抽降水引發(fā)的弱透水層非線性固結(jié)解析解

李傳勛，江留慧

(江蘇大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

隨著經(jīng)濟(jì)發(fā)展及城市化進(jìn)程的加快，人類對地下水資源的需求日趨增長，其后果是由大規(guī)模抽取地下水引發(fā)的地面沉降問題日益嚴(yán)重[1–3]。大范圍地面沉降給人類生活和生產(chǎn)環(huán)境、生命財(cái)產(chǎn)等造成危害，并嚴(yán)重制約社會和經(jīng)濟(jì)的可持續(xù)發(fā)展。因此，深入研究由抽取地下水引發(fā)的地面沉降問題具有重要的理論和實(shí)際意義。

計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展極大地促進(jìn)了Biot固結(jié)理論在抽降水引發(fā)地面沉降研究中的應(yīng)用。Lewis等[4]最早建立基于Biot耦合固結(jié)理論的有限元模型,并分析了威尼斯地面沉降問題。Bear等[5]也基于Biot固結(jié)理論建立含水層抽水引起的地面沉降計(jì)算模型，分析了降水引起的區(qū)域地面沉降問題。Teatini等[6]利用基于Biot固結(jié)理論建立的3維有限元模型，分析了Emilia–Romagna地區(qū)的地面沉降問題。陳杰等[7]運(yùn)用2維Biot固結(jié)平面有限元程序計(jì)算因超采地下水而引起的地面沉降問題。駱祖江等[8]以Biot固結(jié)理論為基礎(chǔ)，考慮土體的非線性壓縮及滲透特性，建立了淺層地下水開采與地面沉降的3維全耦合模型。由此可見，地下水位變化引起的地面沉降采用Biot 3維固結(jié)理論建立的完全耦合模型計(jì)算已相對完善。但也需注意到Biot 3維固結(jié)理論必須借助于相對復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算，模型較復(fù)雜、參數(shù)較多導(dǎo)致數(shù)值計(jì)算不僅耗時(shí)，而且計(jì)算結(jié)果往往因人而異，很難在實(shí)際工程中得到推廣應(yīng)用。

事實(shí)上，抽水引起的場地地面沉降范圍與發(fā)生主要沉降變形的土層厚度相比往往大幾倍、幾十倍之多，此時(shí)采用1維固結(jié)理論計(jì)算弱透水層沉降是完全適用的。鑒于此，不少學(xué)者考慮土體壓縮性和滲透性參數(shù)與孔隙比的關(guān)系，建立了3維地下水滲流和1維固結(jié)理論組合的部分耦合模型，對降水引起的地面沉降進(jìn)行數(shù)值模擬[9–11]，但仍不可避免數(shù)值計(jì)算的局限性。

解析解能簡捷地預(yù)測地面沉降的時(shí)空發(fā)展規(guī)律，便于工程應(yīng)用。故學(xué)者們相繼開展了由抽降水引發(fā)的地面沉降相關(guān)解析解的研究。如：基于太沙基1維固結(jié)理論，駱冠勇等[12]推導(dǎo)了承壓水大面積減壓引起的上覆弱透水層1維線性固結(jié)解析解。謝康和等[13]獲得了越流系統(tǒng)中承壓層水位大面積瞬時(shí)下降引發(fā)的弱透水層的1維固結(jié)解析解。謝海瀾等[14]考慮土體固結(jié)過程中的非達(dá)西滲流特性，給出了承壓層水位瞬時(shí)下降的弱透水層固結(jié)半解析解。張瑋鵬等[15]考慮土中滲流存在的起始比降，推導(dǎo)了承壓層水位瞬時(shí)下降引發(fā)的弱透水層固結(jié)解析解。夏長青[16]考慮土體成層性，推導(dǎo)了潛水層和承壓層水位隨時(shí)間線性下降情況下成層軟土固結(jié)解析解。晏凌晗[17]考慮土體流變特性，推導(dǎo)了潛水層水位瞬時(shí)下降引發(fā)的弱透水層1維流變固結(jié)解析解。上述研究雖然考慮了軟黏土的成層性、流變性、非達(dá)西滲流特性等，但均假定土體在固結(jié)過程中其滲透系數(shù)和壓縮系數(shù)保持不變，而實(shí)際土體在固結(jié)過程中土體滲透系數(shù)和壓縮系數(shù)隨有效應(yīng)力增加而不斷變化。

