帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)問題剖析

田長軍

帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)問題綜合了洛倫茲力、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、勻速圓周運(yùn)動(dòng)、能量觀點(diǎn)等重點(diǎn)知識(shí)，同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、空間想象能力、作圖能力都有較高要求，是高考命題的熱點(diǎn)和重點(diǎn)。近年來，高考對(duì)帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)問題考查比較頻繁，一般為計(jì)算題和選擇題，難度較大，綜合性較強(qiáng)，預(yù)計(jì)該考點(diǎn)仍為今后高考考查的熱點(diǎn)。筆者對(duì)近年來全國卷高考真題進(jìn)行了研究，總結(jié)了帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動(dòng)問題的命題規(guī)律，并給出了典型預(yù)測題及相應(yīng)的備考策略，希望對(duì)同學(xué)們備考有所幫助。

一、近年全國卷真題命題規(guī)律

根據(jù)上表分析，近年來全國卷對(duì)此類問題命題有以下規(guī)律：

1.?考查題型：考查題型有單選題和壓軸計(jì)算題，預(yù)計(jì)今后仍然以電場和磁場的組合為高頻考點(diǎn)，出現(xiàn)壓軸多選題的可能性也較大。

2.?考向：非常熱的考向是帶電粒子在組合場中的運(yùn)動(dòng)，電場與磁場的組合是高頻考點(diǎn);較熱的考向是帶電粒子在疊加場中的運(yùn)動(dòng)。預(yù)計(jì)今后仍以考查組合場和疊加場為主，不排除考查交變場的可能。還有可能將復(fù)合場問題與圖像問題、臨界問題、最值問題與現(xiàn)代科技綜合考查。

3.?難度：因本考點(diǎn)與力學(xué)知識(shí)的綜合，使考題的難度較大，常以中等題或難題形式出現(xiàn)。

4.?考查的物理核心素養(yǎng)主要為：物理觀念和科學(xué)思維。

二、2021年高考預(yù)測試題剖析與備考策略

【預(yù)測1】如圖1所示，平面直角坐標(biāo)系xOy的第二、三象限內(nèi)有方向沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場，第一、四象限內(nèi)有圓形有界磁場，有界磁場的半徑為?L，磁場的方向垂直于坐標(biāo)平面向里，磁場邊界與y軸相切于O點(diǎn)，在x軸上坐標(biāo)為（-L，0）的P點(diǎn)沿與x軸正方向成θ=45°角斜向上射出一個(gè)速度大小為v0的帶電粒子，粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，粒子經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)垂直y軸射出電場，粒子進(jìn)入磁場后經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)以沿y軸負(fù)方向的速度射出磁場，不計(jì)粒子的重力。求：

（1）粒子從y軸上射出電場的位置坐標(biāo);

（2）勻強(qiáng)電場的強(qiáng)度大小及勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小;

（3）粒子從P點(diǎn)射出到射出磁場運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為多少？

【解析】（1）粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)為類平拋運(yùn)動(dòng)的逆運(yùn)動(dòng)，

水平方向L=v0cos?θ·t1

豎直方向y=?v0sin?θ·t1

解得y=?L

粒子從y軸上射出電場的位置為（0，?L）。

（2）粒子在電場中的加速度a=

豎直分位移y=?at12

解得E=

粒子進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，以沿y軸負(fù)方向的速度射出磁場，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2所示，

由幾何知識(shí)得：AC與豎直方向夾角為45°

AD=?y=?L

因此AC剛好為圓形有界磁場的直徑，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑：r=L

粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得

qvB=m

其中，粒子的速度：v=v0cos?θ

解得B=?。

（3）粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1=?=

粒子離開電場進(jìn)入磁場前做勻速直線運(yùn)動(dòng)，

x=?L-?L

粒子做直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t2=?=

粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：

t3=?T=?×?=

粒子總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=t1+t2+t3=?+?。

【備考策略】帶電粒子先經(jīng)過電場偏轉(zhuǎn)后進(jìn)入磁場偏轉(zhuǎn)，但“電偏轉(zhuǎn)”和“磁偏轉(zhuǎn)”的本質(zhì)不同：

