并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)艙段對(duì)接的位姿測量方法及試驗(yàn)研究

李世其，陳 棟，王峻峰

(華中科技大學(xué) 機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430074)

艙段總裝對(duì)接是確保航空航天產(chǎn)品制造準(zhǔn)確性與質(zhì)量一致性的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。傳統(tǒng)串聯(lián)對(duì)接技術(shù)存在耗時(shí)耗力及對(duì)接質(zhì)量一致性差的缺點(diǎn)。因此，研究高質(zhì)高效艙段自動(dòng)對(duì)接技術(shù)已成為航空航天制造領(lǐng)域的發(fā)展趨勢。

隨著航空航天產(chǎn)品種類的多樣化，艙段類部件在外形尺寸及結(jié)構(gòu)特征等方面產(chǎn)生了較大差異。通常需要設(shè)計(jì)具有不同構(gòu)型特征與對(duì)接形式的裝置，并研究相應(yīng)的對(duì)接方法實(shí)現(xiàn)不同產(chǎn)品的艙段對(duì)接。例如：Mei等[1]介紹了應(yīng)用于飛機(jī)大部件裝配的多種柔性裝配夾具及對(duì)接方法。其中，在飛機(jī)機(jī)身對(duì)接或翼身對(duì)接中，通常采用多個(gè)POGO柱相結(jié)合的支撐裝置或?qū)Ｓ么笮托图軄韺?shí)現(xiàn)部件調(diào)姿及定位。郭志敏等[2]設(shè)計(jì)了精密三坐標(biāo)POGO柱用于飛機(jī)大部件調(diào)姿，并提出三點(diǎn)支撐的姿態(tài)調(diào)整方法。Zhu等[3]設(shè)計(jì)了飛機(jī)翼身對(duì)接6自由度POGO型調(diào)姿機(jī)構(gòu)，提出了一種基于四元數(shù)的5次多項(xiàng)式軌跡規(guī)劃算法。在體型相對(duì)較小的艙段類部件裝配中，機(jī)器人以靈活、精確和易于控制等優(yōu)點(diǎn)受到了廣泛研究與應(yīng)用，多數(shù)自動(dòng)對(duì)接方法都以位姿測量及位姿擬合技術(shù)為基礎(chǔ)[4]。Jayaweera等[5]提出了對(duì)測量數(shù)據(jù)進(jìn)行最優(yōu)擬合的最佳裝配算法，利用測量輔助裝配技術(shù)指導(dǎo)機(jī)器人實(shí)現(xiàn)對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)部件的裝配。鄒冀華等[6]提出了3–RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的法向調(diào)整算法，控制該機(jī)構(gòu)進(jìn)行飛機(jī)翼身壁板蒙皮法向鉆鉚。金賀榮等[7–8]研究了雙目視覺測量技術(shù)，由雙目相機(jī)對(duì)艙段表面噴涂靶點(diǎn)進(jìn)行測量匹配，通過矢量位姿法求解艙段自動(dòng)裝配位姿；此外，還提出了兩點(diǎn)定位調(diào)姿法，通過改變對(duì)接艙段上兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的位置來引導(dǎo)串聯(lián)對(duì)接機(jī)構(gòu)調(diào)整艙段的空間位姿。Liu等[9]設(shè)計(jì)了一種由距離傳感器和CCD相機(jī)組成的位姿測量系統(tǒng)，指導(dǎo)由多個(gè)3自由度定位器構(gòu)成的6自由度定位系統(tǒng)對(duì)AGV車輛調(diào)姿[9]。陳冠宇等[10]提出了多傳感器協(xié)同測量的艙段位姿估計(jì)和調(diào)整方法，通過激光輪廓傳感器掃描艙體獲取位姿3維點(diǎn)云信息，通過CCD圖像傳感器獲取艙段對(duì)接孔位置，再將測量與擬合結(jié)果反饋給控制系統(tǒng)進(jìn)行艙段調(diào)姿對(duì)接。Wen等[11]在艙段對(duì)接研究中，采用基于統(tǒng)一坐標(biāo)換算思想的位姿測量方法，首先建立艙段對(duì)接的全局坐標(biāo)系，再通過特征點(diǎn)測量等方法將艙段、對(duì)接機(jī)構(gòu)等局部坐標(biāo)系換算到全局坐標(biāo)系下。溫晶晶等[12]研究了Stewart平臺(tái)實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈艙段自動(dòng)對(duì)接的方法，利用激光跟蹤儀測量艙段上多個(gè)特征點(diǎn)，采用模式搜索法進(jìn)行特征點(diǎn)集匹配，以獲取艙段之間的位姿偏差；再通過測量Stewart平臺(tái)上的特征點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)平臺(tái)坐標(biāo)系與測量坐標(biāo)系的統(tǒng)一；最后，根據(jù)位姿偏差控制平臺(tái)實(shí)現(xiàn)艙段調(diào)姿。在以上艙段對(duì)接技術(shù)的位姿測量方法研究中，通常需要在艙段或?qū)訖C(jī)構(gòu)上選取事先加工的特征點(diǎn)或特殊位置點(diǎn)，由3維模型獲取這些特征點(diǎn)在局部坐標(biāo)系下的坐標(biāo)后，才能進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)系統(tǒng)及位姿換算。這類方法對(duì)艙段或?qū)訖C(jī)構(gòu)的加工工藝及制造精度，甚至對(duì)測量時(shí)采點(diǎn)的準(zhǔn)確性及采點(diǎn)的測量精度等提出了較高的要求。

