一種三自由度并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)性能分析及仿真

路博凡，張若平，韓家哺，錢仲楷

（上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，上海201620）

0 引 言

隨著工業(yè)時(shí)代的發(fā)展，人們對(duì)于并聯(lián)機(jī)器人的研究在不斷的深入。并聯(lián)機(jī)器人在對(duì)于需要重載工作場(chǎng)合和零部件表面較為復(fù)雜的加工場(chǎng)景上都有著無可比擬的優(yōu)秀表現(xiàn)；但由于并聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，所以控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)一直是一個(gè)難題。首先由趙東亞等學(xué)者［1-2］將并聯(lián)機(jī)器人控制方式劃分為基于模型與不基于模型兩大類，針對(duì)基于模型的方法有狀態(tài)反饋法［3］、魯棒自適應(yīng)控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制等［4］。將模糊控制［5］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等應(yīng)用于不基于模型的并聯(lián)機(jī)器人控制；吳博等學(xué)者［6］采取分散式控制方式來制作控制系統(tǒng)；陳強(qiáng)等［7］復(fù)合控制采用傳統(tǒng)PID與智能控制方法的結(jié)合。

本文將采用模糊PID的控制方法；并結(jié)合并聯(lián)機(jī)器人的Simscape物理模型進(jìn)行改進(jìn)，從而得到更好的控制效果。

1 3UPS-UP并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)建模

提出一種冗余驅(qū)動(dòng)3UPS-UP并聯(lián)機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)可用于各種汽車零部件的加工復(fù)雜曲面等工程應(yīng)用中。如圖1所示。

圖1 3UPS-UP并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)Fig.1 ER20-1700 robot structure

由圖1所示，其中該并聯(lián)機(jī)構(gòu)從上到下分別由定平臺(tái)、中間恰約束從動(dòng)支鏈UP、3個(gè)完全相同的UPS驅(qū)動(dòng)支鏈和底部定平臺(tái)部分構(gòu)成。其中定平臺(tái)和3個(gè)驅(qū)動(dòng)支鏈動(dòng)是起到驅(qū)動(dòng)機(jī)器人正常運(yùn)動(dòng)及支撐固定的作用，使整個(gè)系統(tǒng)更加穩(wěn)定，是整個(gè)并聯(lián)機(jī)器人的基礎(chǔ)。而動(dòng)平臺(tái)為末端執(zhí)行器的安裝平臺(tái)，傳遞位置和力的信息。其中，（U）為虎克鉸；（P）為移動(dòng)副；（S）為球鉸鏈。UPS支鏈中球副（S）與動(dòng)平臺(tái)相連，另一端通過虎克角與定平臺(tái)相連接。

2 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)與性能分析

2.1 確定機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

該冗余驅(qū)動(dòng)3UPS-UP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的原理圖如圖2所示，A i和B i分別為3UPS-UP并聯(lián)機(jī)構(gòu)第i條分支桿與動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)的鉸接點(diǎn)。在定平臺(tái)中心建立固定坐標(biāo)系｛O-x yz｝，坐標(biāo)原點(diǎn)O位于正三角形B1B2B3外接圓圓心。x軸由O點(diǎn)指向B1點(diǎn)，與O B1重合，y軸由右手法則確定，UP支鏈的U副通過O點(diǎn)，z軸朝向A1A2A3動(dòng)平臺(tái)，并與定平臺(tái)法線重合z軸于定平臺(tái)法線重合。

圖2 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)模型圖Fig.2 Robot motion model

2.2 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

設(shè)a為動(dòng)平臺(tái)A1A2A3外接圓半徑，b為定平臺(tái)B1B2B3外接圓半徑，Ai在動(dòng)坐標(biāo)系｛O′-x yz｝下的矢量和點(diǎn)Bi在定坐標(biāo)系［O-x yz］下的矢量分別為：

動(dòng)平臺(tái)外接圓中心在定坐標(biāo)系｛O-x yz｝下的位置矢量：

建立矢量方程式（3）：

則3UPS-UP的位置逆解為：

式（3）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得：

其中，J L∈R3×6即為剛性驅(qū)動(dòng)鏈速度雅可比矩陣。

2.3 3UPS-UP并聯(lián)機(jī)器人模態(tài)與諧響應(yīng)分析

根據(jù)3UPS-UP并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)際工作情況來固定靜平臺(tái)，然后通過ANSYS做結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)分析；得到該機(jī)構(gòu)的前6階固有頻率（見表1）。

表1 3UPS-UP并聯(lián)機(jī)器人固有頻率Tab.1 Natural frequency of 3UPS-UP parallel robot

分析出并聯(lián)機(jī)構(gòu)在0～60 Hz范圍內(nèi)機(jī)構(gòu)的響應(yīng)情況。圖3～圖5為3UPS-UP并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)沿X，Y，Z的位移響應(yīng)曲線。

