辨識(shí)橢圓的離心角與旋轉(zhuǎn)角

摘 要：橢圓的參數(shù)方程形式簡單，利用它可以使有些難解的問題簡單化，但橢圓中的離心角與旋轉(zhuǎn)角兩個(gè)概念易混淆，容易產(chǎn)生錯(cuò)誤.本文通過一道題目為例，辨識(shí)橢圓的離心角與旋轉(zhuǎn)角.

關(guān)鍵詞：橢圓;參數(shù)方程;離心角;旋轉(zhuǎn)角

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）34-0034-03

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：林國紅（1977-），男，廣東省佛山人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

在一次調(diào)研考試中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)一道解析幾何題的兩種不同解法分辨不清，說明學(xué)生對(duì)相關(guān)概念模糊，認(rèn)識(shí)不到位，從而產(chǎn)生錯(cuò)誤，并且這種錯(cuò)誤在學(xué)生中普遍存在，非常有代表性.筆者對(duì)此特意成文，供大家參考.

一、試題的呈現(xiàn)與解答

題目 已知橢圓Γ：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)到左頂點(diǎn)的距離為1+2，且橢圓Γ的離心率為22.

（1）求橢圓Γ的方程;

（2）過原點(diǎn)O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓Γ交于A，C與B，D，求四邊形ABCD的面積的最小值.

（1）x22+y2=1，過程略.

（2）解法1 根據(jù)題意，可知四邊形ABCD的面積S=12|AC|·|BD|.

當(dāng)直線AC與BD中有一條的斜率不存在時(shí)，可得

|AC|，|BD|分別是橢圓的長軸長與短軸長，所以S=12×22×2=22.

當(dāng)直線AC與BD的斜率都存在時(shí)，可設(shè)直線AC的方程為y=kx，則直線BD的方程為y=-1kx.

由y=kxx22+y2=1，得（2k2+1）x2-2=0，于是xA+xC=0，xAxC=-22k2+1，所以|AC|=1+k2×（xA+xC）2-4xAxC=22（k2+1）2k2+1.

同理，可得|BD|=22（k2+1）k2+2.

所以S=12|AC|·|BD|=12×22（k2+1）2k2+1×22（k2+1）k2+2=4（k2+1）2（2k2+1）（k2+2）=42k4+5k2+2k4+2k2+1=42+1k2+1k2+2≥42+12+2=83，

當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)取等號(hào).

綜上，四邊形ABCD的面積的最小值為83.

解法2 由題可得AC⊥BD，且四個(gè)頂點(diǎn)在橢圓x22+y2=1上，可設(shè)A（2cosα，sinα），B（2cos（α+90°），sin（α+90°）），其中0≤α<2π.

則四邊形ABCD的面積

S=12|AC|·|BD|=4×12|OA|·|OB|=22cos2α+sin2α×2cos2（α+90°）+sin2（α+90°）=

2（1+cos2α）（1+sin2α）=22+14sin22α≥22，當(dāng)且僅當(dāng)sin2α=0，即α=0或α=π時(shí)等號(hào)成立.所以，四邊形ABCD的面積的最小值為22.

評(píng)注 問題（2）中的兩種解法，是學(xué)生解答中的普遍做法，太多數(shù)學(xué)生認(rèn)為解法2比解法1更為簡單，容易求最值，同時(shí)認(rèn)為解法1也正確，所以無法判斷那一種解法有誤.

一題兩個(gè)不同結(jié)果，孰對(duì)孰錯(cuò)？實(shí)際上，解法2是錯(cuò)誤的.原因在于應(yīng)用橢圓的參數(shù)方程解題時(shí)，未能理解參數(shù)的幾何意義，沒有準(zhǔn)確把握橢圓參數(shù)方程中離心角與旋轉(zhuǎn)角的區(qū)別與聯(lián)系，從而產(chǎn)生誤解，導(dǎo)致錯(cuò)誤.

二、橢圓離心角與旋轉(zhuǎn)角的概念及其關(guān)系

1.橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)

如圖，以原點(diǎn)O為圓心，a，b（a>b>0）為半徑分別作兩個(gè)同心圓.設(shè)A為大圓上的任一點(diǎn)，連接OA，與小圓交于點(diǎn)B.過點(diǎn)A，B分別作x軸，y軸的垂線，兩垂線交于點(diǎn)M.求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程.

圖1 圖2

設(shè)∠AOx=α（0≤α<2π），∠MOx=θ（0≤θ<2π），M（x，y），則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為y.由于點(diǎn)A，B均在角α的終邊上，由三角函數(shù)的定義，有x=|OA|cosα=acosαy=|OB|sinα=bsinα.

當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，就得到了點(diǎn)M的軌跡，它的參數(shù)方程是x=acosαy=bsinα（α為參數(shù)，0≤α<2π）.消去參數(shù)可得x2a2+y2b2=1，這是中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓.

2.橢圓的離心角與旋轉(zhuǎn)角及其關(guān)系

由圖可以看出，參數(shù)α是點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的圓的半徑OA（或OB）的旋轉(zhuǎn)角（稱為點(diǎn)M的離心角），不是OM的旋轉(zhuǎn)角，θ才是OM的旋轉(zhuǎn)角.

當(dāng)點(diǎn)A繞著點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，離心角α和旋轉(zhuǎn)角θ的大小都在發(fā)生變化：在第一象限時(shí)，α>θ;在第二象限時(shí)，α<θ;在第三象限時(shí)，α>θ;在第四象限時(shí)，α<θ;當(dāng)點(diǎn)A在坐標(biāo)軸上時(shí)，α=θ.