作者提出了一種通用的并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)艙段對(duì)接的位姿測量及換算方法。該方法不需要通過更改產(chǎn)品現(xiàn)有工藝來額外加工測量特征點(diǎn)，也擺脫了對(duì)艙段與并聯(lián)機(jī)構(gòu)3維模型的依賴，僅利用和測量實(shí)物對(duì)象的已有特征即可構(gòu)造對(duì)象各種相對(duì)位姿關(guān)系，并借助位姿傳遞轉(zhuǎn)化關(guān)系有效獲取并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)艙段對(duì)接的運(yùn)動(dòng)目標(biāo)位姿。

1 艙段對(duì)接的位姿測量問題

艙段對(duì)接中，通常將體積或質(zhì)量較大的艙段固定在架車上作為基準(zhǔn)艙段，稱為固定艙段；將通過支架或其他方式固定在對(duì)接設(shè)備上的待對(duì)接艙段，稱為移動(dòng)艙段。作者設(shè)計(jì)了6自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為艙段對(duì)接機(jī)構(gòu)，以連接動(dòng)平臺(tái)鉸點(diǎn)連線所構(gòu)成的幾何中心為原點(diǎn)建立 {M}，以移動(dòng)艙段和固定艙段端面中心點(diǎn)為原點(diǎn)分別建立{D}與 {F}。艙段對(duì)接前后的相對(duì)位姿關(guān)系變化如圖1所示。

圖1中，虛線代表對(duì)接前移動(dòng)艙段{D}和并聯(lián)機(jī)構(gòu){M} 所 處的初始位姿，實(shí)線代表對(duì)接后{D}和 {M}的目標(biāo)位姿。在目標(biāo)位姿處，移動(dòng)艙段與固定艙段實(shí)現(xiàn)對(duì)接，即{D}與 {F}在理論上實(shí)現(xiàn)重合。

當(dāng)移動(dòng)艙段借助于某種支撐裝置與并聯(lián)機(jī)構(gòu)固連后，兩者存在未知的相對(duì)位姿關(guān)系，記{D}與 {M}的相對(duì)位姿為 [R,T]，理論上該相對(duì)位姿量在移動(dòng)艙段調(diào)姿過程中保持不變；{F}與 {D}之間也存在未知的相對(duì)位姿關(guān)系，記{F}與 {D}的 相對(duì)位姿[R,T]，理論上該相對(duì)位姿量在移動(dòng)艙段調(diào)姿過程中會(huì)逐漸趨于0。

圖1 艙段對(duì)接中的相對(duì)位姿關(guān)系Fig. 1 Relative pose relations in cabin docking

2 艙段對(duì)接系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)組成

艙段對(duì)接系統(tǒng)主要包括位姿測量子系統(tǒng)、對(duì)接執(zhí)行子系統(tǒng)和運(yùn)動(dòng)控制子系統(tǒng)，各子系統(tǒng)信息傳遞與配合關(guān)系如圖2所示。

1）位姿測量子系統(tǒng)采用的測量設(shè)備為FARO–Vantage激光跟蹤儀及直徑為2.222 5 cm（0.875英寸）的光學(xué)靶球，配套的測量數(shù)據(jù)處理軟件為CAM2 measure10。FARO–Vantage最新標(biāo)定的測距精度為（8.0±0.4） μm/m，測角精度為（10.0±2.5） μm/m。

圖2 艙段對(duì)接系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)組成Fig. 2 Composition of cabin docking system

