基于魯棒約束的PI控制器參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化及應(yīng)用

荊立坤，唐宜強(qiáng)，潘鳳萍，吳振龍

（1.華電濰坊發(fā)電有限公司，山東濰坊261000；2.華電國(guó)際技術(shù)服務(wù)分公司，濟(jì)南250014；3.南方電網(wǎng)電力科技股份有限公司，廣州510080；4.鄭州大學(xué)電氣工程學(xué)院，鄭州450001）

0 引言

盡管先進(jìn)控制理論經(jīng)歷了快速發(fā)展，比例-積分（Proportional-Integral，PI）控制器在實(shí)際現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)用中仍然發(fā)揮著不可替代的作用［1］。最近的文獻(xiàn)調(diào)查顯示，廣東省的燃煤機(jī)組中超過94%的回路采用PI控制器［2］。PI控制器在一類高級(jí)慣性溫度控制系統(tǒng)［3］、孤島混合微電網(wǎng)整流器［4］、典型多變量系統(tǒng)［5］、鉆桿系統(tǒng)［6］以及永磁同步電機(jī)系統(tǒng)［7］等方面有很好的應(yīng)用；此外，PI控制器在火電機(jī)組協(xié)調(diào)控制系統(tǒng)［8］、過熱汽溫系統(tǒng)［9］和脫硝系統(tǒng)［10-12］也有許多成功應(yīng)用。由此可見，PI控制器未來將在能源、化工系統(tǒng)中繼續(xù)發(fā)揮主導(dǎo)作用。

為了取得滿意的控制效果，PI控制器參數(shù)的整定與優(yōu)化得到越來越多的重視，如Skogestad內(nèi)?？刂疲⊿kogestad Internal Model Control，SIMC）法［13］、齊格勒-尼科爾斯（Ziegler-Nicholas，Z-N）法［14］、最大靈敏度（Ms）約束的積分增益優(yōu)化法（Ms-Constrained Integral Gain Optimization，MIGO）［15］等。此外，許多學(xué)者基于不同的優(yōu)化目標(biāo)提出了基于概率魯棒的參數(shù)整定方法［16］、基于線性二次調(diào)節(jié)器的參數(shù)整定方法［17］和基于預(yù)期動(dòng)態(tài)響應(yīng)的參數(shù)整定方法［18］等。一些優(yōu)化算法，如遺傳算法［19-20］、粒子群算法［21］和量子衍生算法［22］也應(yīng)用于PI控制器的參數(shù)優(yōu)化。

然而，SIMC法和Z-N法主要考慮跟蹤性能，沒有考慮抗干擾性能和系統(tǒng)魯棒性；MIGO法考慮了魯棒Ms約束的抗干擾整定，但忽略了跟蹤性能。上述基于優(yōu)化算法的參數(shù)整定方法均是對(duì)單一性能指標(biāo)進(jìn)行無(wú)約束優(yōu)化，沒有考慮魯棒約束；其他PI參數(shù)整定方法同樣不能兼顧系統(tǒng)的魯棒性、跟蹤和抗干擾性能。由于燃煤機(jī)組負(fù)荷需要大范圍波動(dòng)，PI控制器要有很強(qiáng)的魯棒性，保證偏離設(shè)計(jì)工況時(shí)仍能取得穩(wěn)定的控制效果。此外，系統(tǒng)的跟蹤性能和抗干擾性能是矛盾的，如何在跟蹤性能和抗干擾性能之間進(jìn)行權(quán)衡選擇也是一個(gè)值得研究的問題。

本文從工程實(shí)際出發(fā)，提出一種基于魯棒約束的PI控制器參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化方法。采取最大靈敏度函數(shù)作為魯棒約束指標(biāo)，在該約束下同時(shí)將閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤性能與抗干擾性能作為優(yōu)化目標(biāo)，采用多目標(biāo)遺傳算法在PI控制器穩(wěn)定域內(nèi)對(duì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，得到滿足魯棒約束的帕累托（Pareto）最優(yōu)解集，然后借助水平圖法得到優(yōu)化參數(shù)?；谠摲椒▋?yōu)化的PI控制器參數(shù)在濰坊某電廠#3高壓加熱器中投入應(yīng)用，進(jìn)一步驗(yàn)證該方法的有效性。

