基于VMD-SWT 聯(lián)合算法的諧波/間諧波檢測

付 華，劉 超，張 松

（1.遼寧工程技術(shù)大學(xué)電氣與控制工程學(xué)院，葫蘆島 125105；2.唐山三友集團，唐山 063000）

隨著風(fēng)電、光伏等新能源發(fā)電和電力電子技術(shù)在電力系統(tǒng)中的廣泛應(yīng)用，電網(wǎng)中的諧波問題越來越復(fù)雜[1]，整數(shù)次和非整數(shù)次諧波、穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)諧波同時存在，不僅會增加設(shè)備損耗、降低計量設(shè)備的精度和穩(wěn)定性，還會造成電網(wǎng)電壓波動和閃變，因此，諧波/間諧波信號的快速準(zhǔn)確檢測對于諧波治理具有重要意義。

針對電網(wǎng)中存在的諧波和間諧波，傳統(tǒng)的檢測方法有傅里葉變換[2]、小波變換[3]和希爾伯特-黃變換HHT（Hilbert-Huang transform）[4]等。傅里葉變換檢測整數(shù)次諧波具有較高精度，但是對于暫態(tài)諧波和間諧波等非平穩(wěn)信號，無法避免因非同步采樣引起的頻率泄露和柵欄效應(yīng)。小波變換具有良好的局部性特征，但需要人為選擇小波基和分解層數(shù)，選擇不同，檢測結(jié)果差別可能會很大，且會存在頻帶混疊。HHT 作為一種自適應(yīng)算法，不受基底和分解層數(shù)影響，完全由數(shù)據(jù)驅(qū)動，對穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)諧波均具備分析能力，但是在經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解EMD（empirical mode decomposition）分解時容易出現(xiàn)欠包絡(luò)和過包絡(luò)[5]，對于含噪信號或者頻率相近的諧波信號會產(chǎn)生模態(tài)混疊，此時會得到錯誤的HHT 檢測結(jié)果，甚至產(chǎn)生無法解釋的負頻率。

近期，Dragomiretskiy 等[6]提出了一種新的完全非遞歸的模態(tài)變分方法，即變分模態(tài)分解VMD（variational mode decomposition）。不同于EMD 使用的循環(huán)篩分剝離方法，VMD 通過在變分框架內(nèi)迭代尋找變分模型最優(yōu)解的方式確定帶寬和中心頻率，其實質(zhì)是用維納濾波估計模態(tài)殘留[7-8]，因此具有較強的抗噪能力，已被成功應(yīng)用于變壓器故障診斷[9-10]、高壓輸電線路雷擊故障測距[8]、旋轉(zhuǎn)機械故障診斷[11]等領(lǐng)域。雖然VMD 不具有遞歸模態(tài)分解的缺點，但需要預(yù)先判斷原始信號中分量個數(shù)，這使得該方法的計算效率較低且自適應(yīng)性不高。對VMD 分解得到的模態(tài)分量還需要有效的時頻分析工具處理，Daubechies 等[12]提出的同步擠壓小波變換SWT（synchrosqueezing wavelet transform）將小波變換后的時頻圖在頻率域方向進行壓縮，獲得較高頻率精度的時頻曲線，且各時頻曲線間不存在交叉項[13]，已被應(yīng)用在氣候分析[14]、機械故障診斷[15]、信號消噪[16]、土木工程結(jié)構(gòu)[17]、地震信號提取[18]中，且效果良好。

本文將變分模態(tài)分解結(jié)合同步擠壓小波變換引入到諧波治理中，提出一種諧波/間諧波檢測的新方法。利用VMD 彌補SWT 變換對相近頻率分離不徹底的不足，利用SWT 預(yù)判分量個數(shù)、銳化時頻曲線，結(jié)合二者噪聲魯棒性上的優(yōu)勢，實現(xiàn)較高精度的諧波檢測和參數(shù)識別。

1 諧波信號變分模態(tài)分解

將含有諧波/間諧波的電力信號s（t）分解為K 個具有稀疏屬性的模態(tài)，每個模態(tài)圍繞著一個中心頻率，則變分模態(tài)分解具體分為構(gòu)建和求解兩個階段。

