用雙橢圓方法確定反射點(diǎn)位置

李啟成，苑樹(shù)鵬，鄭新娟 ，席桂梅，賀翔，吳奎，徐伊豪

1)遼寧工程技術(shù)大學(xué)礦業(yè)學(xué)院，遼寧阜新，123000；2)朝陽(yáng)工程技術(shù)學(xué)校，遼寧朝陽(yáng)，122000；3)朝陽(yáng)師范專(zhuān)科學(xué)校，遼寧朝陽(yáng)，122000

內(nèi)容提要: 在反射波地震勘探中使用動(dòng)校正確定反射點(diǎn)位置用到很多假設(shè)，如勘探深度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于炮檢距；假定傾斜反射界面的反射點(diǎn)與水平反射界面反射點(diǎn)都位于炮檢距的中點(diǎn)；近似認(rèn)為傾斜反射界面的動(dòng)校正量等于水平反射界面的動(dòng)校正量；假定反射面傾角固定且較小等，上述假設(shè)一定會(huì)造成勘探誤差。由于反射點(diǎn)位置和反射面傾角未知，所以理論上無(wú)法唯一地確定反射點(diǎn)位置。如果反射波傳播的介質(zhì)的波速一定，從炮點(diǎn)發(fā)出的地震波，經(jīng)反射點(diǎn)后，在接收點(diǎn)被接收，其可能的反射點(diǎn)是橢圓的一部分，但還不能唯一確定反射點(diǎn)；再取炮點(diǎn)和另外一個(gè)接收點(diǎn)，其可能的反射點(diǎn)是另外一個(gè)橢圓的一部分。如果假定反射面是平面，可以是水平面，也可以是有固定傾角的傾斜平面，該平面在地震波射線平面內(nèi)是一條直線，該直線一定是兩橢圓的公切線。把兩橢圓方程和切線方程聯(lián)立，就可以求解出公切點(diǎn)位置，公切點(diǎn)位置就是反射點(diǎn)位置，這就是用雙橢圓確定反射點(diǎn)位置的方法。通過(guò)建立模型對(duì)勘探方法進(jìn)行了檢驗(yàn)，證實(shí)了用雙橢圓方法確定反射點(diǎn)位置的有效性。雙橢圓方法有一個(gè)重要的副產(chǎn)品，就是在確定反射面位置的同時(shí)計(jì)算出反射面的視傾角。

動(dòng)校正技術(shù)在地震勘探中被廣泛采用(謝俊法等, 2017; 李江, 2018; 范濤, 2019; Mohammad et al., 2019)。但用反射波確定反射點(diǎn)的動(dòng)校正會(huì)導(dǎo)致許多誤差： ①勘探深度要求遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于炮檢距(閆靚, 2007；陸基孟等, 2011; 李洪強(qiáng), 2014; Sedek et al., 2017)，如果在淺層勘探中一定會(huì)產(chǎn)生不可忽略的誤差；②假定傾斜反射界面的反射點(diǎn)與水平反射界面反射點(diǎn)都位于炮檢距的中點(diǎn)(Larner et al., 2007; 陸基孟等, 2011; 張博, 2012)，實(shí)質(zhì)是假定了反射界面傾角較小，在傾角較大情況下，勢(shì)必產(chǎn)生較大誤差；③近似認(rèn)為傾斜反射界面的動(dòng)校正量等于水平反射界面的動(dòng)校正量(陸基孟等, 2011; 曾忠玉, 2013; 張志明等, 2016)，這也是產(chǎn)生誤差的原因；④動(dòng)校正后經(jīng)偏移歸位確定反射面也會(huì)產(chǎn)生誤差(Jervis et al., 1996; Docherty et al., 1997; 陸基孟等, 2011; 撒利明等，2015; 蘆俊等, 2018; 李廣超, 2019; 鄭佳梁, 2020)；⑤計(jì)算疊加速度過(guò)程中采用速度步長(zhǎng)不同也會(huì)產(chǎn)生誤差。基于目前用動(dòng)校正確定反射點(diǎn)位置誤差較大的問(wèn)題，提出用雙橢圓方法確定反射點(diǎn)法線深度方法。