1 基于多目標(biāo)遺傳算法的PI控制器參數(shù)優(yōu)化

1.1 PI控制器穩(wěn)定域計(jì)算

工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)使用的PI控制器的傳遞函數(shù)形式為

式中：kp，ki分別為PI控制器的比例增益和積分增益。

PI控制器的參數(shù)優(yōu)化必須在參數(shù)穩(wěn)定域內(nèi)進(jìn)行，PI控制器的參數(shù)穩(wěn)定域可以采用D-分割法［23］進(jìn)行計(jì)算。

被控對(duì)象可以采用如下傳遞函數(shù)進(jìn)行描述

式中：m，n分別為被控對(duì)象分子和分母的階次，m＜n且mm≠0，n0=1；τ為純滯后時(shí)間。

此時(shí)被控對(duì)象的頻域響應(yīng)為

式中：ω為角頻率；r(ω)，?(ω)分別為被控對(duì)象的幅值和相角；a(ω)，b(ω)分別為被控對(duì)象的實(shí)部和虛部。

類似的，PI控制器的頻域響應(yīng)為

此時(shí)，PI控制器和被控對(duì)象組成圖1所示的閉環(huán)系統(tǒng)，圖中：R(s)，D(s)，Y(s)分別為設(shè)定值、輸入擾動(dòng)和輸出的傳遞函數(shù)。

圖1 由PI控制器和被控對(duì)象組成的閉環(huán)系統(tǒng)Fig.1 Closed loop system consisted of a PIcontroller and controlled objectives

基于閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以得到閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程

即

式中：a(ω)，b(ω)為被控對(duì)象的特性。

接下來采用D-分割法求解PI控制器的穩(wěn)定域。根據(jù)D-分割法的基本原理，PI控制器的穩(wěn)定域邊界包含ω∈(0，-∞)∪(0，+∞)時(shí)的非奇異值邊界?Dω和ω=0，ω=±∞時(shí)的奇異值邊界?D0和?D∞。

（1）ω=0時(shí)的奇異值邊界?D0為

由于a(ω)和b(ω)為被控對(duì)象的特性，故可知PI控制器的奇異值邊界?D0為ki=0。需要說明的是，純滯后對(duì)PI控制器的ω=0奇異值邊界?D0沒有影響（e0=1）。

（2）ω=±∞時(shí)的奇異值邊界?D∞與PI控制器沒有關(guān)系，故PI控制器的ω=±∞奇異值邊界?D∞不存在。

（3）ω∈(0，-∞)∪(0，+∞)時(shí)PI控制器的非奇異值邊界?Dω可以通過使式（6）的實(shí)部和虛部分別為零來求解，即邊界值為

此時(shí)，PI控制器參數(shù)穩(wěn)定域?yàn)?/p>

1.2 最大靈敏度函數(shù)約束

常用的魯棒指標(biāo)可以由圖2表示，即Ms約束可以描述為開環(huán)系統(tǒng)Nyquist曲線上的點(diǎn)到（-1，0j）點(diǎn)最近距離的倒數(shù)，圖2中A點(diǎn)到（-1，0j）距離的倒數(shù)即為Ms。

圖2 靈敏度約束的幾何表示Fig.2 Geometry of sensitivity constraints

Ms可以描述為

Ms值越小，說明閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒性越強(qiáng)，反之亦然。Ms合理值一般在1.2～2.0之間［24］。

PI控制器需要兼顧閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和魯棒性能，因此PI控制器參數(shù)應(yīng)在滿足魯棒約束的條件下進(jìn)行優(yōu)化。

1.3 多目標(biāo)遺傳算法

多目標(biāo)遺傳算法能夠?qū)Χ鄠€(gè)沖突的目標(biāo)同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化，得到多目標(biāo)優(yōu)化問題的Pareto最優(yōu)解集（如圖3所示），從而幫助決策者挑選出合適的Pareto解。本文采用在帶有精英策略的快速非支配排序遺傳算法（Non-dominated Sorting Genetic AlgorithmⅡ，NSGA-Ⅱ）基礎(chǔ)上開發(fā)的NSGA-Ⅲ多目標(biāo)遺傳算法［25］，其特點(diǎn)是在NSGA-Ⅱ的基礎(chǔ)上引入?yún)⒖键c(diǎn)機(jī)制，保留那些非支配且接近參考點(diǎn)的種群個(gè)體，具有良好的搜索Pareto最優(yōu)解集的能力。

