滾波演化中聚合過程的數(shù)值模擬研究1)

陳歆怡 王曉亮,2) 劉青泉 張 靜

?(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院力學(xué)系,北京 100081)

?(江蘇省常州市金壇區(qū)水利局,江蘇常州 213200)

引言

滾波是一種重力作用下自由液面失穩(wěn)形成的水面波動(dòng)現(xiàn)象[1-5],其形成受流速、水深、底床摩擦、擾動(dòng)、液體黏性等諸多因素的影響[6-8].滾波的出現(xiàn)會(huì)引起一些潛在危害,如波峰處水深明顯大于平均水深而產(chǎn)生溢流,底面切應(yīng)力顯著增大而導(dǎo)致的河床侵蝕等[9-21].一般認(rèn)為,滾波分為兩種,一種是具有相對(duì)穩(wěn)定波形和波速的周期性滾波,另一種是波形和波速不斷變化的自然滾波(不規(guī)則滾波)[22].自然滾波中由于波高和波速大小不同,常常伴隨著滾波的聚合現(xiàn)象[22-23].

Brock[22]最早通過實(shí)驗(yàn)觀測(cè)發(fā)現(xiàn),當(dāng)滾波的波高大小不一時(shí),傳播較快的滾波會(huì)追趕傳播較慢的滾波,在其背面爬升,最終聚合形成一個(gè)新的滾波,并記錄了滾波聚合前后幾個(gè)位置的波高時(shí)程曲線.Kranenburg[24]忽略水流黏性和湍流作用,采用圣維南方程模擬了滾波的聚合過程,給出了滾波聚合前后的波形圖,并指出盡管以往的理論研究表明存在永久周期性滾波,然而實(shí)驗(yàn)的結(jié)果則暗示滾波的周期性充其量是準(zhǔn)周期.Huang[23]進(jìn)一步使用帶黏性項(xiàng)的圣維南方程對(duì)滾波的聚合現(xiàn)象進(jìn)行了探討,認(rèn)為滾波的聚合存在吸收聚合與追趕聚合的不同形式,將小波趕超大波并被大波吞并的現(xiàn)象稱為吸收聚合(absorption),而大波追趕吞并小波的聚合現(xiàn)象被稱為追趕聚合(overtake).按照Huang 的定義,Brock 實(shí)驗(yàn)中展示的三組滾波聚合中[22],有兩次吸收聚合現(xiàn)象和一次追趕聚合現(xiàn)象.

Cao 等[15]首先將k-ε 湍流模型引入圣維南方程,模擬了滾波的形成和演化過程.發(fā)現(xiàn)即便入口處施加周期性擾動(dòng),在一定的條件下,也可能會(huì)形成非周期性滾波.他們認(rèn)為淺水流動(dòng)具有穩(wěn)定周期性發(fā)展的固有波,其頻譜由流動(dòng)的水深、速度、坡度和河床粗糙度確定.當(dāng)周期足夠小的初始擾動(dòng)向下游傳播時(shí),固有波可以適應(yīng)這些擾動(dòng)并與之發(fā)生了共振,最終形成了周期性滾波;而當(dāng)初始擾動(dòng)的周期過大時(shí),固有波的周期無(wú)法容納下這些擾動(dòng),則會(huì)發(fā)展為不規(guī)則滾波,最終形成自然滾波.

Cao 等[15]和Kranenburg[24]都發(fā)現(xiàn)了滾波中一個(gè)非常重要的現(xiàn)象,即便是周期性擾動(dòng),發(fā)展過程中也可能會(huì)發(fā)生聚合現(xiàn)象.事實(shí)上早在Brock 的實(shí)驗(yàn)中就發(fā)現(xiàn),滾波波高的增長(zhǎng)主要有兩種方式,分別是自然增長(zhǎng)和聚合增長(zhǎng).自然增長(zhǎng)往往發(fā)生在滾波發(fā)展的初期階段;聚合增長(zhǎng)發(fā)生在滾波的后期演化階段,不同大小滾波通過聚合而形成新的滾波,其波高和波長(zhǎng)往往比聚合前的單個(gè)滾波更大.Brock 的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)[22]、Kranenburg[24]對(duì)滾波聚合現(xiàn)象的分析,以及Cao 等[15]對(duì)自然滾波形成過程的研究均表明,滾波的發(fā)展是一個(gè)非常復(fù)雜的過程,聚合增長(zhǎng)是滾波發(fā)展演化的重要形式.首先,滾波由初始的小擾動(dòng)開始增長(zhǎng)、加強(qiáng),經(jīng)歷自然增長(zhǎng)階段;當(dāng)自然增長(zhǎng)發(fā)展到一定階段后,擾動(dòng)停止增長(zhǎng),形成一個(gè)較為平穩(wěn)的平臺(tái)期.這一階段往往被稱為“周期性滾波”.然而,周期性滾波是否可以長(zhǎng)期保持,取決于滾波的頻率與淺水流動(dòng)的固有波頻率是否一致.如果一致,那么滾波的狀態(tài)將維持很長(zhǎng)時(shí)間,發(fā)展為所謂的永久周期性滾波;如果不一致,在發(fā)展過程中單個(gè)滾波可以發(fā)展出微小的波速差,導(dǎo)致滾波以不同的波速傳播,進(jìn)一步誘發(fā)滾波聚合,并最終形成自然滾波.

