基于量綱分析的燃料云霧半徑計算

徐啟明，解立峰，王永旭，鳳文楨，宋先釗，李 斌

(1.南京理工大學(xué)化工學(xué)院， 南京 210094； 2.中國兵器科學(xué)院寧波分院， 浙江 寧波 315103)

燃料拋撒形成云霧現(xiàn)象的研究在軍事和工業(yè)上都有著重要的關(guān)注度。其在軍事上一直是燃料空氣炸藥的(Fuel Air Explosive， FAE)重要研究方向，在工業(yè)上也可為預(yù)防可爆燃料云霧的形成和計算安全距離提供參考，同時相關(guān)研究成果可應(yīng)用于消防滅火彈[1-2]。

目前對于燃料云霧拋撒規(guī)律的研究以實驗為主，方偉等[3]利用高速攝影觀測不同密度燃料拋撒過程，發(fā)現(xiàn)燃料密度的增加有利于燃料云霧的發(fā)展。郭學(xué)永等[4]系統(tǒng)研究了各種參數(shù)，如長徑比、比藥量和殼體材料等對于云霧膨脹半徑的影響，給出了這些參數(shù)對于膨脹半徑的影響規(guī)律，但是沒有根據(jù)這些參數(shù)推出理論模型。Zabelka[5]根據(jù)中心藥爆炸后驅(qū)動力和氣動阻力的地位變化，將云霧擴散分兩個階段：近場階段和遠場階段。其中近場階段驅(qū)動力主導(dǎo)，燃料做加速運動，遠場階段阻力主導(dǎo)，燃料做減速運動。張奇等人[6]通過對加速階段和減速階段分開進行分析，代入一些相關(guān)參數(shù)證明了燃料分散最終半徑符合相似定律。

上述研究分析了各類參數(shù)對于燃料云霧半徑的影響，但并未給出一般性公式，每次改變裝藥質(zhì)量都需要重新進行實驗，而大裝藥質(zhì)量的燃料拋撒實驗由于成本高昂且實驗復(fù)雜而難以進行，陳嘉琛[7]為了研究云霧場分布的尺度效應(yīng)，在2 kg云爆裝置實驗的基礎(chǔ)上，以模擬替代了7 kg、13 kg和100 kg云爆裝置的實驗研究。而且燃料云霧拋撒實驗過程復(fù)雜，影響因素多，導(dǎo)致可用的數(shù)據(jù)和規(guī)律較少，陳明生[8]對大體積扇形裝藥結(jié)構(gòu)燃料拋撒問題進行了系統(tǒng)研究，但是對于相似裝藥結(jié)構(gòu)下其他裝藥質(zhì)量的燃料云霧半徑還沒有足夠數(shù)據(jù)進行表征。拋撒過程的研究涉及爆炸力學(xué)、流體力學(xué)、計算力學(xué)、動態(tài)測試技術(shù)等多個復(fù)雜學(xué)科[9-10]，目前所給出的模型大多為經(jīng)驗公式，不適用于普適實驗。

量綱分析作為一種研究手段，不僅可以快速地找出問題一般性規(guī)律，暴露出主導(dǎo)控制參量，還可以在分析時簡化研究，建立起左右兩端量綱相同的模型[11-13]。本文通過量綱分析的手段，推導(dǎo)相似彈體結(jié)構(gòu)及裝藥條件下云霧拋撒半徑的變化模型，并通過實驗驗證了該模型的適用性。

1 相關(guān)參數(shù)的推導(dǎo)

本文中涉及參數(shù)及其符號見表1。

云霧拋撒過程可分為3個階段，分別是加速運動階段、減速運動階段和湍流運動階段[14]。其中加速階段會在幾毫秒內(nèi)結(jié)束，由于目前設(shè)備和實驗條件的限制，對加速階段難以準確細致的觀測到。通過實驗數(shù)據(jù)能發(fā)現(xiàn)，拋撒云團到后期一般呈現(xiàn)為扁平圓柱形[15-16]，以中間彈體為對稱軸對稱。在本文中將其視為二維平面情況進行分析計算，忽略重力加速度的影響。

表1 文中涉及參數(shù)

