箱梁剪力滯效應(yīng)一維有限元模型及評價(jià)方法

黃 俊,胡志祥,李佳津

(合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

箱梁的剪力滯效應(yīng)最顯著的體現(xiàn)就是截面法向應(yīng)力不均勻,通常頂板與腹板交界處的應(yīng)力比理論計(jì)算出的應(yīng)力要大很多。目前,國內(nèi)外建造了大量的大跨箱型梁橋、懸臂斜拉橋等,剪力滯效應(yīng)都較為突出[1-2]。另外,高層建筑中的筒體結(jié)構(gòu)[3-4]在橫向力作用下也會出現(xiàn)剪力滯效應(yīng)。在設(shè)計(jì)中忽略剪力滯效應(yīng)的影響,可能會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的局部應(yīng)力過大,甚至導(dǎo)致結(jié)構(gòu)整體破壞,因此剪力滯效應(yīng)得到結(jié)構(gòu)工程師的關(guān)注。

對箱梁剪力滯效應(yīng)的研究方法最常見的有解析法[5]、數(shù)值分析方法[6]和模型試驗(yàn)[7],其中數(shù)值分析方法隨著計(jì)算機(jī)性能的不斷提高,應(yīng)用越來越廣泛。三維實(shí)體有限單元法作為一種數(shù)值方法,受到眾多商業(yè)軟件的支持,可用于詳細(xì)分析剪力滯效應(yīng)對箱梁受力及變形的影響,但其受單元選取、網(wǎng)格劃分的影響比較大,計(jì)算精度易受主觀因素的影響,且給出的應(yīng)力結(jié)果無法直接指導(dǎo)工程設(shè)計(jì)。

目前關(guān)于箱梁剪力滯效應(yīng),對箱梁進(jìn)行一維有限元分析的相關(guān)文獻(xiàn)較豐富。文獻(xiàn)[8]修正了傳統(tǒng)箱梁剪力滯理論中的縱向位移表達(dá)式,提出考慮箱梁附加撓度的箱梁一維有限元模型,該模型以總撓度、附加撓度及兩者導(dǎo)數(shù)作為單元位移參數(shù),總撓度未知量包含了初等梁撓度和附加撓度;文獻(xiàn)[9-10]分離出了剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度,并將其作為廣義位移,推導(dǎo)出箱梁附加撓度的解析表達(dá)式。上述2種計(jì)算方法的區(qū)別在于是否分離出了附加撓度,有必要對這2種計(jì)算方法進(jìn)行對比分析。本文在文獻(xiàn)[8,10]基礎(chǔ)上,將初等梁撓度與附加撓度分離,推導(dǎo)了箱梁的一維離散有限元模型單元參數(shù),同時(shí)研究了二次、三次拋物線型剪力滯翹曲位移函數(shù)和不同附加撓度形函數(shù)對計(jì)算結(jié)果的影響。

此外,評價(jià)箱梁的剪力滯效應(yīng)具有重要工程意義,目前已有多種分析方法[11-13]。傳統(tǒng)理論利用箱梁實(shí)際應(yīng)力和按初等梁理論計(jì)算出來的應(yīng)力來定義剪力滯系數(shù)[11],由于箱梁截面上的應(yīng)力取值往往不唯一,導(dǎo)致同一截面上有不同的剪力滯系數(shù)。文獻(xiàn)[12]用箱梁的有效寬度來反映剪力滯效應(yīng),但對有效翼緣寬度的確定是具有統(tǒng)計(jì)意義的均值,使用時(shí)不可避免地存在較大誤差。本文通過計(jì)算發(fā)現(xiàn),總撓度二階導(dǎo)數(shù)和初等梁撓度二階導(dǎo)數(shù)的比值與空間有限元模型中的應(yīng)力不均勻程度趨勢相互符合,因此提出用總撓度和初等梁撓度二階導(dǎo)數(shù)的比值作為剪力滯效應(yīng)表征指標(biāo)。

