非牛頓流體孔隙介質(zhì)彈性波動(dòng)方程

孫衛(wèi)濤 熊繁升 曹 宏 楊志芳 盧明輝

(①清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京 100084；②清華大學(xué)周培源應(yīng)用數(shù)學(xué)研究中心，北京 100084；③中國(guó)石油勘探開(kāi)發(fā)研究院，北京 100083)

0 引言

常規(guī)油氣探測(cè)中一般視孔隙流體為牛頓流體。但是，在油氣勘探和開(kāi)發(fā)過(guò)程中普遍存在非牛頓流體流動(dòng)，這涉及到許多重要的工程，如用加熱方法提高重油采收率；用聚合物溶液、油和泡沫溶液的乳狀液充當(dāng)驅(qū)替液；用含有懸浮顆粒的化學(xué)溶劑充當(dāng)頁(yè)巖氣壓裂液等。當(dāng)這類流體與固體之間發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生剪切應(yīng)力，應(yīng)力大小跟流體黏性和流體剪切應(yīng)變率有關(guān)。非牛頓流體剪切應(yīng)力與剪切應(yīng)變之間一般不滿足線性關(guān)系，黏性系數(shù)是剪切變化率的復(fù)雜函數(shù)。在化學(xué)工程、流變學(xué)、石油工程等領(lǐng)域，對(duì)非牛頓流體流變學(xué)進(jìn)行了大量的研究。Tan等[1]研究了Maxwell黏性流體在平板之間的流動(dòng)現(xiàn)象，盧明輝[2]在流體的本構(gòu)模型中引入了流體抵抗剪切變形的作用，Tong等[3]給出了圓管中非牛頓流體流動(dòng)的解析解。但是，孔隙介質(zhì)中非牛頓流體對(duì)彈性波場(chǎng)傳播的影響機(jī)制仍不清楚[4]。

孔隙介質(zhì)波動(dòng)力學(xué)的研究多采用理想流體或具有黏性的牛頓流體，這使公式推導(dǎo)較為簡(jiǎn)便。但是，致密油儲(chǔ)層地質(zhì)特征復(fù)雜，巖石包含礦物顆粒和固態(tài)有機(jī)質(zhì)等物質(zhì)，流體非均質(zhì)性強(qiáng)[5]，毛細(xì)管壓力大[6]。這類巖石中主要發(fā)育微納米級(jí)孔喉連通體系，孔隙結(jié)構(gòu)復(fù)雜[7]、連通性差，孔徑范圍在納米、微米量級(jí)，且孔隙度一般小于10%、滲透率一般小于0.1mD。研究表明流體在宏觀與微觀孔隙結(jié)構(gòu)中的流動(dòng)行為并不一致，當(dāng)孔隙尺度逐漸變小時(shí)流體的連續(xù)介質(zhì)流動(dòng)特征發(fā)生改變[8]。Thomas等[9]發(fā)現(xiàn)在微納米孔中流體呈現(xiàn)接近固體的規(guī)則分子排布，其黏性特征已發(fā)生改變，表明致密孔隙中流體是介于固體與理想流體之間的復(fù)雜狀態(tài)物質(zhì)。同時(shí)，在微納米孔隙通道條件下，非牛頓流體表現(xiàn)出“非達(dá)西”流動(dòng)特征，因此常規(guī)牛頓流體假設(shè)已不適用于致密儲(chǔ)層，采用非牛頓本構(gòu)模型更為合理。

Sochi[10]綜述了孔隙介質(zhì)非牛頓流體的流動(dòng)，重點(diǎn)敘述含屈服應(yīng)力的流體、黏彈性流體的性質(zhì)及流動(dòng)模型，并討論了測(cè)試流體屈服應(yīng)力的不同方法。Pearson等[11]建立了復(fù)雜非牛頓流體在孔隙介質(zhì)中流動(dòng)的數(shù)學(xué)模型。Dong等[12]研究了重油非牛頓流體在孔隙介質(zhì)中的流動(dòng)規(guī)律，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明流體流速與壓力梯度呈非線性關(guān)系，且部分實(shí)驗(yàn)中流體流動(dòng)具有啟動(dòng)壓力梯度。Xiong等[4]通過(guò)對(duì)三維孔隙網(wǎng)絡(luò)中的Maxwell流體滲透率建模計(jì)算，發(fā)現(xiàn)滲透率變化受頻率、流體流變學(xué)屬性和孔隙連通性的影響。Talon等[13]在格子玻爾茲曼框架下，針對(duì)含屈服應(yīng)力非牛頓流體在孔隙介質(zhì)中的流動(dòng)問(wèn)題，推導(dǎo)了廣義達(dá)西方程以描述流體的流動(dòng)，并分析各參數(shù)的計(jì)算方法。Markov[14]研究了飽和Maxwell非牛頓流體孔隙介質(zhì)瑞利面波沿邊界層的傳播問(wèn)題，建立了波動(dòng)方程并進(jìn)行頻散和衰減分析，指出有可能通過(guò)分析波速頻散和衰減估計(jì)Deborah數(shù)。

