沖擊載荷下分段線性剛度能量阱的優(yōu)化研究

崔泰毓， 張 雷， 賈學(xué)志， 魏 磊

(1. 中國科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，長(zhǎng)春 130032；2. 中國科學(xué)院大學(xué),北京 100049； 3. 長(zhǎng)光衛(wèi)星技術(shù)有限公司，長(zhǎng)春 130031)

在發(fā)射階段，衛(wèi)星會(huì)經(jīng)歷運(yùn)載火箭發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火，火工品爆炸等一系列沖擊激勵(lì)。對(duì)于光學(xué)遙感載荷而言，這種過度振動(dòng)可能會(huì)使高度輕量化的光學(xué)部件產(chǎn)成不良影響甚至永久破壞。在航天器振動(dòng)抑制領(lǐng)域，非線性能量阱吸振器以其以其振動(dòng)能量耗散效率高，魯棒性好和質(zhì)量小的特點(diǎn)[1-2]，已越來越多的被應(yīng)用于航天設(shè)備振動(dòng)抑制中[3-6]。非線性能量阱(nonlinear energy sinks,NES)是一種被動(dòng)減振設(shè)備，它附加在主結(jié)構(gòu)(即振動(dòng)抑制對(duì)象)上，通過能量定向傳遞現(xiàn)象(target energy transfer,TET)對(duì)主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)能量進(jìn)行高效的吸收和耗散。

能量定向轉(zhuǎn)移是指一定條件下，主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)能量可以向NES高效，單向傳遞的現(xiàn)象。這是NES實(shí)現(xiàn)振動(dòng)抑制的主要原因，故研究NES觸發(fā)TET的參數(shù)條件一直是該領(lǐng)域的研究重點(diǎn)。Vakakis[1]最早發(fā)現(xiàn)帶有立方剛度的NES受初始沖擊載荷大于某個(gè)臨界值時(shí)，系統(tǒng)中才會(huì)發(fā)生TET。Gendelman等[7]和Lee等[8]研究了NES和主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量比對(duì)系統(tǒng)TET的影響，研究證明NES需要在質(zhì)量比足夠小的情況下才能發(fā)生TET。Shiroky等[9]引入了復(fù)變平均法，通過系統(tǒng)的慢變方程來研究非線性剛度對(duì)NES振動(dòng)抑制效率的影響，結(jié)果說明合理的非線性剛度能提升NES吸振效率。熊懷等[10-11]研究阻尼對(duì)NES振動(dòng)抑制的影響，推導(dǎo)了系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)TET的最小阻尼。

上述研究對(duì)象都是具有立方剛度的NES，但在工程應(yīng)用中，完美的立方剛度難以實(shí)現(xiàn)，為了使NES更具有工程應(yīng)用價(jià)值，帶有分段線性剛度的NES以其易實(shí)現(xiàn)，易調(diào)節(jié)等特點(diǎn)逐漸被學(xué)者們所關(guān)注。Lamarque等[12-13]通過半解析半數(shù)值的方法研究了分段線性剛度NES，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中兩振子能量關(guān)系與立方剛度類似，能夠?qū)崿F(xiàn)TET現(xiàn)象。目前，尚未有研究直接針對(duì)分段線性剛度NES振動(dòng)抑制效果進(jìn)行優(yōu)化，但參考立方剛度能量阱的研究經(jīng)驗(yàn)，參數(shù)優(yōu)化會(huì)使NES性能有顯著提升，故對(duì)分段線性剛度NES參數(shù)優(yōu)化研究是有必要的。

本文研究沖擊載荷下分段線性剛度能量阱的能量傳遞特性及參數(shù)優(yōu)化。本文首先通過復(fù)變平均法推導(dǎo)了表示系統(tǒng)能量關(guān)系的慢變方程；得到了慢不變流形極值點(diǎn)的近似表達(dá)式；建立了以NES的能量耗散效率為目標(biāo)的優(yōu)化模型；最后搭建了懸臂梁振動(dòng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，對(duì)上述模型所的參數(shù)有有效性進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1 非線性能量阱系統(tǒng)模型