以往對(duì)滾波的研究主要使用基于垂向平均的淺水波模型[25-33],不考慮或以比較簡(jiǎn)單的形式考慮湍流和黏性的影響,滾波發(fā)生和演化過程中的很多物理機(jī)理和流動(dòng)演化特征被隱藏.為了更好地探討滾波發(fā)展過程中的聚合現(xiàn)象,本文采用基于雷諾平均Navier-Stokes 方程和重整化群湍流模式的立面二維數(shù)值模型[34]對(duì)滾波的發(fā)展演化進(jìn)行數(shù)值模擬,深入研究滾波演化中的聚合現(xiàn)象,探討滾波相互作用過程中的波速、波高、速度剖面和湍流特征.為統(tǒng)一表述,本文將規(guī)則滾波發(fā)展到自然滾波的中間階段以及自然滾波統(tǒng)稱為不規(guī)則滾波.

1 數(shù)值模型

沿斜槽水流方向建立求解域,數(shù)值模型采用雷諾平均不可壓縮Navier-Stokes 方程模型,為更好地模擬包含充分發(fā)展湍流和低強(qiáng)度湍流并存的滾波發(fā)展和演化過程[34],采用重整化群湍流模式,界面捕捉采用TruVOF 方法.模型的建立和驗(yàn)證詳見文獻(xiàn)[34].本文采用入口出口邊界條件,初始小擾動(dòng)以入口處水深的變化給出,如圖1 所示.入口處水深采用周期擾動(dòng),h=hn+α sin[(2π/T)t],其中hn為計(jì)算域中的初始水深,α 為入口擾動(dòng)的幅值,T為入口擾動(dòng)的周期,t為時(shí)間.圖1 中的vn為計(jì)算域中的入口速度,g為重力加速度,θ 為斜坡與水平面的夾角.該模型成功模擬了多組周期性滾波的發(fā)生和演化過程[34].

圖1 求解域及邊界條件示意圖Fig.1 Schematic diagram of computational domain and boundary conditions

與Cao 等[15]和Kranenburg[24]的結(jié)論類似,當(dāng)擾動(dòng)周期滿足一定條件時(shí),周期性擾動(dòng)在傳播一定距離后會(huì)發(fā)展為不規(guī)則滾波,如圖2 所示.圖2(a)顯示了一種發(fā)展為周期性滾波的模擬結(jié)果,圖2(b) 則表明在擾動(dòng)周期較小時(shí),擾動(dòng)首先會(huì)穩(wěn)定增長(zhǎng),到達(dá)平臺(tái)期.周期性滾波會(huì)穩(wěn)定傳播一段距離,然后逐漸形成不規(guī)則滾波.與Cao 等[15]的結(jié)論有所不同,本文研究發(fā)現(xiàn)擾動(dòng)周期在某一個(gè)范圍內(nèi)會(huì)形成周期性滾波,而過小或過大的擾動(dòng)周期均會(huì)誘發(fā)不規(guī)則滾波.這里并不試圖探討形成不規(guī)則滾波的臨界條件,而是主要分析不規(guī)則滾波中的聚合現(xiàn)象.

圖2 (a)當(dāng)擾動(dòng)周期T=1.12 s 時(shí)滾波運(yùn)行至t=50 s 時(shí)的波形圖;(b)當(dāng)擾動(dòng)周期T=0.449 s 時(shí)滾波運(yùn)行至t=50 s 時(shí)的波形圖Fig.2 (a)Roll wave form at t=50 s when the perturbation period T=1.12 s;(b)roll wave form at t=50 s when the perturbation period T=0.449 s

本文模擬了Brock[22]的一組經(jīng)典滾波實(shí)驗(yàn),通過定量比較展示本文模型模擬滾波聚合的能力,計(jì)算參數(shù)如表1 所示.圖3 給出了滾波聚合前后的發(fā)展演化過程,給出了后波逐步追趕前波,最終合并成一個(gè)新滾波的過程,這是一個(gè)典型的吸收聚合.