Teeuw等[15]通過(guò)實(shí)驗(yàn)手段研究了Bentheim砂巖巖心中高分子溶液的流動(dòng)特征，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，對(duì)于較大高分子的溶液，孔隙壁對(duì)分子的排斥作用引起了明顯的滑移效應(yīng)，導(dǎo)致孔隙介質(zhì)中出現(xiàn)較大流動(dòng)速率；Greaves等[16]進(jìn)行了Elginshire砂巖的高分子溶液注入實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)高分子溶液在孔隙中的黏性大于在實(shí)驗(yàn)室容器中，認(rèn)為這是由溶液與孔隙壁間的相互作用引起的；Cannella等[17]在Berea巖心實(shí)驗(yàn)中也發(fā)現(xiàn)相同的現(xiàn)象；Hejri等[18]通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究了Ottawa砂巖樣本中高分子溶液的流變學(xué)行為，發(fā)現(xiàn)在溶液流速高于閾值時(shí)，非固結(jié)砂巖中高分子溶液流動(dòng)規(guī)律不滿足線性達(dá)西定律，而是滿足冪率流模型。

孔隙流體屬性是重要的巖石物理參數(shù)[19]，盡管對(duì)孔隙尺度非牛頓流體流動(dòng)現(xiàn)象的研究較為深入，但基于非牛頓流體—固體骨架耦合作用的孔隙介質(zhì)波動(dòng)方程研究卻尚未引起足夠的重視。傳統(tǒng)孔隙介質(zhì)波場(chǎng)傳播模型假設(shè)孔隙中填充了經(jīng)典牛頓流體，然而大量理論和實(shí)驗(yàn)研究表明，現(xiàn)有牛頓流體孔隙介質(zhì)波動(dòng)方程已不適用于低孔、低滲致密油儲(chǔ)層的復(fù)雜流動(dòng)條件。為了更好地利用地震技術(shù)發(fā)現(xiàn)非常規(guī)油藏和提高剩余油采收率，人們?cè)噲D研究非牛頓流體對(duì)多孔介質(zhì)動(dòng)力學(xué)的影響。一種觀點(diǎn)認(rèn)為孔隙流體的非線性流變性可能是低頻范圍的主要影響機(jī)制[20]，這需要對(duì)非牛頓流體有更深入的了解。冪律應(yīng)變—應(yīng)力關(guān)系是一種表征多孔介質(zhì)(如 Bentheim 砂巖[15])中聚合物水溶液非線性模型的常見(jiàn)本構(gòu)關(guān)系；同時(shí)，Maxwell流體是分析黏彈性特性的另一個(gè)常用模型，能夠描述特定頻率下振蕩流速提高現(xiàn)象。Tsiklauri等[21]將波場(chǎng)的共振現(xiàn)象歸因于孔隙中非牛頓流體，實(shí)驗(yàn)證實(shí)了在振蕩壓力梯度下黏彈性流體的動(dòng)力響應(yīng)[22]?，F(xiàn)有非牛頓流體模型研究仍處于不斷探索階段，對(duì)實(shí)際流體流變行為的機(jī)理仍不甚了解，需要更靈活的本構(gòu)關(guān)系解釋實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。