2）對(duì)接執(zhí)行子系統(tǒng)采用的對(duì)接設(shè)備為6–UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)，主要由動(dòng)平臺(tái)、靜平臺(tái)及通過虎克鉸分別連接動(dòng)、靜平臺(tái)的6個(gè)折返式電動(dòng)缸組成。定義6個(gè)上鉸點(diǎn)連線的幾何中心為動(dòng)平臺(tái) {M}的原點(diǎn)，沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)方向?yàn)閤軸正向，豎直向上為z軸正向，由右手定則確定y軸方向。從零位起，末端（動(dòng)平臺(tái)）在x、y、z軸方向上各具有±100 mm的行程，在繞x、y、z軸方向上各具有±10°的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍。標(biāo)定后，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的平移重復(fù)定位誤差小于0.1 mm，轉(zhuǎn)動(dòng)重復(fù)定位誤差小于0.05°，滿足艙段對(duì)接的精度要求。

3）運(yùn)動(dòng)控制子系統(tǒng)的硬件包括控制柜和計(jì)算機(jī)等；軟件集成了位姿擬合、調(diào)姿規(guī)劃、運(yùn)動(dòng)控制等核心算法。主要處理位姿測量子系統(tǒng)發(fā)送的測量數(shù)據(jù)，并向?qū)訄?zhí)行子系統(tǒng)發(fā)送調(diào)姿規(guī)劃及運(yùn)動(dòng)控制等指令。

3 相對(duì)位姿關(guān)系的測量及構(gòu)造

以z–y–x方式描述歐拉角 [ α,β,γ]T的旋轉(zhuǎn)次序，旋轉(zhuǎn)矩陣R可記為：

當(dāng)已知R時(shí)，可以反求出按照z–y–x方式旋轉(zhuǎn)的歐拉角分別為：

式中，Rij表示旋轉(zhuǎn)矩陣R中第i行、第j列的元素，i,j≤3。

3.1 移動(dòng)艙段與激光跟蹤儀坐標(biāo)關(guān)系匹配

理論上，在移動(dòng)艙段上選取一定數(shù)量的特征點(diǎn)，并利用激光跟蹤儀測量，即可建立特征點(diǎn)集關(guān)于移動(dòng)艙段與激光跟蹤儀的坐標(biāo)系匹配關(guān)系，前提是根據(jù)3維模型確定各特征點(diǎn)在移動(dòng)艙段坐標(biāo)系下的局部坐標(biāo)。這種借助數(shù)模關(guān)系匹配坐標(biāo)系的方法通常需要事先在測量對(duì)象的3維模型上設(shè)計(jì)特征點(diǎn)，并確保實(shí)物對(duì)象上的特征點(diǎn)加工精度。實(shí)際上，在一些航天產(chǎn)品生產(chǎn)過程中，因產(chǎn)品性能及工藝條件限制而不具備加工測量特征點(diǎn)的條件，導(dǎo)致數(shù)模關(guān)系匹配坐標(biāo)系的方法不可行。因此，采用特征測量的方法實(shí)現(xiàn)移動(dòng)艙段與激光跟蹤儀的坐標(biāo)系匹配。

初始狀態(tài)下，激光跟蹤儀坐標(biāo)測量的虛擬坐標(biāo)系{L}位于系統(tǒng)默認(rèn)位置。首先，手持光學(xué)靶球在移動(dòng)艙段的內(nèi)側(cè)圓柱面上輕輕滑動(dòng)，通過激光跟蹤儀采點(diǎn)測量，采點(diǎn)范圍超過內(nèi)圓柱面截面圓周長的一半，采點(diǎn)數(shù)量不少于100個(gè)；在剔除粗差點(diǎn)后，利用其余測點(diǎn)擬合出內(nèi)側(cè)圓柱面。然后，手持光學(xué)靶球在移動(dòng)艙段的對(duì)接端面光滑處采點(diǎn)不少于6個(gè)，通過激光跟蹤儀測量，同理擬合出對(duì)接端面；內(nèi)圓柱面與對(duì)接端面交線中心點(diǎn)為{D}的 原點(diǎn)Od，在CAM2 measure10中，設(shè)定{L}原 點(diǎn)Ol與Od重合。最后，通過測量移動(dòng)艙段的定位孔坐標(biāo)，定義Od與定位孔連線矢量為{D}的z軸，定義對(duì)接端面法矢量方向?yàn)閧D}的x軸，并設(shè)定{L}的x、y、z軸 方向與{D}對(duì)應(yīng)各方向重合。

利用激光跟蹤儀測量移動(dòng)艙段上的關(guān)鍵特征，構(gòu)造并擬合{D}系 各坐標(biāo)軸矢量后，間接建立了{(lán)L}與{D}的換算關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了坐標(biāo)系匹配。其優(yōu)點(diǎn)和便捷性在于：簡化了后續(xù)相對(duì)位姿測量任務(wù)對(duì)所測量坐標(biāo)的坐標(biāo)系換算，提升了運(yùn)算效率。換言之，兩坐標(biāo)系經(jīng)特征測量方法實(shí)現(xiàn)關(guān)系匹配后，利用激光跟蹤儀測量的任一點(diǎn)坐標(biāo)也表示該點(diǎn)在移動(dòng)艙段坐標(biāo)系下的局部坐標(biāo)。

