基于動量飛輪的單軸倒立擺系統(tǒng)實驗裝置

李 臻，劉龍龍，宋戰(zhàn)勝，宋正河，朱忠祥

（中國農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院，北京 100083）

0 引言

動量飛輪可用于多類系統(tǒng)的能量儲存與姿態(tài)控制，在汽車、航空航天、能源、軍事等多領(lǐng)域均有廣泛應(yīng)用［1-3］，其技術(shù)理論涉及力學(xué)、機械、電子、控制等多學(xué)科知識，是較為理想的本科生實踐教學(xué)素材。在車輛工程專業(yè)的本科培養(yǎng)方案中，大學(xué)物理、理論力學(xué)、機械原理、電工與電子技術(shù)、控制工程基礎(chǔ)、嵌入式系統(tǒng)開發(fā)等基礎(chǔ)和專業(yè)課程的邏輯性和系統(tǒng)性較強。

基于動量飛輪的單軸倒立擺實驗系統(tǒng)具有設(shè)計簡單、成本較低等優(yōu)點，且組成結(jié)構(gòu)和控制參數(shù)易于改變，具有非線性、開環(huán)不穩(wěn)定等特點［4-7］。本實驗裝置的設(shè)計、搭建和測試試驗要求學(xué)生在充分理解利用動量飛輪回穩(wěn)原理的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)使用包括加速度傳感器和陀螺儀等慣性測量單元，通過建立系統(tǒng)動力學(xué)模型及穩(wěn)定性評價指標(biāo)，對失穩(wěn)傾向和角度進行實時識別和判斷。同時，要求學(xué)生熟練運用PID 控制理論實現(xiàn)對小型直流驅(qū)動電動機的控制，并通過搭建實物系統(tǒng)進行驗證。通過該裝置的設(shè)計及試驗，可達到充實學(xué)生專業(yè)知識、培養(yǎng)其研究意識和動手實踐能力等目的，從而提升學(xué)生綜合運用多學(xué)科知識對復(fù)雜工程問題的實際解析能力，有效踐行高?！靶鹿た啤苯ㄔO(shè)實質(zhì)。

1 飛輪倒立擺動力學(xué)系統(tǒng)建模

采用拉格朗日能量法對倒立擺系統(tǒng)進行動力學(xué)建模［8-9］。忽略空氣阻力，將飛輪倒立擺系統(tǒng)簡化為飛輪和勻質(zhì)細桿。飛輪在豎直平面內(nèi)可產(chǎn)生與加速方向相反的力矩，從而使擺桿最終穩(wěn)定在平衡位置附近。

在運動平面上建立慣性坐標(biāo)系O-XY。設(shè)擺桿重心位置為O1，質(zhì)量為m1，轉(zhuǎn)動慣量為I1。質(zhì)心在慣性坐標(biāo)系下的位置坐標(biāo)為（x1，y1），擺桿可繞原點O發(fā)生平面轉(zhuǎn)動。飛輪質(zhì)量為m2，重心為O2，位置坐標(biāo)為（x2，y2），角速度為ω，轉(zhuǎn)動慣量為I2。擺桿與豎直方向的偏轉(zhuǎn)角為θ，原點O和O1的距離為L1，擺桿質(zhì)心與飛輪質(zhì)心距離為L2，飛輪轉(zhuǎn)角為φ。倒立擺模型如圖1 所示。

圖1 基于動量飛輪的單軸倒立擺模型

根據(jù)拉格朗日能量法建立系統(tǒng)動力學(xué)模型。

系統(tǒng)總動能為

系統(tǒng)總勢能為

引入拉格朗日初始化方程：

令L1=L2，得拉格朗日算子：

將廣義坐標(biāo)qi和L代入拉格朗日方程：

式中，i=1，2，…，n。本系統(tǒng)選取傾角θ和轉(zhuǎn)角φ作為系統(tǒng)的2 個廣義坐標(biāo)。求得系統(tǒng)的廣義力矩為

式中，u為飛輪的驅(qū)動力矩。

系統(tǒng)的耗散力函數(shù)包括：

擺桿產(chǎn)生的耗散力

飛輪產(chǎn)生的耗散力

式中：c1為擺桿繞旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動時的摩擦阻力矩系數(shù)；c2為飛輪繞電動機軸轉(zhuǎn)動時的摩擦阻力矩系數(shù)。由此可得：

