基于數(shù)字圖像相關(guān)方法的薄板結(jié)構(gòu)振動功率流可視化

朱海華， 孟 帆， 宋漢文

(同濟大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092)

本文對結(jié)構(gòu)振強的實驗研究基于數(shù)字圖像相關(guān)方法(digital image correlation，DIC)，作為一種非接觸式的全場測量手段，數(shù)字圖像相關(guān)方法可對被測結(jié)構(gòu)進行空間高分辨率的測量。因數(shù)字圖像相關(guān)方法的本底噪聲對于空間微分計算的影響較大，故有限差分方法不可取用。而基于波數(shù)域方法的空間微分計算，因非周期邊界條件帶來的吉伯斯效應(yīng)影響極大，目前相關(guān)實驗研究大多集中于處理四邊夾支薄板。Arruda[26]提出一種退化傅里葉變換的方法以減小波數(shù)域譜的高頻成分，可獲得較好的微分計算結(jié)果。這種方法通過樣條外插對四邊固支或簡支板的位移場進行插值處理，使其滿足周期邊界條件，但是這種算法依賴于插值范圍及精度，故計算結(jié)果的精確性較難把握。

本文工作將基于數(shù)字圖像相關(guān)方法獲得薄板結(jié)構(gòu)全場運動數(shù)據(jù)，并通過傅里葉級數(shù)連續(xù)延拓空間信號以消除吉伯斯效應(yīng)所引入的高頻影響，提高空間微分計算精度，進一步得到振動功率流。通過對結(jié)構(gòu)振強及其散度場的可視化，可實現(xiàn)對能量傳遞路徑及振源識別的直觀表征，為下一步的結(jié)構(gòu)振動與噪聲控制奠定基礎(chǔ)。

1 基本理論

1.1 結(jié)構(gòu)振強

在薄板結(jié)構(gòu)中，功率流由板內(nèi)廣義力與其相對應(yīng)的速度作用產(chǎn)生，在克?；舴虮“宓募僭O(shè)下，彎曲波對板振動能量的貢獻最大[27]。圖1所示為各向同性的均質(zhì)薄板在純彎曲狀態(tài)下的板單元所受內(nèi)力狀態(tài)，單元所受的主要內(nèi)力為剪力、彎矩及扭矩，結(jié)構(gòu)振強定義為

(1)

(2)

式(1)和式(2)表示單位時間內(nèi)，x，y方向單位截面的功率流。式中：Mx，My為彎矩，由法向應(yīng)力合成；Mxy，Myx為扭矩，由面內(nèi)切應(yīng)力合成；Qx，Qy為剪力，由橫向切應(yīng)力合成。各內(nèi)力作用方向上對應(yīng)的廣義位移分別為轉(zhuǎn)角θx，θy及橫向位移w。根據(jù)克?；舴蚣僭O(shè)，式(1)和式(2)中各內(nèi)力及速度分量可表達為關(guān)于撓度的物理量，則式(1)和式(2)可表示為

(3)

(4)

式中， 〈〉t為時間上的平均量，以此表示單位時間內(nèi)板單元內(nèi)流過的能量即功率。

圖1 板單元受力狀態(tài)Fig.1 Generalized forces per unit in plate element

對結(jié)構(gòu)振強進行流場可視化表達，流線上各點的切線方向與功率流矢量方向一致，因此其數(shù)學(xué)表達式為[28]

(5)

(6)

而對于板單元這樣的二維結(jié)構(gòu)而言，式(6)可以簡化為如下形式以刻畫矢量場

(7)

通過流線可視化技術(shù)，可直觀表征振動能量傳遞的傳遞方式。若結(jié)構(gòu)中包含能量的注入?yún)^(qū)域，則通過對式(8)所示結(jié)構(gòu)振強的散度場的可視化表達，可明顯直觀地觀察到振源位置。

(8)

1.2 基于波數(shù)域的空間微分及濾波方法

由式(3)和式(4)可知，除材料的力學(xué)性質(zhì)及薄板厚度外，結(jié)構(gòu)振強的計算依賴于板的撓度和速度及其對空間的高階微分，若數(shù)值誤差較大，則會嚴重影響功率流及振源位置的可視化，故對于數(shù)值微分計算的精確性尤為重要。通過對二維場進行空間傅里葉變換(spatial fourier transform, SFT)，基于波數(shù)域計算數(shù)值微分的方法，具有全局性、精確性及克服噪聲影響等優(yōu)勢，高階微分可表示為

(9)