1.1 諧波信號變分問題的構(gòu)建

計算第k 個模態(tài)uk（t）的解析信號，其單邊頻譜為

式中，δ（t）為單位脈沖信號。

對單邊頻譜進行指數(shù)修正調(diào)整預(yù)估的中心頻率wk，使其移動到基帶上，即

式中：uk（t）=Ak（t）cos（φk（t）），Ak（t）和φk（t）分別為模態(tài)uk（t）的瞬時幅值和相位；wk為第k 個模態(tài)的中心頻率，wk=φk'（t）=dφk（t）/dt。

采用解析信號的H1高斯平滑估量各模態(tài)帶寬，保證帶寬之和最小，得到變分模型為

1.2 變分問題的迭代優(yōu)化求解

引入Lagrange 乘子λ（t）和二次懲罰因子α 構(gòu)建非約束拉格朗日表達式，即

其中λ（t）起到約束不等式的作用，α 保證噪聲條件下的數(shù)據(jù)保真。

使用交替方向乘子算法ADMM（alternating direction method of multipliers）不斷更新優(yōu)化λn+1，n 代表迭代次數(shù)，尋找增廣式（4）的鞍點即變分模型最優(yōu)解，迭代過程為

ADMM 二次優(yōu)化求解得

式中，帶“^”標(biāo)符號表示原符號變量的傅里葉變換。

迭代值更新過程中，要滿足收斂條件

2 諧波信號參數(shù)估計和擠壓重構(gòu)

SWT 以連續(xù)小波變換CWT（continuous wavelet transform）為基礎(chǔ)[19]，對中心頻率附近的小波系數(shù)重組擠壓，改善尺度方向的模糊現(xiàn)象，提高時頻分析精度。本文通過SWT 實現(xiàn)諧波/間諧波信號的參數(shù)識別，具體如下。

2.1 瞬時頻率估計

對s（t）進行時域CWT，得到小波系數(shù)為

2.2 擠壓銳化和重構(gòu)

在按照能量大小重新排列和擠壓過程中，中心頻率附近的小波系數(shù)被壓縮在頻率wl附近，則在區(qū)間[上的同步擠壓變換量值為

式中：Δw=wl-wl-1，l=0，1，2，…，na-1，na=Lnv，L 與s（t）的信號長度n 有關(guān)（n=2L＋1），nv=32；Δai=ai-ai-1；ai為離散尺度。

由式（17），SWT 把時間-尺度平面[b，Ws（a，b）]重新轉(zhuǎn)換到時間-頻率平面[b，wl]，利用同步擠壓反變換重建信號得

3 VMD-SWT 聯(lián)合算法的諧波/間諧波檢測

VMD-SWT 聯(lián)合算法對諧波/間諧波提取和檢測步驟如下。

步驟1對含有諧波/間諧波的電力信號s（t）按式（14）進行連續(xù)小波變換得到小波量圖，根據(jù)時頻圖分布情況確定模態(tài)分量個數(shù)K，并對式（16）離散化得到。

步驟2設(shè)置參數(shù)K、α 和τ 等。其中α 值會直接影響到分解結(jié)果，α 越小，分解得到的模態(tài)帶寬越大，反之帶寬越小，經(jīng)實驗發(fā)現(xiàn)，α 在1 500～3 000 范圍內(nèi)取值分解效果較好。τ 表示耐噪聲程度，τ 越小，噪聲耐受越強，故取0 或較小值較合適。因此，α 取值2 000，τ 取值0，K 則根據(jù)步驟1 確定。

步驟3對s（t）進行VMD 分解成K 個模態(tài)分量，即

步驟4對模態(tài)uk（t）的小波系數(shù)進行去噪和同步擠壓，中心頻率wl附近同步擠壓變換為

式中，wl=w02lΔw，其中：Δw=lb（n/2）/（na-1），w0=1/（nΔt），Δt 為采樣時間間隔，則可以劃分成不同頻率的區(qū)間[（wl-1+wl）/2，（wl+wl+1）/2]，并在區(qū)間范圍內(nèi)銳化時頻曲線，使各曲線間不存在交叉項。

步驟5重組壓縮后，小波脊線得到充分去噪和細化，有利于提高參數(shù)識別精度，選取相平面上滿足ts（b，a）=b 的所有（b，ar（b））點構(gòu)成小波脊線ar（b），則瞬時頻率和幅值分別為

