非平行多導(dǎo)體傳輸線串?dāng)_的快速時(shí)域分析算法

葉志紅， 唐 備， 易 鴻

(重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院， 重慶 400065)

隨著無線通信技術(shù)的快速發(fā)展，電子設(shè)備的工作頻率和集成度越來越高。傳輸線廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備中電路模塊之間的數(shù)據(jù)傳輸，同時(shí)也是傳導(dǎo)電磁干擾的主要途徑。當(dāng)傳輸線通有電流正常工作或者受到空間電磁場(chǎng)作用產(chǎn)生干擾信號(hào)以后，必然會(huì)通過容性耦合和感性耦合，在其鄰近的傳輸線上產(chǎn)生串?dāng)_響應(yīng)，從而影響受擾傳輸線端接電路的正常工作。受電子設(shè)備中電路位置的限制，傳輸線無法始終保持平行，甚至相互交叉，將此類傳輸線稱為非平行多導(dǎo)體傳輸線。因此，開展高效的數(shù)值算法研究，仿真分析非平行多導(dǎo)線的串?dāng)_問題，為電子設(shè)備的電磁干擾抑制提供理論依據(jù)。

分析多導(dǎo)線串?dāng)_的最直接方法為全波算法，如時(shí)域有限差分(finite-difference time-domain，F(xiàn)DTD)方法[1]、矩量法[2]和有限元法[3]等。但是，全波算法不太適用于非平行多導(dǎo)線的串?dāng)_分析，是因?yàn)閭鬏斁€的尺寸比較精細(xì)，剖分所需網(wǎng)格量較大，使得計(jì)算占用的內(nèi)存較多，計(jì)算效率不高。因此，中外學(xué)者提出了多種基于傳輸線理論的高效數(shù)值算法。這類算法通過傳輸線方程構(gòu)建激勵(lì)源與傳輸線上電壓和電流之間的聯(lián)系，然后對(duì)傳輸線方程進(jìn)行求解，獲得傳輸線端接負(fù)載上的干擾響應(yīng)。針對(duì)傳輸線方程不同的求解方法，發(fā)展了幾種典型的數(shù)值算法，如BLT(Baum-Liu-Tesche)方程[4-6]、SPICE(模擬電路仿真器)方法[7-8]以及FDTD-TL算法[9-10]等。

BLT方程的核心在于通過散射和傳輸矩陣構(gòu)建集總激勵(lì)源與傳輸線節(jié)點(diǎn)位置上的電壓和電流的關(guān)系矩陣，然后對(duì)其進(jìn)行矩陣運(yùn)算，求得節(jié)點(diǎn)電壓和電流響應(yīng)。但是，傳統(tǒng)的BLT方程是一種頻域算法，當(dāng)激勵(lì)源為寬頻帶信號(hào)時(shí)，計(jì)算效率不高。雖然已有學(xué)者將BLT方程擴(kuò)展到了時(shí)域，但是需要用到大量的卷積運(yùn)算，計(jì)算復(fù)雜度增加。SPICE算法是一種時(shí)域算法，其通過建立傳輸線的SPICE等效電路模型，然后使用SPICE軟件進(jìn)行建模和仿真，獲得傳輸線端接負(fù)載上的瞬態(tài)響應(yīng)。但是，該方法建立傳輸線SPICE等效模型的過程較為復(fù)雜。FDTD-TL算法同樣為一種時(shí)域算法，其采用FDTD的中心差分格式對(duì)傳輸線進(jìn)行離散，從而迭代求解得到傳輸線及其端接負(fù)載上的瞬態(tài)響應(yīng)。該方法的優(yōu)點(diǎn)是建模過程簡(jiǎn)單，但是FDTD選用的離散網(wǎng)格大小受到激勵(lì)源頻率成分的限制，當(dāng)激勵(lì)源包含高頻分量時(shí)，網(wǎng)格需劃分得較細(xì)，致使計(jì)算效率降低。

