沖擊荷載下紅砂巖非線性黏彈性損傷本構(gòu)研究*

趙 濤 王 磊 蘇宏明 陳世官 秦 越

(西安科技大學(xué)建筑與土木工程學(xué)院， 西安 710054， 中國)

0 引 言

我國西部白堊系地層多為富水砂巖，因其成巖相對較晚而表現(xiàn)出膠結(jié)弱、強度低、孔隙率大等力學(xué)性質(zhì)(王渭明等， 2011； Wang et al.，2017； 孫利輝等， 2019)。人工凍結(jié)工程和寒區(qū)基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)過程中，爆破應(yīng)力波對此類巖石造成的損傷破壞(伍法權(quán)， 2011； 閆長斌， 2017； 謝小帥等， 2019)，可利用室內(nèi)SHPB沖擊試驗進(jìn)行模擬研究，而建立合適的動態(tài)本構(gòu)模型，是研究此類巖石動力學(xué)特性的關(guān)鍵，也為工程實際中的邊坡、節(jié)理巖體、地基等在動力荷載下的穩(wěn)定性分析提供參考與依據(jù)(蘭恒星等， 2019； 周家文等， 2019)。

目前，有關(guān)巖石類材料動態(tài)本構(gòu)關(guān)系的研究已取得了較多的成果，趙光明等(2013)、謝理想等(2013a，2013b)根據(jù)軟巖及混凝土材料在動載下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線特點，采用損傷體代替朱王唐模型中的彈性元件，建立了一種損傷型黏彈性動態(tài)本構(gòu)模型方程； 付玉凱等(2013)、解北京等(2019)運用彈塑性理論，結(jié)合煤、巖本構(gòu)的研究成果和層疊模型原理，并充分考慮了組合煤巖體在動態(tài)破壞過程中的應(yīng)變率相關(guān)性和損傷特性，構(gòu)建了7參數(shù)組合煤巖層疊本構(gòu)模型； 翟越等(2011)針對巖石類材料的動態(tài)力學(xué)特性，基于損傷演化和元件模型理論，建立考慮損傷的黏彈塑性動態(tài)本構(gòu)模型，并推導(dǎo)出本構(gòu)方程的微分表達(dá)式； 劉紅巖等(2014)采用考慮巖石細(xì)觀損傷的非線性元件、節(jié)理面閉合及剪切變形元件等3個基本元件的串聯(lián)來模擬靜態(tài)應(yīng)力分量，采用黏性元件來模擬動態(tài)應(yīng)力分量，建立了貫通節(jié)理巖體動態(tài)單軸壓縮損傷本構(gòu)模型； 王恩元等(2019)基于巖石力學(xué)強度理論和統(tǒng)計損傷理論，建立了沖擊載荷下三軸煤體動態(tài)損傷本構(gòu)模型，該模型綜合考慮了軸向靜載、圍壓和沖擊載荷等因素，明確地反映了3種因素對煤體動力學(xué)特征的影響； 周永強等(2017)在彈性模量上考慮了剛度的率效應(yīng)和在D-P準(zhǔn)則上考慮了強度的率效應(yīng)，進(jìn)而提出了考慮率效應(yīng)的巖石材料次加載面動態(tài)本構(gòu)模型； 王春等(2017)基于連續(xù)因子、應(yīng)變等效原理及統(tǒng)計損傷理論定義巖石的損傷變量并推演損傷演化方程，采用組合模型法建立巖石的本構(gòu)模型； 蔡燦等(2015)提出Maxwell體、Bingham體和損傷體的并聯(lián)模型，借助拉普拉斯變換，引入基于巖石孔隙、裂隙劣化的損傷變量，導(dǎo)出了中低應(yīng)變率下的巖石動態(tài)損傷本構(gòu)模型； 李夕兵等(2019)、宮鳳強等(2013)建立了基于Weibull分布的動態(tài)統(tǒng)計損傷模型，對花崗巖在循環(huán)沖擊荷載下的力學(xué)關(guān)系進(jìn)行表征，并對其損傷演化過程進(jìn)行了研究?？梢钥闯?，以上對于巖石類材料的本構(gòu)模型研究大都是根據(jù)相應(yīng)材料的力學(xué)性質(zhì)，運用不同的強度準(zhǔn)則、損傷演化以及元件組合等方法進(jìn)行分析得到的，并在相應(yīng)的材料中得到了很好的驗證，這對本文建立常溫及凍結(jié)紅砂巖在沖擊荷載下的本構(gòu)模型具有一定的指導(dǎo)作用。

