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    改進(jìn)核密度估計(jì)的空間點(diǎn)密度算法

    2021-06-11 10:17:20饒加旺馬榮華
    關(guān)鍵詞:可視化

    饒加旺,馬榮華

    1.江蘇省測(cè)繪工程院 空間信息技術(shù)研究中心,南京210013 2.中國(guó)科學(xué)院 南京地理與湖泊研究所,南京210008

    點(diǎn)密度是一定范圍內(nèi)點(diǎn)數(shù)量的統(tǒng)計(jì)值,是地理空間分析的重要任務(wù)[1-2],而核密度分析是點(diǎn)密度分析常用的重要方法,它是根據(jù)核密度估計(jì)函數(shù)(Kernel Density Estimator)將平面的二維離散點(diǎn)生成連續(xù)的三維表面,計(jì)算事件點(diǎn)在設(shè)定的周?chē)徑臻g的密度的過(guò)程,直觀地反映點(diǎn)群的聚集或離散分布特征[1]。相比較于其他空間分析方法,核密度分析需要參數(shù)較少,受主觀因素影響較小,因而成為了地理空間分析中應(yīng)用最廣泛的方法之一[2],被廣泛應(yīng)用至地物空間分布[3-4]、空間區(qū)域格局分析[5]、疫情監(jiān)測(cè)與分析[6]、地質(zhì)災(zāi)害與自然資源環(huán)境監(jiān)測(cè)[7-8]、路徑優(yōu)化與分析[9]等諸多領(lǐng)域,從空間上獲取事件的宏觀分布特征。研究者相繼開(kāi)發(fā)出適應(yīng)R、Python、ArcGIS等多種編程語(yǔ)言和軟件環(huán)境下的算法。Kern-Smooth是R語(yǔ)言環(huán)境下用于計(jì)算核密度的功能包,按照核函數(shù)的不同可分為bkde、bkde2D、bkfe等函數(shù),其中kde2d是R語(yǔ)言環(huán)境下應(yīng)用最為廣泛的密度函數(shù)[10-11],該函數(shù)主要使用高斯核密度估計(jì)實(shí)現(xiàn)函數(shù)的平滑,以三維連續(xù)表面的形式輸出點(diǎn)的概率密度[12]。KernelDensity為Python語(yǔ)言環(huán)境下計(jì)算核密度常用的功能包,實(shí)現(xiàn)方式、功能與R語(yǔ)言中的KernSmooth類(lèi)似;ArcGIS軟件在Spatial Analysis工具箱中集成了核密度分析功能,用于衡量單位面積內(nèi)點(diǎn)要素的量值[13],在可視化輸出方面常借助核密度函數(shù)(或平滑函數(shù)),將離散點(diǎn)在空間上擬合為連續(xù)的光滑錐形表面,再以不同的顏色分級(jí)表示密集程度[14]。

    相關(guān)研究發(fā)現(xiàn),核密度分析對(duì)于描述連續(xù)現(xiàn)象的應(yīng)用場(chǎng)景效果較好[1],而對(duì)于離散點(diǎn),雖能表示空間格局、事件的分布特征及趨勢(shì)變化,但密度空間分布模式上存在的“距離衰減效應(yīng)”[15],在利用ArcGIS軟件或kde2d等算法實(shí)現(xiàn)核密度分析時(shí)常存在如下問(wèn)題:(1)分析的結(jié)果通常會(huì)把本身并不活躍的區(qū)域納入計(jì)算范圍,不僅改變了點(diǎn)原有的空間位置,也改變點(diǎn)的離散性質(zhì),存在過(guò)度擬合的情況;(2)運(yùn)算時(shí)需預(yù)先設(shè)置計(jì)算空間范圍[10,13],常導(dǎo)致額外的資源開(kāi)銷(xiāo),當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時(shí),運(yùn)算耗時(shí)較長(zhǎng)、效率較低;(3)可視化輸出時(shí),不同的顏色分級(jí)表示的密度分布難以反映離散點(diǎn)真實(shí)的密度情況;(4)主觀影響較強(qiáng),設(shè)置帶寬、搜索半徑與輸出單元格等參數(shù)通常依靠經(jīng)驗(yàn),較大的搜索半徑與輸出單元格常導(dǎo)致難以準(zhǔn)確地反映事件分布情況,整體空間形狀變形較大,而較小的搜索半徑與輸出單元格又會(huì)對(duì)核密度分析帶來(lái)巨大的計(jì)算量與計(jì)算資源的消耗。在不改變離散點(diǎn)位置的基礎(chǔ)上獲取點(diǎn)的真實(shí)密度值在疫情監(jiān)測(cè)[16]、軍事領(lǐng)域、災(zāi)害監(jiān)測(cè)與統(tǒng)計(jì)[17-18]、地圖制圖[19]、社會(huì)治安與應(yīng)急管理[20]等領(lǐng)域中具有重要應(yīng)用。為此本文在核密度分析的基礎(chǔ)上提出了空間點(diǎn)密度算法,利用幾何投影與哈希數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),在不改變離散點(diǎn)空間位置以及離散特性的基礎(chǔ)上,降低主觀性對(duì)結(jié)果的影響,快速度量點(diǎn)真實(shí)數(shù)量的方法,以提高點(diǎn)密度的真實(shí)分布與高效的可視化輸出。