3.2 移動(dòng)艙段與動(dòng)平臺(tái)的相對(duì)位姿測量

移動(dòng)艙段與動(dòng)平臺(tái)相對(duì)位姿測量的原理是采用控制變量的方式，使并聯(lián)機(jī)構(gòu)在載有移動(dòng)艙段的情況下，從起始零位處分別沿自身坐標(biāo)系各軸方向平移，構(gòu)建移動(dòng)艙段與動(dòng)平臺(tái)的相對(duì)姿態(tài)關(guān)系；使并聯(lián)機(jī)構(gòu)在載有移動(dòng)艙段的情況下從起始零位處分別繞自身坐標(biāo)系各軸方向轉(zhuǎn)動(dòng)，構(gòu)建移動(dòng)艙段與動(dòng)平臺(tái)的相對(duì)位置關(guān)系。

3.2.1 {D}與{M}的相對(duì)姿態(tài)測量

以廣義位姿矢量[MxD,MyD,MzD,MαD,MβD,MγD]T表示 {D}相對(duì)于{M}的位姿。平移矢量T=[MxD,MyD,MzD]T為Od在 {M}下的坐標(biāo)，[MαD,MβD,MγD]T為{D}旋轉(zhuǎn)變換到 {M} 的歐拉角，旋轉(zhuǎn)矩陣為DM R。

在相對(duì)姿態(tài)測量前，首先，利用第3.1節(jié)方法實(shí)現(xiàn){D}與 {L}的 匹配。然后，將擬合得到的{D}原 點(diǎn)Od定義為參考標(biāo)記點(diǎn)K，K的初始坐標(biāo)為DK=[0,0,0]T，如圖3所示。

圖3 移動(dòng)艙段坐標(biāo)系下的參考標(biāo)記點(diǎn)KFig. 3 Reference marker K in the coordinate system of movable platform

控制載有移動(dòng)艙段的并聯(lián)機(jī)構(gòu)從起始零位起，沿自身 {M} 的x軸方向平移一定距離dx，K點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)生變化，如圖4所示。

由于 {D} 與 {M} 的固連約束關(guān)系，{M}下K點(diǎn)坐標(biāo)的變化可等價(jià)為 {M} 下 的坐標(biāo)點(diǎn) [dx,0,0]T按某個(gè)歐拉角a的旋轉(zhuǎn)變換。記并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)后激光跟蹤儀測得的K點(diǎn)坐標(biāo)為D，根據(jù){D}下同一參考標(biāo)記點(diǎn)的兩種坐標(biāo)變換的表達(dá)方式得：

調(diào)整并聯(lián)機(jī)構(gòu)回零歸位后，再次控制并聯(lián)機(jī)構(gòu)沿著 {M}的y軸方向平移一定距離dy，K點(diǎn)坐標(biāo)再次變化，如圖5所示。

圖4 沿x軸平移后的K點(diǎn)坐標(biāo)變化Fig. 4 Coordinate of point K changes after translation along the x axis

圖5 沿y軸平移后K點(diǎn)坐標(biāo)變化Fig. 5 Coordinate of point K changes after translation along the y axis

{M} 下K點(diǎn)坐標(biāo)變化亦可等價(jià)為 {M}下的坐標(biāo)點(diǎn)[0,dy,0]T按某個(gè)歐拉角b的旋轉(zhuǎn)變換。記并聯(lián)機(jī)構(gòu)沿y軸運(yùn)動(dòng)后由激光跟蹤儀測得的K點(diǎn)坐標(biāo)為DKy′，則：

并聯(lián)機(jī)構(gòu)沿z軸方向運(yùn)動(dòng)dz時(shí)，K點(diǎn)坐標(biāo)變化如圖6所示。同理可得：

3.2.2 {D}與 {M}的相對(duì)位置測量

在相對(duì)位置測量中，同樣選取移動(dòng)艙段{D}系原點(diǎn)Od為參考標(biāo)記點(diǎn)，并記為k以 示區(qū)分，k點(diǎn)初始坐標(biāo)值為Dk=[0,0,0]T?？刂戚d有移動(dòng)艙段的并聯(lián)機(jī)構(gòu)從起始零位按照已知?dú)W拉角 [a1,b1,c1]T旋轉(zhuǎn)后，k點(diǎn)坐標(biāo)將發(fā)生變化，如圖7所示。

例如，機(jī)構(gòu)按照第1組歐拉角旋轉(zhuǎn)后， {M} 下的k點(diǎn)由初始坐標(biāo)Mk1=Dk+MD T變?yōu)镸k′1=R(a1,b1,c1)·(DkT)。同時(shí)，由激光跟蹤儀測得旋轉(zhuǎn)后的k點(diǎn)坐標(biāo)為D。

