分?jǐn)?shù)階RLαCβ電路阻抗函數(shù)含分?jǐn)?shù)階耦合電感的W域無(wú)源綜合方法

梁貴書， 桑雨柔， 李天文

(1.華北電力大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，河北 保定 071003； 2.國(guó)網(wǎng)重慶市電力公司，重慶 400015)

0 引 言

分?jǐn)?shù)階微積分幾乎和整數(shù)階微積分同時(shí)出現(xiàn)，但直到近些年，人們才發(fā)現(xiàn)其相較于整數(shù)階微積分能夠更好地描述自然科學(xué)及工程領(lǐng)域中的一些現(xiàn)象。在傳統(tǒng)電路中引入分?jǐn)?shù)階元件，便可得到分?jǐn)?shù)階電路。一方面，分?jǐn)?shù)階電路模型可作為實(shí)際分?jǐn)?shù)階電路的抽象，用于設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階濾波器[1]、分?jǐn)?shù)階振蕩器[2]，分?jǐn)?shù)階參數(shù)可為電路的設(shè)計(jì)提供額外的自由度；另一方面，分?jǐn)?shù)階電路模型可被應(yīng)用于電力電子系統(tǒng)及生物系統(tǒng)：如在電氣電子系統(tǒng)中建立超級(jí)電容器[3]]、燃料電池[4]、鋰電池的模型[5]，在生物系統(tǒng)中建立的用于表征生物組織的Cole阻抗模型[6]、電極-組織界面模型[7]及分?jǐn)?shù)階呼吸模型[8]等等。目前對(duì)于分?jǐn)?shù)階電路的研究包含分?jǐn)?shù)階電路分析和分?jǐn)?shù)階電路綜合，電路的設(shè)計(jì)及實(shí)現(xiàn)需要以電路綜合的理論為基礎(chǔ)，因此對(duì)分?jǐn)?shù)階電路綜合的研究十分有必要。

目前分?jǐn)?shù)階電路綜合理論尚未有統(tǒng)一的方法，但可以通過(guò)分類研究，對(duì)部分類型的阻抗函數(shù)進(jìn)行綜合實(shí)現(xiàn)。對(duì)于類型簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)階阻抗函數(shù)，可以直接在s域中研究，文獻(xiàn)[9，10]討論了由分?jǐn)?shù)階元件及整數(shù)階RLC元件組成的網(wǎng)絡(luò)，其阻抗函數(shù)實(shí)現(xiàn)的條件，文獻(xiàn)[11，12]討論了分?jǐn)?shù)階雙二次型阻抗函數(shù)由一個(gè)純電阻三口網(wǎng)絡(luò)端接兩個(gè)分?jǐn)?shù)階元件的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。當(dāng)分?jǐn)?shù)階阻抗函數(shù)的形式較為復(fù)雜時(shí)，可通過(guò)變量代換將分?jǐn)?shù)階阻抗函數(shù)變?yōu)槎嘧兞孔杩购瘮?shù)，或者通過(guò)s-W變換，在W域中進(jìn)行研究。文獻(xiàn)[13]將經(jīng)典的Darlington綜合方法拓展至雙變量的情形，并基于雙變量綜合方法和變量替換，提出了雙元次分?jǐn)?shù)階阻抗函數(shù)的綜合方法。文獻(xiàn)[14]基于文獻(xiàn)[13]的基礎(chǔ)上，提出了三變量阻抗函數(shù)的Darlington綜合方法。上述在多變量域中分?jǐn)?shù)階阻抗函數(shù)綜合方法需要用到多口變壓器及回轉(zhuǎn)器，為電路的實(shí)現(xiàn)增加了難度。s-W變換可用于分?jǐn)?shù)階電路的研究，通過(guò)該變換可將s域中的分?jǐn)?shù)階階次變?yōu)閃域中的整數(shù)階階次。文獻(xiàn)[15，16]在W域中對(duì)分?jǐn)?shù)階RLβCα電路的瞬態(tài)過(guò)程進(jìn)行了分析。分?jǐn)?shù)階阻抗函數(shù)在W域中的綜合方法研究目前成果不多，文獻(xiàn)[17]基于s-W變換，研究了W域中阻抗函數(shù)的正實(shí)性，并得到了正實(shí)性等價(jià)判據(jù)。文獻(xiàn)[19]對(duì)文獻(xiàn)[17]中的正實(shí)性等價(jià)判據(jù)進(jìn)行了改進(jìn)，并研究了分?jǐn)?shù)階LαCβ兩種元件電路對(duì)應(yīng)的導(dǎo)抗函數(shù)在W中的考爾綜合法和福斯特綜合法。