基于高階FDTD方法[11-12]結(jié)合傳輸線方程，提出一種高效的時(shí)域混合算法，實(shí)現(xiàn)非平行多導(dǎo)體傳輸線串?dāng)_的快速計(jì)算。推導(dǎo)適用于非平行多導(dǎo)線的單位長(zhǎng)度分布參數(shù)計(jì)算公式；采用高階FDTD(2,4)方法的大空間步長(zhǎng)對(duì)傳輸線方程進(jìn)行差分離散，以期在保證計(jì)算精度的前提下，減少空間網(wǎng)格數(shù)以提高計(jì)算效率。

1 時(shí)域混合算法理論

為了清晰地闡述時(shí)域混合算法的理論，圖1給出了典型的集總源激勵(lì)下的金屬板上非平行多導(dǎo)體傳輸線的串?dāng)_模型。金屬板可以看成是理想導(dǎo)體，放置在直角坐標(biāo)系的xy平面上。多根非平行傳輸線位于導(dǎo)電板上方，相鄰導(dǎo)線之間存在一定的夾角，導(dǎo)線的水平投影保持相等。多導(dǎo)線的某一端口接有集總電壓源作為干擾源，其他端口均接有電阻作為負(fù)載。這里忽略了多導(dǎo)線的輻射效應(yīng)，是因?yàn)楫?dāng)集總激勵(lì)源的頻率成分不是很高時(shí)，多導(dǎo)線與金屬板之間的距離小于激勵(lì)源對(duì)應(yīng)的最小波長(zhǎng)，根據(jù)鏡像原理，傳輸線散射的直接輻射場(chǎng)及其作用金屬板的反射場(chǎng)相抵消。

圖1 集總源激勵(lì)下的非平行多導(dǎo)線串?dāng)_模型Fig.1 Crosstalk model of NPMTLs excited by lumped source

時(shí)域混合算法實(shí)現(xiàn)非平行多導(dǎo)體傳輸線的串?dāng)_仿真，首先需要構(gòu)建適用于非平行多導(dǎo)線串?dāng)_分析的傳輸線方程，表示為

(1)

(2)

式中：V(y,t)和I(y,t)分別表示非平行多導(dǎo)線沿線方向的電壓和電流矢量；R、L、G、C分別表示非平行多導(dǎo)線的單位長(zhǎng)度電阻、電感、電導(dǎo)和電容分布參數(shù)矩陣，忽略導(dǎo)線的損耗，因此，R和G為0。

由此可見，傳輸線方程的建模精度由非平行多導(dǎo)線的單位長(zhǎng)度分布參數(shù)的計(jì)算準(zhǔn)確度決定。下面將詳細(xì)介紹非平行多導(dǎo)線分布參數(shù)的計(jì)算方法。

1.1 非平行多導(dǎo)體傳輸線的單位長(zhǎng)度分布參數(shù)計(jì)算

平行多導(dǎo)線的單位長(zhǎng)度電感分布參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式已由文獻(xiàn)[9]給出, 表示為

Lii=μ0ln(2hi/ri)/2π

(3)

(4)

式中：i、j分別為第i和j根導(dǎo)線；Lii、Lij分別為多導(dǎo)線的自電感和互電感；ri為第i根導(dǎo)線的半徑；hi、hj、dij分別為第i根和j根導(dǎo)線的高度以及兩根線之間的間距。

由于多導(dǎo)線的自電感與導(dǎo)線之間的間距無關(guān)，式(3)仍然適用于非平行多導(dǎo)線的自電感計(jì)算。然而，多導(dǎo)線互電感與導(dǎo)線之間的距離密切相關(guān)，這將使得式(4)不再適用于非平行多導(dǎo)線的互電感計(jì)算，因?yàn)榉瞧叫卸鄬?dǎo)線之間的距離在沿線方向不斷變化。

圖2 非均勻多導(dǎo)線的高階FDTD網(wǎng)格劃分Fig.2 Division of NPMTLs by higher order FDTD grids

