樂趣多多的平行四邊形

文 江蘇省啟東市東安中學(xué)1702班 蔣佳雲(yún)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，其樂無窮，樂趣多多。在本章平行四邊形的學(xué)習(xí)過程中，我們經(jīng)歷了從一般到特殊的探究過程，不斷收獲特殊的“禮物”，如從平行四邊形的邊、角、對角線的數(shù)量與位置關(guān)系，到特殊四邊形的邊、角、對角線的數(shù)量與位置關(guān)系。從特殊推導(dǎo)到一般，讓“獨(dú)有”成為“共享”，如從菱形的面積等于對角線乘積的一半推導(dǎo)到任意對角線互相垂直的四邊形面積都等于對角線乘積的一半，等等。不僅如此，在學(xué)習(xí)過程中，同伴們的積極思考，引發(fā)了一次又一次的思維碰撞，有時(shí)猶如火山噴發(fā)，一道貌不驚人的題也能讓我們玩得不亦樂乎。

例如圖1，在矩形ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，AE=AD，DF⊥AE，垂足為F。求證：DF=DC。

圖1

圖2

圖3

題目一出，同學(xué)們多半和我一樣，首先想到利用三角形全等和等量代換去證。由圖2，易知∠1=∠2，再加上兩直角相等和AE=AD，由AAS得到△ABE≌△DFA，所以DF=AB=CD。經(jīng)過這么長時(shí)間的學(xué)習(xí)，我身邊的同學(xué)早已養(yǎng)成了一題多解或改編延伸的習(xí)慣。那本題還有其他解法嗎？那是必須的。你看，有幾個(gè)同學(xué)的手早已高高舉起了！沈同學(xué)說，垂直，我就聯(lián)想到高，于是想到了面積。連接DE（如圖3），通過前面平行四邊形的探究，我們都知道，平行四邊形的任意一邊與其對邊上任一點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積為平行四邊形的一半。由等積法得因?yàn)锳E=AD，于是DF=DC。哈哈，是不是很簡單？

同學(xué)們一邊表示贊賞，一邊仍迫不及待地舉著手。翟同學(xué)不緊不慢地分析道：從結(jié)論推，若DF=DC，則只需△DFE≌△DCE，或證ED平分∠AEC。那還不容易？根據(jù)我們多次的實(shí)踐證明，“等腰、平行、角平分”都是友好“三兄弟”，只要兩個(gè)出場，第三個(gè)必到場。AE=AD，具備了等腰條件，四邊形ABCD是矩形，那對邊必平行，接下來你們都知道了吧？于是同學(xué)們就像排練過的一樣，隨著老師指著圖3的手勢，齊聲回答出如下的證明：∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED，又∵四邊形ABCD是 矩 形，∴AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC，∴∠AED=∠DEC，又∵DF⊥AE，DC⊥BC，∴DF=DC。

同學(xué)們，我們只要勤于探索，細(xì)心觀察，善于聯(lián)想，積極思考，就會(huì)越來越覺得數(shù)學(xué)是有趣的，感覺數(shù)學(xué)是好玩的！