分?jǐn)?shù)階RLαCβ電路阻抗函數(shù)可先通過(guò)阻抗換標(biāo)，然后通過(guò)雙變量電抗函數(shù)的綜合方法進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，但該方法綜合得到的電路含有多口變壓器，且綜合過(guò)程較為復(fù)雜?；诖耍疚耐ㄟ^(guò)s-W變換，首先研究了分?jǐn)?shù)階RLαCβ電路阻抗函數(shù)在W域中能夠無(wú)源綜合的充分條件，接著提出了這類阻抗函數(shù)的一般綜合方法，綜合的電路以分?jǐn)?shù)階耦合電感替代了多口變壓器，便于實(shí)際電路模型的搭建，且與以往的方法相比綜合過(guò)程較為簡(jiǎn)便。文章最后通過(guò)實(shí)例對(duì)提出的綜合方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 分?jǐn)?shù)階RLαCβ阻抗函數(shù)W域無(wú)源實(shí)現(xiàn)條件及綜合步驟

1.1 分?jǐn)?shù)階元件

分?jǐn)?shù)階電路由分?jǐn)?shù)階元件和整數(shù)階元件構(gòu)成。目前較為常見(jiàn)的分?jǐn)?shù)階元件有分?jǐn)?shù)階電容[21]、分?jǐn)?shù)階電感[22]、分?jǐn)?shù)階耦合電感[23]，下面對(duì)這些元件的特性作簡(jiǎn)要的說(shuō)明。

(1)分?jǐn)?shù)階電容

分?jǐn)?shù)階電容在時(shí)域的伏安關(guān)系為

(1)

式中：β表示無(wú)源分?jǐn)?shù)階電容的元次，β∈0,1，Cβ表示分?jǐn)?shù)階電容的值，F(xiàn)/s1-β，分?jǐn)?shù)階電容的符號(hào)如圖1所示。

圖1 分?jǐn)?shù)階電容符號(hào)Fig.1 Symbol of fractional capacitance

分?jǐn)?shù)階電容對(duì)應(yīng)的s域阻抗為

(2)

對(duì)式(2)作s-W變換[17]，設(shè)α=nα/m，令w=s1/m，那么可得到分?jǐn)?shù)階電容W域的阻抗為

(3)

(2)分?jǐn)?shù)階電感

分?jǐn)?shù)階電感在時(shí)域的伏安關(guān)系為

(4)

式中：α表示分?jǐn)?shù)階電感的階次，Lα表示分?jǐn)?shù)階電感的值，H/s1-α，分?jǐn)?shù)階電感的符號(hào)如圖2所示。

圖2 分?jǐn)?shù)階電感符號(hào)Fig.2 Symbol of fractional inductor

分?jǐn)?shù)階電感對(duì)應(yīng)的s域阻抗為

ZLαs=sαLα

(5)

分?jǐn)?shù)階電感在W域中的阻抗為

ZLαw=wnαLα

(6)

(3)分?jǐn)?shù)階耦合電感

分?jǐn)?shù)階耦合電感的特性方程為

(7)

式中：L11,L22為分?jǐn)?shù)階耦合電感的偽自感值；M12,M21為分?jǐn)?shù)階耦合電感的偽互感值；α,β為分?jǐn)?shù)階耦合電感偽自感的元次；γ1,γ2為分?jǐn)?shù)階耦合電感偽互感的元次。分?jǐn)?shù)階耦合電感的符號(hào)如圖3所示。

圖3 分?jǐn)?shù)階耦合電感符號(hào)Fig.3 Symbol of fractional coupled inductance

分?jǐn)?shù)階耦合電感對(duì)應(yīng)在s域中的阻抗矩陣為

(8)

分?jǐn)?shù)階耦合電感在W域中的阻抗矩陣為

(9)

1.2 W域中分?jǐn)?shù)階雙元次線性阻抗函數(shù)

雙元次線性分?jǐn)?shù)階阻抗函數(shù)在W域的表達(dá)式為[19]

(10)

式中：ηi=mci/di=mαi,i=1,2，其中α1,α2分別表示分?jǐn)?shù)階元件的兩個(gè)階次；n1,n2表示不同階次元件的個(gè)數(shù)；al1,l2,bl1,l2,c,d為實(shí)常數(shù)。