式（9）和（10）即為系統(tǒng)在忽略空氣阻力條件下的運動學(xué)表達式。

2 動量飛輪倒立擺實驗裝置設(shè)計

本文設(shè)計的動量飛輪單軸倒立擺實驗裝置如圖2所示。裝置選用775 型直流有刷電動機驅(qū)動動量飛輪旋轉(zhuǎn)，額定電壓為12 V，轉(zhuǎn)速范圍為5 000～12 000 r/min，選配功率放大芯片TB6612FNG 驅(qū)動電動機。擺體的傾角和角速度由MPU6050 測量模塊獲得，電動機轉(zhuǎn)速信號由編碼器直接測量，并將產(chǎn)生的正弦方波信號發(fā)送至STM32F103C8 芯片，轉(zhuǎn)化為數(shù)字信號后傳遞至控制系統(tǒng)，經(jīng)邏輯電路運算實現(xiàn)輸出信號的電位變化，以實現(xiàn)電動機的動態(tài)控制［10-12］。

圖2 動量飛輪單軸倒立擺實驗裝置設(shè)計方案

為使飛輪在較小的質(zhì)量條件下具有較大的轉(zhuǎn)動慣量，將其設(shè)計為圓環(huán)中空形狀，材料為鑄鐵，具體尺寸如圖3 所示。

圖3 動量飛輪設(shè)計方案（mm）

可得飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為

裝配完成后的動量飛輪單軸倒立擺實驗裝置如圖4 所示。

圖4 動量飛輪單軸倒立擺實驗裝置

3 系統(tǒng)平衡控制方法

實驗裝置控制系統(tǒng)使用PID調(diào)節(jié)器控制飛輪驅(qū)動電動機，采用閉環(huán)控制與PID算法相結(jié)合，以提高控制算法的準(zhǔn)確性，同時增強控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和抗干擾能力［13-14］。

3.1 位置閉環(huán)控制

通過陀螺儀傳感器測量飛輪倒立擺系統(tǒng)的位置信息，將其傳遞給控制系統(tǒng)，通過反饋回路將位置目標(biāo)值與實際值進行比較，使系統(tǒng)能夠穩(wěn)定地向平衡位置靠近，盡可能使系統(tǒng)傾角和角速度為零。實驗裝置進行位置測量時采用離散化處理，累加離散化的數(shù)據(jù)以代替積分過程，得到傾角數(shù)值［15］。離散化PID 計算公式為

式中，e（k）為本次傾角測量位置；e（k -1）為上一次傾角測量位置；∑e（k）為自系統(tǒng)啟動開始，位置傾角的總偏差值，其中k為1，2，…，n。

由于在位置測量中存在近似替代處理，不可直接使用單次編碼器測量出的結(jié)果值，需使用系數(shù)與之相乘?？紤]累加偏差值與零點漂移效應(yīng)的影響，利用每兩次位置差值計算單軸姿控飛輪倒立擺系統(tǒng)與平衡位置的接近程度，預(yù)測系統(tǒng)靠接平衡位置點的運動趨勢。

為確定飛輪的偏離角度，需計算飛輪從啟動到當(dāng)前時刻的時間段內(nèi)，累加每次采樣的偏差值，得到總偏差積累量，并將其輸入PID調(diào)節(jié)器參與計算，輸出校正環(huán)節(jié)的PWM信號參數(shù)。本實驗裝置位置控制架構(gòu)和PID調(diào)節(jié)器控制流程分別如圖5 和圖6 所示。

圖5 位置控制系統(tǒng)架構(gòu)

圖6 位置閉環(huán)PID控制流程圖

3.2 速度閉環(huán)控制

在實驗裝置中，編碼器由鋰電池供電，飛輪驅(qū)動電動機的速度控制頻率為100 Hz。

在速度控制系統(tǒng)中，通過改變PWM 信號占空比實現(xiàn)速度的變化，控制時增量式離散PID 控制策略實現(xiàn)，使用PI兩個參數(shù)進行控制［16］：