    1 核密度算法

    對(duì)于非均勻分布的離散點(diǎn)而言,假設(shè)用λ(u)表示空間位置u的密度,將任意空間范圍B劃分為無(wú)限多個(gè)子區(qū)域ai,范圍B內(nèi)點(diǎn)密度可表示為λ(u)ai,因此B范圍內(nèi)點(diǎn)密度E[B]可表示為所有子區(qū)域點(diǎn)密度之和,則:

    式中,n為點(diǎn)的個(gè)數(shù),λ(u)可通過(guò)核密度算法進(jìn)行無(wú)參化計(jì)算得到[1]。

    1.1 劃分格網(wǎng)

    將研究區(qū)域劃分為多個(gè)單元格網(wǎng),定義搜索窗口W,逐一遍歷單元格網(wǎng),對(duì)于特定位置v,當(dāng)其在W內(nèi)時(shí)f(u)=κ(v-u)(f為空間位置u的函數(shù),κ為核函數(shù)),反之,則f(u)=0。

    1.2 獲取密度貢獻(xiàn)值

    獲取W內(nèi)各個(gè)格網(wǎng)對(duì)整體的密度貢獻(xiàn)值,其值為W內(nèi)所有點(diǎn)xi數(shù)量之和,用坎貝爾方程來(lái)表示[1]:

    1.3 輸出核密度

    計(jì)算并輸出每個(gè)單元格網(wǎng)的密度值,該值為W內(nèi)所有點(diǎn)對(duì)格網(wǎng)密度貢獻(xiàn)值的和,根據(jù)公式(2),則:

    e為邊緣校正參數(shù),可表示為λ(v)經(jīng)過(guò)核密度函數(shù)平滑后的估計(jì)值,可視化輸出的效果是將二維的離散點(diǎn)變成三維連續(xù)的光滑平面,通常具有偏差,因?yàn)榍罢呦它c(diǎn)位的離散特征、真實(shí)位置等具體信息[1]。

    2 空間點(diǎn)密度算法

    本文提出的空間點(diǎn)密度算法是在保持點(diǎn)的離散屬性與初始空間位置的基礎(chǔ)上,統(tǒng)計(jì)并計(jì)算每個(gè)搜索鄰域內(nèi)點(diǎn)的單位真實(shí)數(shù)量,快速輸出離散點(diǎn)的位置與點(diǎn)密度值。假設(shè)圓心O代表了網(wǎng)格點(diǎn)最近的一個(gè)事件,研究區(qū)域內(nèi)有n個(gè)點(diǎn),其緯度、經(jīng)度分別由lati、loni表示,g代表格網(wǎng)的大小,r表示用于搜索的鄰域半徑,tlati和tloni為最鄰近格網(wǎng)點(diǎn)的緯度和經(jīng)度;為了使構(gòu)建點(diǎn)密度算法具有可解析性以及保證算法運(yùn)行的高效性,定義兩個(gè)哈希表bin_density_hash()與density_hash(),其key值分別為鄰近格網(wǎng)點(diǎn)與鄰域內(nèi)格網(wǎng)點(diǎn)的經(jīng)緯度坐標(biāo)值。

    算法分為離散點(diǎn)的分箱與降維操作、計(jì)算格網(wǎng)內(nèi)點(diǎn)的密度、維度的再膨脹三個(gè)步驟。算法的流程圖如圖1所示。

    圖1 算法流程圖

    2.1 離散點(diǎn)的分箱與降維

    執(zhí)行時(shí)初始化參數(shù)r與g,將研究區(qū)域劃分為等距的格網(wǎng),使鄰域中心點(diǎn)與格網(wǎng)相疊加,對(duì)鄰域內(nèi)的離散點(diǎn)執(zhí)行分箱操作,分箱的規(guī)則是通過(guò)近似的方式獲取每個(gè)點(diǎn)在其最近格網(wǎng)點(diǎn)的坐標(biāo)。當(dāng)執(zhí)行完成時(shí),數(shù)據(jù)的維度由n降至m,bin_density_hash()的地址值為裝箱操作后點(diǎn)的數(shù)量值,該值為改變點(diǎn)的位置所得到的,為相對(duì)值,作為后續(xù)運(yùn)算重要的數(shù)據(jù)基礎(chǔ),偽代碼如下:

    2.2 計(jì)算格網(wǎng)點(diǎn)內(nèi)的密度

    該步驟是本文算法的核心,示意圖如圖2所示。首先遍歷m個(gè)格網(wǎng)點(diǎn),獲取鄰域內(nèi)格網(wǎng)點(diǎn)F的坐標(biāo)(lat1,lon1);其次沿著中央經(jīng)線(xiàn)方向自下而上迭代運(yùn)行,依次從F點(diǎn)遍歷至G點(diǎn),通過(guò)上下移動(dòng)的距離l,以及鄰域半徑r計(jì)算容忍距t;然后以g為步長(zhǎng)遍歷經(jīng)度方向的點(diǎn)E1至E4,并將其經(jīng)緯度坐標(biāo)存儲(chǔ)至density_hash()表中,統(tǒng)計(jì)被記錄次數(shù),依此類(lèi)推直至遍歷至點(diǎn)G完成鄰域內(nèi)所有格網(wǎng)點(diǎn)的循環(huán)。容忍距t是識(shí)別鄰域內(nèi)點(diǎn)經(jīng)度的重要依據(jù),確保了只有在鄰域范圍內(nèi)的密度值是增加,避免了算法額外的循環(huán),是本文算法高效運(yùn)行的關(guān)鍵。當(dāng)遍歷結(jié)束后,density_hash(latt,lont)的key值為經(jīng)過(guò)分箱操作后點(diǎn)的經(jīng)緯度坐標(biāo)值,地址值為離散點(diǎn)真實(shí)的密度值,此時(shí)數(shù)據(jù)的維度仍為m。

    圖2 計(jì)算格網(wǎng)內(nèi)點(diǎn)的密度示意圖

    偽代碼如下:

    2.3 維度的再膨脹

    遍歷n個(gè)點(diǎn),依次從density_hash(latt,lont)的地址值中讀取點(diǎn)的密度值;將離散點(diǎn)初始的經(jīng)緯度坐標(biāo)與實(shí)際的點(diǎn)密度值相關(guān)聯(lián),若未完成遍歷,重新執(zhí)行步驟2.1~2.2,直至完成整個(gè)研究區(qū)域的遍歷,最終輸出結(jié)果為n個(gè)離散點(diǎn)的初始坐標(biāo)與對(duì)應(yīng)的密度值。偽代碼如下:

    3 實(shí)證研究

    美國(guó)地質(zhì)調(diào)查局(United States Geological Survey,USGS)的國(guó)家空間數(shù)據(jù)基礎(chǔ)設(shè)施節(jié)點(diǎn)(National Spatial Data Infrastructure Node)提供了美國(guó)50個(gè)州的水資源數(shù)據(jù)信息[21],共計(jì)約190多萬(wàn)條,包括地表水、地下水等類(lèi)型的站點(diǎn)編號(hào)、站點(diǎn)名稱(chēng)、經(jīng)緯度坐標(biāo)等字段,該數(shù)據(jù)作為開(kāi)放的數(shù)據(jù)集,具有數(shù)據(jù)格式化程度高、區(qū)域跨度和數(shù)據(jù)量均較大等特點(diǎn)。本文基于R語(yǔ)言編寫(xiě)網(wǎng)絡(luò)爬蟲(chóng)程序,抓取了截止至2014年12月31日的美國(guó)大陸(不包括阿拉斯加、夏威夷、關(guān)島等地區(qū))所有的地下水資源的數(shù)據(jù)信息,共由1 233 186個(gè)離散點(diǎn)組成的數(shù)據(jù)集,作為本文算法的驗(yàn)證數(shù)據(jù),如圖3所示。

    圖3 驗(yàn)證數(shù)據(jù)的情況

    3.1 可視化運(yùn)算實(shí)驗(yàn)結(jié)果

    在R語(yǔ)言環(huán)境下,讀取美國(guó)大陸地下水資源數(shù)據(jù)集。兼顧可視化效果與運(yùn)算次數(shù),將格網(wǎng)大小g與鄰域半徑r分別設(shè)置為1、5,借助ggplot2功能包[22],將點(diǎn)密度執(zhí)行的結(jié)果可視化,返回結(jié)果包括離散點(diǎn)的初始坐標(biāo)、密度值,如圖4所示。