由于閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤性能與抗干擾性能是矛盾的，為了在保證系統(tǒng)魯棒性的前提下得到兼顧跟蹤性能與抗干擾性能的控制器參數(shù)，將跟蹤性能與抗干擾性能作為2個(gè)優(yōu)化目標(biāo)。采用誤差絕對(duì)值積分（Integrated Absolute Error，IAE）作為性能指標(biāo)，其數(shù)學(xué)定義為

圖3 Pareto最優(yōu)解Fig.3 Pareto optimal solution

式中：r（t），y（t）分別為閉環(huán)系統(tǒng)的輸入和輸出信號(hào)。

采用Jsp和Jid表示設(shè)定值跟蹤性能與抗干擾性能指標(biāo)，此時(shí)基于魯棒約束的多目標(biāo)PI控制器參數(shù)優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)為如下優(yōu)化問題

2 仿真驗(yàn)證

2.1 參數(shù)整定流程

基于魯棒約束的PI控制器參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化方法可以通過以下步驟實(shí)施（如圖4所示）。

（1）基于已知的被控對(duì)象的模型信息，計(jì)算PI控制器的參數(shù)穩(wěn)定域，作為NSGA-Ⅲ的初始種群。

（2）采用NSGA-Ⅲ對(duì)種群內(nèi)個(gè)體進(jìn)行優(yōu)化，通過非支配分層和從最后一個(gè)非支配層級(jí)中挑選個(gè)體進(jìn)入子代，迭代一定代數(shù)后得到Pareto最優(yōu)解集。

（3）采用水平圖法得到優(yōu)化后的PI控制器參數(shù)。

圖4 參數(shù)優(yōu)化流程Fig.4 Optimizing process of the parameters

2.2 仿真驗(yàn)證

基于濰坊某電廠#3高壓加熱器的運(yùn)行數(shù)據(jù)，可以得到高壓加熱器水位的傳遞函數(shù)為

根據(jù)式（9）可得到劃線區(qū)域的穩(wěn)定域（如圖5所示），從圖5可知，PI控制器參數(shù)穩(wěn)定域范圍很大。

圖5 PI控制器參數(shù)穩(wěn)定域Fig.5 Stableregion of PIcontroller parameters

從圖5中的穩(wěn)定域內(nèi)任取數(shù)組PI控制器參數(shù)（參數(shù)1：kp=5.000，ki=0.400；參數(shù)2：kp=0.696，ki=0.122；參數(shù)3：kp=10.000，ki=0.200；參數(shù)4：kp=8.000，ki=0.800），可以得到圖6所示的閉環(huán)系統(tǒng)輸出，仿真中設(shè)定值在10 s時(shí)有一個(gè)幅值為1的階躍，輸入擾動(dòng)在600 s時(shí)有一個(gè)幅值為1的階躍。

圖6 穩(wěn)定域內(nèi)PI參數(shù)的系統(tǒng)輸出Fig.6 System outputs of PI parameters in stable regions

從圖6可知，穩(wěn)定域內(nèi)參數(shù)保證閉環(huán)系統(tǒng)在進(jìn)行設(shè)定值階躍和輸入擾動(dòng)時(shí)均可以到達(dá)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)。然而，任取的PI控制器參數(shù)導(dǎo)致系統(tǒng)存在超調(diào)較大、抖動(dòng)嚴(yán)重和抗干擾能力不足等問題，因此需要對(duì)穩(wěn)定域內(nèi)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

按照上節(jié)的參數(shù)優(yōu)化流程，通過選擇式（12）中不同的魯棒性約束指標(biāo)Ms，可以得到圖7所示的結(jié)果。從圖7可知，隨著魯棒性的增強(qiáng)即Ms的減小，Pareto最優(yōu)解的值逐漸增大，說明在不同的魯棒性約束下，優(yōu)化后的控制效果有很大差異，因此，選擇合適的魯棒性約束指標(biāo)十分重要。

圖7 不同M s約束下的Pareto最優(yōu)解Fig.7 Pareto optimal solution under different M s constraints

通過調(diào)閱現(xiàn)場(chǎng)分散控制系統(tǒng)（Distributed Control System，DCS）數(shù)據(jù)可知，現(xiàn)場(chǎng)使用的控制器參數(shù)為kp=-0.45，ki=-1/90，計(jì)算可知魯棒指標(biāo)Ms=1.74。為保證魯棒約束一致，選取Ms=1.74作為魯棒約束指標(biāo)，采用上節(jié)的參數(shù)優(yōu)化流程可得到圖8所示的Pareto最優(yōu)解。由圖8可知跟蹤性能與抗干擾性能是矛盾的，采用水平圖法進(jìn)行決策［26］。

