(shí)驗(yàn).本文以穩(wěn)態(tài)的溫度分布為例，闡述《數(shù)學(xué)物理方法》定解問題可視化教學(xué)實(shí)例.假設(shè)半徑為a，表面熏黑的均勻長(zhǎng)圓柱，在溫度為0的空氣中受陽(yáng)光的照射，陽(yáng)光垂直于柱軸，熱流強(qiáng)度為q，試求柱內(nèi)穩(wěn)定的溫度分布.

解：定解問題為

其中

這個(gè)問題的解是

可以用MATLAB程序得到解析解的圖形(如圖1、圖2所示)。

圖1 解析解的曲面圖

圖2 解析解的等值線圖

在球面的邊界條件是cosωt即為Re(e-iωt)，在上面寫成了e-iωt，這要求在計(jì)算結(jié)果中也只取實(shí)部.

問題的解析解是

上式的實(shí)部就是所要求的解，在遠(yuǎn)場(chǎng)取漸進(jìn)公式近似，并取實(shí)部，得到的解為：

圖3是解析解動(dòng)畫中的幾幅畫面，這是由球面向外傳播的球面波.

圖3 球面波解析解的動(dòng)畫

教學(xué)團(tuán)隊(duì)引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)柱體內(nèi)溫度變化分析得出柱體溫度的泛定方程，借助于MATLAB軟件和程序語(yǔ)言得出其數(shù)值解及其解曲面的直觀圖形，實(shí)現(xiàn)了定解問題可視化，解決了教學(xué)環(huán)節(jié)中理論知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用脫節(jié)的缺陷，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)理解專業(yè)問題.同時(shí)，課后可設(shè)計(jì)類似練習(xí)以鞏固編程能力和提升理論分析能力，比如實(shí)際生活中防護(hù)服的熱傳導(dǎo)、倉(cāng)儲(chǔ)的柜體溫度分布等，都可以讓學(xué)生動(dòng)手練習(xí)建立定解問題來(lái)求解.但需要注意的是設(shè)計(jì)問題時(shí)要考慮其可行性、復(fù)雜性、工程的延展性.

4 結(jié)論

《數(shù)學(xué)物理方法》課程的概念抽象、場(chǎng)圖復(fù)雜，教學(xué)團(tuán)隊(duì)借助于MATLAB的可視化仿真教學(xué)和面向?qū)嶋H應(yīng)用的教學(xué)案例，選取數(shù)學(xué)物理方法的定解問題作為教學(xué)改革的突破點(diǎn).實(shí)踐表明，這種案例式可視化仿真教學(xué)構(gòu)建了理論建模與三維仿真相融合、基礎(chǔ)知識(shí)與教學(xué)案例相融合、創(chuàng)新實(shí)踐與科學(xué)研究相融合，對(duì)具有“寬泛的專業(yè)知識(shí)、科學(xué)的創(chuàng)新能力、實(shí)踐的應(yīng)用能力”的專業(yè)人才培養(yǎng)具有現(xiàn)實(shí)意義，解決了學(xué)生在專業(yè)知識(shí)學(xué)習(xí)過程中所遇到的典型問題，符合新工科建設(shè)理念.