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    高階橢圓型算子組廣義低階譜的估計式

    2021-06-07 10:15:16黃振明
    關(guān)鍵詞:橢圓型移項譜估計

    黃振明

    (蘇州市職業(yè)大學 數(shù)理部,江蘇 蘇州 215104)

    橢圓型偏微分方程是偏微分方程的一種類型,簡稱橢圓型方程.這類方程主要用來描述物理平衡穩(wěn)定狀態(tài),如定常狀態(tài)的電磁場、引力場、反應擴散現(xiàn)象等,其離散譜在實踐中有著廣泛應用.國內(nèi)外學者的主要研究成果之一,就是得到了有關(guān)譜估計的幾何或解析不等式[1-6].最近,筆者在文獻[7]中探討了如式(1)的四階橢圓型算子組的譜問題,并得到了其主次譜估計不等式.

    其中 Ω?Rm(m≥ 2)是1個邊界逐片光滑的有界區(qū)域.

    受此啟發(fā),筆者自然聯(lián)想到,對于問題(1)的一般情形,即如式(2)的高階橢圓型算子組的廣義譜問題,是否還具有類似的譜估計不等式呢?

    其中,整數(shù)l,t,h滿足l≥2,t>h≥1,i= 1,2,… ,l;ν是Ω邊界?Ω的單位外法向量;Δ=?·?為 Rm上的拉普拉斯算子;aij=aji是常數(shù)(i,j=1,2,… ,l);A=(aij)l×l是正定矩陣,且對任意l維列向量ξ= (ξ1,ξ2,… ,ξl)T,滿足

    在式(3)中,v1,v2均為正實數(shù);bij=bji是Ω→R上的非負函數(shù)(i,j= 1,2,… ,l),且B=(bij)l×l是半正定矩陣.筆者依據(jù)微分算子譜的定性理論[8],層層推導后發(fā)現(xiàn),所提問題(2)的答案是肯定的,即其確實具有類似文獻[7]中的譜估計不等式.

    1 預備知識

    為推導方便,記l維函數(shù)列向量u= (y1,y2,… ,yl)T,l階算子矩陣Rp(f) =fpEl×l.其中,El×l為l階單位矩陣;p為自然數(shù);f為任一算子.那么,問題(1)可寫成矩陣形式

    由于低階譜在實際問題中表示了物體的主要特性,因此,本文僅討論問題(4)的前2個譜,即主譜1λ和次譜2λ間的關(guān)系,記主特征向量為u,且滿足規(guī)范化條件

    利用問題(4)、式(5)、分部積分、式(3)和矩陣B的半正定性,有

    另一方面,利用分部積分和kφ的定義,有

    根據(jù)式(8)和式(9),可得

    再結(jié)合式(7),可得

    2 引理

    引理1 設u是問題(4)中對應主譜1λ的主特征向量函數(shù),則

    證明:首先,用數(shù)學歸納法證明不等式

    當i=h+1時,利用分部積分、Schwarz不等式和式(5),有

    此時,式(12)成立.

    化簡得

    即i=k+1時,式(12)也成立.

    最后,反復運用不等式(12)和式(6),可得

    引理1得證.

    引理2 問題(4)的主譜1λ與其對應的特征向量u滿足下列估計式:

    證明:(a) 利用式(5)、分部積分、Schwarz不等式和引理1,有

    化簡即得引理2(a).

    (b) 類似地,利用分部積分、Δ的定義和引理1,有

    引理2(b)得證.

    引理3 對于L和M,分別有如下的上界估計:

    證明:(a) 利用kφ的定義和分部積分,有

    移項求和,得

    再由L的定義和引理2(a),可得

    (b) 類似地,有

    移項并利用分部積分,有

    再利用式(3)、引理1和引理2(b),有

    由式(13)~式(14)可知,引理3成立.

    引理4 本文設定的測試函數(shù)組φk滿足估計式

    證明:利用函數(shù)組kφ的定義和分部積分,有移項可得

    對公式(15)求和,并利用式(5)、Δ的定義和分部積分,有

    對公式(16)運用Schwarz不等式,有

    根據(jù)引理2(b),式(17)左端第2項可表示為

    將式(18)代入式(17),整理,引理4得證.

    3 主要結(jié)果

    定理 問題(4)的主次譜(1λ和 2λ)間隙滿足估計式

    證明:由式(11)得

    將引理3~引理4的估計結(jié)論代入式(20),化簡整理即得定理中的式(19).

    推論 問題(4)的主次譜之比存在估計下界

    4 結(jié)語

    在低階橢圓型算子組的譜問題研究基礎上,推廣討論了高階橢圓型算子組的譜問題,根據(jù)算子譜理論,結(jié)合測試函數(shù)法,獲得了前2個譜間的定量關(guān)系,所得結(jié)果拓展了參考文獻[7]中的結(jié)論.

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