Li[18]基于非線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系推導(dǎo)了越流系統(tǒng)中，水位波動(dòng)變化時(shí)，軟土層1維非線性固結(jié)解析解，但其未能考慮土體滲透性的變化。張?jiān)频萚19]考慮了土體的非線性變形及滲透特性，建立了以有效應(yīng)力為變量的1維非線性地面沉降模型，用半解析法進(jìn)行了求解。黃大中[20]在壓縮系數(shù)與滲透系數(shù)同比例減小（即固結(jié)系數(shù)保持不變）的假定下得到了潛水層和承壓層水位隨時(shí)間大面積線性下降時(shí)的1維非線性固結(jié)解析解。但實(shí)際上土體在固結(jié)過程中壓縮系數(shù)與滲透系數(shù)的變化往往并不成比例。目前，對由抽降水引發(fā)的、能反映土體非線性固結(jié)特性的弱透水層非線性固結(jié)解析解的研究仍較缺乏。

綜上所述，十分有必要深入開展抽降水條件下，考慮土體非線性壓縮和滲透特性的固結(jié)理論研究，尤其是更適合工程技術(shù)人員使用的、形式簡單的非線性固結(jié)解析解。本文引入土體經(jīng)典的e–lg σ′和e–lgkv非線性關(guān)系描述土體的壓縮和滲透特性，建立潛水層大面積抽水引發(fā)的下臥弱透水層的非線性固結(jié)模型，并獲得其近似解析解。該解答不僅進(jìn)一步完善了非線性固結(jié)理論體系，而且其簡單易用，便于在實(shí)際工程中推廣應(yīng)用。

1 問題描述及固結(jié)控制方程建立

1.1 問題描述

圖1為潛水層水位下降引發(fā)的弱透水層1維固結(jié)示意圖。如圖1所示：z為以弱透水層頂面為坐標(biāo)原點(diǎn)、向下為正的豎向坐標(biāo)系，弱透水層厚度為H，底面不透水；假定弱透水層土體初始有效應(yīng)力沿深度保持不變，其值等于自重應(yīng)力沿深度的加權(quán)平均值，將其記為σ′0；潛水層發(fā)生大面積抽水（降水），h0為t=0時(shí)刻初始變化水位，最終水位下降值為hc；潛水層水位下降引起弱透水層頂面處總應(yīng)力和孔壓均減小，但孔隙水壓力減小更明顯，故引發(fā)弱透水層中土體有效應(yīng)力進(jìn)一步增大，進(jìn)而引發(fā)弱透水土層的固結(jié)沉降變形。

圖1 潛水層水位下降引發(fā)的弱透水層1維固結(jié)示意圖Fig. 1 Schematic diagram of one-dimensional consolidation of aquitard caused by the dropping of groundwater table in phreatic aquifer

圖2為潛水層中水位變化h(t)與時(shí)間t的關(guān)系曲線。特殊的水位瞬時(shí)下降和單級等速下降模式如虛線所示。

圖2 水位下降量與時(shí)間的關(guān)系Fig. 2 Relationship between the dropping of groundwater table and time

水位瞬時(shí)下降其表達(dá)式為：

水位單級等速下降時(shí)表達(dá)式為：

式中，tc為水位下降歷時(shí)。

1.2 固結(jié)相關(guān)土工參數(shù)的推導(dǎo)

引入經(jīng)典的e–lg σ′和e–lgkv關(guān)系描述土體固結(jié)過程中的非線性壓縮與滲透特性：

式中，Cc、Ck分別為壓縮指數(shù)和滲透指數(shù)，e為孔隙比，e0為初始孔隙比，σ′為土層豎向有效應(yīng)力，kv為土體的滲透參數(shù)，和kv0分別為e–lg σ′和e–lgkv曲線上相對應(yīng)于e0的土體初始有效應(yīng)力和初始豎向滲透系數(shù)。

對式（3）求導(dǎo)，可得土體體積壓縮系數(shù)mv為：

式（4）減式（3），可得土體滲透系數(shù)kv為：

進(jìn)而根據(jù)土體固結(jié)系數(shù)Cv定義得到：

1.3 固結(jié)控制方程及求解條件

飽和土體1維非線性固結(jié)普遍連續(xù)方程為：

式中，u為超靜孔隙水壓力。

將式（3）對t求偏導(dǎo)可得：

根據(jù)有效應(yīng)力原理，土體有效應(yīng)力表達(dá)為：

式中，q(t)為外界因素改變引起的總應(yīng)力增量。

將式（7）、（9）和（10）代入式（8）可得1維非線性固結(jié)控制方程為：

潛水層水位下降，計(jì)算弱透水層頂面處總應(yīng)力時(shí)，水位下降區(qū)域內(nèi)土體重度由飽和重度降為自然重度，導(dǎo)致作用在弱透水層頂面處總應(yīng)力降低，t時(shí)刻總應(yīng)力增量q為：

