等差數(shù)列前n項(xiàng)和的一個(gè)遞推關(guān)系式的豐富內(nèi)涵

烏魯木齊市高級中學(xué)(830011) 蘆志新

定理設(shè){an}是等差數(shù)列,Sn表示前n項(xiàng)和,則有遞推關(guān)系式:

這個(gè)關(guān)系式定理具有豐富的內(nèi)涵,主要表現(xiàn)在兩個(gè)“推”上,即此定理遞推關(guān)系式的多種“推導(dǎo)”方法所表現(xiàn)的深刻內(nèi)涵和定理的多個(gè)“推論”之間的內(nèi)在高度統(tǒng)一所展現(xiàn)的豐富性,使我們感到這個(gè)關(guān)系式定理的價(jià)值存在及其重要應(yīng)用,下面就來一一說明.

一、定理推導(dǎo)方法多樣性所表征的深刻內(nèi)涵

推導(dǎo)方法一不妨設(shè)m > n,則有Sm ?Sn=an+1+an+2+···+am=am+n),且因{an}是等差數(shù)列,則有an+1+am=a1+am+n.

(1)當(dāng)a1+am+n=0 時(shí),明顯地有Sm ?Sn=Sm+n=0,即

(2) 當(dāng)a1+am+n ?= 0 時(shí),Sm ?Sn=am)?= 0,則有由對稱性,當(dāng)m

這個(gè)推導(dǎo)方法本身就是一種很好的證明方法,它融入了等差數(shù)列性質(zhì):若p+q=m+n,則ap+aq=am+an及當(dāng)m > n時(shí),有趣片段和關(guān)系式為Sm ?Sn=an+1+an+2+···+am=

推導(dǎo)方法二由于{an}是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,則Sn=na1+· d,這說明數(shù)列

即證.

此推導(dǎo)方法用到了由{an}誘導(dǎo)出的另一個(gè)等差數(shù)列它的公差恰是等差數(shù)列{an}公差的一半.

推導(dǎo)方法三因{an}是等差數(shù)列,不妨設(shè)m ?=n,則公差則

這個(gè)推導(dǎo)方法表征的意義為:兩個(gè)等差數(shù)列{an}與之間有一致的遞推關(guān)系,am+n=n)?

推導(dǎo)方法四設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,及m ?=n,根據(jù){an}前n項(xiàng)和Sn式子特點(diǎn)又可設(shè)為Sn=An2+Bn,則Sm=Am2+Bm,于是Sn ?Sm=An2+Bn ?(Am2+Bm) = (n ?m)[A(m+n)+B],又m ?=n,則A(m+n)+B=故有

這個(gè)推導(dǎo)方法用到了Sn的結(jié)構(gòu)式Sn=An2+Bn及因式A(m+n)+B的整體結(jié)果,運(yùn)算量小,是一種好的證明方法,體現(xiàn)了局部里的整體思想.

推導(dǎo)方法五(方程法)設(shè)m ?=n,聯(lián)立Sn=An2+Bn與Sm=Am2+Bm,解得:A=代入Sm+n=A(m+n)2+B(m+n) =(m+n)[A(m+n)+B]中有

此推導(dǎo)方法明顯運(yùn)算量較大,因?yàn)樗窍壤梅匠探M解參A、B,再回代A、B,可見推導(dǎo)方法四中利用先求因式A(m+n)+B的整體結(jié)果再回代,比推導(dǎo)方法五中解參再回代要好得多.

推導(dǎo)方法六設(shè)Sn=An2+Bn,則=An+B,等差數(shù)列的圖像是一條直線上的點(diǎn)列,即有即證之.

推導(dǎo)方法七設(shè)Sn=An2+Bn,=An+B,設(shè)m ?=n,有

此推導(dǎo)方法很直接,運(yùn)用了Sn=An2+Bn和=An+B結(jié)構(gòu)特點(diǎn),且運(yùn)算量很小.

二、定理的豐富內(nèi)涵

推論一設(shè){an}是等差數(shù)列,Sn表示前n項(xiàng)和,且Sm=Sn(m ?=n),則Sm+n=0.

證明事實(shí)上,因Sm=Sn(m ?=n),由定理知:=0(m ?=n)得Sm+n=0.

推論一還有一種二次函數(shù)證法,可設(shè)二次函數(shù)f(x)=Ax2+Bx,若f(m)=f(n)(m ?=n,即Sm=Sn),則其圖象對稱軸為x=故知f(m+n)=f(0)=0,有Sm+n=f(m+n)=0,即證之.

作為流行的練習(xí)題有:設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sp=Sq(p

推論二設(shè){an}是等差數(shù)列,Sn表示前n項(xiàng)和,且Sn=m,Sm=n,則Sm+n=?(m+n).

證明事實(shí)上由定理知:即Sm+n=?(m+n).

作為流行的練習(xí)題有:(1)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且S10=100,S100=10,則S110=____.