最后,為研究移動荷載作用下箱梁的剪力滯效應(yīng),取箱梁在移動荷載處于不同位置時(shí)同一截面處最大、最小應(yīng)力形成該梁的應(yīng)力包絡(luò)。通過取應(yīng)力包絡(luò)的方式可分別作出考慮剪力滯效應(yīng)時(shí)箱梁截面的應(yīng)力包絡(luò)及僅考慮初等梁計(jì)算結(jié)果的應(yīng)力包絡(luò),通過應(yīng)力包絡(luò)對比可以直觀地反映箱梁剪力滯效應(yīng)的分布情況。

1 剪力滯翹曲位移函數(shù)

箱梁橫截面尺寸簡圖如圖1所示。

圖1 箱梁橫截面尺寸簡圖

本文將撓度中初等歐拉梁撓度ω和箱梁剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度ωa分別考慮,故橫截面上任一點(diǎn)的縱向位移u(x,y,z)可表達(dá)為:

u(x,y,z)=-zω′(x)-f(y,z)ωa′(x)

(1)

f(y,z)=z-ηfζ(y,z)

(2)

fζ(y,z)=

(3)

其中:ω′、ωa′分別為ω、ωa的一階導(dǎo)數(shù);f(y,z)為相應(yīng)附加轉(zhuǎn)角ωa′的剪力滯廣義翹曲位移函數(shù);η為待定系數(shù);fζ(y,z)為剪力滯翹曲位移函數(shù);m取值為2、3;z分別取zu、zb,即上、下翼緣分別到截面形心的距離;At、Ac、Ab分別為箱梁頂板面積、懸臂板面積、底板面積。

該箱梁的形心坐標(biāo)為:

yc=0

(4)

(5)

橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力σ(x,y,z)和切應(yīng)力τ(x,y,z)表達(dá)式為:

-Ezω″(x)-Ef(y,z)ωa″(x)

(6)

(7)

其中:-Ezω″(x)為相應(yīng)初等梁的彎曲應(yīng)力;-Ef(y,z)ωa″(x)為剪力滯翹曲應(yīng)力σa,即

σa=-Ef(y,z)ωa″

(8)

箱形橫截面上的彎矩只由相應(yīng)初等梁彎曲應(yīng)力合成,而σa在箱梁橫截面上不合成彎矩[8],即

(9)

將(8)式代入(9)式,并注意y軸為水平形心軸,則得:

η=I/Izζ

(10)

定義σa相應(yīng)的廣義力矩Ma為:

(11)

將(8)式代入(11)式得:

Ma=-EIfωa″

(12)

If=η2Iζ-I

(13)

根據(jù)(1)式定義的縱向位移函數(shù),可以建立在外荷載作用下的總勢能泛函:

(14)

(15)

對(14)式求一階變分得:

(16)

則箱梁受力的變形微分方程為:

EIω?′-q=0

(17)

EIfωa?′-η2GAζωa″-q=0

(18)

剪力滯控制微分方程(18)式可化為:

ωa?′-k2ωa″=q/(EIf)

(19)

(20)

由材料力學(xué)和(19)式，可以引入如下3類邊界條件:

(1)固定邊條件,即

ωa=0,ωa′=0,ω=0,ω′=0

(21)

(2)簡支邊條件,即

ωa=0,ωa″=0,ω=0,ω″=0

(22)

(3)自由端條件,即

ωa″=0,ωa?-k2ωa′=0,ω″=0

(23)

2 箱梁剪力滯效應(yīng)一維有限元模型

為便于計(jì)算微分方程(17)式、(18)式中的未知撓度和附加撓度,本文推導(dǎo)了箱梁的一維離散有限元模型單元參數(shù)。

為便于對比,該有限元模型形式與文獻(xiàn)[10]中的相似,區(qū)別在于本文模型分離了初等梁撓度和附加撓度,其剛度方程為:

Keδe=Pe

(24)

