基于多體接觸瞬態(tài)動力學支承不同心模擬分析方法

柏長青， 左彥飛， 耿斌斌， 胡明輝

(1. 北京化工大學 發(fā)動機健康監(jiān)控及網(wǎng)絡(luò)化教育部重點實驗室，北京 100029；2. 北京化工大學 高端機械裝備健康監(jiān)控及自愈化北京市重點實驗室，北京 100029； 3. 中國航發(fā)動力所-北京化工大學 航空發(fā)動機振動健康監(jiān)控聯(lián)合實驗室，北京 100029)

燃氣渦輪發(fā)動機支承不同心故障會導(dǎo)致轉(zhuǎn)子運動軌跡的偏移、軸承的偏載，進而引發(fā)劇烈的整機振動[1]，是發(fā)動機振動超標的主要原因之一[2]。

針對轉(zhuǎn)子的不同心以及與之類似的不對中故障，現(xiàn)有研究大致可分為兩類：第一類是利用變形和力學關(guān)系求解不同心或不對中故障的等效激勵作為系統(tǒng)動力學微分方程中的激勵項；求解并分析系統(tǒng)的運動微分方程，發(fā)現(xiàn)2倍頻與復(fù)雜的軸心軌跡是不同心與不對中故障的主要特征[3-4]；第二類直接建立不同心或不對中狀態(tài)下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的能量方程，求解并分析故障特征，發(fā)現(xiàn)在支承不同心故障下，其響應(yīng)頻譜中不僅會產(chǎn)生1倍頻、2倍頻特征還會出現(xiàn)高次諧波分量[5]并且不同心故障會導(dǎo)致連接結(jié)構(gòu)的剛度非線性[6-8]，不對中故障是轉(zhuǎn)子橫向和扭轉(zhuǎn)激勵的來源之一[9-10]。上述兩類主要是基于宏觀運動和轉(zhuǎn)子動力學分析得到典型2倍頻特征與復(fù)雜軸心軌跡，為不同心故障的診斷提供了依據(jù)。不過對于燃氣渦輪發(fā)動機等復(fù)雜雙轉(zhuǎn)子機匣系統(tǒng)，僅依據(jù)頻譜特征中的1倍頻及2倍頻分量還很難診斷不平衡、不同心故障。

由振動傳遞路徑分析可知，不同心激勵必然通過軸承作用于機匣支承上，軸承滾珠與外圈的復(fù)雜力學作用是機匣測點不同心故障特征產(chǎn)生的直接激振源。因此，通過軸承復(fù)雜接觸瞬態(tài)分析可能獲得更全面的不同心故障特征產(chǎn)生機理及規(guī)律。

近幾年，基于多體動力學的軸承復(fù)雜接觸狀態(tài)分析已受到關(guān)注。李長健等[11]、劉雅雯[12]分別建立了故障軸承的多體動力學模型，對軸承故障特征進行了深入分析。張宇超等[13]建立了深溝球軸承與轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的多體動力學模型，用于評估轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的穩(wěn)定性。本文在此基礎(chǔ)上，建立了帶有中介軸承的典型發(fā)動機高壓轉(zhuǎn)子-軸承支承系統(tǒng)多體動力學模型，提出支承不同心等效模擬方法，通過軸承接觸非線性模擬，支承柔性化等模擬不同心故障下軸承復(fù)雜接觸運動狀態(tài)，分析了軸承外圈與薄壁支承位置不同心故障特征產(chǎn)生機理及變化規(guī)律。

1 典型燃機高壓轉(zhuǎn)子不同心故障的模擬方法

1.1 高壓轉(zhuǎn)子-軸承-支承系統(tǒng)多體動力學建模

以帶有中介軸承的典型燃機高壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象，其具體結(jié)構(gòu)如圖1所示。該發(fā)動機高壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由9級高壓壓氣機盤、1級封嚴盤和1級高壓渦輪盤組成。前支點(4號軸承)位于高壓壓氣機Ⅰ、Ⅱ盤之間，軸承內(nèi)圈與高壓轉(zhuǎn)子相連，外圈通過薄壁結(jié)構(gòu)與中介機匣相連；后支點為中介滾棒軸承(5號軸承)，支承在低壓渦輪軸上。低壓渦輪軸由兩個支點(3號和6號軸承)支承，承受中介軸承的作用力。