(2) 設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sp=q,Sq=p(p ?=q),則Sp+q=____.

推論三設(shè){an}是等差數(shù)列,Sn表示前n項(xiàng)和,則S2n?1=(2n ?1)an.

證明令m=n ?1,由定理知:=an,即S2n?1=(2n ?1)an.

推論三的內(nèi)涵很豐富,an是a1,a2,…,a2n?1這2n ?1個(gè)項(xiàng)的平均數(shù),自然有S2n?1= (2n ?1)an.此推論在平常的練習(xí)題和高考試題中應(yīng)用較廣,是一個(gè)很有價(jià)值的結(jié)論.

推論四設(shè){an}是等差數(shù)列,Sn表示前n項(xiàng)和,則S3n=3(S2n ?Sn)或S3n ?S2n+Sn=2(S2n ?Sn).

證明令m= 2n,由定理得即S3n=3(S2n ?Sn)或S3n ?S2n+Sn=2(S2n ?Sn).

它的意義在于:等差數(shù)列的等距等長片段和還構(gòu)成等差數(shù)列,即S(k+1)n ?Skn=Sn+k(S2n ?2Sn).這也是一個(gè)有價(jià)值的結(jié)論.

對于這四個(gè)推論,在以前我們沒有發(fā)現(xiàn)它們之間有什么緊密的聯(lián)系,但有了這個(gè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的遞推關(guān)系定理,我們就知道了它們是高度統(tǒng)一的,這是自然賦予我們的一個(gè)多么神奇的事情啊.

推論五(進(jìn)一步拓展)設(shè){an}是等差數(shù)列,Sn表示前n項(xiàng)和,若p+q=m+n,則m ?=n).

證明由定理得即證.

這是一個(gè)挺有意思的二級結(jié)論.

三、定理及其推論在解高考題中的運(yùn)用

例1(2011年高考湖南卷理科第12 題)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}(n ∈N?) 的前n項(xiàng)和,且a1= 1,a4= 7,則S9=____.

解析依題意,S1=a1= 1,S4== 16,由定理知(S4?S1) = 25,又得S9=9(S5?S4)=81.

注解S1=a1,當(dāng)我們知道a1與am或a1+am的具體值時(shí),就得到Sm(因Sm=),于是就可以多次用前述的等差數(shù)列前n項(xiàng)和遞推關(guān)系式定理了.

例2(2013年高考全國課標(biāo)Ⅰ卷理科第7 題)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,Sm?1=?2,Sm=0,Sm+1=3,則m=( )

A.3 B.4 C.5 D.6

解析由定理知0 =得S1=Sm?1=?2,于是得m=5,選C.

例3(2019年高考全國Ⅲ卷理科第14 題)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a1?=0,a2=3a1,則

解析依題意S1?= 0,S2=a1+a2= 4a1= 4S1,由定理得S5= 25S1,同理得S8= 4(S5?S3) = 64S1.S10=

注解不論是給出等差數(shù)列兩個(gè)項(xiàng)關(guān)系式、兩個(gè)前幾項(xiàng)和關(guān)系式還是一個(gè)項(xiàng)關(guān)系式與一個(gè)前幾項(xiàng)和關(guān)系式,都可以列成關(guān)于a1(首項(xiàng))與d(公差)的二元一次方程組形式,然后解之,再回代a1與d去求具體的第幾項(xiàng)、通項(xiàng)、前幾項(xiàng)和或前n項(xiàng)和等等,這是解決此類問題的通法.但通法有時(shí)計(jì)算量大、比較繁瑣,必要時(shí)可看一下是否有符合前述定理的遞推關(guān)系呢,如果有,那么在解題策略上就可選用上述例1～例3 的方法了.

例4(2011年高考江西卷文科第5 題)設(shè){an}為等差數(shù)列,公差d=?2,Sn為其前n項(xiàng)和,若S11=S10,則a1=( )

A.18 B.20 C.23 D.24

解析因S11=S10,由定理推論一知S21=0,又是等差數(shù)列,于是=a1+10d,則有a1=?10d=20,故選B.

例5(2018年高考上海卷第6 題)記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a3=0,a6+a7=14,則S7=____.

解析由定理推論三知,S5= 5a3= 0,S12=a12) = 6(a6+a7) = 84,再由定理知:得+S5=14+0=14.

例6(2007年高考遼寧卷理科第4 題)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=( )

A.63 B.45 C.36 D.27

解析由定理推論四知,S9=3(S6?S3)=3·27=81,于是a7+a8+a9=S9?S6=45,故選B.

通過等差數(shù)列前n項(xiàng)和遞推關(guān)系式定理及推論在高考試題中的應(yīng)用,我們發(fā)現(xiàn),解題方法是多樣的,不斷總結(jié)解題規(guī)律,找出問題間的聯(lián)系,是通向深層次學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必由之路,也是現(xiàn)今倡導(dǎo)提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一種體現(xiàn).