圖6 沿 z軸平移后K點(diǎn)坐標(biāo)變化示意圖Fig. 6 Coordinate of point K changed after translation along the z axis

圖7 按照已知?dú)W拉角旋轉(zhuǎn)后k點(diǎn)坐標(biāo)變化Fig. 7 Change of coordinates of point k after rotation according to the known Euler angle

根據(jù)同樣的步驟，利用i(i≥3)組已知的歐拉角控制并聯(lián)機(jī)構(gòu)從起始零位處進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，再利用激光跟蹤儀分別測量出每組歐拉角對(duì)應(yīng)的變化后的k點(diǎn)坐標(biāo)D。

根據(jù)同一矢量kk′在{M} 和{L}下的模量相等的原理，建立多組等式關(guān)系：

3.3 固定艙段與移動(dòng)艙段的相對(duì)位姿測量

理論上，利用激光跟蹤儀分別對(duì)固定艙段及移動(dòng)艙段進(jìn)行位姿測量，可計(jì)算兩者的相對(duì)位姿偏差。但這種方式需要測量多組關(guān)鍵特征并涉及多次擬合換算，容易造成誤差累積?？紤]到艙段對(duì)接的必要條件，即在加工精度有保證時(shí)，至少確保移動(dòng)艙段上3個(gè)銷孔與固定艙段上各對(duì)應(yīng)銷軸對(duì)齊。因此，本節(jié)基于上述3點(diǎn)定位的對(duì)接原理，通過選取并測量移動(dòng)艙段與固定艙段端面上的3組特征點(diǎn)，構(gòu)建兩者的相對(duì)位姿關(guān)系。示{F}相對(duì)于{D}的位姿。平移矢量=[DxF,DyF,DzF]T為{F}原點(diǎn)在{D}下的坐標(biāo)，[DαF,DβF,DγF]T為{F}旋轉(zhuǎn)

以廣義位姿矢量[DxF,DyF,DzF,DαF,DβF,DγF]T表變換到{D} 的 歐拉角，旋轉(zhuǎn)矩陣為。

首先，利用第3.1節(jié)的方法在艙段相對(duì)位姿測量前實(shí)現(xiàn) {D} 與 {L}的匹配；然后，在兩艙段對(duì)接端面上分別選擇3處銷孔及銷軸末端作為測量特征點(diǎn)，如圖8中的1、2、3所示。

圖8 對(duì)接端面上3組特征點(diǎn)位置分布Fig. 8 Location distribution of three groups of feature points on the end face

當(dāng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)位于起始零位時(shí)，將光學(xué)靶球緊貼移動(dòng)艙段上3個(gè)銷孔，利用激光跟蹤儀分別測量，記各特征點(diǎn)為Dpi(i=1,2,3)；然后，測量固定艙段上對(duì)應(yīng)的3個(gè)銷軸末端，記各特征點(diǎn)為Dti(i=1,2,3)。根據(jù)3點(diǎn)定位對(duì)接原理，建立{D}與 {F}的相對(duì)位姿關(guān)系：

4 相對(duì)位姿關(guān)系的等價(jià)變換及求解

受環(huán)境因素及人工操作等測量誤差影響，式（3）～（5）中包含了復(fù)雜三角函數(shù)關(guān)系，在恒等條件下難以取得解析解。因此，本節(jié)根據(jù)相對(duì)位姿關(guān)系構(gòu)造自定義標(biāo)量函數(shù)，將相對(duì)位姿求解轉(zhuǎn)換為標(biāo)量函數(shù)的無約束優(yōu)化問題，并利用單純形法求解。

4.1 移動(dòng)艙段與動(dòng)平臺(tái)相對(duì)位姿等價(jià)變換

將式（3）～（5）所描述的移動(dòng)艙段與動(dòng)平臺(tái)的相對(duì)姿態(tài)關(guān)系方程移項(xiàng)構(gòu)造成矩陣形式：

為求解使得兩矩陣具有最大相似度的相對(duì)姿態(tài)參數(shù)，本文通過構(gòu)造關(guān)于上述偏差矩陣A的標(biāo)量函數(shù)，求解使標(biāo)量函數(shù)取最小值時(shí)的相對(duì)姿態(tài)參數(shù)作為最優(yōu)解。

考慮到并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)在沿各坐標(biāo)軸方向上的運(yùn)動(dòng)誤差，將式（8）中動(dòng)平臺(tái)沿各坐標(biāo)軸方向設(shè)定的運(yùn)動(dòng)距離dx、dy、dz用參考標(biāo)記點(diǎn)K的實(shí)際運(yùn)動(dòng)距離（即動(dòng)平臺(tái)在相應(yīng)方向上運(yùn)動(dòng)前后的K點(diǎn)坐標(biāo)值之差）替代：

