基于假設(shè)檢驗(yàn)理論的統(tǒng)計(jì)分辨研究綜述

張?jiān)评祝?李 軻， 盧建斌

(海軍工程大學(xué)電子工程學(xué)院, 武漢 430033)

對(duì)近鄰目標(biāo)進(jìn)行跟蹤或識(shí)別時(shí)，往往需要對(duì)同一分辨單元兩個(gè)或多個(gè)目標(biāo)進(jìn)行分辨，因此近鄰目標(biāo)的高分辨在雷達(dá)[1-3]、水聲[4]、光學(xué)[5-6]、頻譜分析及陣列信號(hào)處理[7-8]等領(lǐng)域獲得了廣泛關(guān)注。

Woodward[9]最早提出了模糊函數(shù)的定義，并討論了幅度相等、具有一定多普勒頻移和距離延時(shí)差異的兩個(gè)波形的距離和多普勒分辨率極限，指出兩個(gè)信號(hào)的相關(guān)系數(shù)對(duì)分辨能力有直接影響，相關(guān)系數(shù)越小越容易分辨。根據(jù)Woodwald[9]的定義，距離分辨力定義為同一方位不同距離上兩目標(biāo)能夠分開(kāi)最小間隔。距離分辨力δR采用模糊函數(shù)來(lái)衡量，定義為其響應(yīng)功率下降到1/2時(shí)對(duì)應(yīng)的距離間隔，取決于信號(hào)的帶寬，δR=C/(2B)，其中，C為光速，B為信號(hào)帶寬。方位分辨力δA為區(qū)分兩方位上兩近鄰目標(biāo)的能力，定義為波束響應(yīng)功率下降到1/2對(duì)應(yīng)的方位間隔，與天線孔徑(D)和工作波長(zhǎng)(λ)有關(guān)，可表示為δA=kλ/D，其中k為常數(shù)。文獻(xiàn)[10]進(jìn)一步將模糊函數(shù)分辨推廣到角度域，并設(shè)計(jì)了距離、速度、方位和俯仰四個(gè)維度的最大似然估計(jì)器。

上述定義未考慮實(shí)際系統(tǒng)噪聲和雜波的影響，稱為固有分辨率或名義分辨率。實(shí)際使用中存在的問(wèn)題有：一是難以衡量瑞利限內(nèi)目標(biāo)，即超分辨性能。隨著高分辨空間譜估計(jì)算法的不斷出現(xiàn)，對(duì)超瑞利限算法的性能評(píng)價(jià)需求迫切；二是該方法定義的分辨限是固定值，不能反映隨機(jī)因素的影響。實(shí)際系統(tǒng)受到噪聲和雜波的影響，單次分辨與否并不確定。因此學(xué)者提出應(yīng)該把分辨問(wèn)題看作統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，并提出統(tǒng)計(jì)分辨的概念。關(guān)于統(tǒng)計(jì)分辨的研究通常圍繞兩方面：一是給定虛警概率和分辨概率，系統(tǒng)可達(dá)的可分辨最小統(tǒng)計(jì)距離，稱為統(tǒng)計(jì)分辨限(statistical resolution limit，SRL)。該值反映了觀測(cè)數(shù)據(jù)質(zhì)量的影響，如信噪比、信號(hào)相關(guān)性等參量。二是給定兩信號(hào)的參數(shù)間隔和信噪比、虛警概率等參數(shù)，研究系統(tǒng)可達(dá)的最大分辨概率。

文獻(xiàn)[11]基于相關(guān)分析，討論了隨機(jī)噪聲影響下的統(tǒng)計(jì)分辨限的大小，分析了噪聲對(duì)分辨概率的影響，但該方法不適用于超瑞利限分辨。文獻(xiàn)[12-13]將瑞利限擴(kuò)展到兩個(gè)非等強(qiáng)目標(biāo)的分辨，但未考慮噪聲等隨機(jī)因素的影響。