表1 滾波聚合數(shù)值算例基本參數(shù)[22]Table 1 Basic parameters of roll wave coalescence[22]

圖3 吸收聚合滾波波形發(fā)展演化Fig.3 Waveform evolution during the absorption process of roll wave

圖3 吸收聚合滾波波形發(fā)展演化(續(xù))Fig.3 Waveform evolution during the absorption process of roll wave(continued)

計(jì)算得到的滾波波速如表2 所示.滾波聚合大約發(fā)生在22.6 s,完全聚合發(fā)生在24.9 s,Brock 實(shí)驗(yàn)中得到的波速值如表3 所示.數(shù)值模擬得到的滾波聚合前后的波速大小與Brock 實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好,由此可見本文模型可較好地模擬不規(guī)則滾波的聚合行為.

表3 Brock 實(shí)驗(yàn)測(cè)量滾波聚合前后波速[22]Table 3 Roll wave speeds before and after the coalescence from Brock’s experiment[22]

2 吸收聚合

2.1 波形演化

為研究滾波的吸收聚合現(xiàn)象,本文計(jì)算了大量的算例,并進(jìn)行了分析,表4 給出了兩組典型的滾波吸收聚合算例的參數(shù).

表4 滾波吸收聚合算例基本參數(shù)Table 4 Basic parameter setting for cases of roll wave absorption

圖4 給出了組次1 的波形演變圖,發(fā)生了2 次吸收聚合事件,稱為吸收聚合事件A 和吸收聚合事件B.當(dāng)t=26.4 s 時(shí),后波的波高均略小于前方滾波的波高.在追趕過程中,后波以略高于前方滾波的波速逐漸拉近與前方滾波的距離,并經(jīng)歷追趕、爬升、吞并和融合的過程,最終形成一個(gè)波長(zhǎng)和波高更大的滾波向下游傳播.

圖4 滾波吸收聚合過程中波形演化圖,左側(cè)框圖表征吸收聚合事件A,右側(cè)框圖表征吸收聚合事件BFig.4 Waveform evolution during the absorption process of roll wave.The left box depicts absorption A,and the right box shows absorption B

滾波聚合前后最大波高的演化如圖5 所示,聚合前,后波的波高小于前波,在聚合過程中,后波逐漸爬升,波高逐漸變大,而前波的波高在組次1 的兩個(gè)例子中基本保持不變,在組次2 中略微增大,但是幅度都低于后波,最終后波與前波合并形成一個(gè)新的滾波繼續(xù)向下游傳播.

2.2 滾波波速

圖6 展示了滾波聚合過程中波峰位置的演變,其斜率表示波速.滾波聚合過程中,前后兩波幾乎保持各自的速度傳播,后波的速度大于前波,后波逐步趕上前波,最終合并形成一個(gè)新滾波,并繼續(xù)向下游傳播,如圖6 藍(lán)線所示.

圖5 滾波吸收聚合過程中波高演化圖Fig.5 Maximum wave height evolution during the absorption process of roll wave

圖6 滾波吸收聚合過程中波峰位置演變Fig.6 Evolution of wave crest position during the absorption process of roll wave

滾波在聚合過程中內(nèi)部流場(chǎng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜,單一的波形圖并不能完整表征滾波聚合作用,本文的立面二維模型可以給出滾波吸收聚合過程中波峰處的速度剖面分布與演變過程.圖7 給出了組次2 滾波吸收聚合過程中兩個(gè)波峰處的速度剖面演變過程,其中黑色點(diǎn)代表前波,紅色點(diǎn)代表后波,藍(lán)色點(diǎn)為聚合后形成的滾波.

圖7 表明后波追趕前波過程中速度剖面基本維持不變,在滾波發(fā)生作用時(shí),后波的波高由于爬升逐步增大,直至追上前波,逐步融合形成一個(gè)新滾波的速度剖面.滾波聚合初始時(shí)刻速度剖面和單個(gè)滾波速度剖面相比有一些差別,隨時(shí)間推進(jìn)會(huì)稍作調(diào)整演變成單個(gè)滾波的速度剖面,這主要是由于湍流作用稍微落后于波形的演變,湍流對(duì)聚合滾波具有一定的調(diào)制所致,這一點(diǎn)將在第2.3 節(jié)給出.