非牛頓流體模型類型眾多，主要可分為黏彈性、非時(shí)變黏性和時(shí)變黏性流體三類。黏彈性非牛頓流體模型主要包括Maxwell和開(kāi)爾文流體模型，通過(guò)彈簧和阻尼的串聯(lián)、并聯(lián)實(shí)現(xiàn)彈性和黏性的結(jié)合。Maxwell流體的流變特性一般采用串聯(lián)的彈簧阻尼模型，然而該模型通常過(guò)于理想化，無(wú)法描述真實(shí)的非牛頓流體。近年來(lái)，分?jǐn)?shù)階微分模型受到了相當(dāng)大的關(guān)注，在描述物質(zhì)黏彈性屬性方面具有很大優(yōu)勢(shì)。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型使用的是非整數(shù)階導(dǎo)數(shù)描述應(yīng)變—應(yīng)力關(guān)系，其優(yōu)點(diǎn)在于它的非局部結(jié)構(gòu)，適用于對(duì)黏彈性流體的記憶特性進(jìn)行建模。最近的一些研究分析了Maxwell流體的流動(dòng)[1，23-24]，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證實(shí)了聚合物流變學(xué)與分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)Maxwell(fractional derivative Maxwell，fdMaxwell)模型一致[25]。目前多孔介質(zhì)中fdMaxwell流體對(duì)彈性波傳播影響的研究尚未展開(kāi)，主要是因?yàn)榉桥ｎD流體與固體之間的黏性和彈性耦合機(jī)制尚不清楚。

本文從非牛頓流體黏性系數(shù)的非線性本構(gòu)關(guān)系出發(fā)，基于Biot理論中非泊肅葉流動(dòng)的框架，考慮振動(dòng)壓力梯度作用下的孔隙微管黏性流體流動(dòng)，用fdMaxwell模型描述多孔介質(zhì)中彈性波傳播的非牛頓流體效應(yīng)，通過(guò)建立孔隙介質(zhì)流體動(dòng)量方程和非牛頓流體本構(gòu)關(guān)系，得到含非牛頓流體的孔隙介質(zhì)動(dòng)力學(xué)方程組，通過(guò)平面波分析方法，得到非牛頓流體效應(yīng)下波場(chǎng)頻散和衰減的計(jì)算方法。

1 fdMaxwell流體的黏彈性耗散

考慮在多孔介質(zhì)中存在一個(gè)封閉表面?Ω，內(nèi)部包含單元體Ω，單元體Ω由飽和Maxwell黏彈性流體的孔隙介質(zhì)組成，多孔介質(zhì)骨架是各向同性的、均勻的線性彈性體。單元體內(nèi)部物質(zhì)滿足連續(xù)性法則。其質(zhì)量連續(xù)性方程為

(1)

動(dòng)量守恒方程為

(2)

(3)

式中：η為流體黏性系數(shù)；λ=η/μf為弛豫時(shí)間，其中μf為流體剪切模量；α和β為分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階次；變形速率張量被定義為

(4)

表示應(yīng)變對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，其中I表示二階單位張量。

分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義[28]為

(5)

式中：m為正整數(shù)；m-1≤α≤m；Γ為伽馬函數(shù)。為了獲得流體相的動(dòng)態(tài)方程，對(duì)本構(gòu)方程兩邊取散度，帶入動(dòng)量守恒方程，可得

(6)

上式是流體滿足的動(dòng)力學(xué)方程。

對(duì)于圓柱形孔隙微管道，流體運(yùn)動(dòng)方程存在解析解。在微納米孔隙介質(zhì)中，管道半徑比孔隙界面的波長(zhǎng)要小得多(“長(zhǎng)波長(zhǎng)近似”假設(shè))，因此固壁局部位移可以看作是常數(shù)。在低速條件下，孔隙流體的壓縮性可以忽略不計(jì)，則質(zhì)量連續(xù)性條件可寫為

divvf=0

(7)

在微米量級(jí)的孔隙管道里流動(dòng)的黏彈性流體，其雷諾數(shù)比失穩(wěn)臨界值要小得多，層流假設(shè)依然合理。因此，在柱坐標(biāo)系(r，θ，z)下，可以假設(shè)唯一的非零速度分量是沿z軸(孔隙管道軸向)方向，而且速度只取決于徑向坐標(biāo)，因此有

(8)

在孔隙介質(zhì)中，流體速度可以表示為

(9)

(10)

(11)

w=-A[1-J0(lr)/J1(la)]f/(l2ψ)

(12)

(13)

(14)

式中

(15)

Deborah數(shù)定義為De=λ/λψ，表示了黏性效應(yīng)的弛豫時(shí)間和特征時(shí)間的比值，刻畫了流體—固相系統(tǒng)是否處于耗散狀態(tài)或彈性狀態(tài)，其中λψ=a2/ψ。具有較低Deborah數(shù)的材料表現(xiàn)為牛頓黏性流體；當(dāng)Deborah數(shù)增加時(shí)，彈性行為占主導(dǎo)地位。

