模型參數(shù)擾動(dòng)對(duì)模型預(yù)測(cè)控制的影響分析

（鄭州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院電氣工程學(xué)院，河南 鄭州 454000）

近年來(lái)，模型預(yù)測(cè)控制在電力電子與電力傳動(dòng)領(lǐng)域得到了廣泛的關(guān)注[1-2]，應(yīng)用場(chǎng)景包括電機(jī)驅(qū)動(dòng)[3]、逆變器[4]、電力電子變壓器[5]和矩陣變換器[6]等。通常，根據(jù)產(chǎn)生控制功率開(kāi)關(guān)的脈沖控制信號(hào)的不同，模型預(yù)測(cè)控制技術(shù)可分為兩類，一類利用預(yù)測(cè)算法產(chǎn)生連續(xù)輸出作為調(diào)制參考，進(jìn)而基于脈寬調(diào)制（pulse width modulation，PWM）模塊生成固定開(kāi)關(guān)頻率的脈沖控制信號(hào)[7]，而另一類模型預(yù)測(cè)控制直接剔除PWM模塊，使用有限的開(kāi)關(guān)狀態(tài)進(jìn)行成本函數(shù)評(píng)估，選擇最優(yōu)開(kāi)關(guān)狀態(tài)進(jìn)行輸出即可，故也稱為有限集模型預(yù)測(cè)控制（finite control set model predictive control，F(xiàn)CSMPC）[8]。

FCSMPC的優(yōu)點(diǎn)主要體現(xiàn)在具有快速的動(dòng)態(tài)響應(yīng)、實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單以及可直接處理非線性和多目標(biāo)約束等[9]。但直接使用系統(tǒng)模型來(lái)選擇最優(yōu)控制輸出會(huì)存在建模誤差或參數(shù)變化使控制性能發(fā)生變化的缺點(diǎn)。因此，誤差分析仍是FCSMPC研究中的一個(gè)重點(diǎn)問(wèn)題[10]。此外，由于FCSMPC的非線性特性，使得線性系統(tǒng)中相關(guān)參數(shù)擾動(dòng)的評(píng)估分析方法不再適用。有文獻(xiàn)通過(guò)研究FCSMPC在不確定情景下的行為，從而基于經(jīng)驗(yàn)評(píng)估了模型參數(shù)不匹配對(duì)控制性能的影響，這些研究涉及的應(yīng)用對(duì)象包括整流器[11]、三相電壓源型逆變器[12]和電機(jī)驅(qū)動(dòng)變頻器[13]等。文獻(xiàn)[14]對(duì)電感參數(shù)變化進(jìn)行了定性分析，并推演出指南以指導(dǎo)減少電感參數(shù)不匹配對(duì)控制性能影響。而對(duì)于負(fù)載電阻參數(shù)的不確定性，通常將其對(duì)FCSMPC運(yùn)行的影響進(jìn)行忽略[14-15]。文獻(xiàn)[16]則是關(guān)注了負(fù)載參數(shù)不匹配下對(duì)FCSMPC控制性能的影響，并設(shè)計(jì)了改進(jìn)方案，但其運(yùn)算量大、對(duì)系統(tǒng)處理器要求較高。上述這些研究主要還是集中在定性分析層面，沒(méi)有深入探究參數(shù)擾動(dòng)對(duì)FCSMPC運(yùn)行的影響。此外，研究手段也是主要依靠經(jīng)驗(yàn)來(lái)對(duì)參數(shù)擾動(dòng)的影響進(jìn)行評(píng)估。本文通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得到模型參數(shù)擾動(dòng)對(duì)FCSMPC控制性能影響的解析表達(dá)式，進(jìn)而可實(shí)現(xiàn)模型參數(shù)擾動(dòng)對(duì)FCSMPC控制性能影響的定量評(píng)估。其中研究對(duì)象為三相逆變器的模型預(yù)測(cè)電流控制器。最后，基于實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了研究結(jié)果。

1 逆變器系統(tǒng)模型和FCSMPC方案

下面引出逆變器數(shù)學(xué)模型及對(duì)應(yīng)的FCSMPC。同時(shí)，為了對(duì)比，也對(duì)傳統(tǒng)基于空間矢量調(diào)制和PI控制器的線性電流控制方案進(jìn)行了回顧。