分?jǐn)?shù)階RLαCβ電路阻抗函數(shù)可作為雙元次分?jǐn)?shù)階阻抗函數(shù)的特殊情況，阻抗函數(shù)的表達(dá)式相似。根據(jù)布隆的推導(dǎo)[20]，在整數(shù)階電路中若阻抗(導(dǎo)納)函數(shù)正實(shí)和無(wú)源性等價(jià)。在分?jǐn)?shù)階電路中，經(jīng)過(guò)變量替換w=s1/m后，阻抗函數(shù)在θW≤π/2m內(nèi)正實(shí)和能以梯形電路的形式無(wú)源綜合不再等價(jià)，下面將舉例說(shuō)明。

例1 考慮如下的分?jǐn)?shù)階阻抗函數(shù)

(11)

將式(11)的阻抗函數(shù)表達(dá)式作s-W變換，得到W域的阻抗函數(shù)表達(dá)式如式(12)所示，其中m=2

(12)

令w=rejθ，其中θ≤π/4，在Matlab中作式(12)所示的復(fù)變函數(shù)的圖像如圖4所示，其中實(shí)部的值由z軸表示，虛部的值由三維圖的顏色表示。

圖4 式(12)的阻抗函數(shù)圖Fig.4 Impedance function diagram of equation (12)

由該圖可見(jiàn)，阻抗函數(shù)Zw在θ≤π/4內(nèi)正實(shí)。

對(duì)該阻抗函數(shù)在W域中以梯形電路進(jìn)行綜合，得到如圖5所示的電路圖，該電路圖包含元件值為-1的電感，因此無(wú)法無(wú)源綜合。

圖5 由式(11)得到的綜合電路圖Fig.5 Circuit of impedance function expressed by formula (11)

1.3 無(wú)源綜合的充分條件

定理1的證明過(guò)程見(jiàn)附錄。

W域中對(duì)分?jǐn)?shù)階RLαCβ電路阻抗函數(shù)綜合可遵循以下步驟：

(1)對(duì)分?jǐn)?shù)階RLαCβ電路阻抗函數(shù)Zs作s-W變換，得到W域的阻抗函數(shù)Zw。

(4)計(jì)算余函數(shù)Z2w在w=τ′+jω其中τ′=tanπ/nα+nβ-1處的實(shí)部與虛部，移去部分實(shí)部的最小值Rmin，使得余下的實(shí)部與虛部在w=τ′+jω處滿足Zr=Zicotnαπ/nα+nβ，移去的Rmin作為電阻串聯(lián)在電路中。重復(fù)步驟(2)和(3)，檢驗(yàn)新的余函數(shù)的零極點(diǎn)。由于阻抗函數(shù)滿足定理1中的充分條件，因此移去Rmin后余函數(shù)正實(shí)。

2 最小函數(shù)的綜合

2.1 RLαCβ電路W域最小函數(shù)

分?jǐn)?shù)階RLαCβ電路阻抗函數(shù)在W域中有如下的最小函數(shù)的概念。

定義1 對(duì)于W域的RLαCβ電路的導(dǎo)抗函數(shù)Zw來(lái)說(shuō)，若滿足以下條件，那么將Zw稱之為最小函數(shù)。

(1)Zw在原點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)處不存在零極點(diǎn)；

(2)Zw在wnα+nβ+ω2=0的解對(duì)應(yīng)的軸上不存在完備零極點(diǎn)；

(3)Rmin=Zr-Zicotnαπ/nα+nβ在軸π/nα+nβ上的某一頻率ω0處取得最小值為0；

其中Zr與Zi分別表示Zτ′+jω的實(shí)部與虛部，τ′=tanπ/nα+nβ-1。nα、nβ為分?jǐn)?shù)階電感與電容在W域的階次。

2.2 RLαCβ電路W域最小函數(shù)的布隆綜合法

當(dāng)阻抗函數(shù)無(wú)法再通過(guò)1.3節(jié)提取零極點(diǎn)的方式進(jìn)行綜合時(shí)，可通過(guò)構(gòu)造最小函數(shù)的方法對(duì)其進(jìn)行綜合。令L1=Zτ′+jω0/τ′+jω0nα，并分為L(zhǎng)1>0和L1<0兩種情況來(lái)討論，本文以L1>0為例，綜合的步驟如下。