那么離心角α與旋轉(zhuǎn)角θ有什么關(guān)系呢？由橢圓的參數(shù)方程可知，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓上除短軸上的頂點(diǎn)外，任意一點(diǎn)M（acosα，bsinα）與原點(diǎn)O連線的斜率tanθ=yx=bsinαacosα=batanα，即旋轉(zhuǎn)角θ與離心角α正切比等于ba;當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓上除長軸上的頂點(diǎn)外，任意一點(diǎn)M（bcosα，asinα）與原點(diǎn)O連線的斜率tanθ=yx=asinαbcosα=abtanα，即旋轉(zhuǎn)角θ與離心角α正切比等于ab.

三、解法2的錯(cuò)因分析與解法修正

1.錯(cuò)因分析

原題目的條件AC⊥BD，實(shí)際上是指點(diǎn)A與點(diǎn)B的旋轉(zhuǎn)角相差90°，而解法2用的是點(diǎn)A與點(diǎn)B的離心角相差90°.兩者是否一致？

只需要驗(yàn)證OA與OB是否垂直即可.若設(shè)A（2cosα，sinα），B（2cos（α+90°），sin（α+90°）），則kOA=sinα2cosα，kOB=sin（α+90°）2cos（α+90°）=cosα-2sinα，所以

kOA·kOB=-12，也就是說解法2中的OA與OB在一般情況下并不垂直.

可見當(dāng)旋轉(zhuǎn)角θ增加90°時(shí)，離心角α不一定增加90°，所以在應(yīng)用橢圓的參數(shù)方程時(shí)，必須理解參數(shù)的幾何意義，分清離心角與旋轉(zhuǎn)角.

2.解法2 的修正

設(shè)A（2cosα，sinα）（0≤α<2π）.

當(dāng)α=kπ2（k=0，1，2，3）時(shí)，由解法1可知，四邊形ABCD的面積S=12×22×2=22.

當(dāng)α≠kπ2（k=0，1，2，3）時(shí)，kOA=sinα2cosα=22tanα，因?yàn)镺A⊥OB，所以kOB=-1kOA=-2cotα，則直線OB的方程為y=-2cotα·x，聯(lián)立y=-2cotα·xx22+y2=1，求得B（2tan2αtan2α+4，-2cotα2tan2αtan2α+4）或

B（-2tan2αtan2α+4，

2cotα2tan2αtan2α+4）.

于是

|OA|=2cos2α+sin2α=2cos2α+sin2αsin2α+cos2α=2+tan2α1+tan2α

|OB|=2tan2αtan2α+4+2cot2α×2tan2αtan2α+4=2tan2α+4tan2α+4

所以四邊形ABCD的面積

S=12|AC|·|BD|

=4×12|OA|·|OB|

=22+tan2α1+tan2α×2tan2α+4tan2α+4

=22tan4α+8tan2α+8tan4α+5tan2α+4

=22-2tan2αtan4α+5tan2α+4

=22-2tan2α+4tan2α+5

≥22-24+5

=83

當(dāng)且僅當(dāng)tanα=±2時(shí)取等號(hào).

綜上，四邊形ABCD的面積的最小值為83.

評(píng)注 顯然，解法2修正后的結(jié)果與解法1的一致，對(duì)比之下，解法1較易理解，運(yùn)算量也稍少.

四、其它解法

解法3 以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則橢圓x22+y2=1的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ2+ρ2sin2θ=1，即ρ2=2cos2θ+2sin2θ.

由于OA⊥OB，可設(shè)A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+π2）（0≤θ<2π），則ρ21=2cos2θ+2sin2θ=21+sin2θ，ρ22=2cos2（θ+π2）+2sin2（θ+π2）=2sin2θ+2cos2θ=21+cos2θ.

于是四邊形ABCD的面積S=12|AC|·|BD|=4×12|OA|·|OB|=2|ρ1ρ2|=221+sin2θ×21+cos2θ =4（1+sin2θ）（1+cos2θ）

=42+sin2θcos2θ=42+14sin22θ≥42+14=83，

當(dāng)且僅當(dāng)sin22θ=1，即θ=π4或θ=3π4時(shí)等號(hào)成立.

所以，四邊形ABCD的面積的最小值為83.

評(píng)注 從上述三種解法可看出，解法3所用的極坐標(biāo)法運(yùn)算量少，最為簡單.

五、鞏固練習(xí)

最后提供三題作為練習(xí)，以加深橢圓參數(shù)方程中離心角與旋轉(zhuǎn)角的理解.

（1）過原點(diǎn)O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓x22+y2=1交于A，C與B，D，求四邊形ABCD的面積的最大值.

（2）已知A，B是橢圓3x2+5y2=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足∠AOB=90°，則|OA|2+|OB|2=（ ）.

A.8B.18C.815D.無法確定

（3）已知A，B是橢圓3x2+5y2=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足∠AOB=90°，則1|OA|2+1|OB|2=（ ）.

A.8B.18C.815D.無法確定

答案：（1）22;（2）D;（3）A.

參考文獻(xiàn)：

[1]林國紅.同心圓錐曲線中兩個(gè)定值命題的證明[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2019（12）：27-29.

[2]林國紅.探究讓考題更精彩——一道學(xué)考題的探究與思考[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2019（4）：24-26.

[責(zé)任編輯：李 璟]