根據(jù)紅砂巖的動力學(xué)特征，提出以非線性體、Maxwell體和基于Weibull分布的損傷體并聯(lián)的黏彈性本構(gòu)模型，對其進(jìn)行了試驗驗證，并和以Lemaitre等效應(yīng)變假設(shè)建立的損傷本構(gòu)方程進(jìn)行對比，對兩者的優(yōu)缺點和適用性進(jìn)行了比較與討論，并對其參數(shù)敏感性進(jìn)行分析，為涉及此類巖石的西部地質(zhì)工程在受到?jīng)_擊荷載下的動力響應(yīng)分析提供理論依據(jù)。

1 朱王唐本構(gòu)模型

朱王唐非線性黏彈性本構(gòu)模型能夠較好地描述固體材料在黏彈性變形范圍內(nèi)的力學(xué)性能，因而被廣泛地應(yīng)用在研究混凝土、有機(jī)玻璃、巖石等材料在應(yīng)變率10-4s-1～103s-1范圍內(nèi)的力學(xué)性能。該模型由1個非線性彈簧體和2個Maxwell體組成(圖1)。

圖1 朱王唐模型

其本構(gòu)方程為：

(1)

模型中的非線性彈簧用來描述平衡態(tài)應(yīng)力狀況， 2個不同的Maxwell體分別描述不同應(yīng)變率條件下的黏彈響應(yīng)，其中低頻部分的φ1在10～102s-1之間響應(yīng)，高頻部分的φ2在10-4～10-6s-1之間響應(yīng)。

2 基于Weibull分布的損傷本構(gòu)模型

為準(zhǔn)確表達(dá)紅砂巖動力學(xué)本構(gòu)關(guān)系，現(xiàn)對朱王唐本構(gòu)模型各部分元件進(jìn)行如下改進(jìn)：(1)將方程中表示應(yīng)變率無關(guān)的平衡態(tài)應(yīng)力的多項式部分繼續(xù)保留，即為非線彈性彈簧； (2)根據(jù)文獻(xiàn)內(nèi)容(Ma， 2017)，在沖擊荷載作用下的時間尺度是以1～102μs計量的，因而低頻Maxwell體沒有足夠的時間松弛，這里看成是彈性模量為E1的簡單彈簧； (3)紅砂巖為非均質(zhì)類材料，其內(nèi)容存在著大量的裂隙、孔隙和孔洞，當(dāng)巖石受力產(chǎn)生形變即發(fā)生損傷，故對此模型增加損傷體D。據(jù)此可得改進(jìn)后的本構(gòu)模型如圖2所示。

圖2 改進(jìn)后的本構(gòu)模型

由圖2可知，改進(jìn)后的本構(gòu)模型由非線性體、Maxwell體和損傷體并聯(lián)組成，其應(yīng)力關(guān)系為：

σ=σ1+σ2+σ3

(2)

其中：(i)非線性體的本構(gòu)關(guān)系為：

σ1(t)=EΔε(t)+χε2(t)+κε3(t)

(3)

式中：EΔ=E0+E1。

(ii) Maxwell體元件為彈性元件和阻尼元件串聯(lián)而成，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為：

σ2(t)=σ21(t)=σ22(t)

(4)

ε2(t)=ε21(t)+ε22(t)

(5)

σ21=E2ε21(t)

(6)

(7)

對式(5)進(jìn)行求導(dǎo)，聯(lián)立式(4)、式(6)及式(7)得：

(8)

對式(8)進(jìn)行Laplace變換后得：

(9)

(10)

其中：σ(0)=0，代入式(10)整理得：

(11)

對式(11)進(jìn)行Laplace逆變換得：

(12)

(13)

(14)