基于ADMAS多體動力學軟件，建立了圖1高壓轉(zhuǎn)子及軸承支承系統(tǒng)的多體動力學模型，如圖2所示。圖中高壓轉(zhuǎn)子主體、軸承內(nèi)外圈、滾珠、保持架等均按實際結(jié)構(gòu)尺寸和材料參數(shù)建模，支承軸承的幾何尺寸參數(shù)見表1。高壓轉(zhuǎn)子簡化了葉片，忽略了均壓孔、銷釘、螺栓、倒角等細節(jié)結(jié)構(gòu)特征。經(jīng)轉(zhuǎn)子動力特性分析，在該發(fā)動機的工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，高壓轉(zhuǎn)子主要表現(xiàn)為剛性轉(zhuǎn)子特性，主要變形集中在彈性支承上，因此，將圖2所示薄壁支承進行等效柔性化處理，保留模態(tài)階次15，覆蓋頻率范圍0～6 100 Hz，大約為該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)工作轉(zhuǎn)速范圍的27倍。

圖1 高壓轉(zhuǎn)子幾何結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of high-pressure rotor system

圖2 高壓轉(zhuǎn)子多體動力學模型Fig.2 Multi-body dynamics model of high-pressure rotor

表1 支承軸承的幾何尺寸參數(shù)Tab.1 Geometrical parameters of supporting bearings

1.2 高壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)支承不同心模擬方法

由于裝配工藝及彈性支承的變形均可能導(dǎo)致轉(zhuǎn)子支承結(jié)構(gòu)發(fā)生?角度偏移，使得4號、5號軸承產(chǎn)生Δh的高度差，出現(xiàn)高壓轉(zhuǎn)子的支承不同心現(xiàn)象，如圖3所示。

圖3 高壓轉(zhuǎn)子支承不同心故障示意圖Fig.3 Bearing misalignment of the high-pressure rotor

而在1.1節(jié)中建立的是理想條件下高壓轉(zhuǎn)子支承系統(tǒng)多體動力學模型。為模擬不同心故障,文獻[14]采用力矩分解的方式施加等效不同心激勵，本文采用在渦輪附近的支點位置施加偏斜角為?的驅(qū)動轉(zhuǎn)速ω的方式近似模擬不同心激勵。如圖2所示，將施加在高壓轉(zhuǎn)子的驅(qū)動轉(zhuǎn)速ω分解得到軸向的主驅(qū)動轉(zhuǎn)速ωx以及由于不同心造成的徑向驅(qū)動轉(zhuǎn)速ωy,ωz。此時，高壓轉(zhuǎn)子的兩個軸承在徑向驅(qū)動轉(zhuǎn)速的作用下，表現(xiàn)為復(fù)雜的接觸和運動狀態(tài)，形成不同心激勵力與力矩。

1.3 軸承各部件之間的非線性接觸力模擬

當施加不同心驅(qū)動轉(zhuǎn)速后，由于轉(zhuǎn)子偏離理想軸線轉(zhuǎn)動，軸承的內(nèi)圈相對位置發(fā)生變化，使得滾動體與內(nèi)外圈的接觸狀態(tài)發(fā)生變化，從而產(chǎn)生約束反力和力矩，形成不同心激勵。為模擬該不同心激勵，需要準確模擬軸承各部件間的瞬態(tài)非線性接觸力，圖4為不同心故障下4號軸承受力分析圖。

圖4 不同心故障下4號軸承的受力分析Fig.4 Force analysis of No. 4 bearing under misalignment fault

圖4(a)單個滾動體分析中Fij，F(xiàn)oj為第j個滾動體與內(nèi)外圈的法向沖擊力；fij，foj為第j個滾動體與內(nèi)外圈的切向摩擦力；Fbj為第j個滾動體與保持架的法向沖擊力;fbj為第j個滾動體與保持架的切向摩擦力；Fr為第j個滾動體的離心力；G為第j個滾動體的重力。軸承整體受力分析圖4(b)中，軸承不僅承受來自轉(zhuǎn)子的三個方向的不同心力Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z還承受三個方向的不同心力矩Mx，My，Mz。5號軸承為滾棒軸承，主要承受徑向力，不能承受軸向力，其余受力與4號軸承相似，此處不再詳細分析。