W(kx,ky)=F{w(x,y)}

(10)

式中：F為空間傅里葉變換算子；(kx,ky)為波數(shù)域坐標(biāo)；(x,y)為空間域坐標(biāo)；m，n分別為在x，y上的微分階數(shù)；W為空間二維信號w的空間傅里葉變換結(jié)果； j為虛數(shù)單位。

觀察式(9)可知，基于波數(shù)域的數(shù)值微分計算中，波數(shù)域中的高頻成分會在高階導(dǎo)數(shù)的計算中被急劇放大，從而極大影響計算結(jié)果的準(zhǔn)確性。而對于DIC實驗而言，實驗所得位移場在波數(shù)域中所對應(yīng)的高頻分量由兩部分原因造成： 一方面是邊界條件的非周期性導(dǎo)致的吉伯斯效應(yīng)，從而在波數(shù)域中引入高頻成分；另一方面是位移場中分布的空間噪聲。本節(jié)提出二維傅里葉連續(xù)延拓的方法構(gòu)造空間周期信號，消除吉伯斯效應(yīng)的影響；再針對空間去噪，引入波數(shù)域低通濾波。

1.2.1 傅里葉連續(xù)延拓

對于薄板結(jié)構(gòu)實驗所測實際位移或速度場，在邊界處并不滿足周期性要求，存在吉伯斯效應(yīng)，由此引入的高頻成分會在微分計算中導(dǎo)致很嚴重的誤差。本文改進文獻中信號延拓的方法[29]，使其適用于二維信號的處理，通過傅里葉級數(shù)擬合的方法，延拓原空間信號使其滿足周期邊界條件，消除吉伯斯效應(yīng)。其數(shù)學(xué)表達式為

(11)

bx及by表示在x和y方向上的延拓周期，通常選為原信號區(qū)間的兩倍。即原信號區(qū)間為[0,ax]×[0,ay]時，則延拓后信號的區(qū)間為[0,bx]×[0,by]，其中bx=2ax，by=2ay。當(dāng)My為偶數(shù)時，kn=n-My/2，My為奇數(shù)時，kn=n-(My+1)/2;當(dāng)Mx為偶數(shù)時，km=m-Mx/2，Mx為奇數(shù)時，km=m-(Mx+1)/2。未知系數(shù)Amn可通過原信號得到最小二乘意義下的解

(12)

xp和yq分別表示x，y方向上的第p個、第q個坐標(biāo)，w(xp,yq)表示區(qū)間[0,ax]×[0,ay]的原信號。將式(13)以矩陣形式表示，w(xp,yq)及Amn重構(gòu)為一維向量

(13)

(14)

(15)

則上式表示為求解方程[B]{α}≈{w}在區(qū)間[0,ax]×[0,ay]上的解。通過對[B]進行SVD分解，則系數(shù)矩陣的解為

(16)

圖2所示為函數(shù)f(x,y)=0.1ex+y在區(qū)間[0,1]×[0,1]的圖形，經(jīng)過傅里葉連續(xù)延拓至區(qū)間[0,2]×[0,2]構(gòu)成滿足周期邊界條件的二維信號，如圖3所示。

圖2 f(x,y)=0.1ex+y在區(qū)間[0,1]×[0,1]上初始信號Fig.2 Initial signal in[0,1]×[0,1]

圖3 經(jīng)延拓至[0,2]×[0,2]的周期信號Fig.3 Periodic signal after continuation in the interval[0,2]×[0,2]

1.2.2 波數(shù)域低通濾波

去除吉伯斯效應(yīng)所引入的高頻影響后，再針對位移場中的空間噪聲引入的高頻分量進行剔除。與有限差分方法相比，對空間信號進行低通濾波再計算空間導(dǎo)數(shù)，波數(shù)域微分方法的精確性更不易受噪聲影響。本文采用Li等改進的波數(shù)域濾波方法，濾波效果由截止波數(shù)kc及參數(shù)s控制。窗函數(shù)表達式為

(17)

(18)

1.3 三維數(shù)字圖像相關(guān)方法(3D-DIC)

數(shù)字圖像相關(guān)方法作為一種非接觸式的光學(xué)測量方法，可獲得被測結(jié)構(gòu)的三維全場運動信息。數(shù)字圖像相關(guān)方法首先在被測結(jié)構(gòu)表面進行預(yù)處理，形成高對比度的二維隨機散斑。利用雙目高速攝像機記錄結(jié)構(gòu)運動過程的系列圖像信息，并將圖像劃分為若干虛擬子集(見圖4)，通過對每個子集的追蹤可得到結(jié)構(gòu)整體的二維運動。散斑的隨機性保障了子集匹配的唯一性，最后基于雙目視覺的三角測量原理(見圖5)，將像素坐標(biāo)重構(gòu)為三維世界坐標(biāo)，獲得結(jié)構(gòu)實際運動信息。