    圖4 空間點(diǎn)密度可視化結(jié)果

    3.2 與核密度算法的比較

    3.2.1 可視化效果

    在ArcGIS 10.4.1軟件環(huán)境下,執(zhí)行Kernel Density操作,分別將搜索半徑與輸出單元格的大小設(shè)置為0.1、10,得出如圖5(a)所示的結(jié)果。由圖可知,可視化輸出的結(jié)果為連續(xù)的,圖4中空白區(qū)域也被擬合成連續(xù)的區(qū)域,整體形狀發(fā)生了改變,圖中點(diǎn)的位置發(fā)生了變化,存在過(guò)度擬合的情況,當(dāng)搜索半徑與輸出單元格的值均較大時(shí),整體的形狀改變?cè)絼×?;而過(guò)于密集的網(wǎng)格對(duì)核密度分析帶來(lái)巨大的計(jì)算量和計(jì)算機(jī)軟硬件資源的消耗,此外,由于整體形狀發(fā)生了改變,此時(shí)的密度值為空間加權(quán)平均值,導(dǎo)致密度值的真實(shí)性與可識(shí)別性均較低;在R語(yǔ)言環(huán)境中執(zhí)行kde2d算法[14],分別設(shè)置帶寬與輸出單元個(gè)數(shù)為0.1、3 000,輸出的核密度結(jié)果為碎片化的面狀形式如圖5(b)所示,存在離散點(diǎn)位置發(fā)生變化而被過(guò)度擬合的情況,密度的可識(shí)別性較差,同時(shí)存在點(diǎn)缺失的問(wèn)題。當(dāng)設(shè)置較大的帶寬與輸出單元時(shí),存在更多區(qū)域被過(guò)度擬合的情況。本文算法最大程度降低了主觀性對(duì)于結(jié)果的影響,通過(guò)設(shè)置不同的格網(wǎng)與鄰域半徑,如圖4與圖5(c)(格網(wǎng)大小與鄰域半徑分別設(shè)置為10、100)所示,改變的僅是點(diǎn)的相對(duì)密度值,而不會(huì)改變離散點(diǎn)整體的形狀,輸出的結(jié)果仍為設(shè)置的格網(wǎng)與鄰域半徑下真實(shí)的點(diǎn)密度值。因此本文算法的可視化效果與點(diǎn)密度的可識(shí)別性均優(yōu)于ArcGIS 10.4.1軟件與kde2d算法。

    圖5 與ArcGIS核密度、kde2d的可視化效果比較

    3.2.2 算法效率

    評(píng)價(jià)算法的效率,通常通過(guò)統(tǒng)計(jì)算法中基本操作重復(fù)執(zhí)行的次數(shù)(時(shí)間復(fù)雜度)來(lái)衡量,使用O(n)表示[23]。kde2d算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(nm)[11],本文算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(n(2r/g)2)。為驗(yàn)證不同樣本數(shù)量下兩種算法的時(shí)間復(fù)雜度對(duì)比情況,依次從數(shù)據(jù)集中隨機(jī)取5 000、10 000、50 000、100 000、500 000、1 000 000個(gè)點(diǎn)共六組樣本,樣本分布如圖6(a)~(f)所示,依次通過(guò)本文點(diǎn)密度算法,得到的結(jié)果如圖7(a)~(f)所示,兩種算法的時(shí)間復(fù)雜度的比值情況如表1所示。

