冪律流體在裂縫-孔隙雙重多孔介質(zhì)中滲流的分形模型

吳 濤，李 港

(武漢工程大學(xué)光電信息與能源工程學(xué)院，武漢 430205)

近幾十年來(lái)，隨著人類對(duì)石油需求量的不斷增加，低滲透儲(chǔ)層在未來(lái)開(kāi)發(fā)中所占的比例越來(lái)越大，低滲透儲(chǔ)層的滲流規(guī)律引起了諸多學(xué)者和工程師的高度重視.低滲透儲(chǔ)層由于孔隙率較低，滲透性較差，通常伴隨裂縫發(fā)育，形成所謂的裂縫-孔隙型雙重介質(zhì).裂縫-孔隙雙重介質(zhì)的概念最早是由Barenblatt[1]等人在1960年提出的，他們用雙重介質(zhì)來(lái)描述含有孔隙基質(zhì)和裂縫同時(shí)存在的一種裂縫性巖石系統(tǒng)，他們認(rèn)為孔隙基質(zhì)是流體儲(chǔ)存的主要空間，其孔隙度高但滲透率低；而裂縫則是流體的主要流動(dòng)通道，其滲透率高但孔隙度較低.研究流體在裂縫-孔隙雙重介質(zhì)中的滲流規(guī)律，對(duì)當(dāng)前油氣、地下水資源的開(kāi)發(fā)，土壤污染防治等實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

多孔介質(zhì)的輸運(yùn)特性在油氣藏、地下水資源和地?zé)岬拈_(kāi)發(fā)與利用、纖維紡織物等實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域一直是研究的熱門問(wèn)題.然而，由于多孔介質(zhì)的結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，利用歐式幾何的傳統(tǒng)解析研究方法非常困難.近幾十年來(lái)，諸多文獻(xiàn)研究表明，多孔介質(zhì)具有統(tǒng)計(jì)意義的自相似性，可以利用分形理論研究多孔介質(zhì)的輸運(yùn)特性[2-6].郁伯銘[2]綜述了利用分形理論與方法研究多孔介質(zhì)的滲透率、熱導(dǎo)率及熱彌散系數(shù)的研究進(jìn)展.基于分形理論，張斌等人提出了冪律流體在多孔介質(zhì)中平面平行流的滲透率分形模型[6].王世芳等[7]利用分形理論和廣義達(dá)西定理研究了冪律流體在樹(shù)狀分叉網(wǎng)絡(luò)中的有效滲透率及相對(duì)滲透率，得出了有效滲透率和相對(duì)滲透率不僅與冪指數(shù)有關(guān)還與分叉網(wǎng)絡(luò)的微結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān).考慮了流體能從多孔基質(zhì)向裂縫網(wǎng)絡(luò)竄流效應(yīng)，苗同軍等人根據(jù)分形理論研究了牛頓流體在裂縫-孔隙雙重介質(zhì)中的有效滲透率，并分析了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)滲透率的影響[8].然而，他們的模型只考慮了最簡(jiǎn)單的牛頓流體，且未考慮裂縫網(wǎng)絡(luò)的分布情況.實(shí)際的雙重多孔介質(zhì)微結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，裂縫網(wǎng)絡(luò)分布可能滿足分形分布.本文的主要工作是考慮了冪律流體在裂縫-孔隙雙重介質(zhì)中的竄流效應(yīng)后，研究?jī)缏闪黧w的滲流特性，得到了冪律流體在裂縫-孔隙雙重介質(zhì)中的滲透率分形模型.