文獻(xiàn)[14]從空間譜響應(yīng)角度，給出高分辨空間譜分辨能力的定義。假定空間譜響應(yīng)函數(shù)P(θ)，兩待分辨參數(shù)之間的間隔為D=|θ1-θ2|，定義中間參數(shù)的響應(yīng)為Pm=[P(θ1)+P(θ2)]/2，判斷兩個(gè)待分辨譜響應(yīng)的平均值與中間值的響應(yīng)的差Q(D)=Pm-P[(θ1+θ2)/2]，大于0則兩信號(hào)可分辨，否則不可分?；谝陨隙x，文獻(xiàn)[15]研究了MUSIC(multiple signal classification)譜估計(jì)算法的統(tǒng)計(jì)分辨性能，文獻(xiàn)[16]研究了AR(auto-regression)譜估計(jì)算法的統(tǒng)計(jì)分辨性能。然而，該類算法只能針對(duì)特定譜估計(jì)算法，并不具有推廣性。

近年來(lái)，有學(xué)者開(kāi)始采用假設(shè)檢驗(yàn)理論來(lái)定義統(tǒng)計(jì)分辨限，其思路如下：通過(guò)將分辨問(wèn)題建模為二元假設(shè)檢驗(yàn)(binary hypothesis testing，BHT)模型，零假設(shè)代表只存在1個(gè)目標(biāo)，而對(duì)立假設(shè)代表存在2個(gè)目標(biāo)。通過(guò)求解分辨統(tǒng)計(jì)量及其分布，可以定量分析統(tǒng)計(jì)分辨概率或SRL的大小。采用假設(shè)檢驗(yàn)的研究方法和檢測(cè)問(wèn)題實(shí)際上是相同的，如表1所示。對(duì)于檢測(cè)問(wèn)題，研究在給定虛警概率下能夠達(dá)到的檢測(cè)概率，采用NP(Neyman-Pearson)準(zhǔn)則構(gòu)建最優(yōu)檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量。對(duì)于分辨問(wèn)題，研究給定虛警概率下可達(dá)的分辨概率，采用廣義似然比(general likelihood rate test，GLRT)求解統(tǒng)計(jì)量，即對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行最大似然估計(jì)然后代入分辨統(tǒng)計(jì)量求解，然后得到分辨概率和虛警概率的關(guān)系。

表1 基于BHT的檢測(cè)和分辨問(wèn)題的相似性

相對(duì)于基于估計(jì)的定義方法，基于假設(shè)檢驗(yàn)的方法能夠定量討論影響SRL大小的因素，且容易擴(kuò)展到多維空間，因此得到了學(xué)者們的重視。

基于假設(shè)檢驗(yàn)理論進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分辨的研究具有很長(zhǎng)的歷史。早在20世紀(jì)60年代，Root[1]就針對(duì)瑞利限內(nèi)目標(biāo)多個(gè)參數(shù)的分辨問(wèn)題，建立了BHT模型。Nilsson[32]針對(duì)近距離目標(biāo)的檢測(cè)和估計(jì)聯(lián)合問(wèn)題，設(shè)計(jì)了聯(lián)合考慮信號(hào)數(shù)目誤差和精度誤差的代價(jià)函數(shù)。Ksienski等[3]對(duì)瑞利限內(nèi)兩近鄰角度參數(shù)分辨，基于Root假設(shè)檢驗(yàn)對(duì)最大2個(gè)目標(biāo)情形進(jìn)行理論探討，指出了相位差對(duì)分辨性能的影響。Trunk[33]首先將方法引入到雷達(dá)距離分辨中，討論了距離上進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分辨的重要意義，仿真討論了采樣位置和相干積累對(duì)分辨性能的影響?？梢钥闯觯缙诘娜鹄迌?nèi)分辨問(wèn)題研多是理論上探討，未能求解統(tǒng)計(jì)分辨限的解析表達(dá)式。

現(xiàn)圍繞該問(wèn)題開(kāi)展研究綜述，通過(guò)梳理基于假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)分辨模型和分辨統(tǒng)計(jì)量求解方法，得到該類問(wèn)題研究的一般思路：構(gòu)造二元假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，利用泰勒近似得到關(guān)于待分辨參數(shù)的線性模型，或利用大快拍數(shù)條件漸近分布，求解統(tǒng)計(jì)量的分布，進(jìn)而得到統(tǒng)計(jì)分辨限與波形、信噪比等參數(shù)的解析關(guān)系，從而得到進(jìn)一步的研究方向。