圖8 M s=1.74時(shí)的Pareto最優(yōu)解Fig.8 Pareto optimal solution with M s=1.74

||J（θ）||2表示水平圖法的y軸衡量基準(zhǔn)，可以得到圖9所示的結(jié)果。由圖9可以看出，優(yōu)化目標(biāo)Jsp和Jid具有相反的趨勢(shì)，即Jsp減小的同時(shí)Jid增大。將圖8中Pareto最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的2個(gè)待優(yōu)化參數(shù)的集合采用相同方法進(jìn)行可視化處理，如圖10所示。從圖10可以看出，kp和ki隨著決策點(diǎn)位置的移動(dòng)具有相同的趨勢(shì)，選擇||J（θ）||2=0.40時(shí)的動(dòng)態(tài)參數(shù)（圖9和圖10中的黑色五角星），此時(shí)決策最優(yōu)解下的動(dòng)態(tài)參數(shù)kp=-6.964 0，ki=-0.122 8。

圖9 基于||J（θ）||2的Pareto解集Fig.9 Pareto solution set based on||J（θ）||2

圖10 基于||J（θ）||2的參數(shù)集Fig.10 Pareto set based on||J（θ）||2

作為對(duì)比，采用文獻(xiàn)［13］，［15］提出的SIMC和MIGO對(duì)式（13）中的高壓加熱器水位系統(tǒng)進(jìn)行整定，可以得到PI控制器參數(shù)分別為：kp=-5.8750，ki=-0.1113（SIMC）；kp=-4.360 0，ki=-1/67.7710（MIGO）。結(jié)合現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)用的PI控制器，可以得到圖11所示的控制效果，從圖11可知：現(xiàn)場(chǎng)參數(shù)具有較大的輸出波動(dòng)，控制效果較差；MIGO雖然超調(diào)較小，但抗干擾能力較弱，在擾動(dòng)發(fā)生時(shí)需要較長(zhǎng)的時(shí)間才能達(dá)到系統(tǒng)穩(wěn)定；SIMC的控制效果與本文優(yōu)化參數(shù)比較接近，但本文優(yōu)化參數(shù)在抗干擾性能和跟蹤性能方面相比于SIMC有一定優(yōu)勢(shì)。表1為各個(gè)控制器的性能指標(biāo)Jsp和Jid的統(tǒng)計(jì)值，表中數(shù)據(jù)可以進(jìn)一步驗(yàn)證上述分析結(jié)果。

為了進(jìn)一步分析系統(tǒng)存在不確定性時(shí)控制器的控制效果，假設(shè)式（13）中傳遞函數(shù)的增益、時(shí)間常數(shù)和滯后常數(shù)均變?yōu)樵瓉淼?.8倍，在保持控制器參數(shù)不變的前提下可以得到圖12所示的控制效果。從圖12可知，本文優(yōu)化參數(shù)仍然具有最好的跟蹤性能和抗干擾性能，說明了本文方法的有效性，為現(xiàn)場(chǎng)的應(yīng)用提供了支撐。

圖11 標(biāo)稱系統(tǒng)的輸出Fig.11 Outputsof thenominal system

表1 標(biāo)稱系統(tǒng)性能指標(biāo)統(tǒng)計(jì)Tab.1 Performance indexes of the nominal system

圖12 非標(biāo)稱系統(tǒng)的輸出Fig.12 Outputs of the non-nominal system

考慮極端工況，即被控對(duì)象的結(jié)構(gòu)存在不確定性，因此假設(shè)式（13）中被控對(duì)象變成了如下對(duì)象

在保持控制器參數(shù)不變的前提下可以得到圖13所示的控制效果。從圖13可知，盡管超調(diào)量大于MIGO，但本文優(yōu)化參數(shù)仍然具有最好的跟蹤性能和抗干擾性能。

綜合圖11—13可知，本文所提方法不僅能夠保證系統(tǒng)在標(biāo)稱工況下的控制性能，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)不確定和結(jié)構(gòu)不確定時(shí)仍能夠保證理想的控制效果。