1.1 耦合非線性能量阱系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

光學(xué)載荷上某敏感部件的振動(dòng)抑制模型可簡(jiǎn)化為如圖1所示的二自由度系統(tǒng)，該系統(tǒng)由一個(gè)具有線性剛度的單自由度主結(jié)構(gòu)和分段線性剛度能量阱組成。

圖1 耦合非線性能量阱的系統(tǒng)模型Fig.1 Mechanical model coupled NES

該系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程表示為

(1)

圖2 分段線性剛度Fig.2 Piecewise linear stiffness

(2)

式中：z=x1-x2為兩振子相對(duì)位移；a0為彈簧剛度間隙。

式(1)可簡(jiǎn)化為

(3)

為計(jì)算兩振子能量，引入如下變換

(4)

則式(3)化為

(5)

1.2 慢變系統(tǒng)方程

為了分析上述動(dòng)力學(xué)模型中NES觸發(fā)TET的條件，我們需要分析系統(tǒng)的能量傳遞特性，但式(5)由于非線性剛度項(xiàng)F2(z)的存在，難以直接求出精確的解析解，這里本文應(yīng)用復(fù)變平均法求解系統(tǒng)能量的近似解析表達(dá)式。復(fù)變平均法是Gendelman等提出用于求解非線性動(dòng)力系統(tǒng)的近似計(jì)算方法，該方法通過推導(dǎo)原系統(tǒng)的慢變方程得到能量傳遞關(guān)系和能量耗散的近似解。

應(yīng)用復(fù)變平均法首先要引入復(fù)變量

(6)

式中:i虛數(shù)單位;ω0為系統(tǒng)主結(jié)構(gòu)的固有頻率，由于1∶1內(nèi)共振在能量傳遞中占據(jù)主導(dǎo)地位，本文主要針對(duì)1∶1內(nèi)共振引起的能量傳遞，故虛部系數(shù)為ω0，若要考慮1∶3，1∶5等情況，虛部對(duì)應(yīng)取3ω0，5ω0等。

將式(5)代入式(6)中，并消去久期項(xiàng)得

(7)

(8)

Gendelman[14]曾證明式(8)可化為

(9)

其中，

(10)

將系統(tǒng)的復(fù)變量方程式(7)進(jìn)行如下多尺度展開，取一次近似

(11)

λ1ε(φ10+εφ11)-λ2ε(φ20+εφ21)-

iω0ε(φ20+εφ21)G(|φ21|2)=0

(12)

iεω0(φ10+εφ11)+iεω0(φ20+εφ21)G(|φ21|2)+

ελ2(φ20+εφ21)-iεω0(φ20+εφ21)=0

(13)

系統(tǒng)ε0和ε1系數(shù)分別對(duì)系統(tǒng)的應(yīng)快變部分和慢變部分，其中式(12)和式(13)的快變部分為

(14)

iω0φ20=0

(15)

式(12)消去久期項(xiàng)后，慢變部分為

(16)

由復(fù)極坐標(biāo)表示復(fù)變量φ10,φ20

(17)

將式(17)代入慢變部分式(16)中，分離實(shí)部和虛部后得

(18)

將式(17)代入快變部分式(15)中得

(19)

由上式可得

(20)

其中,

(21)

(22)

式(22)第一式表示慢變系統(tǒng)主結(jié)構(gòu)能量耗散速率，可以看出其僅與兩振子能量和阻尼大小有關(guān)。

式(22)第二式表示慢變系統(tǒng)中兩振子的振動(dòng)能量傳遞關(guān)系，該式不顯含時(shí)間，僅與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，也就是說在沖擊載荷下，系統(tǒng)是否能發(fā)生TET現(xiàn)象是由主結(jié)構(gòu)與NES結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的。