圖7 組次2 滾波聚合過程中滾波峰值處速度剖面隨時(shí)間的變化Fig.7 Evolution of velocity profile at the roll wave crest along with time during the absorption process of roll wave from case 2

2.3 組次2 湍流黏性

圖8 給出了組次2 滾波吸收聚合過程中湍流黏性的分布和演化過程.在兩個(gè)滾波聚合時(shí),滾波波高到達(dá)最大值,而滾波聚合后湍流黏性分布并沒有直接轉(zhuǎn)變?yōu)轭愃茊蝹€(gè)滾波的湍流黏性分布.剛聚合形成的滾波中,有兩個(gè)湍流黏性高能區(qū),其形狀類似聚合前的湍流黏性分布,隨著時(shí)間的推移,這兩個(gè)湍流黏性區(qū)逐步合并調(diào)整變成單個(gè)滾波的湍流黏性分布.表明湍流黏性的演變稍微落后于滾波波形的發(fā)展,對(duì)滾波聚合過程起著一定的調(diào)制作用,基于淺水波方程的滾波模型無(wú)法表征這個(gè)機(jī)制.

圖8 組次2 滾波吸收聚合過程中湍流黏性分布隨時(shí)間的演化Fig.8 Evolution of turbulent viscosity distribution with time during the absorption process of roll wave in case 2

3 追趕聚合

3.1 波形演化

表5 中給出了3 組典型滾波追趕聚合算例的參數(shù).

表5 滾波追趕聚合算例基本參數(shù)Table 6 Basic parameter setting for cases of roll wave overtake

圖9 展示了組次3 滾波追趕聚合的波高演化.由圖9(a)可以明顯看出,與吸收聚合不同,追趕聚合中后波的波高大于前波.與吸收聚合的過程類似,追趕聚合也會(huì)經(jīng)歷后波爬升,波高逐漸增大的過程,而在這一過程中前波的形貌則沒有明顯變化.在后波和前波聚合后,最終形成一個(gè)波高和波長(zhǎng)都更大的新滾波向下游傳播.

圖9 組次3 滾波追趕聚合過程中波形演化圖Fig.9 Waveform evolution during the overtake process of roll wave in case 3

圖9 組次3 滾波追趕聚合過程中波形演化圖(續(xù))Fig.9 Waveform evolution during the overtake process of roll wave in case 3(continued)

滾波追趕聚合前后最大波高的演化如圖10 所示,與吸收聚合不同的是,追趕聚合前后波的波高大于前波;在后波爬升過程中,后波的波高變化較為平緩,在短時(shí)間內(nèi)最大波高的增大較有限,不像吸收聚合那樣會(huì)經(jīng)歷最大波高短時(shí)間內(nèi)的激增.這是由于追趕聚合中滾波雖然也需要在追趕時(shí)爬升前方滾波,但由于后波本身波高相較于被爬升的滾波就較高,因此較小的變化對(duì)其影響不明顯.在被吞并的過程中,前波的形貌沒有明顯的變化,波高基本維持不變.與吸收聚合過程相同的是,最終所形成新滾波的波高和波長(zhǎng)相比于聚合前的兩個(gè)滾波均更大.

3.2 滾波波速

圖11 展示了滾波追趕聚合過程中波峰位置的位置變化.后波和前波在運(yùn)動(dòng)過程中的波速基本維持不變,由其斜率不同可以看出,后波的波速略高于前波,追趕聚合后形成的全新滾波也基本維持等速傳播.

表6 給出了組次3 的滾波波速變化.結(jié)合圖11(a)可知,追趕聚合過程中后波的波速大于前方滾波,當(dāng)兩波聚合時(shí),波速達(dá)到最大值,之后趨于下降.與吸收聚合類似,內(nèi)部湍流調(diào)制導(dǎo)致波速和波高下降.

圖12 給出了組次3 追趕聚合過程中滾波和聚合滾波波峰處的速度剖面演變過程,圖12 的時(shí)間與圖10(a)和圖11(a)以及表6 中的時(shí)刻一一對(duì)應(yīng),其中黑色點(diǎn)為后波,紅色點(diǎn)為前波,藍(lán)色點(diǎn)為聚合后形成的滾波.追趕聚合中,黑線高度超過紅線高度表明后波的波高高于前波,隨著演化進(jìn)行,后波逐漸追上前波,并聚合為一個(gè)滾波.在圖12(e)可以觀察到滾波聚合后速度剖面有所調(diào)整,出現(xiàn)了微小振蕩,這是由于滾波聚合過程受到了湍流調(diào)制作用.聚合后的滾波波高首先增大到了極大值,隨著振蕩松弛,波高稍有下降,基于淺水波方程的滾波模型也發(fā)下了類似的現(xiàn)象[23].