通過受力分析可以看出，滾動體與各部件的接觸力主要包括法向沖擊力與切向摩擦力兩類。沖擊力又由兩部分組成：一部分是兩個構(gòu)件相互接觸時產(chǎn)生的彈性力；另一部分是由于相對速度產(chǎn)生的阻尼力。本文根據(jù)impact函數(shù)提供的非線性等效彈簧阻尼模型來計算沖擊力，其表達式為

(1)

式中：k為彈簧剛度；g為接觸構(gòu)件之間的穿透深度；上標e為力指數(shù)；dmax為最大允許穿透深度：cmax為當達到最大穿透深度時所對應(yīng)的最大阻尼值，step(g,0,0,dmax，cmax)按照式(2)進行計算[15]

(2)

滾動體與內(nèi)外圈的摩擦力可表示為

(3)

在軸承實際的運行過程中，滾動體與軸承內(nèi)外圈之間不可避免會產(chǎn)生相對滑動速度。由庫倫摩擦定律可知滾動體與內(nèi)、外滾道的摩擦因數(shù)與相對滑動速度v有關(guān)，μ具體表達式[16]

(4)

式中：μs，μd分別為靜摩擦因數(shù)和動摩擦因數(shù)；vs，vd分別為靜摩擦轉(zhuǎn)換速度和動摩擦轉(zhuǎn)換速度。

1.4 系統(tǒng)多體接觸瞬態(tài)動力學方程及求解

(5)

式中：T為系統(tǒng)動能，表達了在廣義坐標qi下的約束反力；P為系統(tǒng)的廣義動量；HTF為系統(tǒng)包括接觸力與力矩在內(nèi)的廣義激勵；Φ為約束方程的雅可比矩陣；λ為系統(tǒng)拉格朗日乘子。通過式(5)處理方式，將二階微分方程降階為一階微分方程，然后求解[18]。

當高壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)發(fā)生支承不同心故障時，不同心激勵通過轉(zhuǎn)子的不規(guī)則運動作用到軸承上，改變滾動體與內(nèi)外圈的接觸狀態(tài)，使得滾動體與內(nèi)外圈的接觸力在時域、頻域上均發(fā)生較大變化。本文通過求解式(5)得到不同心激勵下圖5所示各個滾珠與外圈的瞬態(tài)接觸力及其合力、合力矩，分析不同心作用下滾珠對外圈的作用力的時域、頻域特征，得到不同心激勵特征。

2 典型燃機高壓轉(zhuǎn)子不同心故障響應(yīng)分析

在高壓轉(zhuǎn)子1級盤上施加不平衡塊，使整個系統(tǒng)獲得初始不平衡量，在此基礎(chǔ)上，分別對高壓轉(zhuǎn)子施加不同心角度0°，0.02°，0.04°，0.06°，0.08°，時長0.2 s，共1 000步，計算高壓轉(zhuǎn)子100%工作轉(zhuǎn)速(13 300 r/min≈222 Hz)下的運動狀態(tài)。下文分別就單個滾珠、滾珠與軸承外圈、軸承外圈與支承結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)接觸力、力矩以及支承結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)，并且由于滾動體與保持架的接觸力僅影響軸承轉(zhuǎn)速的波動情況，并不影響不同心激勵的傳遞，故下文并未分析。

2.1 單個滾動體與軸承內(nèi)外圈的非線性接觸力

圖5～圖8所示為4號滾珠軸承單個滾動體與內(nèi)圈、外圈的接觸力頻域特征隨不同心量改變的變化規(guī)律。對于軸向接觸力，當只有不平衡激勵時并無特殊頻率成分，而當不同心與不平衡故障同時存在時，軸向力產(chǎn)生了一些復(fù)雜頻率成分如32 Hz，94 Hz，127 Hz，221 Hz，442 Hz等，如圖5、圖7所示。對于徑向接觸力，無論是不平衡故障還是兩種故障共同作用，滾動體與軸承內(nèi)外圈均有上述特征頻率，如圖6、圖8所示。同時，隨著不同心量的增加，軸向與徑向接觸力頻譜中上述頻率的幅值均增大。

