N-耦合薛定諤方程組渦旋解的存在性和唯一性

毛素珍

(南昌工程學(xué)院 理學(xué)院，江西 南昌 330099)

1 引言

本文主要研究來(lái)源于非線性光學(xué)中的耦合非線性薛定諤方程組

(1)

其中i是虛數(shù)單位；耦合常數(shù)β表示2種物質(zhì)態(tài)的相互作用：當(dāng)β>0時(shí)，說(shuō)明它們是相吸引的，否則就是相排斥的。

為得到式(1)的孤立波解，假設(shè)Φj(x，t)=uj(x)eiλjt，則式(1)轉(zhuǎn)化為

(2)

當(dāng)n≤3時(shí)，式(2)吸引了國(guó)內(nèi)外許多數(shù)學(xué)家的研究興趣，例如式(2)基態(tài)解的存在性見(jiàn)[1]；同步解、相分離解見(jiàn)文獻(xiàn)[2-3]和文獻(xiàn)[5]。當(dāng)n=4時(shí)(注意到此時(shí)Sobolev臨界指數(shù)2*=4)，式(2)變成臨界問(wèn)題，郭玉霞等人在文獻(xiàn)[4]中，討論了式(2)解的存在性、唯一性和不存在性。式(1)和式(2)的研究現(xiàn)狀和背景，還可以見(jiàn)上述文獻(xiàn)中的參考文獻(xiàn)。

在文[6]中，M.Badiale等人研究了非線性波方程的渦旋解，他們主要通過(guò)考慮一類特殊的波函數(shù)，滿足角動(dòng)量不為零，從而得到渦旋解。借鑒該想法，當(dāng)N=2時(shí)，近期鄧金等人在文獻(xiàn)[3]中，得到了式(1)的渦旋解存在性及其性態(tài)。本文主要討論N≥2時(shí)，式(1)的渦旋解的存在性和唯一性。當(dāng)N≥2時(shí)，式(1)會(huì)有更多的耦合項(xiàng)，這給該問(wèn)題的研究帶來(lái)了困難。

為了得到渦旋解，考慮uj是復(fù)值的[6]。定義Φj(x，t)=uj(x)ei(k0θ(x)+λjt)，其中θ(x)∈/2π，k0=0，則式(1)等價(jià)于以下方程組：

(3)

本文只考慮二維(即n=2)的情形。假設(shè)u(x)=u(|x|)且

(4)

(5)

注意到當(dāng)k0=0時(shí)，式(5)即為式(2)。在本文中，考慮k0>0情形，為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，假設(shè)k0≡1。注意到式(5)帶有奇性項(xiàng)uj/|x|2，與式(2)比較，該問(wèn)題更為復(fù)雜。

下面陳述本文的主要結(jié)果。 設(shè)Q(x)=Q(|x|)是方程

(6)

的唯一正基態(tài)解。記

其中對(duì)所有的i，j=1，…，N，有βij=βji。利用變分方法，可以得到以下同步解的存在性。

(7)

進(jìn)一步，還可以證明定理得到的解是唯一的。

將在第3部分證明定理1和定理2，并在第2部分介紹一些預(yù)備知識(shí)。

2 預(yù)備知識(shí)

將利用臨界點(diǎn)理論來(lái)證明式(5)的存在性和唯一性，所以考察式(5)對(duì)應(yīng)的能量泛函E：H=Hλ1×…×HλN→，即

定義約束泛函

其中

下面，回顧幾個(gè)有用的結(jié)果。

命題1[3]考慮極小問(wèn)題

3 主要定理的證明

定理2的證明(解的唯一性)：設(shè)(v1，0，…，vN，0)是式(5)任一最小能量正解，對(duì)1≤m，l≤N，固定數(shù)對(duì)(m，l)，視βml為變量.因?yàn)镋，M和C的定義都依賴于βml，在下面證明中分別用符號(hào)Eβml，Mβml和C(βml)表示.對(duì)每一個(gè)j，定義

(8)

其中(Fkj)表示矩陣F的逆.

由泰勒展開(kāi)式，可知

其中