將每毫秒云霧拋撒半徑變化不超過0.1%視為達到終點，取達到這個狀態(tài)時所需時間為t0。對于從0到t0時刻的云霧半徑變化，從已有的拋撒實驗可以看出，不同質(zhì)量燃料云霧半徑變化過程是相似的，都是由陡峭轉(zhuǎn)向緩慢的變化，且t0是隨著裝藥質(zhì)量的增加而非線性增加的，故認為將t/t0相同時的云霧半徑進行對比分析更為合理。選取兩組實驗參數(shù)及實驗條件基本相同的數(shù)據(jù)，分別是300 kg液固燃料的拋撒和80 kg液固燃料的拋撒，通過高速攝像機讀取燃料云霧半徑變化如圖1所示，將數(shù)據(jù)對時間進行求導(dǎo)，得到燃料拋撒時的速度變化，然后以t/t0為橫坐標，u縱坐標進行作圖(見圖2)，從圖2可以看出，從初始點開始，拋撒基本就處在減速階段[17]，且加速度的絕對值一直在減小，直至終點時趨向于0。觀察速度變化圖形，考慮到中心裝藥、燃料量及讀取數(shù)據(jù)時的誤差等，分析認為t/t0可以作為一個相似數(shù)。

圖1 300 kg和80 kg燃料云霧半徑曲線

圖2 300 kg和80 kg燃料云霧u的關(guān)系曲線

2 量綱分析及方程推導(dǎo)

量綱是物理量的種類屬性，目前學(xué)術(shù)界給出的相似數(shù)基本都是無量綱數(shù)，如Laplace數(shù)和Taylor數(shù)等，本文使用的理論基礎(chǔ)定理是量綱分析的一個重要定理，此定理的基本定義有以下3個[18]，分別是：

基本定義1:目前公認的量綱一共只有7個，所有其他的物理量都是這幾個基本量的導(dǎo)出量；

基本定義2:量綱一致性定律，只有量綱保持一致的物理量才能在公式中進行相加減；

基本定義3:任何物理量寫成量綱式一定是幾個基本量綱的冪次乘積形式。

在相似裝藥結(jié)構(gòu)下對云霧尺寸進行分析，認為影響因素有r0、m、M、t/t0、ρ、u0、F、E，本次將模型近似為在平面情況下進行思考[19]，故不考慮當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭。且對于云霧變化緩慢一段不再代入分析，故不考慮雷諾數(shù)Re?；贕urney方程，假定爆炸是瞬態(tài)的，中心裝藥爆炸的總能量完全轉(zhuǎn)化為燃料顆粒和爆炸產(chǎn)物的動能[20]。

于是有R=f(r0、m、M、t、ρ、u0、F、E、t/t0)，涉及的基本量綱有3個，分別是[L]、[M]和[T]。將本次分析涉及的量綱列表，如表2所示。

表2 分析中涉及的量綱

取任意量燃料為一燃料單元，拋撒過程中單元中燃料顆粒由于速度差異會不斷變形，但是其總體質(zhì)量不會發(fā)生變化，符合拉格朗日條件下的質(zhì)量守恒，拋撒過程中任一云霧單元會出現(xiàn)如圖3所示的變化。

根據(jù)拉格朗日情況下的質(zhì)量守恒，我們假定在實時構(gòu)型下所選定的單元密度為ρ，體積為dv，則在運動過程中有ρ0·dV=ρ·dv，u=dR/dt，其中ρ0和dV為單元初始密度和體積[21]，有：

ρ=ρ0(1-div·u)

(1)

即有：ρ=Ψ(R)。

ρ0, dV, u0 ? ρ, dv, u

認為中心裝藥爆炸后，能量全部用于燃料加速，對于某一單元有：

(2)

可知F=Φ(E，u0，t)，聯(lián)系上述分析認為參量F、u0、ρ是可以由其他參量表示的導(dǎo)出量，故進行無量綱分析時這幾個參量可以舍去[22-24]。

取r0、m、t為基本量綱，則其他物理量有如下表示：

根據(jù)量綱齊次原則，可以得到：

1+a1=0，b1=0，c1=0；a2=0，1+b2=0，c2=0；2+a3=0，1+b3=0，-2+c3=0；a4=0，b4=0，c4=0。

(3)

在確定了裝藥條件后，式(3)中r0、u0、E、m可以視為常數(shù)，此時對于相似裝藥結(jié)構(gòu)有，

(4)