其中:Ke為單元?jiǎng)偠染仃?δe為單元節(jié)點(diǎn)位移矩陣;Pe為單元荷載矩陣。

2.1 箱梁單元節(jié)點(diǎn)位移

箱梁的單元節(jié)點(diǎn)位移包括初等梁撓度、附加撓度及它們的轉(zhuǎn)角,各位移方向如圖2所示。節(jié)點(diǎn)位移定義如下:

圖2 箱梁單元的節(jié)點(diǎn)位移

(25)

2.2 箱梁單元荷載矩陣

與單元節(jié)點(diǎn)位移相對應(yīng),箱梁單元節(jié)點(diǎn)荷載為:

(26)

其中:N為單元初等梁撓度和附加撓度的形函數(shù);Te為外荷載向量。當(dāng)外荷載為均布荷載時(shí),有

(27)

當(dāng)外荷載為集中荷載時(shí),只需要在荷載矩陣中相對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)上施加即可。

當(dāng)ω(x)、ωa(x)采用Hermite多項(xiàng)式作為形函數(shù)時(shí),有

(28)

(29)

當(dāng)ωa(x)采用雙曲函數(shù)作為形函數(shù)時(shí),有

(30)

4(coshkle-klesinhkle-1)]/(2k2λ)

(31)

其中:荷載矩陣中其余元素與(29)式相同;N1～N4為三次Hermite形函數(shù);N5～N8為雙曲形函數(shù)[9];λ=klesinhkle+2-2coshkle。

2.3 箱梁單元?jiǎng)偠染仃?/h3>

將總勢能泛函(14)式寫成矩陣形式為:

(32)

(33)

(34)

考慮到

αe=Nδe

(35)

βe=Bδe

(36)

得到:

(37)

(38)

其中:Ke為對稱矩陣;B為形變矩陣。

使用Hermite多項(xiàng)式作為ω(x)和ωa(x)形函數(shù)時(shí),有

使用雙曲函數(shù)作為ωa(x)的形函數(shù)時(shí),有

k12=k16=-k25=-k56=

3 箱梁剪力滯效應(yīng)評價(jià)方法

為了評價(jià)箱梁的剪力滯效應(yīng),文獻(xiàn)[8]提出用總撓度和初等梁撓度比值定義剪力滯系數(shù),即

(39)

本文通過計(jì)算發(fā)現(xiàn),λω不能真實(shí)反映實(shí)體三維有限元模型中的剪力滯效應(yīng),而截面應(yīng)力與初等梁撓度和附加撓度的二階導(dǎo)數(shù)有關(guān)。為了更加準(zhǔn)確地描述箱梁剪力滯效應(yīng),分析箱梁正應(yīng)力的構(gòu)成,本文采用撓度二階導(dǎo)數(shù)的比值作為箱梁一維有限元模型剪力滯效應(yīng)的評價(jià)指標(biāo),即

(40)

其中,ω″、ωa″由(36)式求得。

為了反映實(shí)體三維有限元模型中截面應(yīng)力的不均勻程度,定義截面應(yīng)力不均勻系數(shù)λz為:

(41)

其中:K為頂、底板截面劃分的層數(shù);σi為在第i層的各節(jié)點(diǎn)正應(yīng)力。

因此可通過計(jì)算λω″與λz,對比其趨勢以證明用撓度二階導(dǎo)數(shù)比值作為描述箱梁剪力滯效應(yīng)評價(jià)指標(biāo)的合理性。

4 算例分析

選取圖1所示的梯形截面箱梁,跨度l=40 m,泊松比為ν=0.2,彈性模量E=30 GPa,θ=14°,承受均布荷載q=10 kN/m。截面尺寸如下:h=2.775 m,tw=0.35,tu=0.25 m,tb=0.30 m,b1=3 m,b2=2 m,b3=3 m。

箱梁邊界條件考慮兩端固支、兩端簡支及懸臂3種情況,x為縱向坐標(biāo)。

4.1 一維有限元梁單元模型計(jì)算結(jié)果

首先,計(jì)算不同邊界條件下總撓度和附加撓度,并將本文方法與文獻(xiàn)[8-9]方法求得的結(jié)果進(jìn)行對比,如圖3所示。從圖3可以看出,本文方法與文獻(xiàn)[8-9]方法計(jì)算箱梁節(jié)點(diǎn)位移參數(shù)結(jié)果吻合良好。