帶電粒子在組合場中運(yùn)動(dòng)的常見類型及處理方法：（以下情況均不計(jì)重力）

（1）從電場進(jìn)入磁場

①粒子先在電場中做加速直線運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)入磁場做圓周運(yùn)動(dòng)。在電場中利用動(dòng)能定理或運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求粒子剛進(jìn)入磁場時(shí)的速度。

②粒子先在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)入磁場做圓周運(yùn)動(dòng)。在電場中利用類平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)求粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度。

（2）從磁場進(jìn)入電場

①粒子進(jìn)入電場時(shí)的速度與電場方向相同或相反，做勻變速直線運(yùn)動(dòng)。

②粒子進(jìn)入電場時(shí)的速度方向與電場方向垂直，做類平拋運(yùn)動(dòng)。

（3）從一種磁場進(jìn)入另一種磁場

因磁感應(yīng)強(qiáng)度不同，軌道半徑或運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)發(fā)生變化，銜接點(diǎn)的速度是聯(lián)系兩運(yùn)動(dòng)過程的橋梁。

（4）從一種電場進(jìn)入另一種電場（兩電場的場強(qiáng)不同）

在電場中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)或類平拋運(yùn)動(dòng)，分段分過程處理。

【預(yù)測2】如圖3所示，靜止于A處的離子，經(jīng)加速電場加速后沿圖中圓弧虛線通過靜電分析器，從P點(diǎn)垂直CF進(jìn)入矩形區(qū)域的有界勻強(qiáng)電場，電場方向水平向左。靜電分析器通道內(nèi)有均勻輻射分布的電場，已知圓弧虛線的半徑為R，其所在處電場強(qiáng)度為E，方向如圖3所示。離子質(zhì)量為m、電荷量為q，?=2d，?=3d，離子重力不計(jì)。

（1）求加速電場的電壓U;

（2）若離子恰好能打在Q點(diǎn)上，求矩形區(qū)域QFCD內(nèi)勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度E0的值;

（3）若撤去矩形區(qū)域QFCD內(nèi)的勻強(qiáng)電場，換為垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，要求離子能最終打在QF上，求磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍。

【解析】（1）離子在電場中加速，據(jù)動(dòng)能定理有qU=?mv2

離子在輻向電場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電場力提供向心力，由牛頓第二定律可得qE=m

解得U=?ER。

（2）離子在水平電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，有

=2d=vt，?=3d=?at2

由牛頓第二定律得qE0=ma

可得勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度E0=

（3）離子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得

qBv=m?，可得B=

離子能打在QF上，則離子運(yùn)動(dòng)徑跡的邊界如圖4所示，

由幾何關(guān)系知?d

【備考策略】本題也屬于組合場的問題。按組合場問題處理的方法，粒子的運(yùn)動(dòng)可分為三個(gè)階段：

第一階段：粒子在勻強(qiáng)電場中做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速結(jié)束后獲得了一定的速度v。

第二階段：以速度v進(jìn)入靜電分析器通道內(nèi)均勻輻射分布的電場，此電場的大小不變，方向始終與速度方向垂直，所以此電場只改變粒子速度的方向，即粒子在此電場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。實(shí)際命題中，此電場可用勻強(qiáng)磁場代替。

第三階段：①若QFCD內(nèi)為勻強(qiáng)電場時(shí)，粒子進(jìn)入后做類平拋運(yùn)動(dòng);

②若QFCD內(nèi)為勻強(qiáng)磁場時(shí)，粒子進(jìn)入后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

可見，處理組合場問題時(shí)，應(yīng)掌握粒子進(jìn)入各個(gè)場中的運(yùn)動(dòng)情況及處理方法，然后分階段緊湊關(guān)聯(lián)。