4 算例和實例分析

4.1 算例1

設(shè)穩(wěn)態(tài)諧波信號為

信號的采樣頻率為4 096 Hz，采樣時間為1 s。原始信號中除了諧波處還存在與3 次諧波頻率接近的110 Hz 間諧波，在含噪30 dB 條件下，對信號進行VMD 分解，但模態(tài)分量個數(shù)無法明確預(yù)知，若一一取值實驗，不僅降低了運算效率，而且選取不當(dāng)會造成結(jié)果錯誤，因此本文提出對信號進行連續(xù)小波變換來預(yù)估K 值，母小波函數(shù)具有快速衰減性，對應(yīng)的傅里葉變換在負頻率域趨近于0，相同頻率集中分布，通過式（16）初步估計瞬時頻率得到小波量圖，如圖1 所示。由圖1 可見，存在5 條清晰且連續(xù)的時頻曲線，每條曲線集中在一個頻率處對應(yīng)著不同的模態(tài)，故可判斷信號分量個數(shù)為5。以此為據(jù)進行VMD 分解（K=5）得到IMFs，如圖2 所示，為方便觀察分析，僅展示2 000 點。

圖1 算例1 穩(wěn)態(tài)諧波信號小波量圖Fig.1 Wavelet map of steady-state harmonic signal in case 1

由圖2 可知，VMD 將加噪信號分解成5 個模態(tài)，每個模態(tài)均為單一頻率波，不存在模態(tài)混疊現(xiàn)象，實現(xiàn)了各諧波模態(tài)的有效提取。對IMF 分量進行SWT 小波脊線識別瞬時頻率和幅值，結(jié)果如圖3和圖4 所示。

圖2 算例1 VMD 分解結(jié)果Fig.2 Decomposition results based on VMD in case 1

由圖3 和圖4 可見，各IMF 的瞬時頻率和幅值檢測結(jié)果與理論值較為接近，除去兩端部分基本保持一條直線，波動較小，表1 給出了SWT 小波脊線參數(shù)識別結(jié)果。

圖3 算例1 的IMF 分量瞬時頻率Fig.3 Instantaneous frequency of IMF components in case 1

圖4 算例1 的IMF 分量瞬時幅值Fig.4 Instantaneous amplitude of IMF components in case 1

表1 數(shù)據(jù)表明在含噪30 dB 時，幅值檢測的誤差平均為0，頻率檢測的平均誤差為0.571%，對穩(wěn)態(tài)諧波具有較高的檢測精度，同時說明在去掉兩端波動值后取平均值可以有效提高參數(shù)的識別精度。

表1 算例1 的VMD-SWT 參數(shù)識別結(jié)果Tab.1 Parameter identification results based on VMD-SWT in case 1

4.2 算例2

設(shè)暫態(tài)時變諧波/間諧波信號為

信號的采樣頻率和采樣時間同算例1，4 096 個采樣點內(nèi)基波一直存在，采樣點819.2～2 048 處是幅值為1.7，頻率為110 Hz 的間諧波，采樣點2 048～2 457.6 處同時存在7 次諧波和頻率為140 Hz 的間諧波。在20 dB 噪聲環(huán)境下，對信號進行CWT，獲得小波量圖如圖5 所示。可見圖5 中有3 條清晰且連續(xù)的曲線，因此令K=3，對信號進行VMD 分解，得到IMFs 分量，如圖6 所示。

圖5 算例2 暫態(tài)諧波信號小波量圖Fig.5 Wavelet map of transient harmonics signal in case 2

從圖6可見，VMD 分解得到的前2 個模態(tài)分量分別對應(yīng)著基波和7 次諧波，IMF3 準(zhǔn)確地提取出間諧波分量，表明VMD 分解不僅可以分離穩(wěn)態(tài)信號，對暫態(tài)信號也具有良好的提取效果。篇幅限制，只給出IMF3 分量進行SWT 小波脊線檢測的瞬時頻率和幅值，如圖7所示。由圖7 可知，IMF3 發(fā)生和恢復(fù)的時刻定位比較準(zhǔn)確，導(dǎo)出采樣點[819，2 048]和[2 048，2 458]對應(yīng)時間段的各參數(shù)，并計算其平均值，結(jié)果如表2 所示。