1 裂縫-孔隙雙重介質(zhì)滲透率分形模型

假設(shè)平行狹縫的開(kāi)度大小滿足冪律分形分布，構(gòu)成裂縫網(wǎng)絡(luò)，裂縫管壁上有孔隙大小呈分形分布的毛細(xì)管，圖1(a)為裂縫網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)示意圖；圖1(b)為一個(gè)典型立方體單元的結(jié)構(gòu)示意圖.裂縫網(wǎng)絡(luò)為流體輸運(yùn)提供主要流動(dòng)通道，儲(chǔ)存在基質(zhì)中的流體會(huì)通過(guò)毛細(xì)管流入裂縫網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)而形成具有孔隙竄流效應(yīng)的裂縫-孔隙型雙重介質(zhì).下面假設(shè)單元體基質(zhì)中的孔隙滿足分形分布，考察冪律流體在裂縫-孔隙型雙重介質(zhì)的滲流特性.

圖1 裂縫-孔隙型雙重介質(zhì)幾何模型Fig.1 The geometrical model of a fracture-matrix dual porositymedium

假設(shè)裂縫-孔隙雙重介質(zhì)中孔隙直徑的分布滿足分形標(biāo)度律，即毛細(xì)管孔隙直徑大于等于λ的累積孔隙數(shù)目為[9]：

(1)

將上式取微分得到在孔隙直徑為λ～λ+dλ區(qū)間內(nèi)的孔隙數(shù)目為：

(2)

孔隙面積分形維數(shù)Dp與孔隙率φp的關(guān)系由下式給出[9]：

(3)

其中,d為歐幾里德維數(shù)，二維空間其值取2，三維空間其值取為3.λmax、λmin分別為最大和最小毛細(xì)管直徑.

毛細(xì)管迂曲度是描述毛細(xì)管彎曲程度的無(wú)量綱參數(shù)，其定義為[9]：

(4)

同時(shí)，毛細(xì)管實(shí)際彎曲長(zhǎng)度Lt與毛細(xì)管的直線長(zhǎng)度L=L0/2滿足如下關(guān)系[10]:

Lt(λ)=λ1-DTLDT,

(5)

其中DT為迂曲度分形維數(shù)，可用下式計(jì)算[10]：

(6)

冪律流體在單根彎曲圓形毛細(xì)管中的流量為[6]：

(7)

其中n為冪律流體的冪指數(shù)，μ為黏度系數(shù)，Δpm為沿基質(zhì)層方向的壓強(qiáng)差.對(duì)一個(gè)典型單元體內(nèi)，為求從裂縫上壁面毛細(xì)管流入裂縫的流量，需要對(duì)(7)式在整個(gè)孔隙范圍內(nèi)進(jìn)行積分，于是得到一個(gè)典型單元體中由裂縫上壁面毛細(xì)管流進(jìn)單個(gè)裂縫的流量為：

(8)

假設(shè)裂縫上下壁面流入裂縫的流量相等，即Qm1=Qm2，并考慮到通常多孔介質(zhì)λmin/λmax<0.01，DT/n-Dp+3>1，(λmin/λmax)DT/n-Dp+3≈0，得到由上下壁面流進(jìn)單個(gè)裂縫的總流量為:

Qm=Qm1+Qm2=

(9)

1.2 裂縫-孔隙型雙重介質(zhì)滲透率分形模型

下面我們求解冪律流體在裂縫-孔隙型雙重介質(zhì)中的滲透率.冪律流體在單根矩形管道的流量由文獻(xiàn)[2]給出，即

(10)

其中,Δpf為沿裂縫水平方向的壓強(qiáng)差.考慮毛細(xì)管的流體竄流到裂縫中，流過(guò)單個(gè)矩形裂縫的流量為單個(gè)裂縫流量和毛細(xì)管流入裂縫流量之和，即

(11)

考慮到裂縫開(kāi)度遠(yuǎn)小于裂縫長(zhǎng)度，且它們滿足正比例關(guān)系[11]：

a=βL,

(12)

式中，β為比例系數(shù).假設(shè)裂縫的開(kāi)度a與其壁面最大毛細(xì)管直徑λmax成正比，即開(kāi)度越大的裂縫，其壁面的最大毛細(xì)管直徑也越大，它們之間滿足下列關(guān)系式：

a=δλmax,

(13)