1 基于假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)分辨研究現(xiàn)狀

21世紀(jì)以來(lái)，隨著統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理的快速發(fā)展，基于假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)分辨研究重新得到重視。當(dāng)前基于假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)分辨研究主要包括內(nèi)容如下。

1.1 單個(gè)維度上的統(tǒng)計(jì)分辨

在頻率維方面，文獻(xiàn)[34]研究了白噪聲條件下兩正弦信號(hào)的統(tǒng)計(jì)分辨性能，假定分辨中心頻率已知，而幅度和相位未知。由于觀測(cè)和待分辨參數(shù)高度非線性，通常采用泰勒展開(kāi)近似得到線性模型，進(jìn)而求解分辨統(tǒng)計(jì)量分布及其性能，得出分辨信噪比與可分辨頻率間隔和帶寬乘積的4次冪成反比，因此在信號(hào)帶寬給定情況下，信號(hào)可分辨頻率間隔隨著信噪比增加理論上來(lái)說(shuō)可以無(wú)限小。由于陣列信號(hào)處理中的方位等價(jià)于接收到的角頻率，所以基于頻率的研究可直接擴(kuò)展到方位維分辨。

針對(duì)點(diǎn)源目標(biāo)方位分辨，通常假設(shè)目標(biāo)回波幅度或者接收波形未知，此時(shí)的GLRT方法為漸近意義上的最優(yōu)檢測(cè)器。GLRT方法首先對(duì)未知參數(shù)或波形做最大似然估計(jì)(maximum likelihood estimator，MLE)，然后進(jìn)行似然比檢驗(yàn)?；谠撍悸?，文獻(xiàn)[35]采用一階泰勒展開(kāi)近似得到關(guān)于待分辨參數(shù)的線性模型和GLRT方法，研究了存在方位點(diǎn)源干擾條件下被動(dòng)線陣對(duì)兩目標(biāo)的方位角度的SRL，分析了波形已知/未知、噪聲已知/未知等多種情形，得出SRL與信噪比、波形等均有關(guān)系。文獻(xiàn)[36]將上述研究擴(kuò)展到二階泰勒展開(kāi)近似模型。針對(duì)待分辨中心參數(shù)未知的情形，文獻(xiàn)[37]首先求得未知中心角度參數(shù)的MLE然后進(jìn)行分辨，得到未知待分辨中間參數(shù)時(shí)角度SRL的性能損失；文獻(xiàn)[38]討論了單基地MIMO雷達(dá)中近鄰目標(biāo)的方位統(tǒng)計(jì)分辨問(wèn)題，得出噪聲方差已知/未知情況下的信噪比(signal noise rate，SNR)的表達(dá)式。文獻(xiàn)[39]討論了超寬帶隨機(jī)信號(hào)下的圓環(huán)陣列對(duì)空間角度鄰近目標(biāo)的角度SRL。文獻(xiàn)[40-41]進(jìn)一步將其擴(kuò)展到隨機(jī)噪聲MIMO雷達(dá)，推導(dǎo)了在給定虛警概率和檢測(cè)概率時(shí)寬帶MIMO雷達(dá)的統(tǒng)計(jì)角分辨力表達(dá)式，分析了檢驗(yàn)參數(shù)、信噪比、目標(biāo)參數(shù)以及MIMO雷達(dá)發(fā)射波形參數(shù)和幾何參數(shù)對(duì)分辨力的影響。

關(guān)于距離維SRL研究方面，文獻(xiàn)[42-44]討論成像領(lǐng)域的距離統(tǒng)計(jì)分辨，假定距離維的響應(yīng)函數(shù)，采用泰勒展開(kāi)近似得到線性模型求解問(wèn)題，得到距離統(tǒng)計(jì)分辨能力與波形、采樣頻率和信噪比的關(guān)系。文獻(xiàn)[45]基于脈壓前的原始回波進(jìn)行類似的分析，得到分辨性能與波形的表達(dá)式。