構(gòu)造的第1個(gè)標(biāo)量函數(shù)為式（8）所表示的3行3列矩陣A中 各元素aij的平方和：

同理，利用式（8）所描述的相對(duì)位置關(guān)系，以矢量kk′在 {M}系 和{L}系下的模長之差構(gòu)造第2個(gè)標(biāo)量函數(shù)：

4.2 艙段之間的相對(duì)位姿等價(jià)變換

將式（7）展開為方程組形式，按照兩兩相減后消去方程的常數(shù)項(xiàng)：

式（12）展開項(xiàng)為包含3個(gè)未知量的6組等式方程組，由于3組特征點(diǎn)均含有測量誤差，式（12）在實(shí)數(shù)域內(nèi)無法得到解析解。為避免求解超定方程組，將式（12）移項(xiàng)后，構(gòu)造成第3個(gè)關(guān)于歐拉角參數(shù)的標(biāo)量函數(shù)：

4.3 相對(duì)位姿參數(shù)優(yōu)化的初值確定及步驟

單純型（Nelder–Mead）法是一種通用的搜索算法，是針對(duì)多維無約束非線性優(yōu)化問題的一種數(shù)值解法，又稱為下山單純形法，其基本思想為：利用非線性模型的n個(gè)待估參數(shù)，以n+1個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)多胞體，通過比較所有頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值來判斷極值點(diǎn)的搜索方向，再利用一定的換點(diǎn)原則進(jìn)行迭代，使單純形向最優(yōu)解區(qū)域逼近。因此，單純型法是一種從試驗(yàn)角度來尋找函數(shù)最優(yōu)解的實(shí)用方法。

在利用單純形法優(yōu)化標(biāo)量函數(shù)極值時(shí)，初值對(duì)優(yōu)化結(jié)果影響較大，當(dāng)初值選擇不當(dāng)時(shí)，單純型法難以獲得滿意的解。

1）在利用單純形法求解式（10）和（11）的標(biāo)量函數(shù)f1和f2極小值時(shí)，需要用到{D} 與{M}的相對(duì)位姿初值。

試驗(yàn)過程中，利用卷尺測量的移動(dòng)艙段中心附近到動(dòng)平臺(tái)幾何中心點(diǎn)附近在水平徑向、水平橫向及垂直方向的距離作為相對(duì)位置的迭代初值。吊裝時(shí)會(huì)粗調(diào)移動(dòng)艙段姿態(tài)，使其不在某個(gè)方向明顯傾斜，因此相對(duì)姿態(tài)角的迭代初值為[ 0,0,0]T。

2）在求解{F}與 {D}的相對(duì)位姿時(shí)，將相對(duì)姿態(tài)角的迭代初值取 [0,0,0]T。然后，用單純型法求得使式（11）中標(biāo)量函數(shù)取極小值時(shí)的最佳姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣。

合理選擇初值后，可利用單純型法求得使各標(biāo)量函數(shù)取最小值時(shí)的最佳相對(duì)位姿。單純型法優(yōu)化標(biāo)量函數(shù)的主要步驟為：

步驟1：排序。按照函數(shù)值的大小，將單純形中的點(diǎn)從最低f(x1) 到最高f(xn+1) 排序。其中，xi(i=1,2,···,n+1)表示當(dāng)前單純形中的點(diǎn)列表，也表示未知位姿向量。

步 驟3：擴(kuò) 展。如 果f(xr)

步驟4：收縮。如果f(xr)≥f(xn)， 在xˉ與xr和xn+1之間的更優(yōu)者之間執(zhí)行收縮：

a）外縮。如果f(xr)

b）內(nèi)縮。如果f(xr)≥f(xn+1)， 計(jì)算xci=xˉ+(xn+1?xˉ)/2，并計(jì)算函數(shù)值f(xci)。 如果f(xci)

步驟5：整體收縮。按照vi=x1+(xi?x1)/2計(jì)算剩余n個(gè)點(diǎn)及函數(shù)值f(vi)，下一個(gè)單純形中，迭代的點(diǎn)為x1,v2,···,vn+1。

按照以上步驟將求得的DFR代入式（7），以取平均值的方法求解最佳位置矢量：

{F}相 對(duì)于{D}的平均最佳位置矢量：

5 并聯(lián)機(jī)構(gòu)目標(biāo)位姿的換算方法

根據(jù)求得的相對(duì)位姿參數(shù)，采用位姿傳遞轉(zhuǎn)換法計(jì)算并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)艙段對(duì)接時(shí)運(yùn)動(dòng)到的目標(biāo)位姿。