2 飽和fdMaxwell流體的孔隙介質(zhì)波動(dòng)方程

(16)

式中：μS是固體相剪切模量；ρ11、ρ12、ρ22分別為Biot理論中固體、流體和流固相互作用密度系數(shù)；G和R是Biot理論的彈性系數(shù)。將散度和旋度算子應(yīng)用于波動(dòng)方程固體和流體位移，令ζ1=?·u、ξ1=?·U、s=?×u、S=?×U，可得縱波波動(dòng)方程

(17)

橫波波動(dòng)方程為

(18)

根據(jù)平面波假設(shè)，四種波場(chǎng)可表示為ζ1=C1×exp[i(ωt-k·x)]、ξ1=C2exp[i(ωt-k·x)]、s=T1exp[i(ωt-k·x)]和S=T2exp[i(ωt-k·x)]，其中k是波數(shù)，C1、C2、T1、T2是波(矢量)常數(shù)。則縱波方程變?yōu)?/p>

(19)

式中：a11=A+2μS；b11=-ρ11+iηφ2F(c)/(κω)；a12=a21=G；b12=b21=-ρ12-iηφ2F(c)/(κω)；a22=R；b22=-ρ22-iηφ2F(c)/(κω)。

將波場(chǎng)表達(dá)式代入橫波方程，經(jīng)化簡(jiǎn)可得

(20)

波動(dòng)方程存在非零解的條件是系數(shù)行列式為零，利用平面波分析方法得到速度頻散和衰減。因此，可得縱波方程的解

(21)

式中

MP=(A+2μS)R-G2

(22)

BP=-ρ11R-(A+2μS)ρ22+2ρ12G+

(23)

(24)

橫波的k/ω滿足

BS(k/ω)2+ΨS=0

(25)

Re[(VS*)2]。

3 數(shù)值算例

3.1 流變參數(shù)和分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)對(duì)流體黏性耗散系數(shù)的影響

溶液的流動(dòng)特性和黏彈性取決于臨界剪切率，在臨界剪切率之上可以觀察到剪切稀化(Shear Thinning)和剪切稠化(Shear Thickening)現(xiàn)象。這種非牛頓流體行為受Deborah數(shù)的控制，該參數(shù)通過(guò)可測(cè)量參數(shù)計(jì)算獲得，包括流體密度ρf、黏度η、弛豫時(shí)間λ和孔隙通道半徑a。應(yīng)用甘油和CPyCL/NaSal(氯化鈉和水楊酸鈉)溶液定量計(jì)算流—固耦合黏性耗散函數(shù)F(c)。兩種流體的參數(shù)[22]為：甘油(牛頓流體)的密度為1250kg/m3，黏性為1 Pa·s；CPyCL/NaSal溶液(非牛頓流體)的密度為1050 kg/m3，黏度為60 Pa·s。

甘油的弛豫時(shí)間設(shè)定為一個(gè)很小的值(10-30s)，代表牛頓流體力學(xué)行為，其分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為(0，1.00)和(0，1.05)時(shí)的F(c)函數(shù)計(jì)算結(jié)果如圖1所示。從圖1可以看出，當(dāng)頻率接近0時(shí)，甘油的黏性耗散修正函數(shù)值等于1，表明低頻極限下黏性耗散系數(shù)退化到Biot理論的低頻情況；當(dāng)頻率逐漸增大時(shí)，黏性耗散修正函數(shù)趨近于線性增長(zhǎng)，實(shí)部和虛部逐漸平行于一條漸近線(Asymptotic line)。該算例給出的甘油黏性耗散函數(shù)隨頻率變化規(guī)律與Biot理論給出的牛頓流體行為完全一致[22]，這一結(jié)論與Tsiklauri等[30]的研究吻合。計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)甘油弛豫時(shí)間趨近于零時(shí)，牛頓流體可由fdMaxwell模型獲得。

圖1 甘油(De=0)的F(c)實(shí)部和虛部

分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)(與應(yīng)變延遲有關(guān))對(duì)F(c)有顯著影響。從圖1可以看出，階數(shù)β增加5%導(dǎo)致F(c)大幅下降，這將顯著降低流體與固體之間的黏性作用。因此，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)β刻畫了應(yīng)變與應(yīng)力變化率的關(guān)系。

CPyCL/NaSal溶液的弛豫時(shí)間設(shè)置為1.9s，用于解釋其非牛頓流體行為[22]，其分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為(1，1.0)和(1，1.5)的F(c)函數(shù)計(jì)算結(jié)果如圖2所示。