由X，Y，Z的位移響應(yīng)曲線圖可以看出在1，2階固有頻率附近，動(dòng)平臺(tái)沿X，Z方向容易產(chǎn)生影響；3，4階固有頻率附近，動(dòng)平臺(tái)沿X，Y，Z方向產(chǎn)生的影響最為明顯；表示17 Hz和65 Hz的頻率對(duì)3UPS-UP并聯(lián)機(jī)器人最容易造成破壞。所以說明該機(jī)構(gòu)在剛度和穩(wěn)定性方面都達(dá)到應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)。

圖3 動(dòng)平臺(tái)沿X軸方向位移響應(yīng)曲線Fig.3 The displacement response curve of the moving platform along the X axis

圖4 動(dòng)平臺(tái)沿Y軸方向位移響應(yīng)曲線Fig.4 The displacement response curve of the moving platform along the Y axis

圖5 動(dòng)平臺(tái)沿Z軸方向位移響應(yīng)曲線Fig.5 The displacement response curve of the moving platform along the Z axis

3 3UPS-UP并聯(lián)機(jī)器人控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

3.1 基于SimMechanic工具箱的機(jī)器人建模

首先打開之前做好的三維建模裝配體，對(duì)其進(jìn)行模型的簡化，盡量減少不必要的細(xì)節(jié)同時(shí)要注意關(guān)節(jié)之間的約束關(guān)系；改進(jìn)后的并聯(lián)機(jī)器人物理模型，如圖6所示。

圖6 改進(jìn)后的并聯(lián)機(jī)器人物理模型Fig.6 Improved Parallel robot physical model

3.2 搭建電機(jī)驅(qū)動(dòng)Simscape物理模型

因?yàn)樵诓恍枰幋a器的前提下，Simulink里自帶的步進(jìn)電機(jī)是可以直接輸出位置信號(hào)的，所以可以根據(jù)并聯(lián)機(jī)器人實(shí)際工作場(chǎng)景需求對(duì)初始再進(jìn)行改良。為了適應(yīng)不同初始角度狀態(tài)，在電機(jī)的輸出后將電機(jī)的物理角度信號(hào)轉(zhuǎn)換成模擬值，修改后的電機(jī)模型如圖7所示。

圖7 改進(jìn)后步進(jìn)電機(jī)模型圖Fig.7 Improved model of rear stepper motor

4 模糊PID的搭建與控制仿真結(jié)果

4.1 模糊PID控制器的搭建

模糊控制器的設(shè)計(jì)主要分三步驟，首先定義輸入的隸屬度函數(shù)使其模糊化；再建立規(guī)則庫進(jìn)行模糊推理；最后輸出隸屬度函數(shù)使其清晰化。

通過MATLAB的Fuzzy工具箱，在經(jīng)典PID的基礎(chǔ)上加上模糊控制，使其變成模糊PID。首先設(shè)置輸入、輸出以及其論域的相應(yīng)參數(shù)；在Fuzzy工具箱中設(shè)置輸入為誤差E和誤差變化E C；輸出為ΔK P、ΔK D、ΔK I；人們使用Add Variable指令來增加輸入輸出，并定義輸入和輸出的論域均為（-6，6），如圖8所示。

其次為輸入輸出變量選取對(duì)應(yīng)類型、數(shù)量的隸屬度函數(shù)，在Fuzzy工具箱的Member Function Edit中完成調(diào)試。本文采用部分三角隸屬度函和部分高斯型隸屬度函數(shù)混合的形式；定義的隸屬度函數(shù)，如圖9所示。

圖8 系統(tǒng)的輸入輸出設(shè)定Fig.8 System input and output Settings

圖9 隸屬度函數(shù)的設(shè)定Fig.9 Set of membership functions

然后按照設(shè)計(jì)原則設(shè)計(jì)出模糊規(guī)則，通過Rule Editor界面開始逐一輸入共49條模糊規(guī)則成立模糊規(guī)則庫。模糊規(guī)則庫建立完成以后，可以通過Surface viewer來直接觀測(cè)到3個(gè)輸出ΔK P、ΔK D、ΔK I的模糊規(guī)則和模糊推理曲面并加以修訂和完善規(guī)則庫。完善之后把模糊數(shù)據(jù)庫另存為Fuzzy222.fis格式的文件，如圖10所示。

圖10 完善后的模糊規(guī)則和模糊推理曲面Fig.10 The Improved fuzzy rules and fuzzy inference surfaces

4.2 模糊PID與經(jīng)典PID控制效果對(duì)比

至此模糊PID控制的所有準(zhǔn)備工作已經(jīng)完成，接下來將在一套系統(tǒng)里同時(shí)搭建經(jīng)典PID和模糊PID，并進(jìn)行控制系統(tǒng)各項(xiàng)指標(biāo)性能測(cè)試，比較二者的控制性能。