圖5 單個滾動體與內(nèi)圈的軸向接觸力頻域特征隨不同心量改變的變化規(guī)律Fig.5 Frequency characteristics of the axial contact force between one roller and the inner ring varied with misalignment values

圖6 單個滾動體與內(nèi)圈的徑向接觸力頻域特征隨不同心量改變的變化規(guī)律Fig.6 Frequency characteristics of the radial contact force between one roller and the inner ring varied with misalignment values

進一步闡釋上述特征頻率的產(chǎn)生機理，以不同心量為0.08°計算結(jié)果為例，分析單個滾珠運動過程與接觸力的時域變化對照關(guān)系，如圖9所示。當高壓轉(zhuǎn)子發(fā)生支承不同心故障時，會使?jié)L動體與軸承內(nèi)外圈產(chǎn)生周期性的壓緊和松脫現(xiàn)象。當淺色滾動體由位置1運動到位置3時，此時滾動體與內(nèi)外圈的接觸力由0到最大值再到0，在此階段淺色滾動體處于壓緊區(qū)，滾動體與軸承內(nèi)圈處于緊密接觸狀態(tài)，在位置2處接觸力達到最大。當滾動體由位置3運動到位置4時，此時滾動體由壓緊區(qū)進入松脫區(qū)，故在此階段滾動體與內(nèi)圈的接觸力為0，淺色滾動體由位置1到位置4時，滾動體經(jīng)歷了由壓緊區(qū)到松脫區(qū)的周期性變化，周期約為0.007 9 s，頻率約為127 Hz。

圖7 單個滾動體與內(nèi)圈的軸向接觸力頻域特征隨不同心量改變的變化規(guī)律Fig.7 Frequency characteristics of the axial contact force between one roller and the outer ring varied with misalignment values

圖8 單個滾動體與外圈的徑向接觸力頻域特征隨不同心量改變的變化規(guī)律Fig.8 Frequency characteristics of the radial contact force between one roller and the outer ring varied with misalignment values

圖9 4號軸承與內(nèi)圈徑向接觸力與滾動體位置關(guān)系圖Fig.9 Radial contact force between one roller and inner ring and the position of the roller

當淺色滾動體繼續(xù)到位置5，滾動體以地面參考坐標系公轉(zhuǎn)一周后回到了初始位置，在接觸力的頻譜上產(chǎn)生了94 Hz的滾動體公轉(zhuǎn)頻率，但此時滾動體與內(nèi)圈的相對位置與位置1不同，位置1與位置5處的接觸力也不相同。當淺色滾動體繼續(xù)經(jīng)過位置5、位置6、位置7到達位置8，此時滾動體與地面和內(nèi)圈的相對位置與位置1處相同，經(jīng)歷了一個完整運動周期，歷時0.031 s，對應(yīng)頻率約為32 Hz。此外，由于周期性沖擊等復(fù)雜相互作用的存在，轉(zhuǎn)子的工頻221 Hz及其倍頻成分在頻域上有所體現(xiàn)，但在時域上與滾動體的相對位置未找到明確的對應(yīng)關(guān)系。

進一步分析發(fā)現(xiàn)，在沒有不同心故障時，滾珠與內(nèi)外圈接觸力主要為徑向接觸力，當存在不同心故障后，接觸力產(chǎn)生明顯的軸向分量，致使軸向接觸力出現(xiàn)32 Hz，94 Hz，127 Hz，221 Hz，442 Hz等明顯頻率成分。由于5號軸承并沒有發(fā)生明顯的位置變化，其滾動體與內(nèi)外圈接觸力的變化相對較小，故在這里不做分析。