【預(yù)測3】?如圖5所示，豎直平面內(nèi)，在y軸右側(cè)為勻強(qiáng)電場區(qū)域，場強(qiáng)為E1，方向水平向左，在y軸左側(cè)為勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場的疊加區(qū)域，勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)為E2，方向豎直向上，勻強(qiáng)磁場方向垂直紙面向外且只分布在等邊三角形MNP區(qū)域內(nèi)，NP與y軸重合。場強(qiáng)E1=E2=1.0×104?N/C，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=?×104?T。在A點(diǎn)（?m，?m）處有一質(zhì)量為m=1.0×10-3?kg、帶電荷量為q=+1.0×10-6?C的小球由靜止釋放。（g=10?m/s2）

（1）求小球到O點(diǎn)時(shí)的速度大小和方向;

（2）若小球經(jīng)過MNP區(qū)域后最終從NP邊經(jīng)過y軸再次進(jìn)入第一象限，對(duì)應(yīng)有一個(gè)最小的等邊三角形勻強(qiáng)磁場的區(qū)域，求此時(shí)頂點(diǎn)M的坐標(biāo);

（3）若在線段OA上不同位置由靜止釋放該小球，請(qǐng)寫出小球通過NP邊后，速度第一次變?yōu)閥軸負(fù)方向的所有位置點(diǎn)滿足的方程。

【解析】（1）由題可知，在y軸右側(cè)mg=qE1=0.01?N，其合力方向由A點(diǎn)指向O點(diǎn)，

由動(dòng)能定理有mgy1+qE1x1=?mv2-0

解得v=2?m/s，方向沿AO指向第三象限。

（2）在y軸左側(cè)，mg=qE2=0.01?N，此二力平衡，洛倫茲力提供向心力

如圖6所示，設(shè)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，則

qvB=m?，

R=?m

故頂點(diǎn)M的橫、縱坐標(biāo)分別為

y2=Rsin?45°=?m

x2=-（2R+Rcos?45°）

=-?m

則頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-?m，?m）。

（3）設(shè)小球從（x，y）點(diǎn)釋放，其中y=x，且小球到達(dá)O點(diǎn)的速度為v1，在y軸左側(cè)仍然做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其半徑設(shè)為r，則v21=2×?g×?x

qv1B=m

出磁場時(shí)的坐標(biāo)為（0，?r）

出磁場后，在y軸右側(cè)的運(yùn)動(dòng)為類平拋運(yùn)動(dòng)，如圖7所示，設(shè)速度第一次變?yōu)閥軸負(fù)方向的時(shí)間是t，水平、豎直分加速度的大小均為g，則：

水平方向v1cos?45°=gt

豎直方向Δy=v1sin?45°·t+?gt2

故Δy=3x

故該點(diǎn)的縱坐標(biāo)y=?r-Δy

所以，這些位置點(diǎn)所滿足的方程為y=?-3x。

【備考策略】帶電粒子在疊加場中運(yùn)動(dòng)的分析方法：

（1）弄清疊加場的組成，進(jìn)行受力分析。

（2）確定帶電粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，注意運(yùn)動(dòng)情況和受力情況的結(jié)合。

（3）畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，靈活選擇不同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

①當(dāng)帶電粒子在疊加場中做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)受力平衡列方程求解。

②當(dāng)帶電粒子在疊加場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解。

③當(dāng)帶電粒子做復(fù)雜曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，一般用動(dòng)能定理或能量守恒定律求解。

（4）對(duì)于臨界問題，注意挖掘臨界條件和隱含條件。

【預(yù)測4】如圖8所示，長度為l、垂直紙面的兩平行板CD、MN間存在勻強(qiáng)磁場，磁場隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖9所示，板間距離為2l，平行板右側(cè)有一水平方向的勻強(qiáng)電場。t=0時(shí)，一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子（不計(jì)重力），以初速度v0由MN板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁場且平行于板面的方向射入磁場區(qū)，以垂直于DN邊的方向進(jìn)入電場區(qū)域，之后又回到磁場中，最后從平行板左端靠近板面的位置離開磁場，速度方向與初速度方向相反。上述m、q、l、v0為已知量。

