文 謝麗麗
近幾年,命題者常以四邊形為背景,滲透點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),并對(duì)此點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化過程中產(chǎn)生的等量、變量、圖形間的關(guān)系進(jìn)行考查。下面結(jié)合例題對(duì)四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行剖析,供同學(xué)們參考。
例1如圖1,E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn),點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線BE-D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止,點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止,它們的運(yùn)動(dòng)速度都是1cm/s?,F(xiàn)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),設(shè)運(yùn)動(dòng) 時(shí) 間 為x(s),△BPQ的 面 積 為y(cm2),若y與x的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖2 所示,則矩形的面積是( )。
圖1
A.96cm2B.84cm2
C.72cm2D.56cm2
【分析】我們先初步了解整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過程,由于兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度相同,那么可以厘清其中的三種情形:點(diǎn)P在線段BE上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng);點(diǎn)P在線段ED上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng);點(diǎn)P在線段ED上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q在點(diǎn)C處?kù)o止。明確三種情形的臨界狀態(tài),再結(jié)合圖像上的關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行分析,化動(dòng)為靜,便可將面積轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)求解。
解:從函數(shù)的圖像和點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程可以得出,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí),x=10,y=30。過點(diǎn)E作EH⊥BC,如圖3。
圖3
在Rt△BAE中,由勾股定理,得AE=8。
由圖2知,當(dāng)x=14時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)D重合,即DE=14-10=4,
∴AD=AE+DE=8+4=12,
∴矩形的面積為12×6=72(cm2)。
故選C。
例2如圖4,在矩形ABCD中,AB=1,,P為AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接BP,線段BA與線段BQ關(guān)于BP所在的直線對(duì)稱,連接PQ,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí),線段PQ在平面內(nèi)掃過的面積為 。
圖4
【分析】已知點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段AD,因此,只需再確定點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡即可。由軸對(duì)稱得BQ=BA,而點(diǎn)B是定點(diǎn),BA的長(zhǎng)為定值1,所以點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧,其圓心角可結(jié)合已知數(shù)據(jù)求得。那么圖5中的陰影面積即為所求,再利用分割法可求得面積。
解:∵線段BA與線段BQ關(guān)于BP所在的直線對(duì)稱,
∴BQ=BA=1,△ABP≌△QBP。
∵點(diǎn)B是定點(diǎn),
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是以B為圓心的圓弧。
如圖5,陰影部分即為當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí),線段PQ在平面內(nèi)掃過的圖形。
圖5
例3如圖6,在?ABCD中,∠B=60°,AB=10,BC=8,點(diǎn)E為邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接ED并延長(zhǎng)至點(diǎn)F,使得DF,以EC、EF為鄰邊構(gòu)造?EFGC,連接EG,求EG的最小值。
圖6
【分析】點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)帶來?EFGC的運(yùn)動(dòng)。?EFGC中邊的長(zhǎng)度在變,但我們要抓住變化過程中不變的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,如EF=CG,EF∥CG。又由DF=。記CD與EG的交點(diǎn)是點(diǎn)O,由△DOE∽△COG,得。此時(shí),問題轉(zhuǎn)化為求線段EO長(zhǎng)的最小值,即求兩條平行線AB、CD之間的距離。
圖7
四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問題綜合性強(qiáng),常與圓、三角形等幾何知識(shí)以及方程、函數(shù)等代數(shù)內(nèi)容結(jié)合,要求較高。我們要抓住動(dòng)點(diǎn)變化過程中不變的量,關(guān)注特殊四邊形本身的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,必要時(shí)結(jié)合特殊狀態(tài)或?qū)⑾嚓P(guān)線段代數(shù)化,通過動(dòng)的現(xiàn)象尋覓靜的本質(zhì),從動(dòng)靜間的轉(zhuǎn)化出發(fā)剖析問題,實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)問題靜態(tài)化,最終實(shí)現(xiàn)問題的解決。