其中，φ為比例系數(shù).進(jìn)一步假設(shè)裂縫開(kāi)度大小分布也滿足分形分布，裂縫開(kāi)度的分形維數(shù)為Df，則可以得到裂縫開(kāi)度在a～a+da之間的裂縫數(shù)目為：

(14)

根據(jù)(12)～(14)式，對(duì)所有開(kāi)度amin～amax范圍內(nèi)進(jìn)行積分，得到流入裂縫-孔隙雙重介質(zhì)的總流量為：

(15)

冪律流體在單根矩形裂縫管道的平均剪切速率可以由下式給出[2]

(16)

聯(lián)立(13)式并對(duì)(16)式積分，可以得到冪律流體在裂縫網(wǎng)絡(luò)介質(zhì)中的總剪切速率為

(17)

冪律流體在裂縫網(wǎng)絡(luò)中的有效視粘度可以定義為

(18)

根據(jù)冪律流體滿足廣義達(dá)西定律[7]

(19)

其中,A為裂縫-孔隙雙重介質(zhì)單元體的橫截面積，Kf為冪律流體在裂縫-孔隙雙重介質(zhì)中的的有效滲透率，聯(lián)立(15)、(18)與(19)式，得到冪律流體在裂縫-孔隙雙重介質(zhì)中的有效滲透率：

Kf=Kf0+Km,

(20)

其中,

(21)

(22)

式中，Km表示來(lái)自基質(zhì)貢獻(xiàn)的有效滲透率，Kf0則表示裂縫貢獻(xiàn)的有效滲透率，Kf表示冪律流體通過(guò)裂縫-孔隙雙重介質(zhì)的有效滲透率，它是基質(zhì)和裂縫網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)及冪律流體特性的函數(shù)，不含其它經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，各參數(shù)物理含義明確，能清晰揭示影響冪律流體在裂縫-孔隙雙重介質(zhì)中滲透率的物理機(jī)制.

2 結(jié)果與討論

下面討論裂縫-孔隙雙重介質(zhì)微結(jié)構(gòu)參數(shù)及冪律流體特性對(duì)有效滲透率的影響.分形維數(shù)采取計(jì)盒維數(shù)法或者由式(3)確定，毛細(xì)管迂曲度分形維數(shù)DT=1.1[6]，比例系數(shù)β=0.02，δ=1.0[8].依據(jù)孔隙率定義：

(23)

式中，A表示裂縫網(wǎng)絡(luò)所在立方體單元的橫截面積，Af表示裂縫面積，其大小為：

(24)

其中，Df為裂縫網(wǎng)絡(luò)的分形維數(shù)，由下式?jīng)Q定：

(25)

于是橫截面積A可以寫為

(26)

假設(shè)所取的雙重介質(zhì)樣品是立方體，則

(27)

圖2給出了當(dāng)β=0.02，δ=1.0，DT=1.1，DP=1.8，amax=1 μm，amin=0.01 μm，Δpm/Δpf=200時(shí)，絕對(duì)有效滲透率Kf隨分形維數(shù)Df變化曲線.從圖2可以看出，絕對(duì)有效滲透率隨著分形維數(shù)Df增加，這是由于分形維數(shù)的增加意味著裂縫網(wǎng)絡(luò)面積的增大，降低了流體在裂縫網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的流動(dòng)阻力，從而增大了冪律流體在裂縫-孔隙雙重介質(zhì)中的有效滲透率.

圖2 當(dāng)β=0.02，δ=1.0，DT=1.1，DP=1.8， amax=1 μm，amin=0.01 μm，Δpm/Δpf=200時(shí)，有效滲透率Kf隨分形維數(shù)Df變化曲線Fig.2 The effective permeability versus fractal dimension Df at β=0.02，δ=1.0，DT=1.1，DP=1.8，amax=1 μm，amin=0.01 μm，Δpm/Δpf=200