圖6 算例2 VMD 分解結(jié)果Fig.6 Decomposition results obtained using VMD in case 2

圖7 IMF3 分量的SWT 識別結(jié)果Fig.7 SWT identification result of IMF3 component

表2 數(shù)據(jù)表明，在20 dB 噪聲環(huán)境下，頻率檢測的平均誤差為0.648%，幅值的平均誤差為1.577%，檢測結(jié)果比較接近理論值，精度較高。

表2 算例2 的VMD-SWT 參數(shù)識別結(jié)果Tab.2 Parameter identification results based on VMD-SWT in case 2

4.3 實例信號分析

為更好地驗證所提方法的有效性，采用文獻[20]的實際電弧爐信號，采樣頻率和采樣點數(shù)為4 096，在信噪比10 dB 時，對信號進行CWT 獲得小波量圖，如圖8 所示。由圖8 可見，存在3 條清晰的時頻曲線，故將實際電弧爐信號分解成3 個模態(tài)分量，如圖9 所示。

圖8 電弧爐信號小波量圖Fig.8 Wavelet map of electric arc furnace signal

圖9 電弧爐信號VMD 分解結(jié)果Fig.9 VMD decomposition result of electric arc furnace signal

SWT 識別電弧爐信號的瞬時頻率、瞬時幅值及快速傅里葉變換FFT（fast Fourier transform）識別電弧爐信號的頻率和幅值如圖10—圖12 所示。

由圖10—圖12 可以判斷，該實際電弧爐信號由基波、125 Hz 和25 Hz 的間諧波組成，幅值分別為100、75、65[20]，這與文獻中給出的實際值相符，模態(tài)提取效果較好，可以清晰分辨出基波和間諧波分量。VMD-SWT 算法精度較高，關(guān)鍵在于VMD 的模態(tài)分離能力和SWT 對小波系數(shù)的重組擠壓，時頻曲線得到細化。對于實際的含噪電弧爐信號，該算法依然表現(xiàn)出較好的噪聲魯棒性，這得益于VMD和SWT 的雙重去噪，VMD 分解實際是多組維納濾波過程，SWT 則在小波變換后，按設(shè)定的閾值自適應(yīng)地過濾掉幅值較小的小波系數(shù)，故在噪聲條件下VMD-SWT 算法仍可以準(zhǔn)確提取模態(tài)并進行參數(shù)辨識，其參數(shù)識別結(jié)果見表3，為對比分析，表3 給出了FFT 算法的識別結(jié)果。

圖10 SWT 識別電弧爐信號瞬時頻率Fig.10 Instantaneous frequency of electric arc furnace signal identified by SWT

由表3 可知，VMD-SWT 算法頻率識別的平均誤差為0.338%，幅值的誤差為0.045%，對比FFT 算法在幅值識別上存在優(yōu)勢，但在頻率識別優(yōu)勢不明顯，整體精度符合實際工程需要。無論分析直觀圖還是實際數(shù)據(jù)，該算法的模態(tài)提取能力較好、參數(shù)識別誤差較小，表現(xiàn)出良好的抗噪性能。

圖11 SWT 識別電弧爐信號瞬時幅值Fig.11 Instantaneous amplitude of electric arc furnace signal identified by SWT

圖12 FFT 識別電弧爐信號的頻率和幅值Fig.12 Frequency and amplitude of electric arc furnace signal identified by FFT

5 結(jié)論

本文提出VMD 和SWT 相結(jié)合的諧波/間諧波檢測方法，經(jīng)算例分析和實際數(shù)據(jù)得到如下結(jié)論。

（1）VMD 通過設(shè)置模態(tài)分解個數(shù)限制分解數(shù)量，可以有效提取模態(tài)分量，抑制模態(tài)混疊，分解實則為多個濾波過程，具有較強的抗噪聲干擾能力。

（2）連續(xù)小波變換得到的小波量圖可用于預(yù)判分量個數(shù)，提高VMD 算法的自適應(yīng)性和運算效率。

（3）SWT 算法通過對小波量圖重組擠壓，改善小波脊線分辨率，銳化時頻曲線，提高了檢測精度。

（4）SWT 在擠壓前根據(jù)設(shè)定的閾值濾掉一些幅值較小的小波系數(shù)，提高了算法整體的噪聲魯棒性。

此外，VMD 在分解時不可避免地存在端點效應(yīng)，且迭代更新計算量大，實時性不高，后續(xù)可以就加快算法收斂速度以及諧波在線監(jiān)測和改善展開研究，為實際應(yīng)用提供有力的理論支持。