圖10 滾波追趕聚合過程中波高演化圖Fig.10 Maximum wave height evolution during the overtake process of roll wave

圖11 滾波追趕聚合過程中波峰位置演變Fig.11 Evolution of wave crest position during the overtake process of roll wave

表6 組次3 中追趕聚合過程中滾波波速變化Table 6 Roll wave speeds during the process of overtake in case 3

圖12 組次3 滾波追趕聚合過程中滾波峰值處速度剖面隨之間的變化Fig.12 Evolution of velocity profile at the roll wave crest along with time during the overtake process of roll wave from case 3

3.3 組次4 湍流黏性

圖13 給出了組次4 追趕聚合過程中湍流黏性的分布和演化.滾波追趕聚合過程中,在兩個(gè)波剛剛發(fā)生融合的時(shí)刻,滾波的波高到達(dá)最大值,有兩個(gè)湍流黏性高能區(qū),其形狀類似聚合前的湍流黏性分布.隨著時(shí)間的推移,來(lái)自后波的能量逐漸轉(zhuǎn)移進(jìn)了前方滾波中,原先保留的兩個(gè)湍流黏性高能區(qū)逐漸融合成一個(gè)高湍流黏性區(qū).這也說明追趕聚合中湍流作用稍微落后于波高演化,對(duì)追趕聚合形成一定的調(diào)制作用.

圖13 組次4 滾波追趕聚合過程中湍流黏性分布隨時(shí)間的演化Fig.13 Evolution of turbulent viscosity distribution with time during the overtake process of roll wave in case 4

3.4 二重追趕聚合

在模擬算例中還發(fā)現(xiàn),在多個(gè)滾波距離接近的情況下,可能發(fā)生多重聚合現(xiàn)象.圖14 展示了滾波二重聚合時(shí)波峰處空間位置隨時(shí)間的演化圖,斜率變化表明,后波的波速大于被吞并的1 號(hào)滾波(紅色)和2 號(hào)滾波(綠色).圖15 給出了二重聚合過程中三個(gè)滾波波峰處速度剖面及其演變過程,后兩個(gè)波首先聚合形成一個(gè)滾波,然后再度追趕第一個(gè)滾波并發(fā)生聚合,最終形成一個(gè)滾波向下游傳播.

圖14 二重聚合滾波波峰位置Fig.14 Evolution of wave crest positions during double coalescences

圖15 滾波二重聚合過程中滾波峰值處速度剖面隨時(shí)間的變化Fig.15 Evolution of velocity profile at the roll wave crest along with time during the double coalescences

4 結(jié)論

本文采用基于雷諾平均Navier-Stokes 方程和重組化群k-ε 湍流模式的立面二維數(shù)值模型,系統(tǒng)研究了不規(guī)則滾波發(fā)展和演化過程中的聚合現(xiàn)象,給出了滾波聚合過程中的波速、波形、速度剖面以及湍流黏性分布等關(guān)鍵信息,結(jié)論總結(jié)如下.

(1)滾波在特定條件下,在足夠長(zhǎng)的空間自然增長(zhǎng)后,會(huì)演變成以吸收聚合和追趕聚合為主要增長(zhǎng)模式的不規(guī)則滾波,并進(jìn)一步向自然滾波發(fā)展.

(2)在滾波的吸收聚合和追趕聚合中,后波經(jīng)歷追趕、爬升、合并以及調(diào)制等多個(gè)步驟,最終和前波聚合成一個(gè)波長(zhǎng)和波高更大的滾波向下游傳播.滾波聚合過程中湍流黏性演化比波形發(fā)展稍慢,湍流作用對(duì)吸收聚合和追趕聚合起一定的調(diào)制作用.

(3)本文還首次發(fā)現(xiàn),在多個(gè)滾波位置相互接近的情況下,將發(fā)生多重聚合現(xiàn)象,后兩個(gè)滾波首先聚合形成一個(gè)后波,該后波追趕前波并聚合形成一個(gè)新的滾波向下游傳播.

本文研究,初步分析了兩類典型滾波聚合中的相互作用特征,這一領(lǐng)域還有許多工作可以開展,如滾波從規(guī)則滾波轉(zhuǎn)變成不規(guī)則滾波增長(zhǎng)的條件,湍流在滾波聚合過程中所扮演的作用等.