(1)提取負(fù)值電感，提取的分?jǐn)?shù)階電感元件值為L(zhǎng)1=Zτ′+jω0/τ′+jω0nα，并將其串聯(lián)在電路中。提取分?jǐn)?shù)階電感后，余函數(shù)為Z1w=Zw-L1wnα，由于Zw正實(shí)，且L1<0。故余函數(shù)Z1w正實(shí)。

(2)消去Z1w在w=τ′+jω0處的零點(diǎn)，余阻抗函數(shù)Z1w在w=τ′+jω0處存在零點(diǎn)，因此對(duì)應(yīng)的余導(dǎo)納函數(shù)Y1w在w=τ′+jω0處存在極點(diǎn)，即余導(dǎo)納函數(shù)可被分解為以下形式

(13)

(3)消去Z2w在無(wú)窮遠(yuǎn)處的極點(diǎn)，由于Z1w在w→∞處存在極點(diǎn)，因此Y1w在w→∞處存在零點(diǎn)，根據(jù)式(13)，當(dāng)w→∞時(shí)，Y2w→0，因此Z2w=1/Y2w在w→∞處有極點(diǎn)，可將這一極點(diǎn)提取，電路綜合為串聯(lián)電感L3，余函數(shù)

Z3w=Z2w-L3wnα

(14)

電感L3為正，且余阻抗函數(shù)Z3w正實(shí)，阻抗函數(shù)的電路實(shí)現(xiàn)如圖6(a)所示，圖6(a)所示的電路可等效為圖6(b)，此時(shí)負(fù)值電感被消除，圖6(a)和圖6(b)元件值的對(duì)應(yīng)關(guān)系為L(zhǎng)11=L1+L2,L22=L2+L3,M=L2。

圖6 L1>0時(shí)的布隆實(shí)現(xiàn)Fig.6 Brune realization when L1>0

圖6中由電感和電容構(gòu)成的二端口網(wǎng)絡(luò)稱為一個(gè)布隆節(jié)，當(dāng)L1<0時(shí)，綜合的過(guò)程與L1>0的情況成對(duì)偶關(guān)系，綜合得到的一個(gè)布隆節(jié)如圖7(a)所示，圖7(a)所示的電路等效為圖7(b)，進(jìn)而可以等效為圖6(b)所示的含分?jǐn)?shù)階耦合電感的二端口網(wǎng)絡(luò)。對(duì)阻抗函數(shù)布隆循環(huán)綜合即可得到最終的電路圖。

圖7 L1<0時(shí)的布隆節(jié)Fig.7 Brune section when L1<0

3 綜合示例

例2 綜合含RLαCβ元件的分?jǐn)?shù)階阻抗函數(shù)如式(15)所示

(15)

令m=20，可得nα=m·α=14,nβ=m·β=7，得到阻抗函數(shù)Zs在W域中的表達(dá)式為

(16)

圖8 阻抗函數(shù)的電路圖Fig.8 Circuit of impedance function

對(duì)圖8所示的電路分別施加圖9所示的正弦穩(wěn)態(tài)電流和暫態(tài)電流，得到數(shù)學(xué)計(jì)算和電路仿真的情況下得到的端口電壓響應(yīng)如圖10所示，對(duì)比發(fā)現(xiàn)，兩者的結(jié)果一致，說(shuō)明用本文的方法得到的綜合電路圖正確。

圖9 電流激勵(lì)Fig.9 Current excitation

圖10 端口電壓響應(yīng)Fig.10 Port voltage response

4 結(jié) 論

分?jǐn)?shù)階電路相較于整數(shù)階電路增加了電路設(shè)計(jì)的自由度，分?jǐn)?shù)階電路綜合理論不僅可以用于設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階濾波器、分?jǐn)?shù)階振蕩器等，還可以在其他工程領(lǐng)域建立相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階電路模型。

本文研究了RLαCβ電路阻抗函數(shù)無(wú)源綜合的充分條件，給出了RLαCβ電路W域最小函數(shù)的定義并提出了最小函數(shù)的布隆綜合法，并通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了方法的有效性。本文給出的綜合方法與以往的綜合方法相比，綜合的電路無(wú)需多口變壓器和回轉(zhuǎn)器，綜合過(guò)程更加簡(jiǎn)便。本文的研究?jī)?nèi)容豐富了分?jǐn)?shù)階阻抗函數(shù)無(wú)源綜合的理論，并為后續(xù)分?jǐn)?shù)階電路綜合方法的研究做出了鋪墊。