根據(jù)圖1簡化出各坐標(biāo)系間的傳遞換算關(guān)系，如圖9所示。描述固定艙段位姿的{F}系決定了與之實(shí)現(xiàn)對(duì)接匹配的移動(dòng)艙段目標(biāo)位姿 {D′} 的位姿，{D}與目標(biāo)位姿 {D′} 之 間的相對(duì)位姿偏差由 {M}按照一定的調(diào)姿量運(yùn)動(dòng)，并在接近目標(biāo)位姿{(lán)M′}的過程中逐漸消除。動(dòng)平臺(tái)初始零位坐標(biāo)為 [0,0,0,0,0,0]T，因此，該調(diào)姿量大小等于并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)調(diào)姿運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)位姿。

圖9 艙段對(duì)接中各坐標(biāo)系傳遞換算關(guān)系Fig. 9 Transfer conversion relation of each coordinate system in cabin docking problem

根據(jù)移動(dòng)艙段與動(dòng)平臺(tái)的固連約束關(guān)系，{D}與{M} 的相對(duì)位姿量等價(jià)于{F} 與 {M′}的相對(duì)位姿量。{F}下任一點(diǎn)坐標(biāo)可按照?qǐng)D9所示的兩種方式統(tǒng)一換算到{M} 下 ，并由此建立出求解{M′}的等式關(guān)系。

設(shè){F}下任意一參考點(diǎn)p的坐標(biāo)為：

根據(jù)所求的{F}到 {D} 的位姿關(guān)系 [DF R,DFT]，將點(diǎn)p變換到{D}下的坐標(biāo)為：

根據(jù)所求{D}到 {M} 的位姿關(guān)系[R,T]，將點(diǎn)p變換到{M}下的坐標(biāo)為：

移動(dòng)艙段和動(dòng)平臺(tái)同時(shí)到達(dá)各自目標(biāo)位姿時(shí)，固連約束確保兩者之間的相對(duì)位姿不變，因此：

此時(shí)，{F}下 的參考點(diǎn)p在動(dòng)平臺(tái)到達(dá){M′}時(shí)，在{M′}下的坐標(biāo)為：

將式（19）中的等價(jià)關(guān)系代入式（20）得：

聯(lián)立式（17）和（18），得到{F}下 的點(diǎn)p經(jīng){D}換算到{M}下的坐標(biāo)為：

聯(lián)立式（21）和（22），得到{F}下 的p點(diǎn)經(jīng){M′}換算到{M}下的坐標(biāo)為：

聯(lián)立式（23）和（24），得到動(dòng)平臺(tái)由 {M}運(yùn)動(dòng)到{M′}時(shí)的姿態(tài)及位置調(diào)整量分別為：

最后，根據(jù)式（2）可反解出實(shí)現(xiàn) {M}姿態(tài)調(diào)整的歐拉角角度。

6 位姿測量及換算方法的試驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證上述方法的有效性及計(jì)算結(jié)果的正確性，搭建了如圖10所示的艙段對(duì)接模擬試驗(yàn)場景。其中，固定艙段安裝在梯形支架上，移動(dòng)艙段借助簡易支架與并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)固連。試驗(yàn)前，兩艙段的端面最大間距未超過并聯(lián)機(jī)構(gòu)沿軸向的有效行程。將激光跟蹤儀調(diào)整到距離兩艙段對(duì)接端面的對(duì)稱面約2 m的位置處固定。

圖10 艙段對(duì)接模擬試驗(yàn)實(shí)物場景Fig. 10 Physical scene of cabin docking simulation

根據(jù)第3.2節(jié)所描述的位姿測量方法：在測量移動(dòng)艙段與動(dòng)平臺(tái)相對(duì)姿態(tài)時(shí)，根據(jù)預(yù)先設(shè)定的位移量，控制動(dòng)平臺(tái)每次從初始零位分別沿x、y、z軸方向平移100 mm，激光跟蹤儀測得平移后的參考標(biāo)記點(diǎn)K坐標(biāo)如表1所示。

在測量移動(dòng)艙段與動(dòng)平臺(tái)的相對(duì)位置時(shí)，根據(jù)預(yù)先設(shè)定的歐拉角，控制并聯(lián)機(jī)構(gòu)從初始零位分別進(jìn)行了6次旋轉(zhuǎn)，激光跟蹤儀測得旋轉(zhuǎn)后參考標(biāo)記點(diǎn)k的坐標(biāo)如表2所示。

表1 3次平移的參考標(biāo)記點(diǎn)K坐標(biāo)測量值Tab. 1 Measurement coordinate values of reference marker K for three times translations