圖3給出了當(dāng)β=0.02，δ=1.0，DT=1.1，Df=1.3，amax=1 μm，amin=0.01 μm，Δpm/Δpf=200時(shí)，有效滲透率Kf隨孔隙面積分形維數(shù)Dp變化曲線.從圖3可以看出，Dp越高，有效滲透率也會(huì)越大.這是因?yàn)镈p的增大加強(qiáng)了孔隙基質(zhì)系統(tǒng)中毛細(xì)管的竄流，使得冪律流體的有效滲透率增大.但是，由于在實(shí)際的致密多孔介質(zhì)中，基質(zhì)系統(tǒng)的滲透率相對(duì)裂縫系統(tǒng)來(lái)說(shuō)小的多，因而曲線的斜率變化并不劇烈，且冪律指數(shù)越低的流體變化越小.

圖3 當(dāng)β=0.02，δ=1.0，DT=1.1，Df=1.3，amax=1 μm，amin=0.01 μm，Δpm/Δpf=200時(shí)，有效滲透率Kf隨分形維數(shù)Dp變化曲線Fig.3 The effective permeability versus fractal dimension Dp at β=0.02，δ=1.0，DT=1.1，Df=1.3，amax=1 μm，amin=0.01 μm，Δpm/Δpf=200

圖4給出了當(dāng)β=0.02，δ=1.0，Dp=1.8，Df=1.3，amax=1 μm，amin=0.01 μm，Δpm/Δpf=200時(shí)，有效滲透率Kf隨迂曲度分形維數(shù)DT變化曲線.DT是毛細(xì)管迂曲度分形維數(shù)，其值越大代表更毛細(xì)管越彎曲，這就意味著毛細(xì)管中流動(dòng)阻力增大，導(dǎo)致冪律流體的有效滲透率降低.

圖4 當(dāng)β=0.02，δ=1.0，Dp=1.8，Df=1.3， amax=1 μm，amin=0.01 μm，Δpm/Δpf=200時(shí)，有效滲透率Kf隨迂曲度分形維數(shù)DT的變化曲線Fig.4 The relationship between the effective permeability versus fractal dimension DT for tortuous capillaries at β=0.02，δ=1.0，Dp=1.8，Df=1.3，amax=1 μm，amin=0.01 μm，Δpm/Δpf=200

圖5給出了當(dāng)β=0.02，δ=1.0，Dp=1.8，DT=1.2，Df=1.3，amax=1 μm，amin=0.01 μm時(shí)，絕對(duì)有效滲透率Kf隨孔隙裂縫驅(qū)動(dòng)壓差之比Δpm/Δpf的變化曲線.圖5表明，由于增加了Δpm/Δpf，即增強(qiáng)了流體在孔隙基質(zhì)的流動(dòng)能力，從而使得冪律流體的有效滲透率增大了.

圖5 當(dāng)β=0.02，δ=1.0，Dp=1.8，DT=1.2，Df=1.3，amax=1 μm，amin=0.01 μm時(shí)，有效滲透率Kf隨Δpm/Δpf的變化曲線Fig.5 The The effective permeability versus Δpm/Δpf at β=0.02，δ=1.0，Dp=1.8，DT=1.2，Df=1.3，amax=1 μm，amin=0.01 μm

3 結(jié)論

本文基于分形幾何理論，在綜合考慮冪律流體在裂縫-孔隙雙重多孔介質(zhì)中毛細(xì)管的竄流效應(yīng)，應(yīng)用冪律流體滿足的廣義達(dá)西定律，詳細(xì)推導(dǎo)了冪律流體在裂縫-孔隙雙重介質(zhì)中的有效滲透率的分形解析表達(dá)式.研究結(jié)果表明冪律流體在裂縫-孔隙雙重介質(zhì)中的有效滲透率隨孔隙面積分形維數(shù)和裂縫面積分形維數(shù)的增加而增加；隨迂曲度分形維數(shù)的增加而減??；隨冪指數(shù)n及Δpm/Δpf的增加而增加.本文的工作有助于人們理解非牛頓流體在裂縫-孔隙雙重介質(zhì)中滲流特性的物理機(jī)制.