1 用雙橢圓確定反射點(diǎn)位置的原理

在反射波勘探中，在射線平面內(nèi)建立如圖1坐標(biāo)，從炮點(diǎn)x0激發(fā)的地震波，在反射點(diǎn)O反射后在x1點(diǎn)被接收，地震波的走時(shí)為t1，介質(zhì)1中的波速為v。地震射線從發(fā)射，經(jīng)過(guò)反射，最后被接收，所走的路徑長(zhǎng)度為vt1，可能的反射面是以x0和x1為焦點(diǎn)，以vt1為定長(zhǎng)的橢圓面，該橢圓設(shè)為橢圓1。當(dāng)然，該橢圓面應(yīng)該位于地面以下，也就是表示反射面位置的縱坐標(biāo)為負(fù)值。再設(shè)從炮點(diǎn)x0激發(fā)的地震波，在另外一個(gè)反射點(diǎn)反射后在x2被接收，可能的反射面在圖1中的橢圓2上。設(shè)反射面是一個(gè)有固定傾角的平面，這樣的假設(shè)符合目前地震勘探對(duì)反射面的認(rèn)識(shí)。橢圓1和橢圓2上的反射點(diǎn)一定同時(shí)與該反射面相切，所以反射面在射線平面內(nèi)，一定位于兩橢圓的公切線上。確定地面以下的兩個(gè)公切點(diǎn)，就是實(shí)際的反射點(diǎn)。

如圖1，為以后討論方便，我們重新假設(shè)。令x0為炮點(diǎn)，從x0點(diǎn)發(fā)出的地震波經(jīng)O點(diǎn)反射，到達(dá)xn被接收，地震波走時(shí)為tn，n=1,2,...N-1.n為記錄點(diǎn)序號(hào)，N為記錄點(diǎn)最大序號(hào)。設(shè)有一個(gè)反射面存在，反射面以上為介質(zhì)1，其波速為V，反射面以下為介質(zhì)2。地震射線與反射面的交點(diǎn)不是唯一確定的，反射面是分別以x0和xn為焦點(diǎn)，以ox0+oxn為定長(zhǎng)的橢圓面，可能的反射點(diǎn)在橢圓上。如圖1建立坐標(biāo)系，水平坐標(biāo)建立在共炮點(diǎn)勘探的縱測(cè)線上，炮點(diǎn)x0與接收點(diǎn)xn連線中點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，縱坐標(biāo)y′表示在射線平面內(nèi)反射面的縱坐標(biāo)?？赡芊瓷涿娴臋E圓長(zhǎng)軸為an，短軸為bn，焦距為cn。

圖1 雙橢圓確定反射點(diǎn)Fig. 1 The determination of reflective point with double elliptical method

橢圓方程為：

把y′軸平移到x0，令為y軸，則橢圓方程變成：

(1)

(2)

其中字母含義與公式(1)類(lèi)似。

設(shè)反射面在兩次的反射點(diǎn)之間是一個(gè)連續(xù)的有固定傾角的斜面，設(shè)其在地震波發(fā)現(xiàn)平面內(nèi)的直線方程為：

y=kx+e

(3)

其中k為直線斜率，e為截距。

該直線與兩橢圓分別有一個(gè)交點(diǎn)，也就是該直線在兩橢圓的公切線上。把公式(3)帶入公式(1)得：

(4)

(5)

方程(3)代表的直線與方程(4)代表的橢圓相切，只有一個(gè)交點(diǎn)，一元二次方程(5)是根的判別式，其值應(yīng)該等于0，所以：

(6)

解方程(6)，得到：

(7)

公式(7)中跟號(hào)前取負(fù)值原因是反射切面在地下，其截距為負(fù)值。

同理，由公式(2)得：

(8)

把k值定在0到tg89°和-tg89°到0之間變化，k的步長(zhǎng)為0.0001，對(duì)方程(8)進(jìn)行迭代運(yùn)算，取得方程中的m最小值對(duì)應(yīng)的k就是反射面的斜率。在把k值帶入公式(7)，得到反射面的截距e。

解方程(5)，得到第一個(gè)反射點(diǎn)的水平坐標(biāo)x0n，把值帶入方程(3)，得到對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)y0n。

(9)

(10)

(11)

(12)

據(jù)此，提出一種用雙橢圓確定反射點(diǎn)準(zhǔn)確位置的方法，具體步驟如下：

步驟1：建立縱測(cè)線，確定炮點(diǎn)和接收點(diǎn)的位置坐標(biāo)，在射線平面內(nèi)，以測(cè)線為水平坐標(biāo)軸，以深度為縱坐標(biāo)，炮點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系；