上述研究均采用泰勒展開(kāi)近似，也有文獻(xiàn)采用漸近分布求解。文獻(xiàn)[46]研究圓環(huán)陣對(duì)空間兩近鄰點(diǎn)源目標(biāo)的統(tǒng)計(jì)分辨問(wèn)題，利用GLRT的漸近分布，得到存在多個(gè)未知參數(shù)條件下的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量為卡方分布，并指出了基于假設(shè)檢驗(yàn)定義的SRL和基于估計(jì)定義的SRL之間的聯(lián)系，指出參數(shù)p和一組特定的分辨概率和虛警概率相關(guān)。

1.2 多維統(tǒng)計(jì)分辨的擴(kuò)展

和基于估計(jì)定義的分辨研究相類似，基于假設(shè)檢驗(yàn)定義的統(tǒng)計(jì)分辨研究也被擴(kuò)展到多維。文獻(xiàn)[47]討論了多維SRL的定義，并指出了與估計(jì)定義的多維SRL之間的關(guān)系。文獻(xiàn)[48]研究了基于BHT的近場(chǎng)兩信源的角度和距離聯(lián)合統(tǒng)計(jì)分辨，得出了信號(hào)相關(guān)性與陣列配置的影響。文獻(xiàn)[49]討論噪聲功率已知/未知條件下的MIMO雷達(dá)對(duì)近鄰目標(biāo)的DOA(degree of arrival)和DOD(degree of departure)二維聯(lián)合分辨，并對(duì)比了透視檢測(cè)器的性能。文獻(xiàn)[50]在上述研究的基礎(chǔ)上考慮子空間干擾對(duì)分辨限的影響。文獻(xiàn)[51]進(jìn)一步考慮了多普勒頻率在內(nèi)的三維統(tǒng)計(jì)分辨性能。文獻(xiàn)[52]討論寬帶噪聲MIMO雷達(dá)的空間的距離SRL，指出了x和y聯(lián)合維度的分辨限可以表示為一個(gè)橢圓。文獻(xiàn)[53]針對(duì)單個(gè)陣元，討論了距離-脈內(nèi)多普勒二維統(tǒng)計(jì)分辨限的表達(dá)式，指出了聯(lián)合分辨限是距離和多普勒維的權(quán)衡。文獻(xiàn)[54]針對(duì)線性陣列，討論了角度-脈間多普勒的空-時(shí)二維聯(lián)合統(tǒng)計(jì)分辨限。文獻(xiàn)[55]進(jìn)一步將上述研究擴(kuò)展到距離-方位-脈內(nèi)多普勒三維的分辨情形。

1.3 理論工具的擴(kuò)展

文獻(xiàn)[56]針對(duì)極化陣列討論對(duì)比了采用假設(shè)檢驗(yàn)方法與貝葉斯、信息論方法的角度SRL的性能。文獻(xiàn)[57]應(yīng)用信息論準(zhǔn)則來(lái)研究線性陣列對(duì)角度SRL，得到待分辨中心參數(shù)未知時(shí)統(tǒng)計(jì)量分布以及SRL表達(dá)式。文獻(xiàn)[58]針對(duì)二維距離統(tǒng)計(jì)分辨，利用KL(Kullback-Leibler)距離建立了基于假設(shè)檢驗(yàn)定義的SRL與信息論定義的SRL之間的聯(lián)系，討論了欠采樣和模型失配時(shí)的性能損失。針對(duì)H1條件下對(duì)未知參量MLE估計(jì)的計(jì)算量大的問(wèn)題，文獻(xiàn)[59-62]采用Rao檢測(cè)進(jìn)行分辨，與GLRT方法在漸近條件下具有類似的性能。

1.4 關(guān)于SRL的應(yīng)用研究

文獻(xiàn)[63]對(duì)比了時(shí)分復(fù)用MIMO雷達(dá)和常規(guī)MIMO雷達(dá)的角度SRL性能。文獻(xiàn)[64]將SRL研究應(yīng)用到超聲領(lǐng)域，得到分辨限與高斯調(diào)頻信號(hào)帶寬、載頻、調(diào)頻率和相位的關(guān)系。文獻(xiàn)[65]討論了時(shí)間反轉(zhuǎn)MIMO雷達(dá)的角度SRL的表達(dá)式，在不同噪聲條件下，與常規(guī)MIMO雷達(dá)的SRL相比各有優(yōu)劣。