圖4 散斑子集示意圖Fig.4 Diagram of speckle subset and substep

圖5 視覺測量原理示意圖Fig.5 Principle of vision measurement

近年來，隨著攝像機性能的提高，以及計算機存儲能力的飛躍發(fā)展，國內(nèi)外已有一定量的研究將數(shù)字圖像相關(guān)方法應(yīng)用到結(jié)構(gòu)的動力學(xué)測試中。文獻[30]利用數(shù)字圖像相關(guān)方法提取干燥箱面板的前三階振型，并與有限元計算結(jié)果對比，闡述了此方法在模態(tài)分析中的適用性。Reu等[31]使用數(shù)字圖像相關(guān)方法及激光多普勒測量儀分別對一塊鋁板進行模態(tài)分析，對比不同方法所辨識得到的模態(tài)參數(shù)，證明了數(shù)字圖像相關(guān)方法在振動測試中的優(yōu)越性。Rizo-Patron等[32]利用數(shù)字圖像相關(guān)方法對直升機旋翼葉片進行了工況模態(tài)分析，得到葉片模型在不同轉(zhuǎn)速下的前三階固有頻率。

目前數(shù)字圖像相關(guān)方法在結(jié)構(gòu)振動測試中已有一定數(shù)量的研究工作，其有效性及精確性等優(yōu)點已得到證實。而基于此方法對結(jié)構(gòu)振動能量相關(guān)的研究甚少，本文工作主要利用其非接觸式、空間高分辨率的全場測量優(yōu)勢，展開對薄板結(jié)構(gòu)功率流可視化的研究，計算流程如圖6所示。首先通過數(shù)字圖像相關(guān)方法獲得結(jié)構(gòu)表面振動過程的全場分布，通過傅里葉連續(xù)延拓重構(gòu)為周期邊界信號，再進行波數(shù)域上的濾波以及微分計算，最后得到空間微分結(jié)果，進一步計算各方向上的振動功率流。

圖6 數(shù)據(jù)處理流程圖Fig.6 Flow chart of data processing

2 實驗研究

本文采用DIC展開振動功率流的實驗研究，測量并計算得到了薄板結(jié)構(gòu)在不同激勵頻率下的工作變形形狀(operational deflection shape, ODS)以及結(jié)構(gòu)振強。實驗對象為各項同性的復(fù)合材料薄板，相關(guān)材料參數(shù)見表1。薄板通過螺栓與型材框架固定，并將結(jié)構(gòu)利用角鋼夾持固定在隔振臺上，利用激振器作為激勵源。雙目攝像機通過同步控制儀外觸發(fā)拍攝，圖像輸出到工控機內(nèi)儲存，實驗裝置如圖7所示，其中圖7(b)為表面散斑。激勵位置離右下角水平距離為75 mm,垂直距離為50 mm，如圖7(b)所示。綜合考慮視場大小、測點的空間分辨率以及所關(guān)心的振動頻率，在相機硬件條件的允許下，相機設(shè)置及散斑等相關(guān)參數(shù)見表2。

表1 薄板相關(guān)物理參數(shù)Tab.1 Physical parameter of plate

圖7 實驗裝置圖Fig.7 Diagram of experiment setup

表2 相機及散斑相關(guān)參數(shù)Tab.2 Parameter of stereo camera and speckle

首先對薄板進行預(yù)實驗，通過雙目相機記錄結(jié)構(gòu)在白噪聲隨機激勵下振動過程的圖像信息，并通過數(shù)字圖像相關(guān)方法獲得實際振動信號，進一步得到結(jié)構(gòu)的前四階固有頻率，如表3所示。

表3 前四階固有頻率Tab.3 First four modal frequency

選取所關(guān)心的前四階頻率作為輸入頻率，對結(jié)構(gòu)進行單頻正弦激勵，獲得各頻率下的工作變形形狀，如圖8所示；以及各頻率激勵下的ODS在波數(shù)域上的頻譜圖，如圖9所示。