(a) 兩端固支箱梁

利用本文一維離散有限元模型計(jì)算兩端固支跨中截面頂板的應(yīng)力分布,與文獻(xiàn)[8] 結(jié)果進(jìn)行對比,如圖4所示。由圖4可知，2種方法應(yīng)力最大差值僅為1.3%左右。因此,本文方法計(jì)算的應(yīng)力和撓度與文獻(xiàn)[8]結(jié)果基本一致。

圖4 兩端固支箱梁本文與文獻(xiàn)[8]應(yīng)力計(jì)算結(jié)果對比

其次,探索剪力滯翹曲位移函數(shù)為二次拋物線型或三次拋物線型,以及附加撓度形函數(shù)為Hermite多項(xiàng)式函數(shù)或雙曲函數(shù)時(shí)對計(jì)算兩端固支箱梁附加撓度、初等梁撓度的影響。4種組合下附加撓度計(jì)算結(jié)果見表1所列。

表1 沿梁長方向兩端固支箱梁附加撓度計(jì)算結(jié)果 m

當(dāng)x取10、20時(shí),歐拉梁撓度計(jì)算結(jié)果分別為0.145、0.258 m。由表1結(jié)果可知：附加撓度采用不同的形函數(shù)時(shí),計(jì)算結(jié)果是一樣的,因此用雙曲函數(shù)和Hermite多項(xiàng)式函數(shù)作為形函數(shù),都可以得到比較精確的結(jié)果;采用二次或三次拋物線型剪力滯翹曲位移函數(shù),附加撓度基本吻合,因此分析箱梁的剪力滯效應(yīng)時(shí),選擇剪力滯翹曲位移函數(shù)為二次或三次拋物線型均可以。

4.2 剪力滯效應(yīng)評價(jià)

為了更加準(zhǔn)確地評價(jià)剪力滯效應(yīng),分別計(jì)算了兩端固支箱梁撓度和初等梁撓度零階導(dǎo)數(shù)比值λω、一階導(dǎo)數(shù)比值λω′、二階導(dǎo)數(shù)比值λω″,結(jié)果如圖5所示。從圖5可以看出:λω、λω′、λω″作為剪力滯系數(shù),在跨中附近幾乎沒有剪力滯效應(yīng);在支座兩端附近,λω″出現(xiàn)突變,這是由于在x=8.45 m和x=31.55 m處,彎矩值為0,初等梁撓度二階導(dǎo)數(shù)為0,因此出現(xiàn)突變的情況。

圖5 剪力滯評價(jià)指標(biāo)

建立三維實(shí)體有限元模型,將頂板和底板沿著截面橫向均勻劃分,統(tǒng)計(jì)各截面頂板和底板的應(yīng)力不均勻程度,然后與λω″對比,結(jié)果如圖6所示。

從圖6可以看出，λω″與λz出現(xiàn)突變的位置相同,圖形趨勢一致,因此用撓度二階導(dǎo)數(shù)的比值定義剪力滯效應(yīng)評價(jià)指標(biāo)更具有物理意義。

圖6 λω″與λz對比

4.3 考慮剪力滯效應(yīng)的應(yīng)力包絡(luò)

在實(shí)際橋梁的受力中,汽車活載和橋梁自重是設(shè)計(jì)中最重要的考慮因素。而箱梁頂板與腹板交界處剪力滯效應(yīng)最明顯,也是箱梁最薄弱的位置,因此可選擇此處(圖1中點(diǎn)3位置)分析兩端固支箱梁應(yīng)力包絡(luò)。移動荷載沿橋梁縱向等距離移動,大小為200 kN。在繪制應(yīng)力包絡(luò)圖時(shí),首先計(jì)算各截面處考慮剪力滯效應(yīng)的應(yīng)力最大值和最小值,再計(jì)算各截面處初等梁應(yīng)力最大值和最小值。通過繪制應(yīng)力包絡(luò),可直觀地分析箱梁沿梁長方向的剪力滯效應(yīng)。