2 基于BHT的統(tǒng)計(jì)分辨模型

基于假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)分辨研究，應(yīng)用的前提是待分辨單元很小，同一分辨單元內(nèi)僅存在1個(gè)或2個(gè)目標(biāo)，通過(guò)構(gòu)造0-1假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停瑢⒎直鎲?wèn)題建模為BHT問(wèn)題，零假設(shè)表示存在1個(gè)目標(biāo)，對(duì)立假設(shè)表示存在2個(gè)目標(biāo)。以文獻(xiàn)[36,57]的線陣陣列模型為例，討論方位上的分辨建模方法。

dcosθk為相鄰陣元中間的波程差；Ψi為波程差引起的 相位差；λ、θk分別為電磁波傳播波長(zhǎng)和來(lái)波相對(duì)基線方位角圖1 線性陣列角度分辨示意圖Fig.1 Sketch map of the angle resolution for the linear array

圖1給出了一維線性陣列對(duì)近鄰空間信源的角度分辨示意圖，以第一陣元未知為相位參考，假定N陣元數(shù)位置矢量d=[0,d1,d2,…,dN-1]T∈RN×1。

已知兩遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)s1=[s1(1),s1(2)，…，s1(L)]T和s2=[s2(1),s2(2)，…，s2(L)]T，回波的波形幅度和相位未知，其中，L為快拍數(shù)，sk∈CL×1,k=1,2。則第l個(gè)快拍時(shí)刻的觀測(cè)數(shù)據(jù)可以表示為

x(l)=v(w1)s1(l)+v(w2)s2(l)+n(l)=

v(w0-δ1)s1(l)+v(w0+δ2)s2(l)+n(l)

(1)

式(1)中：δk(k=1,2)為w1和w2與待分辨中心w0的距離；n(l)為噪聲信號(hào)；v(w1)和v(w2)為兩目標(biāo)信號(hào)的陣列導(dǎo)向矢量，其表達(dá)式為

v(wk)=[1,ejwkd1,ejwkd2,…,ejwkdN-1]T

(2)

將L個(gè)快拍數(shù)據(jù)排列成列矢量，則得到觀測(cè)向量為

x=V1s1+V2s2+n

(3)

式(3)中：V1=IL?v(w0-δ1)；V2=IL?v(w0+δ2)，均為與導(dǎo)向矢量相關(guān)的矩陣，IL為L(zhǎng)×L的單位矩陣；v的定義見(jiàn)式(1)、式(2)；n～CN(0,σ2INL)為加性白高斯噪聲，其中，CN表示復(fù)高斯分布，σ2為噪聲功率。

綜上，可以構(gòu)建關(guān)于待分辨參數(shù)的二元假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑?/p>

(4)

假設(shè)H0表示只有一個(gè)信號(hào)s0，其中前面乘上了和導(dǎo)向矢量相關(guān)的表達(dá)式V0=IL?v(w0)，而假設(shè)H1表示存在兩個(gè)信號(hào)，則式(4)可以等價(jià)為

(5)

式(4)中觀測(cè)數(shù)據(jù)為待分辨參數(shù)ω的非線性函數(shù)，求解比較困難，需要尋找近似或者等價(jià)方法求解。

上述內(nèi)容討論的是方位上的統(tǒng)計(jì)分辨模型。實(shí)際上，可以建立包括距離、多普勒和方位等聯(lián)合維度的統(tǒng)計(jì)分辨模型。對(duì)于雷達(dá)等主動(dòng)傳感器來(lái)說(shuō)，如果考慮脈內(nèi)多普勒的影響，則距離和多普勒是存在耦合的[53,55]。