（1）若粒子在TB時(shí)刻進(jìn)入電場，求B0的最大值;

（2）若粒子在TB時(shí)刻進(jìn)入電場，且B0取最大值，求電場強(qiáng)度E及粒子在電場中向右運(yùn)動(dòng)的最大距離;

（3）若B0=?，求TB滿足的條件。

【解析】（1）若粒子在TB時(shí)刻進(jìn)入電場，畫出粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖10所示。

臨界情況是經(jīng)過?速度偏轉(zhuǎn)角為90°，此時(shí)粒子運(yùn)動(dòng)半徑具有最小值R0=

根據(jù)qv0B0max=

得B0max=?。

（2）粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T0=?=

可知TB=?=

粒子在電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

t=?（n=1、2、3、…）

由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律得t=

由牛頓第二定律得qE=ma

解得E=?（n=1、2、3、…）

d=?×?=?（n=1、2、3、…）。

（3）由B0=?可知R=2l

則T=?=

設(shè)θ為粒子在0～?內(nèi)的速度偏轉(zhuǎn)角，由分析可知

2nRsin?θ=l（n=1、2、3、…）

=?T

聯(lián)立可得TB=?，且sin?θ=?（n=1、2、3、…）。

【備考策略】帶電粒子在交變場中運(yùn)動(dòng)的分析方法：

（1）解決帶電粒子在交變電場、磁場中的運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，關(guān)鍵要明確粒子在不同時(shí)間段內(nèi)、不同區(qū)域內(nèi)的受力特性，對(duì)粒子的運(yùn)動(dòng)情景、運(yùn)動(dòng)性質(zhì)做出判斷。

（2）這類問題一般都具有周期性，在分析粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)，要注意粒子的運(yùn)動(dòng)周期、電場周期、磁場周期的關(guān)系。

（3）帶電粒子在交變電磁場中運(yùn)動(dòng)仍遵循牛頓運(yùn)動(dòng)定律、運(yùn)動(dòng)的合成與分解、動(dòng)能定理、能量守恒定律等力學(xué)規(guī)律，所以此類問題的研究方法與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)相同。

【預(yù)測5】（多選）醫(yī)用回旋加速器的核心部分是兩個(gè)D形金屬盒，如圖11所示，兩金屬盒置于勻強(qiáng)磁場中，并分別與高頻電源相連?，F(xiàn)分別加速氘核（21H）和氦核（42He）并通過線束引出加速器。下列說法中正確的是（???）

A.?加速兩種粒子的高頻電源的頻率相同

B.?兩種粒子獲得的最大動(dòng)能相同

C.?兩種粒子在D形盒中運(yùn)動(dòng)的周期相同

D.?增大高頻電源的電壓可增大粒子的最大動(dòng)能

【解析】回旋加速器加速粒子時(shí)，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期應(yīng)和交流電的周期相同。帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期T=?，兩粒子的比荷?相等，所以周期相同，故加速兩種粒子的高頻電源的頻率也相同，A、C正確;?根據(jù)qvB=m?，得v=?，最大動(dòng)能Ek=?mv2=?，與加速電壓無關(guān)，兩粒子的比荷?相等，電荷量q不相等，所以最大動(dòng)能不等，故B、D錯(cuò)誤。

【備考策略】復(fù)合場在現(xiàn)代科技中的應(yīng)用問題，中學(xué)階段常見的有以下幾類：

試題無論以哪種裝置為背景呈現(xiàn)，解題無外乎用組合場、疊加場和交變場的處理方法。因此，涉及復(fù)合場在現(xiàn)代科技中的應(yīng)用問題時(shí)，首先認(rèn)真審題，根據(jù)物理情景建構(gòu)相應(yīng)的物理模型，然后根據(jù)相應(yīng)的物理規(guī)律解題。

責(zé)任編輯?李平安