(iii)現(xiàn)對模型中的損傷體作以下假設(shè)： 1)巖石內(nèi)部連續(xù)且損傷均勻化，即原始缺陷均勻化； 2)巖石沖擊過程視為在恒應(yīng)變率加載條件下完成的； 3)各微元體強度服從Weibull分布，其概率密度為：

(15)

式中：m和α為分布參數(shù)，大小與材料的性質(zhì)和形狀有關(guān)。

試件損傷程度與各微元所包含缺陷的多少有關(guān)，損傷變量D是對材料損傷程度的度量，其與微元破壞的概率密度關(guān)系為：

(16)

積分后得：

(17)

由式(17)可得損傷體本構(gòu)關(guān)系為：

(18)

因此，由式(2)可知紅砂巖基于Weibull損傷分布的動態(tài)本構(gòu)方程為：

(19)

3 基于Lemaitre等效應(yīng)變本構(gòu)方程

根據(jù)紅砂巖在沖擊荷載下應(yīng)力-應(yīng)變曲線明顯的分段性，這里對朱王唐本構(gòu)模型進(jìn)行改進(jìn)。首先，沖擊荷載下低頻Maxwell體沒有足夠的時間來松弛，因而用簡單彈簧代替。簡化后的本構(gòu)模型如圖3所示，簡化后的模型本構(gòu)關(guān)系為：

圖3 簡化后的本構(gòu)模型

(20)

其次，對模型作如下假設(shè)：(1)紅砂巖存在應(yīng)變閾值，當(dāng)應(yīng)變大于一定值時，試件出現(xiàn)損傷； (2)巖石內(nèi)部微裂紋數(shù)量與變形量、應(yīng)變率成正比； (3)將材料損傷演化過程看作為一個促進(jìn)的熱激活過程。

根據(jù)Lemaitre應(yīng)變等效原理，考慮損傷的巖石本構(gòu)關(guān)系為：

σ=(1-D)Eε

(21)

當(dāng)D=0時，材料無損傷； 當(dāng)D=1時，表示材料完全喪失承載能力，將式(19)代入，則：

(22)

這里將D用式(21)呈現(xiàn)的率型損傷演化規(guī)律來表示：

(23)

則對(22)積分后得：

(24)

將式(23)代入式(21)可得出紅砂巖動態(tài)損傷本構(gòu)方程：

(25)

4 試驗驗證與參數(shù)分析

4.1 試驗曲線擬合與驗證

為驗證上述新建本構(gòu)關(guān)系的適用性，利用分離式Hopkinson壓桿裝置對不同溫度的(20 ℃、0 ℃、- 10 ℃)飽和紅砂巖試樣進(jìn)行不同應(yīng)變率下的沖擊試驗，并獲取相應(yīng)的動態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線。

沖擊荷載作用下反應(yīng)巖石類材料性質(zhì)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線可分為峰前部分和峰后部分，因此對上述兩種本構(gòu)方程分別進(jìn)行峰前應(yīng)力曲線和整個應(yīng)力-應(yīng)變曲線的擬合驗證。

首先對基于Weibull分布的非線性黏彈性本構(gòu)方程進(jìn)行驗證，式(19)中共8個未知參數(shù)，首先根據(jù)20 ℃紅砂巖準(zhǔn)動態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線擬合得到EΔ、E2、χ和κ，然后對高應(yīng)變率下沖擊試驗的應(yīng)力-應(yīng)變曲線擬合，確定ED、η2、α和m。對20 ℃飽和紅砂巖在不同應(yīng)變率下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系擬合結(jié)果見圖4。

圖4 基于Weibull分布本構(gòu)方程20 ℃試驗驗證

根據(jù)試驗所得， 20 ℃、0 ℃、-10 ℃紅砂巖的閾值應(yīng)變ε0分別為0.0018、0.0026和0.0045。對基于Lemaitre等效應(yīng)變假設(shè)建立的損傷本構(gòu)方程的試驗驗證時，式(24)中共9個未知參數(shù)，首先根據(jù)試件無損傷時的準(zhǔn)動態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線確定E0、χ、κ、E1和E2，再對高應(yīng)變率沖擊曲線進(jìn)行擬合確定其他參數(shù)。對20 ℃紅砂巖在不同應(yīng)變率沖擊荷載作用下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系擬合結(jié)果見圖5。