圖2 CPyCL/NaSal溶液(De=17.4)的F(c)實(shí)部和虛部

首先，當(dāng)α=1和β=1.0時(shí)，模型退化為傳統(tǒng)的Maxwell模型。CPyCL/NaSal溶液的F(c)在低頻率范圍內(nèi)快速衰減，然后呈現(xiàn)多個(gè)峰值，這些峰值反映出CPyCL/NaSal溶液具有近似固體的彈性共振現(xiàn)象。采用α=1和β=1.5說(shuō)明分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)對(duì)流固耦合黏性耗散機(jī)制的影響。在低頻率狀態(tài)下仍然可以觀察到耗散函數(shù)的快速衰減，然而并未出現(xiàn)多個(gè)峰值。計(jì)算結(jié)果表明，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)應(yīng)變—應(yīng)力關(guān)系控制了非牛頓流體的共振行為，對(duì)流體從耗散態(tài)到彈性系統(tǒng)的過(guò)渡具有重要影響。

3.2 fdMaxwell流體分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)對(duì)縱波速度頻散和衰減的影響

采用平均孔隙度為21%的French Vosgian砂巖[31](表1)分析縱波速度頻散和衰減對(duì)黏彈性流體的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的依賴關(guān)系。

表1 French Vosgian砂巖參數(shù)

鹽水的弛豫時(shí)間被設(shè)定為一個(gè)微小的值(10ns)模擬牛頓流體的行為。

圖3為由Biot理論和Maxwell模型(分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)α=1和β=1)計(jì)算的砂巖飽含鹽水的波速頻散和衰減曲線，可見(jiàn)，無(wú)論是地震頻帶還是超聲波頻帶(小于1MHz)，非牛頓波動(dòng)方程的縱波波速度與Biot的理論匹配得很好，微小的差異發(fā)生在超高頻帶，這是因?yàn)樵诓▌?dòng)方程中摩擦損耗被重新定義了。該算例表明，在飽含牛頓流體(鹽水)的多孔介質(zhì)中，Biot理論在彈性波傳播方面很有效，在此情況下，黏彈性效應(yīng)可以忽略不計(jì)，兩種理論表現(xiàn)一致。

由Biot理論和Maxwell模型(分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)α=1和β=1.0)和fdMaxwell模型(分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)α=1和β=1.5)計(jì)算飽含CPyCL/NaSal溶液的French Vosgian砂巖的縱波速度頻散和衰減曲線如圖4所示。由圖可見(jiàn)，當(dāng)β從1.0增至1.5時(shí)，頻散和衰減曲線會(huì)變得更加平滑，較大的β值壓制了黏彈性共振現(xiàn)象。此外，fdMaxwell模型的速度躍升和衰減峰值會(huì)向低頻方向移動(dòng)(出現(xiàn)在大約1MHz)，但不像Maxwell模型那樣低(大約10kHz)；fdMaxwell模型的縱波速度與Biot理論相同，與Maxwell模型有很大不同。fdMaxwell模型的導(dǎo)數(shù)階數(shù)表征了Maxwell模型和Biot理論之間的中間流變動(dòng)態(tài)。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的值對(duì)fdMaxwell流體飽和的多孔介質(zhì)彈性波速具有明顯的影響。

圖3 飽含鹽水的French Vosgian砂巖的縱波速度頻散(a)和衰減(b)曲線

圖4 飽含CPyCL/NaSal溶液的French Vosgian砂巖的縱波速度頻散(a)和衰減(b)曲線

雖然分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)對(duì)表征純彈性和純黏性之間的黏彈性行為起重要作用，但通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)仍是一個(gè)挑戰(zhàn)。許多研究試圖從物理上解釋分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)，例如分形流變模型將聚合物鏈的變形機(jī)理與分?jǐn)?shù)階微分方程聯(lián)系起來(lái)。但是，宏觀應(yīng)力和微結(jié)構(gòu)變形之間的關(guān)系只能部分解決真實(shí)的聚合物液體，如何提供合理的分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)參數(shù)擬合真實(shí)的黏彈性流體仍然十分困難。雖然目前的理想化模型過(guò)分簡(jiǎn)化了分子水平的細(xì)節(jié)，但含有fdMaxwell流體的多孔介質(zhì)波速預(yù)測(cè)模型仍然提供了對(duì)非牛頓流體效應(yīng)機(jī)理的深入認(rèn)識(shí)。