步驟2：激發(fā)地震波，記錄地震波到時(shí)，得到反射波的時(shí)距曲線；

步驟3：從第一個(gè)接收點(diǎn)開(kāi)始，取相鄰兩接收點(diǎn)x1和x2記錄數(shù)據(jù)帶入方程(8)，把反射面斜率K值定在0到tg89°和-tg89°到0之間變化，k的步長(zhǎng)為0.0001，對(duì)方程(8)進(jìn)行迭代運(yùn)算，取得方程中的m最小值對(duì)應(yīng)的k就是反射面的斜率。在把k值帶入公式(7)，得到反射面的截距e；用公式(9)-(12)計(jì)算兩個(gè)反射點(diǎn)的位置坐標(biāo)(x01，y01)，(x02，y02)；同理取相鄰兩接收點(diǎn)x3和x4....,xN-1和xN代入相關(guān)公式計(jì)算，最后得到反射點(diǎn)坐標(biāo)序列q=(x01,y01),(x02,y02)，...，(xN,yN)；

步驟4：用坐標(biāo)序列q繪制反射面位置坐標(biāo)曲線。

2 雙橢圓方法驗(yàn)證

下面結(jié)合具體實(shí)施實(shí)例對(duì)用雙橢圓方法確定反射點(diǎn)準(zhǔn)確位置的方法進(jìn)行說(shuō)明，具體流程如下：

步驟1：建立縱測(cè)線，確定炮點(diǎn)和接收點(diǎn)的位置坐標(biāo)，在射線平面內(nèi)，以測(cè)線為水平坐標(biāo)軸，以深度為縱坐標(biāo)，炮點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系；

步驟2：激發(fā)地震波，記錄地震波到時(shí)，得到反射波的時(shí)距曲線，如圖2所示；

上述地震數(shù)據(jù)獲得過(guò)程是：假定如圖3的反射面，通過(guò)理論計(jì)算得到地震波走時(shí)隨位置坐標(biāo)的變化關(guān)系。圖3中反射面傾角φ=30°，首先以O(shè)點(diǎn)為炮點(diǎn)，由O到D點(diǎn)取一系列接收點(diǎn)，O點(diǎn)的法線深度取h=300 m，OD之間距離取300 m，每隔10 m取一個(gè)記錄點(diǎn)，得到圖2中的上行波記錄；在以D點(diǎn)為炮點(diǎn)，由D到O取相同的記錄點(diǎn)記錄，D點(diǎn)的法線深度為h=150 m，得到圖2中下行波的地震記錄。取雙向測(cè)量的目的是增加數(shù)據(jù)量以減小誤差。

圖2 反射波地震記錄Fig. 2 The seismic records of reflective wave

獲得圖3中反射波走時(shí)的計(jì)算方程為：

圖3 獲取地震記錄用的反射面Fig. 3 The reflective surface that is used to get seismic records

(13)

公式(13)中h為法線深度，x為檢波距，其他字母含義同文中定義。

步驟3：從第一個(gè)接收點(diǎn)開(kāi)始，取相鄰兩接收點(diǎn)x1和x2記錄數(shù)據(jù)帶入方程(8)，把反射面斜率k值定在0到tg89°和-tg89°到0之間變化，k的步長(zhǎng)為0.0001，對(duì)方程(8)進(jìn)行迭代運(yùn)算，取得方程中的m最小值對(duì)應(yīng)的k就是反射面的斜率。在把k值帶入公式(7)，得到反射面的截距e；用公式(9)-(12)計(jì)算兩個(gè)反射點(diǎn)的位置坐標(biāo)(x01，y01)，(x02，y02)；同理取相鄰兩接收點(diǎn)x3和x4....,xN-1和xN代入相關(guān)公式計(jì)算，最后得到坐標(biāo)序列q=(x01,y01),(x02,y02)，...，(xN,yN)；

步驟4：用坐標(biāo)序列q繪制反射面位置坐標(biāo)曲線，如圖4。

圖4 勘探結(jié)果Fig. 4 The exploration result

由于地震勘探數(shù)據(jù)是由理論模型計(jì)算得到，很方便對(duì)勘探結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)。我們理論模型的反射面傾角為30°，其斜率為0.577，我們勘探得到的反射面斜率為0.580，其它法線深度數(shù)據(jù)也與預(yù)設(shè)的基本吻合。