2 系統(tǒng)能量傳遞分析

繪出式(22)的慢不變流形圖，如圖3所示，圖中實(shí)線為穩(wěn)定分支，虛線為不穩(wěn)定分支，H,L為不穩(wěn)定點(diǎn)，這與立方剛度非線性能量阱推導(dǎo)得到的形式相同。通過龍格-庫塔法得到式(3)數(shù)值解如圖4所示，當(dāng)小參數(shù)ε足夠小時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)能量會(huì)沿著慢不變流形流動(dòng)。由于存在不穩(wěn)定分支，系統(tǒng)能量會(huì)發(fā)生跳躍，也就是產(chǎn)生TET現(xiàn)象。圖中參數(shù)ε=0.001，ω0=5，k=32，a0=3，λ1=0，λ2=5，下文分析中若無特殊說明均為此參數(shù)條件。

不穩(wěn)定點(diǎn)H,L對(duì)應(yīng)慢不變流形中的兩極值點(diǎn)，慢不變流形的不穩(wěn)定點(diǎn)是否存在對(duì)系統(tǒng)是否能夠觸發(fā)TET有重要影響[15]。

圖3 系統(tǒng)慢不變流形Fig.3 Slow invariant manifold of system

圖4 慢不變流形與數(shù)值解對(duì)比Fig.4 Comparison between slow invariant manifold and numerical solutions

2.1 系統(tǒng)觸發(fā)TET的情況

能夠觸發(fā)TET的慢不變流形如圖5所示，在給定的初始條件x1(0)=4情況下，當(dāng)系統(tǒng)初始能量大于，不穩(wěn)定點(diǎn)H時(shí)，兩振子的振動(dòng)能量會(huì)迅速得從初始位置移動(dòng)到系統(tǒng)慢不變流形的穩(wěn)定分支2上，并沿著該曲線緩慢移動(dòng)到不穩(wěn)定點(diǎn)L，之后振動(dòng)能量迅速的跳躍到穩(wěn)定分支1，并沿著該分支緩慢耗散至0。

圖5 觸發(fā)TET的慢不變流形Fig.5 Slow invariant manifold of systemthat can trigger TET

2.2 不觸發(fā)TET的情況

系統(tǒng)不能觸發(fā)TET分為兩種情況：①慢不變流形無不穩(wěn)定分支；②外激勵(lì)幅值過小。

當(dāng)k=24時(shí)，慢不變流形無不穩(wěn)定分支的情況如圖6所示。此時(shí)，系統(tǒng)無不穩(wěn)定分支，振動(dòng)能量會(huì)直接移動(dòng)到穩(wěn)定流形上，沿著該流形緩慢移動(dòng)到0，不會(huì)發(fā)生跳躍，系統(tǒng)不發(fā)生TET。

圖6 觸發(fā)TET的慢不變流形Fig.6 Slow invariant manifold of system that can not trigger TET

外激勵(lì)過小的情況如圖7所示，此時(shí)系統(tǒng)雖然有不穩(wěn)定區(qū)間，但兩振子初始振動(dòng)能量無法到達(dá)穩(wěn)定流形2，會(huì)直接沿著穩(wěn)定流形1緩慢耗散，不會(huì)發(fā)生跳躍，此時(shí)系統(tǒng)不發(fā)生TET。故系統(tǒng)的初始能量需要大于不穩(wěn)定點(diǎn)L縱坐標(biāo)E1+，NES才會(huì)有吸振效果。

圖7 外激勵(lì)過小無法觸發(fā)TET的情況Fig.7 The case that the excitation is too small to trigger TET

2.3 不穩(wěn)定點(diǎn)與能量返還的關(guān)系

初始條件x1(0)=4 時(shí)，主結(jié)構(gòu)時(shí)域響應(yīng)如圖8所示，理想情況下，系統(tǒng)振動(dòng)能量都應(yīng)在慢不變流形圖的穩(wěn)定分支2消耗。但我們可以觀察到，當(dāng)不穩(wěn)定點(diǎn)L的縱坐標(biāo)E1-不為零時(shí)，有部分振動(dòng)能量從穩(wěn)定分支1跳躍回穩(wěn)定分支2，這部分返還的能量無法通過NES的阻尼進(jìn)行消耗，會(huì)對(duì)吸振效果產(chǎn)生不利影響。故在設(shè)計(jì)NES時(shí)，應(yīng)使不穩(wěn)定點(diǎn)L縱坐標(biāo)越小越好。