1.1 逆變器數(shù)學(xué)模型

圖1為三相逆變器的電路模型。

圖1 三相逆變器的電路模型Fig.1 Circuit model of three-phase inverter

由圖1可得三相逆變器的動(dòng)態(tài)模型表述為

式中：v為逆變器輸出電壓矢量；va，vb，vc分別為逆變器三相輸出電壓；i為逆變器輸出電流矢量；ia，ib，ic分別為逆變器三相輸出電流；L0，R0分別為電感和電阻；v0為電壓源矢量。

三相兩電平逆變器具有6個(gè)非零電壓矢量和2個(gè)零電壓矢量。此外，式（1）可擴(kuò)展至具有任意電平數(shù)和不同相數(shù)的逆變器，僅對(duì)應(yīng)逆變器拓?fù)涠淖冚敵鲭妷菏噶考纯伞Ａ硪环矫?，式?）中的數(shù)學(xué)模型即可表示逆變器帶交流電機(jī)負(fù)載或逆變器并網(wǎng)，前者電感和電阻元件即代表定子或轉(zhuǎn)子等效電感和電阻參數(shù)，電壓源矢量對(duì)應(yīng)于電機(jī)反電動(dòng)勢(shì)；而后者電感和電阻元件對(duì)應(yīng)為濾波器和線路阻抗建模，電壓源矢量則代表電網(wǎng)電壓。設(shè)采樣周期為Ts，使用前向歐拉方法進(jìn)行離散化，可得到離散模型如下：

1.2 FCSMPC算法

FCSMPC算法執(zhí)行時(shí)，在每個(gè)采樣周期將計(jì)算選擇要應(yīng)用于逆變器的最優(yōu)開(kāi)關(guān)狀態(tài)組合進(jìn)行輸出。這是通過(guò)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型來(lái)預(yù)測(cè)和比較每個(gè)有效控制動(dòng)作的行為來(lái)實(shí)現(xiàn)的，這些動(dòng)作即是逆變器的輸出電壓矢量狀態(tài)。預(yù)測(cè)通?？稍谝粋€(gè)或多個(gè)采樣周期范圍內(nèi)進(jìn)行，當(dāng)選擇兩步長(zhǎng)預(yù)測(cè)時(shí)，意味著在第（k+2）個(gè)采樣時(shí)刻進(jìn)行評(píng)估預(yù)測(cè)，這樣做的優(yōu)點(diǎn)在于可以補(bǔ)償預(yù)測(cè)控制器中數(shù)字化實(shí)現(xiàn)所帶來(lái)的不可避免的計(jì)算延遲。完成預(yù)測(cè)后，根據(jù)所需的控制目標(biāo)和約束設(shè)計(jì)定義成本函數(shù)并應(yīng)用于該組預(yù)測(cè)，并評(píng)估各個(gè)控制動(dòng)作，以選擇最優(yōu)電壓矢量輸出。本文使用的成本函數(shù)旨在實(shí)現(xiàn)負(fù)載電流參考值跟蹤，如下式所示：

通過(guò)對(duì)式（2）迭代即可得到：

1.3 線性電流控制方案

為了評(píng)估建模中參數(shù)擾動(dòng)對(duì)FCSMPC控制性能的影響，將FCSMPC方案與基于空間矢量調(diào)制和PI控制器的線性電流控制方案進(jìn)行比較。線性電流控制器在同步旋轉(zhuǎn)d-q坐標(biāo)系中實(shí)現(xiàn)，可實(shí)現(xiàn)零穩(wěn)態(tài)誤差，同時(shí)可通過(guò)設(shè)置前饋?lái)?xiàng)剔除由電感引起的交叉耦合效應(yīng)。