表2 6次旋轉(zhuǎn)的參考標(biāo)記點(diǎn)k坐標(biāo)測量值Tab. 2 Measurement coordinate values of reference marker k for six times rotations

在兩艙段相對(duì)位姿測量過程中，根據(jù)第3.3節(jié)的測量方法，利用激光跟蹤儀測得圖8中的3組特征點(diǎn)坐標(biāo)，如表3所示。

表3 對(duì)接前參考特征點(diǎn)及目標(biāo)特征點(diǎn)坐標(biāo)值Tab. 3 Coordinate values of reference feature points and target feature points before docking

利用第4.3節(jié)方法擬合得到移動(dòng)艙段與動(dòng)平臺(tái)的相對(duì)位置及姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣分別為：

利用第4.3節(jié)方法擬合得到固定艙段與移動(dòng)艙段的相對(duì)位置及姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣分別為：

根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，利用第5節(jié)的位姿傳遞轉(zhuǎn)換法，求出動(dòng)平臺(tái)目標(biāo)位姿相對(duì)初始位姿的旋轉(zhuǎn)矩陣為：

利用式（2）求得動(dòng)平臺(tái)需要調(diào)整的姿態(tài)角為[2.45?,?2.19?,?0.29?]T。

對(duì)接前，將固定艙段調(diào)整在任意位置處，在運(yùn)動(dòng)控制程序中輸入動(dòng)平臺(tái)調(diào)姿量[101.34,?67.93,?119.84,2.45?,?2.19?,?0.29?]T，驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)對(duì)移動(dòng)艙段調(diào)姿，與固定艙段實(shí)現(xiàn)對(duì)接。對(duì)接前、后的結(jié)果如圖11所示。

圖11 艙段對(duì)接前與對(duì)接后的場景Fig. 11 Scene before and after cabin docking

對(duì)接試驗(yàn)結(jié)果顯示，兩艙段對(duì)接端面對(duì)正，且移動(dòng)艙段上各銷孔與固定艙段上各銷軸基本對(duì)齊，定位銷部分倒角已略微進(jìn)入定位孔中。

模型艙段的加工精度較低，現(xiàn)場又缺乏同軸度的測量儀器，為了在一定程度上量化對(duì)接效果，利用激光跟蹤儀再次測量了圖8所示3組特征點(diǎn)坐標(biāo)，如表4所示。

表4 對(duì)接后參考特征點(diǎn)及目標(biāo)特征點(diǎn)坐標(biāo)值Tab. 4 Coordinate values of reference feature points and target feature points after docking

表3和4分別為兩艙段在對(duì)接前、后的兩艙段端面上3組特征點(diǎn)的坐標(biāo)值，以3組特征點(diǎn)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)值之差的絕對(duì)值表示艙段對(duì)接前后各特征點(diǎn)在各坐標(biāo)軸方向的絕對(duì)偏差，如圖12、13所示。

圖12與13結(jié)果對(duì)比顯示，3組特征點(diǎn)坐標(biāo)值絕對(duì)偏差在艙段對(duì)接后較對(duì)接前已大幅減小，符合對(duì)接的實(shí)際情況。艙段對(duì)接后，3組特征點(diǎn)在x方向絕對(duì)偏差均值為2.673 mm，與各銷軸倒角略微插入銷孔的試驗(yàn)結(jié)果較吻合；3組特征點(diǎn)在y、z方向絕對(duì)偏差均值分別為0.120、0.163 mm，與中各銷孔與銷軸基本對(duì)齊的試驗(yàn)結(jié)果較吻合；該結(jié)果在一定程度上表明所提出的測量方法能夠滿足模擬對(duì)接試驗(yàn)的精度要求。

圖12 艙段對(duì)接前的3組特征點(diǎn)絕對(duì)坐標(biāo)偏差Fig. 12 Absolute coordinate deviation s of three groups feature points before cabin docking

圖13 艙段對(duì)接后的三組特征點(diǎn)絕對(duì)坐標(biāo)偏差Fig. 13 Absolute coordinate deviation s of three groups feature points after cabin docking

7 結(jié) 論

提出的位姿測量及換算方法以特征測量為基礎(chǔ)，在不更改產(chǎn)品現(xiàn)有工藝、不借助3維模型等前提下，滿足了基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的艙段自動(dòng)對(duì)接任務(wù)需求。

利用本文的方法成功實(shí)現(xiàn)了艙段模擬對(duì)接，試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了所提出方法的有效性與計(jì)算結(jié)果的正確性，并表明該方法能夠滿足艙段對(duì)接的精度需求。

未來將完善評(píng)價(jià)方法，更加科學(xué)地評(píng)價(jià)測量精度與對(duì)接效果，同時(shí)優(yōu)化所提出方法的測量流程，進(jìn)一步提高測量效率。