對于2種參數(shù)基本相同的確認彈體，有，

可對式(4)進行化簡如下：

(5)

因此，對于相似裝藥結(jié)構(gòu)的燃料云霧半徑比，便轉(zhuǎn)化為質(zhì)量比的立方根和時間比的關(guān)系式，對于其中的時間比，目前沒有準確的理論公式進行表征，在本文中通過實驗室已有數(shù)據(jù)確定一個經(jīng)驗公式。不同質(zhì)量燃料t0的有關(guān)參數(shù)如表3所示。

表3 不同質(zhì)量燃料t0的有關(guān)參數(shù)

經(jīng)驗公式為t01/t02=e0.004 206·(m1-m2)，其準確度為0.99。

3 實驗及分析

實驗選取3組燃料量數(shù)據(jù)，分別為300 kg、80 kg和10 kg，其中300 kg和80 kg為作為算例，10 kg是實驗。保證實驗條件類似，3組實驗裝填燃料都是含鋁液固燃料，殼體均采用鋁質(zhì)材料，且上端板厚度大于側(cè)板，中心裝藥為TNT壓裝藥柱，3種彈體具有相同的長徑比和比藥量。

其中10 kg裝置如圖4所示，彈體由中心管、側(cè)部彈體、上下加厚端板組成，由雷管引爆傳爆藥柱在上端來激發(fā)TNT，其中彈體總重15 kg，側(cè)面采用0.3 cm鋁板制成，上下端板為1.5 cm的加厚鋁板。燃料量為10 kg，比藥量為1%，彈體高為40 cm，底部半徑為10 cm，為防止燃料膨脹，彈體有一定留空，本次試驗炸高為1.5 m。

圖4 試驗戰(zhàn)斗部示意圖

對于本次實驗，取2 ms、10 ms、90 ms時刻的高速攝像機拍攝照片如圖5所示。

由圖5可以看見，2 ms時，剛剛起爆，各個部分沒有速度差異，呈現(xiàn)的云霧類似于圓柱形，能夠看見有白色的尖峰出現(xiàn)[25]。10 ms，云團經(jīng)過一段時間的發(fā)展，出現(xiàn)扁平狀。90 ms時，云霧邊緣發(fā)散，出現(xiàn)明顯湍流運動，此時云霧分散速度及加速度已經(jīng)趨向于0[26]，形狀類似帽子形。

圖5 10 kg拋撒照片

10 kg試驗及其計算值如圖6所示，云霧半徑在t/t0=0.3前隨時間變化較快，t/t0=0.3時變化減慢，這一階段驅(qū)動力小于氣動阻力，隨后液體云霧發(fā)生了剝離破碎及揮發(fā)，進入湍流運動階段并擴散[27]。

圖6 10 kg試驗及其計算值曲線

利用300 kg和80 kg的數(shù)據(jù)中云霧拋撒時間及其相對應(yīng)的拋撒半徑，選取相應(yīng)5個點(見表4)代入推導(dǎo)公式中進行高斯擬合。

表4 擬合所用數(shù)據(jù)

得到最終公式為：

[3.458×(sin(e0.004 206×(m1-m2)-3.14))+0.043 77×((e0.004 206×(m1-m2)-10)2)+0.966 2]

(6)

通過擬合出來的公式，我們基于80 kg的數(shù)據(jù)進行10 kg燃料云霧半徑計算，結(jié)果如圖6所示。

圖6中10 kg計算值是基于80 kg算例用公式計算得到，故其曲線與圖1中80 kg算例相似，在t/t0=0.5附近有異常上升，認為符合情況。從圖6可以看出，2條曲線在t/t0=0.55附近有重合，在0.55前取3個點，0.55附近取一個點，0.55后取3個點，求得平均相對偏差為12.8%，在接近拋撒終點時相差7.9%?？梢哉J為推導(dǎo)的燃料云霧拋撒半徑公式符合云霧拋撒的一般規(guī)律及趨勢，且一致性較好。

4 結(jié)論

1) 通過對試驗數(shù)據(jù)的分析可以得出，在相同的t/t0處不同裝藥質(zhì)量云團運動速度處于相同的趨勢，t/t0可以作為相似數(shù)。