為了分析本文所提方法所能容忍系統(tǒng)時(shí)滯和增益系數(shù)的變化范圍，采用Nyquist判據(jù)方法探究時(shí)滯和增益系數(shù)的邊界范圍。不同時(shí)滯和增益系數(shù)變化時(shí)的開環(huán)Nyquist結(jié)果分別如圖14和圖15所示。

圖13 考慮結(jié)構(gòu)不確定時(shí)非標(biāo)稱系統(tǒng)的輸出Fig.13 Outputsof thenon-nominal system with structural uncertainty

圖15 增益系數(shù)變化時(shí)的Nyquist結(jié)果Fig.15 Nyquist resultswith varying gain coefficients

從圖14可知，時(shí)滯減小能夠提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，隨著時(shí)滯的增加系統(tǒng)穩(wěn)定性下降，直到系統(tǒng)不穩(wěn)定，本文方法所能容忍系統(tǒng)時(shí)滯為標(biāo)稱時(shí)滯的0～2.57倍。從圖15可知，增益系數(shù)減小能夠提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，隨著增益系數(shù)的增加系統(tǒng)穩(wěn)定性下降，直到系統(tǒng)不穩(wěn)定，本文方法所能容忍系統(tǒng)增益系數(shù)為標(biāo)稱增益系數(shù)的0～2.80倍。說明本文所提方法能夠容忍系統(tǒng)時(shí)滯和增益系數(shù)存在較大的變化，具有較強(qiáng)的魯棒性。當(dāng)時(shí)滯和增益系數(shù)變化超出該范圍時(shí)，必須重新整定PI控制器參數(shù)才能保證滿意的控制效果。

3 高溫高壓加熱器的現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)用

將優(yōu)化參數(shù)投入該廠#3高壓加熱器的PI控制器中，得到優(yōu)化參數(shù)投入前、后的水位波動(dòng)情況，如圖16、圖17所示。需要說明的是，投入前、后的負(fù)荷波動(dòng)范圍分別為212.1～257.6 MW和208.1～280.9 MW，這意味著優(yōu)化參數(shù)經(jīng)歷了更大的負(fù)荷擾動(dòng)。

從圖16—17及表2可知：盡管經(jīng)歷了更大的負(fù)荷擾動(dòng)，優(yōu)化參數(shù)下的水位波動(dòng)范圍只有現(xiàn)場(chǎng)參數(shù)的61.89%；偏差絕對(duì)均值和方差也表明優(yōu)化參數(shù)具有明顯優(yōu)勢(shì)；優(yōu)化參數(shù)下的閥門開度較現(xiàn)場(chǎng)參數(shù)下的閥門開度更加平滑。此外，如果采用工控機(jī)，通過合適的工具包，結(jié)合閉環(huán)辨識(shí)方法，能夠?qū)崿F(xiàn)PI控制器參數(shù)的在線整定。

圖16 現(xiàn)場(chǎng)參數(shù)下的水位波動(dòng)及閥門開度Fig.16 Water level fluctuation and valveopening with field data

?

圖17 優(yōu)化參數(shù)下的水位波動(dòng)及閥門開度Fig.17 Water level fluctuation and valveopening with optimized parameters

表2 高壓加熱器水位運(yùn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)Tab.2 Statistics of high-pressureheater water levels

4 結(jié)束語(yǔ)

為提升系統(tǒng)運(yùn)行品質(zhì)，本文提出了一種基于魯棒約束的PI控制器參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化方法。采取最大靈敏度函數(shù)作為魯棒性能指標(biāo)，在該約束下將閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤性能與抗干擾性能同時(shí)作為優(yōu)化目標(biāo)，采用多目標(biāo)遺傳算法在PI控制器穩(wěn)定域內(nèi)對(duì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，得到滿足魯棒約束的Pareto最優(yōu)解集，借助水平圖法得到優(yōu)化參數(shù)。與SIMC和MIGO等經(jīng)典整定的參數(shù)以及現(xiàn)場(chǎng)參數(shù)的仿真對(duì)比表明，該優(yōu)化方法具有最優(yōu)的控制效果。采用該方法優(yōu)化后的PI控制器參數(shù)在濰坊某電廠#3高壓加熱器中投入應(yīng)用，更大的負(fù)荷波動(dòng)范圍內(nèi)高壓加熱器水位波動(dòng)范圍只有原來的61.89%。