圖3 非平行多導(dǎo)線互電感的計(jì)算方法Fig.3 Calculation of mutual inductance of NPMTLs

為了求解非平行多導(dǎo)線的互電感，首先將非平行多導(dǎo)線按照高階FDTD網(wǎng)格劃分成N段，如圖2所示，然后分別求解各段多導(dǎo)線段的互電感。這里，任取多導(dǎo)線段中的第i和j兩根傳輸線段為例說明互電感的計(jì)算方法。將此雙線線段進(jìn)一步劃分成多個(gè)微單元，每個(gè)微單元可近似看成平行線，如圖3所示。假定微單元的數(shù)量為M，不同微單元的雙線間距分別為d1,d2,...,dM，那么雙線線段的互電感可以表示為

(5)

獲得非平行多導(dǎo)線的單位長(zhǎng)度電感分布參數(shù)矩陣以后，通過公式C=μ0ε0L-1即可求得非平行多導(dǎo)線的單位長(zhǎng)度電容分布參數(shù)矩陣。

1.2 傳輸線方程的高階FDTD(2,4)解法

建立好傳輸線方程之后，需要對(duì)其進(jìn)行差分離散，從而迭代求解得到非平行多導(dǎo)線上的串?dāng)_響應(yīng)。對(duì)非平行多導(dǎo)線上的電壓和電流節(jié)點(diǎn)按照Δy/2和Δt/2的間隔進(jìn)行交替抽樣，Δy和Δt分別表示高階FDTD(2,4)選用的空間步長(zhǎng)和時(shí)間步長(zhǎng)。傳統(tǒng)FDTD方法在差分離散時(shí)，受Courant穩(wěn)定性條件和數(shù)值色散要求的限制，選取的空間步長(zhǎng)必須小于λ/12，λ表示激勵(lì)源最高頻率對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)。而FDTD(2,4)方法放寬了空間離散間隔所帶來的限制，空間步長(zhǎng)取小于λ/2即可[12]。因此，對(duì)傳輸線方程采用高階FDTD(2,4)的大空間步長(zhǎng)進(jìn)行離散，仍能保證較好的計(jì)算精度。高階FDTD(2,4)使用二階精度的中心差分格式對(duì)傳輸線方程的時(shí)間偏微分項(xiàng)進(jìn)行離散，而空間偏微分項(xiàng)采用四階精度的中心差分格式進(jìn)行離散，得到非平行多導(dǎo)線上電壓和電流的迭代公式為

(6)

(7)

式中：k表示非平行多導(dǎo)線上電壓和電流節(jié)點(diǎn)的位置，取值為2,3,4,…,N-3,N-2。

由式(6)和式(7)可以看出，高階FDTD(2,4)無法獲取傳輸線端點(diǎn)及其鄰近節(jié)點(diǎn)上的電壓和電流。對(duì)于這些電壓和電流，需采用傳統(tǒng)FDTD的中心差分格式進(jìn)行離散，具體迭代公式可由文獻(xiàn)[13]獲得。

2 數(shù)值仿真

采用時(shí)域混合算法對(duì)理想導(dǎo)電板上非平行多導(dǎo)線在不交叉和交叉兩種情況下的串?dāng)_進(jìn)行計(jì)算，并與電磁仿真軟件CST微波工作室的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證該算法的正確性和高效性。

算例1理想導(dǎo)電板上不含交叉線的非平行多導(dǎo)線串?dāng)_模型，如圖4所示。導(dǎo)電板大小為0.4 m×1.0 m，厚度為1 cm。3根非平行傳輸線的高度和半徑均為1.1 cm和1 mm。假定導(dǎo)電板的起點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)(0, 0, 0)，3根導(dǎo)線端點(diǎn)位置分別為#1(0.15 m, 0.1 m, 0.011 m)、#2(0.19 m, 0.9 m, 0.011 m)、#3(0.2 m, 0.1 m, 0.011 m)、#4(0.2 m, 0.9 m, 0.011 m)、#5(0.23 m, 0.1 m, 0.011 m)和#6(0.21 m, 0.9 m, 0.011 m)。多導(dǎo)線端接負(fù)載分別為Z1=Z2=50 Ω和Z3=Z4=Z5=100 Ω。多導(dǎo)線端口#1接有集總電壓源，電壓源波形設(shè)為高斯脈沖，表達(dá)式為E0exp[-4π(t-t0)2/τ2]， 其中E0=1 000 V/m,t0=1.6 ns，τ=2 ns。

