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    “熟悉的陌生人”:巧作垂直妙解題

    2021-06-06 12:15:04
    初中生世界 2021年18期
    關(guān)鍵詞:三角尺中考題平分線

    文 沈 莉

    每年的中考題花樣繁多,抽絲剝繭、仔細研究后,我們可以發(fā)現(xiàn),有一些問題不過是“最熟悉的陌生人”,它們的基本模型是一樣的,解決方式也是一樣的。下面以2019年的一道中考題為例,一起來揭開這層面紗。

    例1(2019·山東棗莊)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于點D。如圖1,點E、F分別在AB、AC上,且∠EDF=90°,求證:BE=AF。

    圖1

    【分析】本題當然可以利用等腰直角三角形的圖形特點,通過AD=BD,∠B=∠DAC,∠BDE=∠ADF,證 出△BDE≌△ADF,最終得到BE=AF。

    如果對教材比較熟悉的話,我們就會想起另一種證法。蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級上冊第59頁第11題,是一個實驗操作題:畫∠AOB=90°,并畫∠AOB的平分線OC。

    (1)將三角尺的直角頂點落在射線OC的任意一點P上,使三角尺的兩條直角邊與∠AOB的兩邊OA、OB分別交于點E、F(如圖2)。度量PE、PF的長度,那么這兩條線段相等嗎?

    (2)將三角尺繞著點P旋轉(zhuǎn)(如圖3),PE與PF相等嗎?

    圖2

    圖3

    圖4

    圖5

    【分析】通過第一問的鋪墊和角平分線的引導(dǎo),很自然地想到過點P作PM⊥OA,PN⊥OB,垂足為M、N(如圖4),所以∠PME=∠PNF=90°,∠MPE=∠FPN,再利用角平分線定理可得PM=PN,證得△PEM≌△PFN,即可得出結(jié)論PE=PF。

    【方法歸納】在整個三角尺的旋轉(zhuǎn)變化過程中,積極尋找其中的不變量:正方形PMON。利用其邊PM始終與PN相等,構(gòu)造出Rt△PEM和Rt△PFN,利用全等解決問題。

    因此,回到2019年山東省棗莊市的中考題,我們便可以利用教材上的方法:如圖5,過點D作DG⊥AB,DH⊥AC,通過證明△DGE≌△DHF,即可得出結(jié)論DE=DF,BE=AF。

    此類問題都是利用了等腰直角三角形的性質(zhì),因此,我們可以將背景進行變化。

    【變式1】如圖6,正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,正方形A′B′C′D′的頂點A′與點O重合,將正方形A′B′C′D′繞點A′旋轉(zhuǎn),在這個過程中,OE等于OF嗎?

    圖6

    圖7

    【分析】我們同樣只要過點O作OG⊥BC,OH⊥DC,如圖7。通過證明△OGE≌△OHF,就能得到OE=OF。

    【變式2】如圖8,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,對角線AC與BD相交于點O,將三角尺的直角頂點落在O點,使三角尺的兩條直角邊與BC交于點E,與DC交于點F,求OE與OF的比值。

    圖8

    圖9

    【變式3】如圖10,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,將三角尺的直角頂點落在P點,使三角尺的兩條直角邊與AB交于點E,與BC交于點F,當AP=2PC時,求PE與PF的比值。

    圖10

    【分析】可以通過一樣的處理方式去添加輔助線,得到比值為

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