3 檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量及其分布

建立基于BHT理論的統(tǒng)計(jì)分辨模型[式(4)]。為得到統(tǒng)計(jì)分辨性能，需求解檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量及其分布。通常分為兩種思路：一類利用泰勒展開(kāi)近似將該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于待分辨參數(shù)的線性模型[53,55,58]，然后利用GLRT方法求解；文獻(xiàn)[45,48-50]利用投影定理將分辨問(wèn)題轉(zhuǎn)化為檢測(cè)問(wèn)題再利用GLRT求解，線性模型下可得到精確分布。另一類利用大快拍數(shù)據(jù)下的漸近分布求解[46,66]。該方法不受到未知變量和分布的限制，但需要足夠的數(shù)據(jù)采樣。

3.1 利用線性模型直接求解

針對(duì)回波對(duì)于待分辨參數(shù)高度非線性，通常的思路是，利用兩信號(hào)分辨參數(shù)差異很小，將上述兩個(gè)方位的回波信號(hào)在估計(jì)參數(shù)中心w0=(w1+w2)/2處進(jìn)行泰勒展開(kāi)，保留其一階或二階近似，得到關(guān)于待分辨參數(shù)的線性模型。

具體來(lái)說(shuō)，將式(3)中的觀測(cè)信號(hào)在其導(dǎo)向矢量相關(guān)矩陣V0處進(jìn)行泰勒一階展開(kāi)并近似，并定義為

(6)

式(3)轉(zhuǎn)化為關(guān)于分辨參數(shù)的線性模型為

(7)

(8)

對(duì)于距離分辨來(lái)說(shuō)，此時(shí)的待分辨參數(shù)不再是角度而是時(shí)間。文獻(xiàn)[45]假定主動(dòng)陣元發(fā)射信號(hào)為s(t)，兩接收信號(hào)α1s(t-t1)+α2s(t-t2)，其中α1和α2為兩目標(biāo)回波的幅度。進(jìn)行泰勒展開(kāi)近似并保留一階項(xiàng)，若時(shí)間采樣點(diǎn)數(shù)為L(zhǎng)，則可建立基于BHT理論的距離分辨矢量模型為

(9)

方位維和距離維分辨模型，經(jīng)過(guò)泰勒展開(kāi)近似后，均可以寫(xiě)為關(guān)于待分辨參數(shù)的線性模型。對(duì)于方位分辨來(lái)說(shuō)，信號(hào)波形出現(xiàn)在未知參數(shù)θ中，如式(8)所示，而對(duì)于距離分辨來(lái)說(shuō)，信號(hào)波形出現(xiàn)在系數(shù)矩陣中，如式(9)所示，這是因?yàn)榉直娴膶?duì)象不同所致。

(10)

式(10)中：選擇矩陣A∈Rr×p，滿足rank{A}=r，其中前r列為全零向量，后s列構(gòu)成單位陣。

線性模型的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量為

T(x)=2lnLG(x)=

(11)

(12)

式(12)中：χr為自由度為r的中心卡方分布；χ′r為自由度為r的非中心卡方分布；卡方分布的自由度為未知參數(shù)的個(gè)數(shù)，而非中心參數(shù)為

(13)

(14)

進(jìn)一步寫(xiě)為

(15)

式(15)中:θ=s-，為常見(jiàn)的檢測(cè)模型，可以直接利用檢測(cè)理論得到統(tǒng)計(jì)量的分布。

3.2 利用大快拍條件求漸近求解

參見(jiàn)文獻(xiàn)[67]，當(dāng)數(shù)據(jù)記錄很大而信號(hào)相對(duì)較弱時(shí)，觀測(cè)數(shù)據(jù)的最大似然估計(jì)收斂到真實(shí)的概率分布，此時(shí)二元假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑?/p>

(16)

式(16)中：θr和θs分別為待檢驗(yàn)參數(shù)和多余參數(shù)，含義見(jiàn)式(10)，其對(duì)數(shù)似然比服從漸進(jìn)分布：

(17)

此時(shí)非中心參數(shù)為

(18)

式(18)中：I(θr,θs)為Fisher信息矩陣； [I-1(θr,θs)]rr|θr=0為待估計(jì)參數(shù)對(duì)應(yīng)的分塊矩陣。