圖4 不含交叉線的非平行多導(dǎo)線串?dāng)_模型Fig.4 Crosstalk model of NPMTLs without crossed lines

圖5給出了時(shí)域混合算法和CST計(jì)算得到的非平行多導(dǎo)線端接負(fù)載Z1和Z2上的電壓響應(yīng)波形?？梢钥闯觯瑑烧呶呛隙确浅８?，驗(yàn)證了時(shí)域混合算法的正確性。為了驗(yàn)證時(shí)域混合算法的高效性，表1給出了時(shí)域混合算法和CST使用網(wǎng)格大小和計(jì)算時(shí)間的對(duì)比?？梢钥闯觯捎跁r(shí)域混合算法使用大空間步長(zhǎng)進(jìn)行迭代計(jì)算，所需網(wǎng)格量小，相較于CST節(jié)省了大量計(jì)算時(shí)間，計(jì)算效率提高了約41%。

圖5 兩種方法計(jì)算得到的非平行多導(dǎo)線端接負(fù)載上的 電壓響應(yīng)Fig.5 Voltage responses on the loads of NPMTLs computed by the two methods for the first case

表1 兩種方法計(jì)算所需網(wǎng)格數(shù)和計(jì)算時(shí)間Table 1 Mesh number and computation time needed by the two methods

算例2圖6所示為理想導(dǎo)電板上含交叉線的非平行多導(dǎo)線串?dāng)_模型。集總激勵(lì)源與理想導(dǎo)電板的參數(shù)設(shè)置與算例1的相同。3根導(dǎo)線的高度分別為1.1、1.1、1.5 cm，半徑均為1 mm。多導(dǎo)線的端點(diǎn)位置分別為#1(0.15 m, 0.1 m, 0.011 m)、#2(0.19 m, 0.9 m, 0.011 m)、#3(0.2 m, 0.1 m, 0.011 m)、#4(0.2 m, 0.9 m, 0.011 m)、#5(0.23 m, 0.1 m, 0.015 m)和#6(0.16 m, 0.9 m, 0.015 m),端接負(fù)載同樣為Z1=Z2=50 Ω和Z3=Z4=Z5=100 Ω。時(shí)域混合算法選用的空間網(wǎng)格大小為0.05 m。

時(shí)域混合算法和CST計(jì)算得到非平行多導(dǎo)線端接負(fù)載Z1和Z4上的串?dāng)_電壓響應(yīng)，如圖7所示?？梢钥闯?，兩種方法的計(jì)算結(jié)果基本吻合一致，驗(yàn)證了該算法用于交叉非平行多導(dǎo)線串?dāng)_分析的正確性。

圖6 帶有交叉線的非平行多導(dǎo)線串?dāng)_模型Fig.6 Crosstalk model of NPMTLs with crossed lines

圖7 兩種方法計(jì)算算例2得到的非平行多導(dǎo)線端 接負(fù)載上的電壓響應(yīng)Fig.7 Voltage responses on the loads of NPMTLs computed by the two methods for the second case

3 結(jié)論

針對(duì)非平行多導(dǎo)線的串?dāng)_問題，將高階FDTD(2,4)方法與傳輸線方程結(jié)合起來，研究了一種高效的時(shí)域混合算法。該算法具有兩方面的優(yōu)勢(shì)：①給出了非平行多導(dǎo)線單位長(zhǎng)度分布參數(shù)的計(jì)算公式；②使用高階FDTD(2,4)的大步長(zhǎng)對(duì)傳輸線方程進(jìn)行差分離散，節(jié)省了剖分網(wǎng)格數(shù)量，實(shí)現(xiàn)了非平行多導(dǎo)線串?dāng)_的快速計(jì)算。為了評(píng)估該時(shí)域混合算法的性能，模擬了理想導(dǎo)電板上非平行多導(dǎo)線在不交叉和交叉兩種情況下的串?dāng)_問題。相較于電磁仿真軟件CST，時(shí)域混合算法在計(jì)算精度上能夠保持一致，且在計(jì)算時(shí)間方面得到大幅提升。