圖8 觸發(fā)TET情況下主結(jié)構(gòu)加速度時(shí)域響應(yīng)Fig.8 Time domain response of acceleration of main structure under the condition of triggering TET

2.4 不穩(wěn)定點(diǎn)與能量耗散的關(guān)系

由圖8可知，當(dāng)系統(tǒng)振動(dòng)能量處于穩(wěn)定分支2時(shí)的主結(jié)構(gòu)的能量耗散速率最高，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于穩(wěn)定分支1和穩(wěn)定分支2的能量耗散速度。根據(jù)式(22)第一式可知，在主結(jié)構(gòu)阻尼較小的情況下，系統(tǒng)能量耗散速率主要取決于NES的阻尼和E2的大小。增大不定點(diǎn)L的橫坐標(biāo)E2+會(huì)使系統(tǒng)在穩(wěn)定分支2和不穩(wěn)定區(qū)間的能量耗散效率隨之增大。不同E2所對(duì)應(yīng)系統(tǒng)能量耗散率隨時(shí)間的變化曲線,如圖9所示。可見不穩(wěn)定點(diǎn)L橫坐標(biāo)E2+越大，系統(tǒng)能量耗散效率越高。

圖9 系統(tǒng)能量耗散率與E2+的關(guān)系Fig.9 The relationship between the energy dissipation rate of the system and E2+

3 NES參數(shù)優(yōu)化

3.1 不穩(wěn)定點(diǎn)近似解

系統(tǒng)慢不變流形的極值點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)是否能夠觸發(fā)TET有著重要影響，故求解極值點(diǎn)坐標(biāo)是有助于NES的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)，本文通過多項(xiàng)式近似替換的方法，推導(dǎo)極值點(diǎn)坐標(biāo)的近似表達(dá)式。

(23)

則式(20)第二式化為

(24)

式(24)對(duì)Y的一階導(dǎo)數(shù)為

式(25)第一式僅在a0=0時(shí)其值為0，故非線性振子振幅小于剛度間隙時(shí)，不可能出現(xiàn)TET現(xiàn)象。

令式(25)第二式右端為0得

4k2arccos2(Y)=0

(26)

當(dāng)式(26)有兩個(gè)解時(shí)，式(24)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，滿足系統(tǒng)能夠發(fā)生TET的必要條件，令h=arccos(Y)，上式進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

(28)

式中,z為與主結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)的常量，則式(24)存在兩個(gè)極值點(diǎn)的條件為

(29)

滿足上式條件時(shí)，兩極值點(diǎn)位置對(duì)應(yīng)橫坐標(biāo)表達(dá)式E2-,E2+如式(30)所示

(30)

將上式代入式(24)中可得到兩極值點(diǎn)縱坐標(biāo)E1-，E1+，兩極值點(diǎn)坐標(biāo)。

式(22)通過數(shù)值方法易于得到極值點(diǎn)坐標(biāo)E2N±，與近似表達(dá)式(30)的相對(duì)誤差為

(31)

如圖10所示，z取0.09時(shí)統(tǒng)計(jì)得到表達(dá)式相對(duì)誤差均值不超過5%，說明上述表達(dá)式的精度能滿足工程應(yīng)用的需要。

圖10 極值點(diǎn)近似表達(dá)式的誤差Fig.10 The error of the approximate expression of extreme point

3.2 優(yōu)化目標(biāo)

NES的能量和阻尼系數(shù)對(duì)系統(tǒng)能量耗散其主要作用，由式(22)第一式可知，NES能量越大，能量耗散速率越高，這可以描述為極小值點(diǎn)L橫坐標(biāo)E2+越大，系統(tǒng)能量耗散效率越高，如圖6所示，其函數(shù)表達(dá)式為

min -E2+(a0,k,λ2)=

(32)