式中，γ為降水后潛水層中砂土的天然重度，γsat為潛水層中土的飽和重度。

弱透水層頂面處水頭變化與潛水層水位變化一致，土層的邊界條件表達(dá)為：

其初始條件表達(dá)為：

黃大中[20]在Cc/Ck=1（固結(jié)系數(shù)在固結(jié)過程中保持不變）下，獲得該模型解析解。目前，關(guān)于Cc/Ck≠1時(shí)，潛水層水位下降引發(fā)的弱透水層1維非線性固結(jié)解析解研究甚少，本文將對此問題展開探究。

2 固結(jié)模型的近似解析解

2.1 變量代換后的控制方程及求解條件

式中，p0=γwh0。

2.2 超靜孔隙水壓力解答

根據(jù)控制方程及邊界條件形式，假定滿足控制方程和邊界條件的解的形式為：

式中：M=(2m–1)π/2，m=1，2，3，…；βm、Bm、Cm為待定參數(shù)；Tm(t)為時(shí)間t的函數(shù)，由R(t)確定。

式中，τ為積分變量。

進(jìn)而可得超靜孔隙水壓力的普遍解答為：

在式（23）基礎(chǔ)上，可求得土層按孔壓定義的平均固結(jié)度Up為：

t時(shí)刻土層發(fā)生的沉降變形值St為：

土層的最終沉降變形值S∞為：

進(jìn)而得到按變形定義的土層平均固結(jié)度Us為：

3 特殊降水模式下的解答

應(yīng)用以上變量，邊界條件和初始條件分別轉(zhuǎn)化為：

3.1 水位瞬時(shí)下降模式

圖2中虛水平線代表t>0時(shí)，潛水層水位發(fā)生瞬時(shí)下降，水位下降深度為hc。可得該降水模式下總應(yīng)力

增量和求解條件分別為：

將式（29）代入待定參數(shù)Bm和式（22），可解得：

將Bm、Cm、βm代入式（23）得到弱透水層中超靜孔隙水壓力為：

式中，Tv=Cv0t/H2。

3.2 水位單級等速下降模式

如圖2中虛斜線所示，當(dāng)t≤tc時(shí)，潛水層水位發(fā)生等速下降，t>tc時(shí)水位下降值恒定為hc?？傻迷摻邓绞较驴倯?yīng)力增量和求解條件分別為：

同理，可求得超靜孔壓表達(dá)式為：

式中，Tvc=Cv0tc/H2。

3.3 Cc/Ck→1條件下超靜孔壓解的退化

在Cc/Ck→1的條件下，水位單級等速下降時(shí)的超靜孔壓解可退化為文獻(xiàn)[20]中相同條件下Cc/Ck=1時(shí)解的形式。超靜孔壓解u的退化過程為：

4 工程實(shí)例對比

為驗(yàn)證本文解答的正確性，將其與某工程降水引發(fā)的地面沉降觀測結(jié)果、分層總和法計(jì)算結(jié)果及數(shù)值模擬結(jié)果[22]進(jìn)行對比。

簡化文獻(xiàn)[22]中第五章表5–2和圖5–22所示工程實(shí)例土層信息，將雜填土、粉土、黏土、粉砂和細(xì)砂土層視為土質(zhì)均一的潛水層，天然重度取各土層天然重度的厚度加權(quán)平均值為19.637 kN/m3，這種簡化對于弱透水層的沉降計(jì)算無影響。初始水位為5.5 m；隔水層粉質(zhì)黏土視為弱透水層，弱透水層底面不透水；土層性質(zhì)詳見表1，降水引起的有效應(yīng)力增量如表2所示。在距離基坑5.2 m處，水位下降6.4 m，忽略潛水層水位下降區(qū)域內(nèi)飽和土體重度變化，根據(jù)表2和式（26）可分別計(jì)算潛水層和弱透水層沉降量。

將計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[22]對比，如表3所示?？梢钥闯?，本文解與分層總和法計(jì)算結(jié)果相比較更趨近于實(shí)測沉降值，可能原因主要體現(xiàn)兩個(gè)方面：其一，本文認(rèn)為水位下降區(qū)域最終有效應(yīng)力增加值呈線性分布，其更能體現(xiàn)土體中的真實(shí)受力特性，故本文相較于分層總和法中有效應(yīng)力保持恒值，更能體現(xiàn)土體的真實(shí)狀況；其二，本文解弱透水層沉降計(jì)算考慮了土體壓縮性與初始有效應(yīng)力間的非線性關(guān)系。本文計(jì)算的沉降充分考慮土層中的實(shí)際有效應(yīng)力，其結(jié)果更能反映土體的真實(shí)性狀。從計(jì)算的總沉降量與實(shí)測結(jié)果對比說明了本文的弱透水層沉降計(jì)算解答是合理有效的。

