基于MATLAB的數(shù)字信號處理實驗平臺

朱御康

（安徽大學 互聯(lián)網(wǎng)學院，安徽 合肥 230000）

0 引 言

數(shù)字信號相比于模擬信號有著傳輸速率快、抗干擾能力高以及保密性強等諸多優(yōu)點，早在第二代手機技術(shù)通信中就得到了應(yīng)用。數(shù)字信號處理作為通信中信號分析處理的基礎(chǔ)，有著舉足輕重的作用。在數(shù)字信號處理課程中，IIR濾波器及FIR濾波器的設(shè)計是數(shù)字信號處理課程的一個綜合應(yīng)用。學生在動手設(shè)計濾波器時，不僅會復(fù)習到諸如信號的幅頻響應(yīng)與相頻響應(yīng)、離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)以及系統(tǒng)零極點分布對系統(tǒng)頻率特性的影響等相關(guān)知識，同時也會增強學生的實踐動手能力。

本文借助MATLAB GUI平臺，開發(fā)了一款基于MATLAB的數(shù)字信號處理實驗平臺。該平臺通過IIR及FIR各類型濾波器算法的實現(xiàn)，致力于將數(shù)字信號處理課程中抽象煩瑣的理論知識具象化和形象化，以加深學生對于數(shù)字信號處理課程的理解[1-3]。

1 系統(tǒng)設(shè)計流程

本實驗平臺共有9個顯示框、9個主要功能按鍵以及1個用來加入高斯白噪聲的滑動拖條。其中9個功能按鍵及滑動拖條都需要編寫其回調(diào)函數(shù)實現(xiàn)其功能。

實驗平臺主要包含信號輸入、信號加噪以及信號濾波3個主要功能，系統(tǒng)流程如圖1所示，系統(tǒng)主界面如圖2所示。

圖1 系統(tǒng)流程圖

圖2 系統(tǒng)主界面

1.1 信號輸入

本實驗平臺輸入的信號采用正弦信號，點擊輸入信號按鈕，會彈出對話框，在框中可以輸入正弦信號的幅值及頻率。信號輸入后，系統(tǒng)左上方第一幅圖將會顯示原信號的時域波形，右側(cè)則會顯示出該信號的幅度譜及相位譜。需要注意的是，本實驗在編寫時采樣頻率為1 000 Hz，故選取的正弦信號頻率不應(yīng)超出500 Hz過多，否則會導致頻譜混疊嚴重。

1.2 信號加噪

本實驗平臺疊加的噪聲選用高斯白噪聲，用戶可通過拖動拉條來調(diào)節(jié)噪聲幅度。在選定噪聲幅度之后，系統(tǒng)會計算出加噪信號的信噪比并顯示，同時在右側(cè)顯示出加噪信號的幅度譜及相位譜。

1.3 信號濾波

數(shù)字濾波器從實現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位沖激響應(yīng)分類，可以分成無限長單位沖激響應(yīng)（Infinite Impulse Response，IIR）濾波器和有限長單位沖激響應(yīng)（Finite Impulse Response，F(xiàn)IR）濾波器[4]。本實驗平臺分別設(shè)計了這兩種類型的濾波器，每種類型又分為低通、帶通、帶阻以及高通。用戶通過點擊按鈕，輸入濾波器的通帶截至頻率和阻帶截至頻率，系統(tǒng)會自動設(shè)計出滿足要求的濾波器。濾波完成之后，系統(tǒng)會顯示濾波過后的幅度譜和相位譜，并計算出濾波過后的信噪比。用戶可以通過觀察幅度譜和信噪比來檢驗濾波器的濾波性能。

2 濾波算法介紹

2.1 IIR濾波算法介紹

2.1.1 算法特性

IIR濾波器與FIR濾波器相比，在相同的設(shè)計指標要求下，IIR濾波器的階數(shù)要低很多，設(shè)計成本相較于FIR濾波器要低[5]。IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：

其系統(tǒng)函數(shù)決定了濾波器中存在有輸出到輸入的反饋，為一個遞歸結(jié)構(gòu)。

2.1.2 算法理論與流程

IIR濾波器的設(shè)計方法有直接法與間接法，直接法主要基于模擬濾波器的設(shè)計，通過設(shè)計得到模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，將Ha(s)通過沖激響應(yīng)不變法或者是雙線性變換法來轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。IIR濾波器的設(shè)計方法如圖3所示，下面介紹通過間接法設(shè)計IIR濾波器的流程[6]。

圖3 IIR濾波器的設(shè)計方法

以巴特沃斯低通濾波器為例，其幅度平方函數(shù)為：

將幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2寫成s的函數(shù)，求出極點sk，可表示為：

式中，k的取值從0到2N-1，表明其有2N個極點。則其對應(yīng)的Ha(s)有N個極點，且每個極點存在一個共軛極點，由此可以得出：

到此只需根據(jù)技術(shù)指標求出系統(tǒng)階數(shù)N便可得到Ha(p)，再經(jīng)過去歸一化便可得到Ha(s)，最后通過雙線性變換法便可得到成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。