圖5 基于Lemaitre等效應(yīng)變假設(shè)損傷本構(gòu)方程20 ℃試驗驗證

結(jié)合圖4和圖5可以看出，(1)本構(gòu)方程對紅砂巖在沖擊荷載下的峰前應(yīng)力部分的擬合中，基于Weibull分布的本構(gòu)方程和基于Lemaitre等效應(yīng)變假設(shè)的本構(gòu)方程的擬合曲線和試驗數(shù)據(jù)都保持著良好的一致性，擬合精度R2>0.97，但后者的擬合精度更高，R2>0.99； 從曲線形態(tài)上看，雖然前者的擬合精度略低于后者，但前者擬合曲線的塑性發(fā)展階段能更好地反映出實際的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，即應(yīng)變硬化和塑性流動等特征，而后者雖擬合精度高，但其擬合曲線的塑性發(fā)展階段近似為直線，這與這類孔隙率大的非均質(zhì)軟巖材料在沖擊荷載下的非線性特征是不相符的。(2)對整個應(yīng)力-應(yīng)變曲線的擬合中，基于Weibull分布的本構(gòu)方程對試驗數(shù)據(jù)的擬合度較高，R2>0.96，而基于Lemaitre等效應(yīng)變假設(shè)的本構(gòu)方程的擬合精度較低，R2<0.9，其誤差大于巖土工程力學(xué)計算中5%的誤差范圍要求，因此不能作為紅砂巖動態(tài)力學(xué)性能的表征； 從曲線的形態(tài)上看，前者的擬合曲線表現(xiàn)出明顯的分段特征，能準(zhǔn)確地反映出紅砂巖在沖擊荷載下的線彈性階段、塑性發(fā)展階段和應(yīng)變軟化階段，可對紅砂巖動力學(xué)特性進(jìn)行準(zhǔn)確表征，但后者的擬合曲線只與紅砂巖應(yīng)力曲線的峰后部分有較高的吻合度，無法反映峰前應(yīng)力變化的非線性特征，本構(gòu)方程擬合精度達(dá)不到規(guī)范要求而不適用于對此類紅砂巖動態(tài)全應(yīng)力曲線的表征。

綜上所述，基于Weibull分布的本構(gòu)方程更適合對紅砂巖在沖擊荷載下的峰前應(yīng)力曲線和整個應(yīng)力-應(yīng)變曲線關(guān)系進(jìn)行表征，而基于Lemaitre等效應(yīng)變假設(shè)的本構(gòu)方程只適合對此類砂巖的峰前應(yīng)力曲線部分進(jìn)行表征，無法對其動態(tài)全應(yīng)力曲線的峰前部分進(jìn)行準(zhǔn)確表征。

現(xiàn)利用試驗所得0 ℃和- 10 ℃紅砂巖動態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系對本文新建本構(gòu)方程進(jìn)行適用性驗證，如圖6～圖10所示。

圖10 基于Weibull分布本構(gòu)方程各參數(shù)的影響性分析

圖6 基于Weibull分布本構(gòu)方程0 ℃試驗驗證

從圖7a、圖7b、圖8a、圖8b中可以看出，基于Weibull分布本構(gòu)方程的擬合曲線與試驗數(shù)據(jù)吻合度高，整體上對峰前應(yīng)力的擬合精度高于整個應(yīng)力曲線的擬合，但擬合精度R2均大于0.95，可以準(zhǔn)確地反映- 10 ℃紅砂巖在沖擊荷載下的力學(xué)本構(gòu)關(guān)系，這說明基于Weibull分布的非線性黏彈性本構(gòu)方程適用于對常溫以及人工凍結(jié)下白堊系紅砂巖的動力響應(yīng)解答，具有一定的實際推廣價值。