表1 土性參數(shù)Tab. 1 Parameters of soil characteristic

表2 有效應(yīng)力增量計(jì)算Tab. 2 Calculation of effective stress increment

表3 不同計(jì)算方法下沉降量對比Tab. 3 Comparison of settlement results with different calculation methods

5 算例及固結(jié)性狀分析

某越流系統(tǒng)，砂土層飽和重度γsat=20 kN/m3，自然重度γ=18 kN/m3，水的重度按γw=10 kN/m3，弱透水層土層厚度H=10 m，頂面透水，底面不透水，弱透水層自重應(yīng)力的平均值50 kPa。依據(jù)鄭剛等[23]反演得到的弱透水層土性參數(shù)計(jì)算表，取弱透水層壓縮指數(shù)Cc=0.02，土體初始孔隙比e0=0.7，與初始孔隙比e0相對應(yīng)的滲透系數(shù)kv0=4×10–9m/s。Tv<0.05時(shí)潛水層水位等速下降，而后水位下降值恒定為hc=5 m。

基于上述算例，利用本文解分別計(jì)算繪制在不同Cc/Ck值、水位下降速率Tvc、水位下降終值hc及砂土層自然重度γ下，弱透水層固結(jié)沉降曲線，分析潛水層水位單級等速下降時(shí)弱透水層的1維非線性固結(jié)性狀。

5.1 Cc/Ck對固結(jié)性狀的影響

圖3為不同Cc/Ck下，弱透水層平均固結(jié)度與時(shí)間因子的關(guān)系曲線。圖4和5分別為改變Cc和Ck值時(shí)弱透水層沉降量與時(shí)間因子的關(guān)系曲線。如圖3～5所示：Cc/Ck越大，相同時(shí)間因子下弱透水層的平均固結(jié)度越小，即固結(jié)速率隨Cc/Ck增大而減慢；當(dāng)Ck值保持不變時(shí)，Cc值越大，Cc/Ck越大，雖然此時(shí)固結(jié)速率會減慢，但相同時(shí)間因子下弱透水層的沉降量及最終沉降量仍隨Cc/Ck增大而變大；當(dāng)Cc值保持不變時(shí)，Ck值越小，Cc/Ck越大，固結(jié)完成前，相同時(shí)間因子下土層沉降量越小，但固結(jié)完成時(shí)的最終沉降量相同。該固結(jié)性狀可由固結(jié)系數(shù)表達(dá)式（7）和沉降表達(dá)式（25）得到解釋：Cc/Ck越大，固結(jié)系數(shù)越小，固結(jié)速率減慢，最終沉降量與Cc值成正比，與Ck值無關(guān)；Cc值越大，Cc/Ck越大，固結(jié)速率減慢，但相同時(shí)間因子下沉降量越大；當(dāng)其他參數(shù)一定時(shí)，增大Ck，固結(jié)速率及沉降速率加快，但不改變沉降量終值。

圖3 Cc/Ck對平均固結(jié)度Up曲線的影響Fig. 3 Influence of Cc/Ck on the curves of average consolidation degree Up

圖4 Cc值對沉降曲線的影響Fig. 4 Influence of Cc on settlement curves

圖5 Ck值對沉降曲線的影響Fig. 5 Influence of Ck on settlement curves

5.2 水位下降速率對固結(jié)性狀的影響

圖6為水位下降速率與沉降量的關(guān)系曲線。由圖6可知：隨著Tvc增大（水位下降速率減慢），同一時(shí)間因子下沉降量隨之減小，但最終沉降量相同；在水位下降歷時(shí)發(fā)生改變而其他參數(shù)不變的條件下，水位瞬時(shí)下降時(shí)弱透水層沉降速率最快。該固結(jié)性狀可由沉降量表達(dá)式（25）解釋，水位下降越快，在相同時(shí)間因子下，弱透水層有效應(yīng)力越大，相應(yīng)的沉降量越大。

圖6 水位下降速率對沉降曲線的影響Fig. 6 Influence of the dropping rate of groundwater table on settlement curves