箱梁在移動荷載下初等梁彎矩包絡(luò)圖如圖7所示。從圖7可以看出,在移動荷載作用下,箱梁截面負(fù)彎矩(Mu)包絡(luò)兩端彎矩較大,截面正彎矩(Md)包絡(luò)箱梁跨中的彎矩較大。

圖7 箱梁在移動荷載下初等梁彎矩包絡(luò)圖

箱梁在移動荷載下的應(yīng)力包絡(luò)圖如圖8所示。從圖8可以看出,在應(yīng)力包絡(luò)圖中,考慮剪力滯效應(yīng)的箱梁應(yīng)力始終包裹著初等梁應(yīng)力，由此可見考慮剪力滯效應(yīng)對工程安全有重要意義。

圖8 箱梁在移動荷載下的應(yīng)力包絡(luò)圖

在箱梁兩端,截面負(fù)彎矩較大,考慮剪力滯效應(yīng)時(shí)應(yīng)力為101.1 kPa,而未考慮剪力滯效應(yīng)時(shí)應(yīng)力為89.2 kPa,兩者比值為1.13，這反映了該箱梁在端部固支處需考慮剪力滯導(dǎo)致的應(yīng)力放大比例。在箱梁跨中,截面正彎矩突出,考慮剪力滯效應(yīng)時(shí)應(yīng)力為83.9 kPa,而未考慮剪力滯效應(yīng)時(shí)應(yīng)力為75.2 kPa,兩者比值為1.12，這說明箱梁在跨中受車輛荷載作用時(shí),需考慮剪力滯導(dǎo)致的正應(yīng)力放大。在跨中和端部,上述2個(gè)應(yīng)力比值數(shù)值接近,其原因是施加于箱梁跨中的豎向荷載相當(dāng)于一個(gè)反向支座,因而其截面剪力滯效應(yīng)與兩端相近。

5 結(jié) 論

本文將附加撓度和初等梁撓度相互分離,對箱梁剪力滯效應(yīng)進(jìn)行了理論研究,用最小勢能原理建立了考慮剪力滯效應(yīng)的箱梁一維有限元模型。采用不同剪力滯翹曲位移函數(shù)、不同附加撓度形函數(shù)推導(dǎo)了有限元單元參數(shù),并通過算例對比了計(jì)算結(jié)果,結(jié)果表明:采用雙曲函數(shù)或Hermite多項(xiàng)式函數(shù)作為單元形函數(shù)都可得到較為精確的結(jié)果;采用二次拋物線函數(shù)或三次拋物線函數(shù)作為剪力滯翹曲位移函數(shù)時(shí)計(jì)算結(jié)果亦較為接近。以雙曲函數(shù)作為形函數(shù)時(shí)理論推導(dǎo)及有限元單元參數(shù)表達(dá)較為復(fù)雜,本文建議采用Hermite多項(xiàng)式函數(shù)作為單元形函數(shù)。

為了評價(jià)箱梁的剪力滯效應(yīng),提出了采用總撓度與初等梁撓度兩者二階導(dǎo)數(shù)的比值作為剪力滯效應(yīng)的評價(jià)指標(biāo)。該指標(biāo)與三維實(shí)體有限元模型截面應(yīng)力分布不均勻程度相互符合,表明用總撓度二階導(dǎo)數(shù)和初等梁撓度二階導(dǎo)數(shù)的比值評價(jià)剪力滯效應(yīng)更具有物理意義。

最后,利用本文提出的一維有限元模型,計(jì)算了在移動荷載作用下箱梁的應(yīng)力,繪出了考慮剪力滯效應(yīng)時(shí)箱梁的應(yīng)力包絡(luò)圖,利用該圖可直觀對比移動荷載下的剪力滯效應(yīng)及最不利應(yīng)力分布。下一步可用該方法研究在不同工況及邊界條件下的箱梁應(yīng)力分布。