在本實驗平臺的IIR濾波器設(shè)計中，采用了切比雪夫二型的濾波器。以低通為例，使用cheb2ord函數(shù)，輸入?yún)?shù)為通帶截止頻率、阻帶截止頻率、通帶波紋、阻帶最小衰減，得到濾波器階數(shù)n及3 dB截至頻率Omgn。通過che2ap函數(shù)，求切比雪夫二型模擬濾波器原型系統(tǒng)函數(shù)，返回零、極點和增益的形式。之后通過lp2lp函數(shù)將原型系統(tǒng)函數(shù)去歸一化，最后通過bilinear函數(shù)，即通過雙線性變換法將模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)化為數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。

2.2 FIR濾波算法介紹

2.2.1 算法特性

FIR濾波器相較于IIR可以做到嚴格的線性相位，其系統(tǒng)函數(shù)的一般表達形式為：

由于其系統(tǒng)函數(shù)沒有極點，決定了其沒有從輸出到輸入的反饋。但是，要取得良好的衰減特性，F(xiàn)IR濾波器系統(tǒng)函數(shù)的階次要比IIR濾波器高[7]。

2.2.2 算法理論與流程

以窗函數(shù)設(shè)計法設(shè)計數(shù)字低通濾波器為例，一般流程為根據(jù)技術(shù)指標得到濾波器系統(tǒng)函數(shù)Hd(ejω)，經(jīng)IDTFT得到其對應(yīng)的單位沖激響應(yīng)hd(n)，選擇對應(yīng)窗函數(shù)進行截斷，再通過z變換得到H(z)。加窗截斷后的濾波器是物理可實現(xiàn)的，但是其在濾波性能上相較于理想低通濾波器存在一些差異。

理想低通濾波器不存在過渡帶，而加窗之后在ω=ωc的頻率點附近出現(xiàn)過渡帶，且其帶寬與窗函數(shù)的主瓣寬度呈正相關(guān)。在ω=ωc±2π/N頻率點附近出現(xiàn)肩峰值，兩側(cè)形成起伏震蕩，震蕩幅度和旁瓣的幅度和數(shù)量有關(guān)。為提高濾波器的性能，有窗函數(shù)的主瓣要求盡可能的窄，旁瓣幅度盡可能的小。在本實驗平臺的FIR濾波器設(shè)計中采用漢寧窗作為窗函數(shù)[8]。

通過過渡帶帶寬求出濾波器階數(shù)，之后通過階數(shù)得到漢寧窗的窗函數(shù)，加窗截斷后得到濾波器的單位沖激響應(yīng)后，將加噪信號與濾波器的單位沖激響應(yīng)進行卷積，即頻域相乘，完成濾波處理[8]。

3 信號處理結(jié)果與分析

3.1 FIR濾波分析

以FIR低通濾波器為例進行濾波處理，原始信號選擇頻率為5 Hz，幅度為10 mV的正弦信號，噪聲信號為高斯白噪聲，選取通帶截止頻率為10 Hz，阻帶截止頻率為30 Hz。信號時域波形如圖4所示，幅度譜如圖5所示，相位譜如圖6所示。

圖4 信號時域波形

圖5 信號幅度譜

圖6 信號相位譜

下面進行通過FIR低通濾波進行濾波處理，濾波過后信號的時域波形，幅度譜及相位譜如圖7和圖8所示。

圖7 濾波信號時域波形

圖8 濾波信號幅度譜與相位譜

濾波之前的信噪比如圖9所示，約為7.967 2 dB，經(jīng)FIR低通濾波過后所得的信號信噪比如圖10所示，提升到22.365 3 dB，信噪比大幅提升。

圖9 濾波之前信噪比

圖10 經(jīng)FIR低通濾波過后的信噪比

3.2 IIR濾波分析

在IIR濾波器實驗中，選用同樣的正弦信號，給定通帶截至頻率為100 Hz，阻帶截至頻率為200 Hz。IIR濾波過后的時域波形如圖11所示，幅度譜及相位譜如圖12所示。

圖11 濾波信號時域波形

圖12 濾波信號幅度譜與相位譜

經(jīng)濾波處理后，信噪比由7.967 2 dB上升到圖13所示的13.080 4 dB。由于通帶截至頻率選取為100 Hz，阻帶截至頻率選取為200 Hz，有較多噪聲信號未被濾除，不夠顯著，進一步說明在設(shè)計濾波器時，截至頻率的選擇至關(guān)重要[9,10]。

圖13 濾波信噪比

4 結(jié) 論

本文介紹了IIR及FIR濾波器各自的特點及設(shè)計流程，通過設(shè)計基于MATLAB的數(shù)字信號實驗平臺，實現(xiàn)了信號產(chǎn)生、疊加噪聲、信號濾波以及頻譜分析，并計算了其信噪比，深入探討了IIR及FIR濾波器之間的差別。通過本實驗平臺，可了解到各種類型的濾波器，對課堂知識靈活應(yīng)用并加以鞏固，便于后續(xù)更復(fù)雜的信號處理相關(guān)內(nèi)容學習。