5.3 不同Cc/Ck下水位下降終值對固結(jié)性狀的影響

圖7、8分別為不同水位下降終值時(shí)，σ′/σ′0沿深度分布和沉降量隨時(shí)間變化曲線。由圖7～8可得：相同Cc/Ck和同一深度處的有效應(yīng)力σ′隨hc增大而增大；hc越小，Cc/Ck值對有效應(yīng)力σ′的影響越小。相同Cc/Ck和時(shí)間因子下，hc越大，沉降量越大；相同hc和時(shí)間因子下，Ck越大，Cc/Ck越小，沉降量越小，但最終沉降量相同；Cc/Ck對沉降曲線影響隨hc減小而減弱，且hc=1不同，Cc/Ck下沉降曲線幾乎重合，甚至可忽略。由式（7）和（25）可知，Cc/Ck越小，固結(jié)系數(shù)越大，固結(jié)速率跟沉降速率越快；hc越大，相同時(shí)間因子下，有效應(yīng)力越大，相應(yīng)的沉降量越大；hc越小，σ′/σ′0越趨近于1，Cc/Ck對固結(jié)速率的影響越小，同時(shí)Ck不影響沉降量終值，故而出現(xiàn)上述性狀。

圖7 Cc/Ck下水位下降終值對σ′/σ′0沿深度分布的影響Fig. 7 Influence of the final dropping values of groundwater table on distribution of σ ′/σ′0 along depth with different Cc/Ck

圖8 Cc/Ck下水位下降終值對沉降曲線的影響Fig. 8 Influence of the final dropping values of groundwater table on settlement curves with different Cc/Ck

5.4 砂土層自然重度γ對固結(jié)速率的影響

圖9、10分別為不同砂土自然重度γ下，弱透水層超靜孔壓隨時(shí)間和深度變化曲線。

圖9 砂土層自然重度γ對超靜孔壓消散的影響Fig. 9 Influence of specific density of sand layer on dissipation of excess pore pressure

圖 10 砂土層自然重度對超靜孔壓沿深度分布的影響Fig. 10 Influence of specific density of sand layer on distribution of excess pore pressure with depth

從圖9和10可發(fā)現(xiàn)：相同深度處的超靜孔隙水壓力隨γ增大而增大，說明孔壓消散速率隨γ增大而減慢；相同條件下，相較于Cc/Ck>1，Cc/Ck<1時(shí)，對應(yīng)的超靜孔壓值更小，即Cc/Ck越小，孔壓消散速率越快。

圖11、12分別為不同砂土層自然重度γ下，Cv/Cv0沿深度分布曲線和沉降量隨時(shí)間因子變化曲線。由式（7）和式（25）可知：Cc/Ck<1時(shí)，砂土層自然重度γ越大，相同時(shí)間因子下有效應(yīng)力σ′越大，固結(jié)系數(shù)越大，固結(jié)速率越快，相應(yīng)的沉降量越大；Cc/Ck>1時(shí)，砂土層自然重度γ越大，相同時(shí)間因子下有效應(yīng)力σ′越大，固結(jié)系數(shù)越小，固結(jié)速率越慢，但相應(yīng)的沉降量越大；γ越大，Nq越大，最終沉降量越大。

圖11 砂土層自然重度對Cv/Cv0沿深度分布的影響Fig. 11 Influence of specific density of sand layer on distribution of Cv/Cv0 with depth

圖12 砂土層自然重度γ對沉降曲線的影響Fig. 12 Influence of specific density of sand layer on settlement curves

6 結(jié) 論

1）基于弱透水層初始有效應(yīng)力沿深度均勻分布的假定，推導(dǎo)了考慮土體非線性壓縮和滲透特性的由潛水層水位隨時(shí)間大面積均勻下降引發(fā)的弱透水層1維非線性固結(jié)近似解析解，且當(dāng)Cc/Ck→1時(shí)，超靜孔壓解可退化為相同模型下Cc/Ck=1時(shí)的現(xiàn)有解。

2）Cc/Ck越大，弱透水層固結(jié)速率越緩慢。Ck不變時(shí)，Cc值越大，固結(jié)速率越慢，但沉降速率越快；Cc不變時(shí)，Ck越小，固結(jié)速率越慢，固結(jié)過程中沉降速率越慢，但不影響最終沉降量。

3）水位下降越快，沉降速率越快，但最終沉降量相同。

4）水位下降終值hc越大，沉降速率越快，Cc/Ck對固結(jié)速率的影響越顯著。

5）Cc/Ck<1時(shí)，砂土層自然重度γ越大，相同時(shí)間因子下固結(jié)系數(shù)越大，固結(jié)速率越快，相應(yīng)的沉降量越大。Cc/Ck>1時(shí)，砂土層自然重度γ越大，相同時(shí)間因子下固結(jié)系數(shù)越小，固結(jié)速率越慢，相應(yīng)的沉降量越大。