3 討論

在地震反射波勘探中，從理論上講，由于反射點(diǎn)位置和反射面傾角未知，如果僅僅已知地震射線走時(shí)、炮檢距和地震波速度，會(huì)有無(wú)數(shù)個(gè)反射點(diǎn)滿足條件，如果沒(méi)有其它限定條件無(wú)法唯一地確定反射點(diǎn)位置。作為確定反射點(diǎn)位置的動(dòng)校正做了較多假設(shè)，如假定勘探深度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于炮檢距；假定傾斜反射界面的反射點(diǎn)與水平反射界面反射點(diǎn)都位于炮檢距的中點(diǎn)；近似認(rèn)為傾斜反射界面的動(dòng)校正量等于水平反射界面的動(dòng)校正量；假定反射面連續(xù)變化且傾角很?。凰俣确治鲞^(guò)程中也采用了諸多近似，所以用動(dòng)校正確定反射點(diǎn)位置必然存在較大的系統(tǒng)誤差。

如果假定反射波傳播的介質(zhì)的波速一定，從炮點(diǎn)發(fā)出的地震波，經(jīng)反射點(diǎn)后，在接收點(diǎn)被接收，其可能的反射點(diǎn)是橢圓的一部分，但還不能唯一確定反射點(diǎn)；再取炮點(diǎn)和另外一個(gè)接收點(diǎn)，其可能的反射點(diǎn)是另外一個(gè)橢圓的一部分。如果假定反射面是平面，可以是水平面，也可以是有固定傾角的傾斜平面，該平面在地震波射線平面內(nèi)是一條直線，該直線一定是兩橢圓的公切線。把兩橢圓方程和切線方程聯(lián)立，就可以解出公切點(diǎn)位置，公切點(diǎn)位置就是反射點(diǎn)位置。這就是我們提出的用雙橢圓法確定反射點(diǎn)位置的方法。該方法僅僅有一個(gè)假設(shè)，就是要求兩個(gè)反射點(diǎn)之間是連續(xù)的反射面，該反射面是任意傾角；動(dòng)校正中也有類(lèi)似的假設(shè)，假定反射面傾角較小。顯然，雙橢圓方法唯一的假設(shè)包含在動(dòng)校正方法之中，該假設(shè)認(rèn)為兩相鄰接收點(diǎn)間的反射面是有固定傾角的平面，由于兩反射點(diǎn)間距不大，其對(duì)應(yīng)的反射面有固定傾角的可能性很大，也符合目前對(duì)沉積地層的普遍認(rèn)識(shí)，其勘探結(jié)果誤差一定會(huì)相對(duì)較小。動(dòng)校正方法僅僅適用于反射面傾角較小的情況，而雙橢圓方法適用于任何傾角的反射平面。

在圖3中，O點(diǎn)和D點(diǎn)之間距離為300 m。目前動(dòng)校正技術(shù)中假定傾斜反射界面的反射點(diǎn)位于炮檢距的中點(diǎn)。如果按照目前動(dòng)校正技術(shù)勘探，圖3中所有反射點(diǎn)都應(yīng)該位于0～300 m的范圍內(nèi)，但按照我們提出的雙橢圓方法勘探，所有反射點(diǎn)集中150～370 m的范圍內(nèi)，如圖4。顯然我們的勘探結(jié)果是正確的，因?yàn)槲覀兛碧降姆瓷涿鎯A角30°，假設(shè)從O點(diǎn)發(fā)出的地震射線，在D點(diǎn)被接收，其反射點(diǎn)一定在D點(diǎn)的右側(cè)，只有OD之間的部分接收點(diǎn)對(duì)應(yīng)的反射點(diǎn)在OD之間。這進(jìn)一步說(shuō)明認(rèn)為傾斜反射界面的反射點(diǎn)位于炮檢距的中點(diǎn)的假設(shè)是存在誤差的，并且當(dāng)傾斜反射界面傾角較大時(shí)，誤差是不可以忽略的。