3.3 不同溫度下含重油砂巖縱波速度預(yù)測(cè)

利用含非牛頓流體波動(dòng)方程對(duì)不同溫度(T)下含重油(API=9.2)砂巖的波速進(jìn)行了預(yù)測(cè)。溫度變化范圍為20～80°C，骨架密度為2630kg/m3，孔隙度為0.326，滲透率為9D[32]。研究表明，在10～150°C范圍內(nèi)，骨架體積模量和剪切模量隨溫度線性降低[33]，如圖5所示。

圖5 骨架體積(藍(lán)色)和剪切(紅色)模量隨溫度變化曲線

重油黏性、密度、剪切模量隨溫度變化曲線[32，34]如圖6所示，隨著溫度的上升，重油黏性和剪切模量下降，黏性系數(shù)下降趨勢(shì)逐漸變緩。隨著溫度升高，重油作為黏滯流體的動(dòng)態(tài)滲透率明顯升高(圖7)，在20～80°C范圍內(nèi)，給出了三個(gè)不同頻率對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)滲透率變化情況，其中25Hz處于地震波頻率范圍，100kHz和1MHz處于超聲波頻率范圍。從圖中可以看出，不同頻率的滲透率變化規(guī)律基本相同。

在1MHz、100kHz和25Hz頻率下模擬了縱波速度隨溫度變化(隨溫度的升高呈現(xiàn)下降趨勢(shì))，并與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[32]做了對(duì)比(圖8～圖10)。不同頻率下，縱波速度隨著溫度升高逐漸下降，隨著頻率降低，這種速度下降更劇烈。在實(shí)驗(yàn)頻率(1MHz)附近，非牛頓流體模型預(yù)測(cè)速度值更加接近實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)(圖8)。當(dāng)頻率降到100kHz(圖9)和25Hz(圖10)時(shí)，牛頓流體模型和非牛頓流體模型預(yù)測(cè)速度均低于實(shí)驗(yàn)測(cè)量值，這是由于速度的頻散引起的。計(jì)算結(jié)果顯示，在不同頻率下，非牛頓流體波動(dòng)方程與常規(guī)波動(dòng)方程預(yù)測(cè)結(jié)果均存在明顯差異，非牛頓流體本構(gòu)關(guān)系對(duì)流固耦合帶來(lái)新的變化，對(duì)孔隙介質(zhì)波場(chǎng)頻散和衰減影響不可忽視。非牛頓流體模型的預(yù)測(cè)結(jié)果在實(shí)驗(yàn)頻率下與觀測(cè)數(shù)據(jù)吻合較好。

圖6 重油基礎(chǔ)參數(shù)隨溫度變化μlab、μfit分別實(shí)驗(yàn)室測(cè)量和計(jì)算的剪切模量

圖7 動(dòng)態(tài)滲透率隨溫度、頻率變化

圖8 頻率為1MHz時(shí)速度隨溫度變化曲線

圖9 頻率為100kHz時(shí)速度隨溫度變化

圖10 頻率為25Hz時(shí)速度隨溫度變化

4 結(jié)論

本文提出了基于分?jǐn)?shù)階Maxwell流體模型的非牛頓流體孔隙介質(zhì)波動(dòng)方程方法。根據(jù)重新定義的黏性耗散函數(shù)，Biot理論被推廣到非牛頓流體飽和情況，能夠解釋更復(fù)雜的流—固耦合效應(yīng)。利用波動(dòng)方程定量研究流變學(xué)參數(shù)對(duì)多孔彈性介質(zhì)波場(chǎng)傳播的影響，研究表明彈性波速度頻散和衰減不僅取決于密度、彈性模量和孔隙度，還取決于孔隙流體流變參數(shù)，如Deborah數(shù)和分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)等參數(shù)。理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比分析表明，在牛頓和非牛頓流體飽和的砂巖中，波速存在顯著差異。同時(shí)，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)本構(gòu)關(guān)系控制著從黏性耗散狀態(tài)到彈性機(jī)制的轉(zhuǎn)變，對(duì)儲(chǔ)層巖石波場(chǎng)傳播特征具有重要影響。但是，不同流體如何選取分?jǐn)?shù)階參數(shù)是一個(gè)沒(méi)有完全解決的問(wèn)題，仍然需要根據(jù)實(shí)驗(yàn)或者新理論模型進(jìn)行深入的研究。