由于經(jīng)典PID控制和現(xiàn)代控制理論都需要被控對(duì)象的精準(zhǔn)模型，根據(jù)給定的模型和性能指標(biāo)去設(shè)計(jì)控制器，但是在大多數(shù)實(shí)際工程運(yùn)用中會(huì)發(fā)現(xiàn)很多時(shí)候被控對(duì)象的控制模型是存在一定誤差的。如果在并聯(lián)機(jī)構(gòu)底部裝有負(fù)載的時(shí)候調(diào)整PID的參數(shù)，在機(jī)器人變成空載狀態(tài)下再使用相同參數(shù)就很有可能發(fā)生超調(diào)現(xiàn)象，因?yàn)樵谳敵隽勘３植蛔兊那闆r下，其慣性和質(zhì)量變小了，就容易產(chǎn)生超調(diào)。

在Matlab中用上一小節(jié)中做好的模糊數(shù)據(jù)庫搭建一套完整的模糊PID控制系統(tǒng)，同時(shí)搭建一套經(jīng)典PID的控制系統(tǒng)；如圖11所示。

為了比較仿真的可靠性，經(jīng)典PID的參數(shù)是經(jīng)過多次測(cè)試得出比較優(yōu)良的參數(shù)，而模糊PID的數(shù)據(jù)搭建更是根據(jù)查閱各種文獻(xiàn)和幾次測(cè)試后得出的最佳數(shù)據(jù)庫。開始測(cè)試控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能非常重要的指標(biāo)之一的伺服性能，伺服性能代表著控制系統(tǒng)高頻輸入信號(hào)的跟隨能力。在之前控制模型中同時(shí)對(duì)其加入隨機(jī)的高頻信號(hào)模塊。將高頻信號(hào)設(shè)置為采樣時(shí)間為100 s；并且變化幅度大。

圖11 模糊PID與經(jīng)典PID控制模型圖Fig.11 Fuzzy PID and PID control model

如圖12所示，黃色的最初始的輸入信號(hào)曲線在1左右，每隔100 s就會(huì)有一個(gè)較大的隨機(jī)幅值變化，而傳統(tǒng)PID的曲線無法很好的跟隨原始信號(hào)，反應(yīng)是較慢的。如圖13所示，模糊PID的曲線相較傳統(tǒng)PID是更能反應(yīng)原始信號(hào)的情況跟隨的更好。如果要讓并聯(lián)機(jī)器人執(zhí)行高頻且大幅度擺動(dòng)的任務(wù)，模糊PID比傳統(tǒng)PID的效果是更好的。

圖12 經(jīng)典PID伺服性能圖Fig.12 Classic PID servo performance

為了測(cè)試控制系統(tǒng)指標(biāo)的魯棒性，在上一個(gè)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上不改變2種PID的控制參數(shù)，把傳遞函數(shù)的分子改為0.1，相當(dāng)于把機(jī)器人從空載狀態(tài)變?yōu)闈M載；因?yàn)閭鬟f函數(shù)的分子可以理解為物理含義的慣性，仿真結(jié)果如圖14所示。

由圖14可知，在滿載情況下讓并聯(lián)機(jī)器人高頻且大幅度擺動(dòng)，模糊PID雖然不能非常精確的擺動(dòng)到位，但能表現(xiàn)出正確的擺動(dòng)趨勢(shì)；反觀傳統(tǒng)PID則完全無法表現(xiàn)擺動(dòng)趨勢(shì)。綜合以上3個(gè)測(cè)試表明對(duì)于并聯(lián)機(jī)器人來說模糊PID的動(dòng)態(tài)控制性能是比傳統(tǒng)PID要好的，結(jié)合前文建立的并聯(lián)機(jī)器人機(jī)械物理模型和改進(jìn)電機(jī)模型，在并聯(lián)模型的支鏈上；添加模糊PID、驅(qū)動(dòng)和傳感模塊等；建立的SimMechanic機(jī)構(gòu)模型如圖15所示。

圖13 模糊PID伺服性能圖Fig.13 Fuzzy PID servo performance

圖14 模糊PID和經(jīng)典PID魯棒性圖Fig.14 Fuzzy PID and classical PID robustness

圖15 某一支鏈驅(qū)動(dòng)器和傳感器安裝圖Fig.15 Chain drive and sensor installation drawing

取3UPS-UP并聯(lián)機(jī)構(gòu)Z軸方向的位置移動(dòng)和速度。軌跡跟蹤和速度仿真結(jié)果如圖16所示。

如圖16所示，藍(lán)色的軌跡跟蹤曲線當(dāng)跟蹤至0.54 s時(shí)其位移、速度和加速度都趨于穩(wěn)定。說明通過模糊控制可以很好地反映出運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，穩(wěn)定性好、調(diào)節(jié)時(shí)間短和控制動(dòng)態(tài)性的優(yōu)異。

圖16 Z軸方向位移與速度Fig.16 The Z axis displacement

5 結(jié)束語

從零搭建3UPS-UP并聯(lián)機(jī)器人的控制系統(tǒng)，先在MATLAB／SIMULINK中搭建仿真模型；然后同時(shí)搭建經(jīng)典PID和模糊PID兩套控制模型進(jìn)行比較分析；最后用較優(yōu)的模糊PID配合之前的物理模型進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。仿真結(jié)果表明控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能良好達(dá)到控制效果。