在目前動(dòng)校正地震成像技術(shù)中，要涉及很多速度。在進(jìn)行時(shí)深轉(zhuǎn)換時(shí)，用到平均速度(潘宏勛等, 2006; 韓復(fù)興等, 2011; Qadrouh et al., 2014)。在進(jìn)行偏移處理時(shí)，用到射線平均速度。進(jìn)行巖性解釋等情況時(shí)，要用到層速度(Mulder et al., 2002; 王珊, 2016; Sedek et al., 2017; 鄭佳梁, 2020)。在進(jìn)行動(dòng)校正處理或用實(shí)測(cè)時(shí)距曲線擬合時(shí)，用到疊加速度(Liu, 1997; Chauris et al., 2002; 秦寧等, 2013; Sedek et al., 2017)。在疊加速度的定義為，一排列上各種檢波點(diǎn)記錄到某個(gè)波不同速度的某種平均值。目前射線物理學(xué)中成像原理是對(duì)多次覆蓋系統(tǒng)的觀測(cè)結(jié)果進(jìn)行動(dòng)校正，從而確定共反射點(diǎn)的自激自收時(shí)間和疊加速度；在此基礎(chǔ)上進(jìn)行時(shí)深轉(zhuǎn)換用的速度是平均速度，但勘探中用平均速度會(huì)產(chǎn)生較大誤差的，因?yàn)槠骄俣鹊牡卣鹕渚€是垂直地面?zhèn)鞑サ?，而在?shí)際勘探中，地震射線的傳播一般不是垂直地面的，而且隨著炮檢距的變化而變化。并且，動(dòng)校正得到的速度既不是平均速度，也不是射線平均速度，而是疊加速度。對(duì)于傾斜界面均質(zhì)介質(zhì)，疊加速度就是等效速度；對(duì)于水平層狀介質(zhì)，疊加速度就是均方根速度。正是由于動(dòng)校正中的諸多假設(shè)導(dǎo)致提出了諸多速度概念，很容易產(chǎn)生理論上的混淆和實(shí)踐中的應(yīng)用困難。其表現(xiàn)是在多次覆蓋地震勘探資料中直接得到的疊加速度，往往需要換算成均方根速度，再用均方根速度獲得層速度，最后用層速度計(jì)算得到平均速度或射線平均速度等，才能最終得到接收點(diǎn)對(duì)應(yīng)的真深度，步驟多出現(xiàn)較大誤差在所難免。用雙橢圓法確定反射點(diǎn)位置不涉及疊加速度等概念，僅僅用到射線平均速度，在理論上是清晰的，在實(shí)際勘探中不用考慮各種速度的轉(zhuǎn)換，從而減輕了工作量，有較大實(shí)用價(jià)值。在實(shí)際多地層勘探中，只要準(zhǔn)確地拾取各地層反射波到時(shí)，并進(jìn)一步確定各地層中不同接收點(diǎn)的射線平均速度，從而達(dá)到用雙橢圓法勘探的目的。

在雙橢圓方法中的公式(3)中的K就是反射面的視傾角，它可以通過(guò)計(jì)算反射點(diǎn)的過(guò)程中確定，是一個(gè)重要的副產(chǎn)品，因?yàn)榈卣鹂碧奖仨氃谡莆辗瓷涿嬲鎯A角或視傾角的基礎(chǔ)上才能計(jì)算真深度。目前地震勘探中用另外一套獨(dú)立方法獲得反射面視傾角，而雙橢圓法在確定反射點(diǎn)同時(shí)就可以確定反射面視傾角。

目前用動(dòng)校正確定反射點(diǎn)位置方法中，為了減小因理論近似產(chǎn)生的誤差，采用多次覆蓋技術(shù)。我們的雙橢圓勘探方法，也可以在同一條測(cè)線上采用多次覆蓋技術(shù)，利用傾角確定的反射面對(duì)地震波速度進(jìn)行校正，并克服覆蓋次數(shù)少所產(chǎn)生的誤差問(wèn)題。

4 結(jié)論

通過(guò)建立反射面理論模型，計(jì)算得到時(shí)距曲線。用上述時(shí)距曲線數(shù)據(jù)作為地震勘探記錄檢驗(yàn)雙橢圓方法，結(jié)果表明勘探結(jié)果與理論模型吻合得非常好，也初步證明了用雙橢圓方法確定反射點(diǎn)位置的有效性。在我們的理論推導(dǎo)和模型計(jì)算過(guò)程中，不同地震射線用到的射線平均速度是相同的，但在實(shí)際勘探中，不同地震射線平均速度一般是不同的，對(duì)于水平層狀介質(zhì)，一般炮檢距越大，射線平均速度也越大。但這并不影響雙橢圓方法的適用，只是要求雙橢圓中的第一個(gè)橢圓和第二個(gè)橢圓的射線平均速度不同而已。今后要做的工作是研究射線平均速度，在地震勘探實(shí)踐中不斷采用雙橢圓方法，把用雙橢圓方法勘探結(jié)果與動(dòng)校正的勘探結(jié)果不斷比較，使得用雙橢圓方法確定反射點(diǎn)位置的理論得到推廣應(yīng)用。