當(dāng)系統(tǒng)處于非平衡位置時，輸入值與設(shè)定值存在偏差。編碼器將最近兩次采樣偏差值傳遞到PI 調(diào)節(jié)器的校正環(huán)節(jié)中，經(jīng)內(nèi)部邏輯運算得到輸出值后，產(chǎn)生輸出信號傳遞到控制系統(tǒng)，本實驗裝置采用的速度閉環(huán)控制流程如圖7 所示。

圖7 速度閉環(huán)PID控制流程圖

在速度PID調(diào)節(jié)器參數(shù)中，KP值取500，KI參數(shù)初始設(shè)定值由KP/200 計算得到。通過在實驗過程中結(jié)合觀察上位機波形的控制效果，將Ki值設(shè)定為2。

4 實驗裝置測試及結(jié)果分析

控制系統(tǒng)按照設(shè)定的控制算法計算出電動機輸出的偏差量與期望值，向執(zhí)行機構(gòu)輸出控制信號，驅(qū)動步進電動機加減速，使飛輪倒立擺能夠穩(wěn)定在鉛垂線附近。

基于動量飛輪的單軸倒立擺實驗裝置搭建完成后總質(zhì)量為2.2 kg，空間尺寸為350 mm（長）×350 mm（寬）×277 mm（高）。在測試試驗過程中，通過上位機輸出波形檢測試驗裝置的工作性能。如圖8 所示，綠色為目標(biāo)值曲線；灰色為實際測量值曲線；藍色曲線則表示受到外界干擾時飛輪倒立擺產(chǎn)生的位置偏差。將飛輪置于平衡位置附近啟動系統(tǒng)，可降低系統(tǒng)啟動位置變化的偏離幅度，因此啟動位置和實際平衡位置存在一定偏差，表現(xiàn)為圖8（a）中系統(tǒng)在啟動階段位置偏差增大。

圖8 飛輪倒立擺實驗裝置輸出波形圖

系統(tǒng)工作一段時間后，啟動過程中產(chǎn)生的誤差積累量會逐漸被系統(tǒng)消除，倒立擺逐漸靠近并穩(wěn)定在平衡位置附近。在本實驗裝置的測試中，單軸倒立擺系統(tǒng)的位置實際值與目標(biāo)值之間始終存在固定不變的差值，即綠、灰兩條曲線基本保持平行變化趨勢。產(chǎn)生此現(xiàn)象的原因為初始值在設(shè)定時僅能表示為整數(shù)，當(dāng)實際平衡位置角度因裝配等誤差不為整數(shù)時便會存在差值，無法完全消除。

本實驗中為了更加清晰地觀察曲線的變化，在DataScope文件生成上位機采樣點的數(shù)據(jù)，繪制出一張更為詳細具體的曲線變化圖，如圖9 所示。

圖9 DataScope文件生成的平衡位置波形圖

由圖9 可知，因系統(tǒng)會受到空氣阻力或摩擦力的干擾，整個系統(tǒng)在某些位置會發(fā)生較大的波動，但在上位機中沒有體現(xiàn)出這種現(xiàn)象，該波形圖驗證了本實驗裝置的可靠性和實驗結(jié)果的合理性。經(jīng)測試，本實驗裝置將倒立擺控制在平衡位置附近的實際效果如圖10 所示。

圖10 基于動量飛輪的單軸倒立擺實驗裝置控制效果

5 結(jié)語

本文基于動量飛輪姿態(tài)控制原理，設(shè)計、搭建并測試了單軸倒立擺系統(tǒng)實驗裝置。通過數(shù)學(xué)建模、機械制圖、電路設(shè)計和機械加工，結(jié)合軟、硬件設(shè)計、測試與應(yīng)用，實現(xiàn)了以動量飛輪加、減速反力矩進行系統(tǒng)平衡控制的功能。該實驗裝置有助于學(xué)生充分、綜合、深度地運用機械工程學(xué)科中有關(guān)數(shù)學(xué)、力學(xué)、機械、電子、控制及嵌入式系統(tǒng)等方面已學(xué)習(xí)的基本理論知識，以解決實際的復(fù)雜工程問題為目標(biāo)，通過實踐經(jīng)驗加深對知識的靈活運用和對專業(yè)的認識及熱愛程度。