2.2 滾珠—軸承外圈—支承間受力及傳遞規(guī)律

不同心激勵通過轉(zhuǎn)子—軸承內(nèi)圈—滾動體—軸承外圈傳遞到柔性支承。因此，在單個滾動體的運動與受力分析的基礎(chǔ)上，進一步分析所有滾珠與軸承外圈接觸力合力，圖10、圖11所示為不同心量為0.08°時的計算結(jié)果?？梢钥闯?，雖然單個滾珠接觸力工頻及倍頻成分并不突出，但所有滾珠與外圈的接觸力合力則主要體現(xiàn)為工頻及其倍頻成分，由滾珠與外圈相對接觸運動產(chǎn)生的32 Hz，94 Hz，127 Hz等特征頻率基本相互抵消。軸向的合力中明顯包含顯著的工頻及倍頻成分，而徑向合力主要包含工頻成分，倍頻成分并不明顯。 此外，在時域上，軸向合力明顯小于徑向合力。

圖10 4號軸承滾珠對外圈的軸向合力的時域波形與頻譜Fig.10 Time-domain waveform and frequency spectrum of axial resultant contact force between outer ring and all rollers

在1.3節(jié)軸承整體受力分析中，滾珠對外圈作用除了軸向和徑向力外，還包含軸向、徑向力矩。不過，由于滾動體與軸承外圈的接觸位置及接觸力在運轉(zhuǎn)過程中變化復(fù)雜，不易直接求得合力矩。實際上，由滾珠接觸力合成的激勵力及力矩都由軸承外圈通過約束傳遞到支承。為此，進一步分析軸承外圈與支承間的約束力及力矩計算結(jié)果，如圖12～圖 15所示。

圖11 4號軸承滾珠對外圈的徑向合力的時域波形與頻譜Fig.11 Time-domain waveform and frequency spectrum of radial resultant contact force between outer ring and all rollers

圖12 外圈與支承間軸向約束力時域波形與頻譜Fig.12 Time domain waveform and frequency spectrum of axial restraining force between outer ring and support structure

圖13 外圈與支承間徑向的約束力時域波形與頻譜Fig.13 Time domain waveform and frequency spectrum of radial restraining force between outer ring and support structure

從圖12和圖13可以看出，外圈與支承間的軸向及徑向約束力在時域和頻域上與圖10、圖11中滾珠對外圈的軸向、徑向合力基本一致，徑向力中的倍頻成分依然相對較小。說明滾珠激勵力的合力經(jīng)軸承外圈傳遞后無明顯改變。

從圖14和圖15外圈與支承間軸向、徑向力矩時域波形與頻譜可以看出，在滾珠激勵力合力矩作用下，軸承外圈與支承間軸向力矩和徑向力矩頻譜都表現(xiàn)出明顯的工頻及倍頻成分，幅值上工頻成分最大，倍頻幅值隨倍數(shù)增大呈遞減趨勢。

圖14 外圈與支承間軸向力矩時域波形與頻譜Fig.14 Time domain waveform and frequency spectrum of axial restraining torque between outer ring and support structure

圖15 外圈與支承間徑向力矩時域波形與頻譜Fig.15 Time domain waveform and frequency spectrum of radial restraining torque between outer ring and support structure

綜上，全部滾珠與外圈的瞬態(tài)接觸力合力及合力矩是不同心故障特征產(chǎn)生的直接激勵源。軸向激振力頻譜中明顯包含工頻及倍頻成分；徑向激勵力明顯大于軸向激勵，但頻譜中的倍頻成分并不明顯。而徑向和軸向力矩頻譜中均包含明顯的工頻及2倍頻、3倍頻成分。幅值上工頻成分最大，倍頻幅值隨倍數(shù)增大呈遞減趨勢，4倍頻之后幅值相對很小。

2.3 柔性支承上測點的振動響應(yīng)

在上述軸承外圈與支承間力和力矩的綜合作用下，柔性支承上測點的振動位移計算結(jié)果如圖16、圖17所示。在時域上，測點的徑向振動位移大于軸向，均表現(xiàn)出明顯的周期性。在頻域上，軸向與徑向振動位移均有高壓轉(zhuǎn)子工頻及倍頻成分。