3.3 約束條件

3.2節(jié)的能量傳遞和耗散分析結(jié)果可知，為減少NES返還給主結(jié)構(gòu)的能量，E1-應(yīng)盡量降低。但由式(24)可知，只有當(dāng)NES阻尼為0時(shí)E1-才可能為0，這種情況下振動(dòng)能量會(huì)在兩振子間完全的相互傳遞，無法耗散。本文優(yōu)化目標(biāo)以提高能量的耗散效率為主，為了同時(shí)兼顧能量傳回的情況，將E1-作為優(yōu)化模型的邊界條件，設(shè)計(jì)時(shí)需要確定一個(gè)允許的能量回傳的值即的E1-上限Ef，以放寬邊界條件對(duì)NES阻尼λ2的限制。式(30)代入式(24)中得到函數(shù)E1-約束條件的表達(dá)式為

(33)

式中：hE2+為極小值點(diǎn)處的h值;Ef為可以接受的NES返還主結(jié)構(gòu)的能量。

式(22)第二式存在兩個(gè)極值點(diǎn)的約束條件

p>0

(34)

由于E1+與E2+相互耦合，觸發(fā)TET的閥值E1+設(shè)計(jì)過小可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)耗散速率降低，在設(shè)計(jì)時(shí)首先需要估計(jì)NES工作時(shí)受外激勵(lì)的范圍，然后根據(jù)外激勵(lì)的下限El進(jìn)行設(shè)計(jì)，確保NES在外激勵(lì)的范圍內(nèi)都能夠有效工作

(35)

一般情況下ω0和λ1由主結(jié)構(gòu)給定，其余約束條件有

(36)

3.4 優(yōu)化模型

綜上所述，該優(yōu)化模型為

minf(a0,k,λ2)=-E2+(a0,k,λ2)

s.t.p>0

E1-

E1+

(37)

3.5 優(yōu)化結(jié)果及數(shù)值仿真

通過質(zhì)量感應(yīng)法測(cè)得某空間光學(xué)載荷次鏡處的等效單自由度主結(jié)構(gòu)參數(shù),如表1所示。

表1 主結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Main structure parameter

為對(duì)上述優(yōu)化模型進(jìn)行求解，本文選用隨機(jī)搜索法對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化，隨機(jī)搜索算法的工作方式是先產(chǎn)生一族隨機(jī)初始點(diǎn)，然后從每個(gè)初始點(diǎn)用一個(gè)局部?jī)?yōu)化方法收斂到一個(gè)局部極小值，最佳局部極小值被選為問題的解。

根據(jù)空間光學(xué)載荷振動(dòng)抑制的實(shí)際要求取Ef=0.03，El=0.5，z=0.082，通過數(shù)值非線性最優(yōu)化對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化。表2給出了優(yōu)化變量的取值范圍和和優(yōu)化值。

表2 變量取值與優(yōu)化結(jié)果Tab.2 Optimal and original parameter values

通過龍格-庫塔數(shù)值方法計(jì)算參數(shù)優(yōu)化前后主結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng),如圖11所示，系統(tǒng)能量耗散效率明顯增大。結(jié)果表明本文所用的優(yōu)化變量，目標(biāo)，方法基本可行，優(yōu)化效果比較明顯。

圖11 優(yōu)化前后主結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)Fig.11 Acceleration response of main structure before and after optimization

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證分段線性剛度能量阱對(duì)空間光學(xué)相機(jī)的振動(dòng)抑制效果，本文為根據(jù)上述優(yōu)化結(jié)果，設(shè)計(jì)了分段線性剛度能量阱原理樣機(jī)，如圖12所示。將其安裝于空間光學(xué)遙感載荷，并在沖擊激勵(lì)工況下對(duì)分段性剛度能量阱的振動(dòng)抑制效果進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。

本文通過力錘錘擊的方法對(duì)空間相機(jī)施加沖擊載荷，以空間相機(jī)次鏡處加速度響應(yīng)衰減至90%所用時(shí)間作為判斷指標(biāo)，對(duì)分段線性剛度能量阱振動(dòng)抑制效果進(jìn)行試驗(yàn)，NES實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)如表3所示。由于加工條件限制，剛度間隙a0取0.4 mm為最優(yōu)值，并設(shè)置a0取0.2 mm進(jìn)行對(duì)比。

