樂趣多多的平行四邊形

文 江蘇省啟東市東安中學1702班 蔣佳雲

數(shù)學學習，其樂無窮，樂趣多多。在本章平行四邊形的學習過程中，我們經歷了從一般到特殊的探究過程，不斷收獲特殊的“禮物”，如從平行四邊形的邊、角、對角線的數(shù)量與位置關系，到特殊四邊形的邊、角、對角線的數(shù)量與位置關系。從特殊推導到一般，讓“獨有”成為“共享”，如從菱形的面積等于對角線乘積的一半推導到任意對角線互相垂直的四邊形面積都等于對角線乘積的一半，等等。不僅如此，在學習過程中，同伴們的積極思考，引發(fā)了一次又一次的思維碰撞，有時猶如火山噴發(fā)，一道貌不驚人的題也能讓我們玩得不亦樂乎。

例如圖1，在矩形ABCD中，E是BC邊上一點，AE=AD，DF⊥AE，垂足為F。求證：DF=DC。

圖1

圖2

圖3

題目一出，同學們多半和我一樣，首先想到利用三角形全等和等量代換去證。由圖2，易知∠1=∠2，再加上兩直角相等和AE=AD，由AAS得到△ABE≌△DFA，所以DF=AB=CD。經過這么長時間的學習，我身邊的同學早已養(yǎng)成了一題多解或改編延伸的習慣。那本題還有其他解法嗎？那是必須的。你看，有幾個同學的手早已高高舉起了！沈同學說，垂直，我就聯(lián)想到高，于是想到了面積。連接DE（如圖3），通過前面平行四邊形的探究，我們都知道，平行四邊形的任意一邊與其對邊上任一點所構成的三角形面積為平行四邊形的一半。由等積法得因為AE=AD，于是DF=DC。哈哈，是不是很簡單？

同學們一邊表示贊賞，一邊仍迫不及待地舉著手。翟同學不緊不慢地分析道：從結論推，若DF=DC，則只需△DFE≌△DCE，或證ED平分∠AEC。那還不容易？根據我們多次的實踐證明，“等腰、平行、角平分”都是友好“三兄弟”，只要兩個出場，第三個必到場。AE=AD，具備了等腰條件，四邊形ABCD是矩形，那對邊必平行，接下來你們都知道了吧？于是同學們就像排練過的一樣，隨著老師指著圖3的手勢，齊聲回答出如下的證明：∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED，又∵四邊形ABCD是 矩 形，∴AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC，∴∠AED=∠DEC，又∵DF⊥AE，DC⊥BC，∴DF=DC。

同學們，我們只要勤于探索，細心觀察，善于聯(lián)想，積極思考，就會越來越覺得數(shù)學是有趣的，感覺數(shù)學是好玩的！