圖16 柔性支承測點軸向振動隨不同心量變化規(guī)律Fig.16 Axial vibration on measuring points of flexible support varied with misalignment values

圖17 柔性支承測點徑向振動隨不同心量變化規(guī)律Fig.17 Radial vibration on measuring points of flexible support varied with misalignment values

結(jié)合軸承位置的激振力及力矩分析結(jié)果，進一步定量比較軸向振動位移和徑向振動位移頻譜中工頻及倍頻幅值隨不同心量變化規(guī)律，如圖18、圖19所示。

圖18 軸向振動位移工頻及倍頻幅值隨不同心量的變化Fig.18 Rotation and its harmonic frequency of axial displacement vibration varied with misalignment values

圖19 徑向振動位移工頻及倍頻幅值隨不同心量的變化Fig.19 Rotation and its harmonic frequency of radial displacement vibration varied with misalignment values

(1) 當高壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)僅存在不平衡激勵時，軸向振動位移工頻及倍頻幅值幾乎為0，徑向振動位移則具有相對較明顯的工頻振動。

(2) 當存在不同心激勵時，軸向振動開始表現(xiàn)出明顯的工頻及倍頻成分，且軸向與徑向振動位移的工頻及其倍頻成分隨著不同心量的增加而增加。說明軸向振動工頻及倍頻是不同心故障的典型特征。

(3) 當不同心量在0°～0.04°內(nèi)增大時，軸向和徑向以工頻振動為主，倍頻成分雖有增大但增速較小。當不同心量大于0.04°后，工頻幅值增速放緩，2倍頻、3倍頻迅速增大，2倍頻幅值可接近甚至超過工頻幅值。說明軸向和徑向2倍頻、3倍頻也是不同心故障的典型特征，相對工頻幅值的大小可表征不同心故障的嚴重程度。

在王美令研究中利用單盤轉(zhuǎn)子試驗臺通過施加墊片來人為制造支承不同心，在不同心響應(yīng)結(jié)果中同樣出現(xiàn)了工頻及其倍頻響應(yīng)，如圖20、圖21所示。文獻中的結(jié)果與本文結(jié)果具有一定的相似性；但由于模擬方式的影響、轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的差異及對實際支承結(jié)構(gòu)的簡化，本文定量分析結(jié)果與實際發(fā)動機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)必定存在一定差異，不過所得的振動特征相對變化特點及規(guī)律性結(jié)果可為不同心故障診斷提供參考。

圖20 轉(zhuǎn)子軸向振動位移頻譜圖Fig.20 Axial vibration displacement spectrum of rotor

圖21 轉(zhuǎn)子徑向振動位移的頻譜圖Fig.21 Radial vibration displacement spectrum of rotor

3 結(jié) 論

本文以某型航空發(fā)動機高壓轉(zhuǎn)子-軸承支承系統(tǒng)為研究對象，提出基于多體非線性接觸動力學的支承不同心故障模擬方法，分析了單個滾珠、滾珠與外圈、外圈與柔性支承的瞬態(tài)接觸力、力矩以及柔性支承上測點的時頻域響應(yīng)規(guī)律，得出如下結(jié)論：

(1) 壓緊區(qū)、松脫區(qū)以及單個滾動體與內(nèi)外圈的相對位置變化產(chǎn)生的復(fù)雜相互作用是滾動體接觸力復(fù)雜頻率成分產(chǎn)生的直接原因。

(2) 通過滾珠-軸承外圈-支承間受力及力矩的傳遞規(guī)律與分析發(fā)現(xiàn)，全部滾珠與外圈的瞬態(tài)接觸力合力及合力矩是產(chǎn)生不同心故障特征的激勵源。其中，軸向力、力矩及徑向力矩頻譜中包含明顯的工頻及倍頻成分，徑向力主要為工頻成分，倍頻成分不明顯。

(3) 支承測點響應(yīng)是各個方向力和力矩的綜合激勵結(jié)果。軸向振動工頻及倍頻是不同心故障的典型特征。軸向和徑向2倍頻、3倍頻相對工頻幅值的大小可表征不同心故障的嚴重程度。