圖12 分段線性剛度能量阱機(jī)械結(jié)構(gòu)圖Fig.12 Mechanical structure of nonlinear energy sinks with piecewise linear stiffness

表3 分段線性剛度NES參數(shù)Tab.3 Parameter of piecewise linear stiffness NES

搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖13所示，分段線性剛度能量阱安裝于空間相機(jī)次鏡背板處，空間相機(jī)連接振動(dòng)工裝安裝于基座上。沖擊傳感器安裝錘擊點(diǎn)附近，方向與激勵(lì)方向相同。沖擊傳感器信號(hào)由模態(tài)儀采集，力錘施加沖擊載荷峰值為450 N，沖擊激勵(lì)輸入如圖14所示。

圖13 沖擊激勵(lì)工況振動(dòng)試驗(yàn)Fig.13 Impact excitation test of NES

圖14 沖擊激勵(lì)輸入條件Fig.14 Impact excitation condition

圖15 沖擊載荷下測(cè)試點(diǎn)加速度響應(yīng)Fig.15 Acceleration response of test point under impact load

次鏡處加速度響應(yīng)衰減至90%時(shí)所用時(shí)間，如表4所示。實(shí)驗(yàn)表明，安裝分段線性剛度能量阱后，測(cè)試點(diǎn)的振動(dòng)能量耗散速率有所提高，而當(dāng)NES參數(shù)為優(yōu)化值時(shí)，較未安裝NES時(shí)主結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)衰減至90%時(shí)所用時(shí)間減少33.2%，較非最優(yōu)化參數(shù)減少了26.9%。

表4 沖擊實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.4 The results of the impact test

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，根據(jù)本文優(yōu)化方法所選擇的NES參數(shù)有效，NES結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化后，系統(tǒng)能量耗散效率較未優(yōu)化有明顯提升。實(shí)現(xiàn)了通過安裝分段線性剛度能量阱提升系統(tǒng)振動(dòng)能量耗散效率的目的。

5 結(jié) 論

本文通過復(fù)變平均法推導(dǎo)了分段線性剛度能量阱的慢變方程，研究得到系統(tǒng)慢不變流形極值點(diǎn)坐標(biāo)的近似表達(dá)式，以此建立了分段線性剛度能量阱吸振效率的優(yōu)化模型，并針對(duì)某空間光學(xué)載荷進(jìn)行了分段線性剛度NES的振動(dòng)抑制實(shí)驗(yàn)，研究結(jié)果表明：

(1)沖擊激勵(lì)下，分段剛度能量阱慢不變流形和立方剛度能量阱類似，不穩(wěn)定分支是否存在對(duì)系統(tǒng)能否觸發(fā)TET有重要影響。

(2)通過多項(xiàng)式近似替代可以得到極值點(diǎn)的近似表達(dá)式，經(jīng)過與數(shù)值方法對(duì)比，該表達(dá)式進(jìn)度較高，能夠滿足工程應(yīng)用的需要。

(3)根據(jù)極值點(diǎn)的近似表達(dá)式構(gòu)建了NES吸振效率的優(yōu)化模型，并對(duì)某空間剛光學(xué)載荷的分段線性剛度NES進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化后系統(tǒng)達(dá)到90%能量耗散率所用時(shí)間降低了35.5%，較非最優(yōu)化參數(shù)降低了26.9%。，NES結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化后，系統(tǒng)能量耗散效率較未優(yōu)化有明顯提升，證明了本文所建立的優(yōu)化模型是合理的。

由于機(jī)械制造等限制，本文實(shí)驗(yàn)結(jié)果未能完全達(dá)到參數(shù)的最優(yōu)值，將會(huì)繼續(xù)改進(jìn)分段線性剛度能量阱機(jī)械結(jié)構(gòu)的進(jìn)行研究和改進(jìn)。