圖8 基于Weibull分布本構(gòu)方程- 10 ℃試驗驗證

從圖7a、圖7b、圖9a、圖9b可以看出，基于Lemaitre等效應(yīng)變假設(shè)的本構(gòu)方程對- 10 ℃凍結(jié)紅砂巖進(jìn)行擬合驗證時，峰前應(yīng)力部分的擬合曲線與試驗數(shù)據(jù)吻合度高，擬合精度R2>0.96； 而對整個應(yīng)力部分的擬合驗證中，與20 ℃的擬合結(jié)果相同，都無法準(zhǔn)確表達(dá)紅砂巖峰前應(yīng)力變化特征，故認(rèn)為基于Lemaitre等效應(yīng)變假設(shè)本構(gòu)方程適用于紅砂巖峰前應(yīng)力解答，對其全應(yīng)力解答存在一定的局限性。

圖7 基于Lemaitre等效應(yīng)變假設(shè)本構(gòu)方程0 ℃試驗驗證

圖9 基于Lemaitre等效應(yīng)變假設(shè)本構(gòu)方程- 10 ℃試驗驗證

4.2 本構(gòu)模型的參數(shù)分析

圖11 基于Lemaitre等效應(yīng)變假設(shè)本構(gòu)方程各參數(shù)的影響性分析

從圖10可以看出：(1)基于Weibull分布本構(gòu)方程的5個參數(shù)中，峰值應(yīng)力強度與本構(gòu)方程各參數(shù)呈正相關(guān)的為E0、η和ED，呈負(fù)相關(guān)的為m和α； (2)參數(shù)η對本構(gòu)曲線的形態(tài)無影響，本構(gòu)方程擬合曲線只隨η值的改變而整體上下平移； (3)參數(shù)E0、ED、α和m對本構(gòu)方程擬合曲線的塑性發(fā)展階段的斜率以及峰值應(yīng)力強度產(chǎn)生影響，其中，E0的取值對擬合曲線形態(tài)影響較小，對本構(gòu)曲線的敏感性較低，而α和m取值變化范圍很小時便會對本構(gòu)曲線的形態(tài)產(chǎn)生較大的影響，具有較高的敏感性。

從圖11中可以看出：(1)基于Lemaitre等效應(yīng)變本構(gòu)方程的參數(shù)中，E0值的大小與擬合曲線的峰值應(yīng)力強度呈正相關(guān)，參數(shù)KD、δ和η2則呈負(fù)相關(guān)； (2)參數(shù)E0、δ和KD對擬合曲線塑性發(fā)展階段的形態(tài)有影響，其中，E0對曲線影響范圍更廣，δ和KD對曲線的敏感性更強； (3)參數(shù)η2值的改變對本構(gòu)曲線的形態(tài)無影響，主要是對初始彈性階段的長短以及峰值應(yīng)力強度的大小產(chǎn)生影響。

綜上所述，在紅砂巖本構(gòu)關(guān)系研究中，對峰前應(yīng)力部分解答時上述兩種本構(gòu)方程均可，對全應(yīng)力解答時則只能使用基于Weibull分布的非線性黏彈性損傷本構(gòu)方程，并可根據(jù)各參數(shù)對本構(gòu)曲線的影響，確定出精確度較高的參數(shù)值，從而更好地指導(dǎo)工程實踐。

5 結(jié) 論

(1)根據(jù)飽和紅砂巖在靜載以及動載作用下的力學(xué)特征，對朱王唐本構(gòu)模型進(jìn)行改進(jìn)，建立了非線性體、Maxwell體和微元強度服從于Weibull分布的損傷體并聯(lián)的動態(tài)本構(gòu)模型，該模型能很好地對紅砂巖在常溫和人工凍結(jié)狀態(tài)下的動態(tài)本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行表征。

(2)以朱王唐本構(gòu)模型為基礎(chǔ)，對其進(jìn)行簡化，建立了基于Lemaitre等效應(yīng)變假設(shè)的損傷本構(gòu)方程，該模型能很好地對紅砂巖峰前應(yīng)力部分進(jìn)行表征，但無法準(zhǔn)確反映全應(yīng)力曲線的峰前應(yīng)力變化特征，對紅砂巖的動力學(xué)響應(yīng)解答存在局限性。

(3)通過對本構(gòu)方程各參數(shù)對擬合曲線的敏感性分析，可以準(zhǔn)確地了解各參數(shù)對紅砂巖本構(gòu)關(guān)系的影響，從而確定出精確度較高的參數(shù)值，更好地指導(dǎo)工程實踐。