因基于數(shù)字圖像相關(guān)方法測量的實驗往往在邊界處不能獲得良好的數(shù)據(jù)。在舍棄邊界值之后，ODS并不滿足理想的周期邊界條件，故因吉伯斯效應(yīng)而在空間頻譜上引入了高頻分量，如圖9所示。為消除其在基于波數(shù)域的微分計算過程中的影響，采用1.2節(jié)所述的傅里葉連續(xù)延拓的方法，并聯(lián)合空間低通濾波。截止波數(shù)的選取依據(jù)有限元計算的理論結(jié)果，因位移場所對應(yīng)的波數(shù)隨著振動頻率的升高而增大，故在本文所關(guān)心的頻率范圍內(nèi)，選取有限元計算結(jié)果的第四階振型所對應(yīng)的最高波數(shù)作為截止波數(shù)。圖10中：圖10(a)所示為第四階計算模態(tài)振型；圖10(b)和圖10(c)為其對應(yīng)的波數(shù)域頻譜，可以發(fā)現(xiàn)波數(shù)分布集中在65 rad/m范圍內(nèi)。故選取65 rad/m作為截止波數(shù)，以避免對實驗數(shù)據(jù)的過渡濾波。

圖8 不同頻率下歸一化的ODSFig.8 Operational deflection shape normalized by their respective maximum values

通過圖6所述數(shù)據(jù)處理流程基于波數(shù)域計算空間微分，進一步得到結(jié)構(gòu)振強及其散度場，如圖11所示。

圖11(a)～圖11(d)中流線圖分別為71.6 Hz，120.8 Hz，167.0 Hz及207.4 Hz激勵下的結(jié)構(gòu)振強矢量場，云圖表示結(jié)構(gòu)振強所對應(yīng)的歸一化散度場。通過觀察圖像發(fā)現(xiàn)，隨著激勵頻率的升高，功率流的傳遞路徑也愈加復(fù)雜，渦流表示能量出現(xiàn)了匯聚。盡管不同激勵頻率下結(jié)構(gòu)振強的流線圖不同，但其對應(yīng)的散度場大致相同。高亮區(qū)域為散度場的極值，即代表能量的注入點。通過與實驗中激振器激勵點進行對比，振源位置吻合良好。

圖9 不同頻率下ODS的波數(shù)域頻譜Fig.9 Wavenumber domain representation of the ODS

圖10 截止波數(shù)的選取Fig.10 Cut-off wavenumber

3 仿真算例

利用ANSYS對薄板進行建模計算，邊界條件設(shè)置為四邊固支，通過計算模態(tài)分析得到前四階固有頻率(見表4)。

采用ANSYS諧響應(yīng)分析模塊計算薄板在關(guān)心頻率下的內(nèi)力及速度響應(yīng)結(jié)果，通過MATLAB計算結(jié)構(gòu)振強并得到如圖12所示的可視化結(jié)果。

表4 前四階固有頻率Tab.4 First four modal frequency

圖11 結(jié)構(gòu)振強及其散度場Fig.11 Structural intensity and divergence fields with respect to SI

圖12 結(jié)構(gòu)振強及其散度場仿真結(jié)果Fig.12 Results of FEM for structural intensity and divergence fields with respect to SI

對比DIC實驗與有限元計算結(jié)果，前四階固有頻率相差在5%以內(nèi)，結(jié)構(gòu)振強場的振源位置吻合良好。

4 結(jié) 論

本文工作基于視覺測量手段的數(shù)字圖像相關(guān)方法，利用其非接觸及空間高分辨率測量的優(yōu)勢，展開對薄板結(jié)構(gòu)振動功率流的可視化研究，得到以下結(jié)論：

(1) 通過數(shù)字圖像相關(guān)方法獲得了薄板結(jié)構(gòu)前四階固有頻率，以及關(guān)注頻率下的工作變形形狀。

(2) 采用傅里葉連續(xù)延拓的信號處理方法，實現(xiàn)了較好的空間微分計算結(jié)果，進一步得到了結(jié)構(gòu)振強及其散度場。利用流線可視化技術(shù)并結(jié)合散度場云圖，實現(xiàn)了對結(jié)構(gòu)振動功率流以及振源的可視化。

數(shù)字圖像相關(guān)方法的全場測量優(yōu)勢為實驗數(shù)據(jù)帶來豐富測點信息，并且不會改變系統(tǒng)的固有動力學(xué)特性，為薄板結(jié)構(gòu)振動功率流的實驗研究提供了有效手段。通過對能量傳遞路徑以及振源識別的可視化，為進一步振動控制奠定基礎(chǔ)。