4 展望

基于假設(shè)檢驗(yàn)理論的統(tǒng)計(jì)分辨研究可以揭示統(tǒng)計(jì)分辨限與給定的虛警概率、檢測(cè)概率的關(guān)系，可以是單個(gè)維度，也可以是聯(lián)合維度。結(jié)合最近出現(xiàn)的新動(dòng)態(tài)，認(rèn)為以下方向還值得進(jìn)一步研究。

4.1 非理想研究條件擴(kuò)展

當(dāng)前研究均考慮理想模型(待分辨中心方位精確已知、不存在陣列誤差等)，文獻(xiàn)[58]討論了點(diǎn)響應(yīng)函數(shù)存在偏差時(shí)，統(tǒng)計(jì)分辨誤差。文獻(xiàn)[26]討論了陣列流型矢量存在誤差時(shí)，利用Smith定義的SRL的漸近性能。文獻(xiàn)[68]討論了分辨中心參數(shù)服從高斯分布時(shí)，研究了和方位SRL緊密相關(guān)的參數(shù)Chornoff上界(Chornoff upper bound，CUB)的變化。除了上述非理想情況，實(shí)際中非理想情況還包括分辨中心為某一范圍、距離分辨問(wèn)題中不同采樣位置等的影響。

4.2 目標(biāo)隨機(jī)/無(wú)條件下的統(tǒng)計(jì)分辨研究

以上基于假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)分辨研究，均采用確定未知模型，又稱為條件(conditioned)模型。對(duì)于雷達(dá)傳感器來(lái)說(shuō)實(shí)際的目標(biāo)回波為隨機(jī)分布。在隨機(jī)分布假設(shè)下，基于估計(jì)理論定義的SRL研究見(jiàn)文獻(xiàn)[21,23]。在假設(shè)檢驗(yàn)定義方面的研究較少，其中文獻(xiàn)[69]基于貝葉斯準(zhǔn)則研究了兩近鄰目標(biāo)理論上可達(dá)的角度下限。文獻(xiàn)[70]則討論了隨機(jī)分布假設(shè)下目標(biāo)的距離維SRL。

4.3 研究方法的使用邊界

從第3節(jié)可以看出，兩種研究思路均有適用條件，采用泰勒展開(kāi)近似需要分辨間隔足夠小，而漸近分布需要足夠大的快拍數(shù)。為保證兩種求解方法的性能，需定量計(jì)算近似誤差或快拍數(shù)對(duì)分辨性能的定量影響，但尚未見(jiàn)相關(guān)的研究報(bào)道。該問(wèn)題從理論上定量分析可能存在解析困難，可以通過(guò)仿真來(lái)研究。

4.4 已知目標(biāo)個(gè)數(shù)下的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題

與匹配濾波或MUSIC高分辨譜估計(jì)等算法不同，基于假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)分辨研究只能給出目標(biāo)個(gè)數(shù)信息，并不能求解目標(biāo)的位置。在已知目標(biāo)數(shù)條件下，如何對(duì)瑞利限內(nèi)的多個(gè)目標(biāo)的參數(shù)位置進(jìn)行估計(jì)值得研究。該方面的研究角多，可以參考多元假設(shè)檢驗(yàn)[71]或各種超分辨的算法[72]。

4.5 基于最優(yōu)分辨的波形設(shè)計(jì)問(wèn)題

基于BHT模型，可得到分辨概率或SRL的解析表達(dá)式，進(jìn)而開(kāi)展最優(yōu)分辨的波形設(shè)計(jì)。基于該思路，文獻(xiàn)[73]研究了存在方位干擾下MIMO雷達(dá)的最優(yōu)分辨的波形設(shè)計(jì)問(wèn)題，還可進(jìn)一步擴(kuò)展到針對(duì)距離、多普勒分辨的最優(yōu)波形設(shè)計(jì)。

5 結(jié)論

基于假設(shè)檢驗(yàn)定義的統(tǒng)計(jì)分辨研究具有理論成熟、方法直觀的特點(diǎn)，利用該方法的結(jié)論可確定基于估計(jì)統(tǒng)計(jì)分辨定義中，參數(shù)p與分辨概率、虛警概率的關(guān)系。該研究有助于理解統(tǒng)計(jì)分辨的概念和其影響因素，為設(shè)計(jì)更高分辨系統(tǒng)提供了借鑒。