    本文算法與kde2d算法的時(shí)間復(fù)雜度均與樣本數(shù)量n有關(guān),前者還與設(shè)置的格網(wǎng)大小g與鄰域半徑r相關(guān),后者與離散點(diǎn)分箱操作后格網(wǎng)點(diǎn)的數(shù)量m相關(guān)。將兩者的樣本數(shù)量設(shè)置為相同,如表1所示,當(dāng)數(shù)據(jù)量從小到大時(shí),由于m?(2r/g)2本文的空間點(diǎn)密度算法的時(shí)間復(fù)雜度均低于kde2d算法;當(dāng)數(shù)據(jù)量逐漸增大時(shí),本文的算法效率優(yōu)勢(shì)較明顯,表明本文算法更適合大數(shù)據(jù)環(huán)境下計(jì)算離散點(diǎn)的密度值。因Environmental Systems Research Institute(ESRI)官方尚未公布ArcGIS軟件Kernel Density算法的源碼[13],因此以運(yùn)行時(shí)間為指標(biāo)將本文空間點(diǎn)密度算法與ArcGIS軟件Kernel Density算法進(jìn)行對(duì)比,計(jì)算機(jī)運(yùn)行環(huán)境為CPU:Intel I7-6700HQ 2.60 GHz,內(nèi)存:16 GB,操作系統(tǒng):Windows 7專(zhuān)業(yè)版64位,軟件系統(tǒng):R 3.5.0、ArcGIS 10.4.1版本,執(zhí)行時(shí)將Kernel Density搜索半徑與輸出單元格設(shè)置為1、5,將本文算法的格網(wǎng)大小與鄰域半徑設(shè)置為1、5,兩種算法各執(zhí)行20次,取平均所耗費(fèi)的時(shí)間如表2所示。

    總體而言本文算法的運(yùn)行時(shí)間比ArcGIS的Kernel Density較長(zhǎng),尤其是當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時(shí)。究其原因,首先ArcGIS軟件的Kernel Density函數(shù)封裝與模塊化應(yīng)用較好,可較大程度地利用計(jì)算機(jī)資源,程序讀寫(xiě)與運(yùn)算的效率較高;其次在算法機(jī)理上,Kernel Density是對(duì)二維離散點(diǎn)表面進(jìn)行內(nèi)插,計(jì)算格網(wǎng)對(duì)整個(gè)區(qū)域密度的貢獻(xiàn)值[13],因此遍歷的次數(shù)相對(duì)較少,而本文算法為保持離散點(diǎn)的初始位置與獲取真實(shí)的點(diǎn)密度,在執(zhí)行分箱操作、計(jì)算格網(wǎng)內(nèi)點(diǎn)的密度、維度的再膨脹過(guò)程時(shí)遍歷次數(shù)較多,導(dǎo)致耗時(shí)較長(zhǎng)。

    圖7 不同樣本數(shù)量下的空間點(diǎn)密度計(jì)算結(jié)果

    表1 不同樣本數(shù)量下算法效率對(duì)比情況

    表2 算法運(yùn)行時(shí)間對(duì)比情況s

    4 總結(jié)與展望

    針對(duì)目前核密度分析計(jì)算點(diǎn)密度存在著改變離散點(diǎn)位置與屬性、密度值可識(shí)別性較低、運(yùn)算效率較低以及主觀因素對(duì)輸出結(jié)果影響較大等局限,提出了空間點(diǎn)密度算法,該算法在保持點(diǎn)的離散屬性與初始空間位置的基礎(chǔ)上,通過(guò)設(shè)定分箱規(guī)則,獲取離散點(diǎn)最近的格網(wǎng)點(diǎn)坐標(biāo);依次遍歷、統(tǒng)計(jì)并計(jì)算搜索鄰域內(nèi)點(diǎn)的數(shù)量,最終輸出離散點(diǎn)初始坐標(biāo)與點(diǎn)密度值,算法共分為離散點(diǎn)的分箱與降維、計(jì)算格網(wǎng)內(nèi)點(diǎn)密度、維度的再膨脹三個(gè)步驟。

    引入U(xiǎn)SGS網(wǎng)站發(fā)布的美國(guó)大陸123多萬(wàn)條地下水資源信息作為驗(yàn)證數(shù)據(jù),通過(guò)驗(yàn)證與分析,該算法最大程度地降低了主觀因素對(duì)于計(jì)算結(jié)果的影響,不改變離散點(diǎn)的屬性與整體形狀,在可視化效果與點(diǎn)密度識(shí)別性上均優(yōu)于ArcGIS 10.4.1版本的核密度法與kde2d算法,運(yùn)算效率優(yōu)于常用的kde2d算法。由此可視化效果與算法時(shí)間復(fù)雜度驗(yàn)證均證明了本文空間點(diǎn)密度算法的有效性。但實(shí)驗(yàn)結(jié)果同時(shí)表明,當(dāng)數(shù)據(jù)量為百萬(wàn)級(jí)別以上時(shí),將格網(wǎng)點(diǎn)與鄰域設(shè)置較小時(shí),存在消耗計(jì)算機(jī)較大內(nèi)存、運(yùn)算時(shí)間較長(zhǎng)的情況。為此,后期工作重點(diǎn)將進(jìn)一步優(yōu)化算法,減小內(nèi)存消耗、縮短運(yùn)算時(shí)間。

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