小游戲引出大道理

文 陸余慶

圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和翻折是幾何中最基本的三種變換，它們都不會(huì)改變圖形的形狀和大小，自然界中許多圖案的設(shè)計(jì)靈感都是來源于此。其中，由旋轉(zhuǎn)這一變換提出了中心對(duì)稱圖形的概念，進(jìn)而介紹了一種特殊的中心對(duì)稱圖形，即平行四邊形。其實(shí)，這一內(nèi)容的背后可有著許多有趣的數(shù)學(xué)故事和思想方法，同學(xué)們，你們知道多少呢？

先看這樣一則小游戲：甲乙兩人輪流往一張圓桌面上放一枚五分硬幣且不能重疊，誰放完一枚以后而使得對(duì)方無法往桌面上放硬幣時(shí)，誰就是勝利者。如果甲先放，有沒有穩(wěn)操勝券的策略？請(qǐng)大家先獨(dú)立思考，試著找到必勝的策略。事實(shí)上，如果甲先在圓心處放上一枚硬幣（如圖1），占據(jù)主要地位，那么之后無論乙把硬幣放于何處，甲只要在乙所放位置關(guān)于中心點(diǎn)對(duì)稱的位置上放上另一枚硬幣就可以了（如圖2）。我們知道，只要乙有可放硬幣的地方，那么甲就總是可以找到與之對(duì)稱的另一位置，如此，甲必勝。其實(shí)，這一游戲還可推廣到一般的情形，可將圓桌換成平行四邊形、正六邊形或其他任意的中心對(duì)稱圖形，則甲仍有先手優(yōu)勢(shì)。制勝策略正是借助中心對(duì)稱圖形的特征，將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化為在中心對(duì)稱圖形中依次取點(diǎn)的問題。從特殊到一般的思想方法在解決問題的過程中是非常常見的，除此之外，通過逆向思維，再回到最特殊的情形，往往也能更快得出答案。例如，上述游戲中，不妨將圓桌取為最極端的情況——一個(gè)點(diǎn)，顯然誰先放硬幣誰就取勝，先手優(yōu)勢(shì)不言自明。

圖1

圖2

此外，中心對(duì)稱圖形還在分形這一數(shù)學(xué)理論中占有一席之地哦！分形通常被定義為“一個(gè)粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數(shù)個(gè)部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小后的形狀”，即具有自相似的性質(zhì)。分形理論是芒德勃羅提出來的，分形原意具有不規(guī)則、支離破碎等意義。自然界中存在著許多分形現(xiàn)象，如花椰菜、凍豆腐、磁鐵等，而人造的分形現(xiàn)象若和中心對(duì)稱圖形結(jié)合起來，則會(huì)碰撞出另一種火花。比如，科赫雪花曲線就是中心對(duì)稱圖形（如圖3），局部放大后的圖形仍和本體的形狀是相似的。它是以等邊三角形三邊生成的科赫曲線組成的。它的面積是，其中s是原來三角形的邊長(zhǎng)。這一幾何圖形的周長(zhǎng)無限大，但面積卻是有限的。想不到外形獨(dú)特美麗的它還有如此有趣的結(jié)論。同學(xué)們，你能嘗試著設(shè)計(jì)出分形現(xiàn)象中的中心對(duì)稱圖形嗎？

圖3