在s域中PI控制器的傳遞函數(shù)如下：

式中：C（s）為PI控制器的傳遞函數(shù)；Kp，Ki分別為比例和積分系數(shù)。

對(duì)PI參數(shù)的設(shè)定問(wèn)題，文獻(xiàn)[17]依據(jù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)和延遲所帶來(lái)的約束下盡可能地?cái)U(kuò)展閉環(huán)系統(tǒng)帶寬的原則進(jìn)行參數(shù)選擇，稱為幅值最優(yōu)參數(shù)整定流程。采用此流程整定參數(shù)的線性電流控制方案可與FCSMPC方案進(jìn)行合理對(duì)比，因?yàn)镕CSMPC具有較為快速的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。為了整定線性電流控制器參數(shù)，考慮標(biāo)稱負(fù)載參數(shù)R0和L0所對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)特性后設(shè)置積分系數(shù)Ki=L0/R0，此時(shí)控制器的零點(diǎn)將抵消來(lái)自模型中的主極點(diǎn)。進(jìn)一步設(shè)置比例系數(shù)Kp=L0/（2T0），T0為調(diào)制和控制算法數(shù)字實(shí)現(xiàn)引入的等效延遲，該延遲可近似為T0=1.5TSVM，TSVM為空間矢量調(diào)制算法中的采樣周期。

如上所述，線性電流控制方案的設(shè)計(jì)過(guò)程也是取決于模型參數(shù)。因此，參數(shù)不確定性的存在也將影響線性控制器的性能。就穩(wěn)態(tài)性能而言，線性電流控制中的積分項(xiàng)將考慮到負(fù)載參數(shù)的變化，從而獲得零穩(wěn)態(tài)誤差，但負(fù)載參數(shù)與其標(biāo)稱值不同時(shí)，控制器設(shè)計(jì)的零極點(diǎn)對(duì)消不再成立，這將引起閉環(huán)響應(yīng)中更高階動(dòng)態(tài)的出現(xiàn)，從而惡化動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

2 模型參數(shù)擾動(dòng)對(duì)FCSMPC的影響分析

在下述分析中，為了使表達(dá)式更為簡(jiǎn)單和緊湊，只分析一步預(yù)測(cè)的情形，但分析結(jié)果可擴(kuò)展到具有兩步預(yù)測(cè)的情況。

定義預(yù)測(cè)誤差如下：

式中：Δ為預(yù)測(cè)誤差，代表了無(wú)參數(shù)擾動(dòng)模型預(yù)測(cè)的電流值與含參數(shù)擾動(dòng)的模型預(yù)測(cè)的電流值之間的差值。

將式（2）和式（6）代入到式（7）中可得：

圖2 負(fù)載參數(shù)擾動(dòng)時(shí)的預(yù)測(cè)誤差變化曲線Fig.2 Prediction error curves with load parameters disturbance

圖3 矢量相角變化時(shí)的預(yù)測(cè)誤差變化曲線Fig.3 Prediction error curves with vector phase angle changed

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述模型參數(shù)擾動(dòng)對(duì)FCSMPC算法的影響分析，搭建了如圖4所示的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，開(kāi)展了相關(guān)實(shí)驗(yàn)以說(shuō)明負(fù)載電阻和電感參數(shù)擾動(dòng)對(duì)FCSMPC控制性能的影響。實(shí)驗(yàn)采用了FCSMPC控制方案與線性電流控制方案對(duì)比的方式進(jìn)行。圖4中主要的實(shí)驗(yàn)裝置包括一臺(tái)型號(hào)為丹佛斯VLT5008的電壓源型三相逆變器、三相阻感負(fù)載、dSPACE1103實(shí)時(shí)仿真系統(tǒng)和上位機(jī)。其中FCSMPC算法和線性控制算法均基于dSPACE1103實(shí)時(shí)控制器實(shí)現(xiàn)。線性電流控制器中空間矢量調(diào)制模塊的采樣周期TSVM=250 μs，故FCSMPC控制器中的采樣周期設(shè)置為Ts=50 μs，這使得在標(biāo)稱負(fù)載參數(shù)條件下獲得的平均開(kāi)關(guān)頻率與線性電流控制器相當(dāng)。實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)其他主要參數(shù)為：直流側(cè)電壓Vdc=100 V，直流鏈路電容Cdc=2 400 μF，逆變器額定輸出電流inorm=5.5 A，額定頻率fnorm=50 Hz，標(biāo)稱負(fù)載電阻R0=10 Ω，標(biāo)稱負(fù)載電感L0=10 mH，負(fù)載反電動(dòng)勢(shì)幅值VEM=2 V，負(fù)載反電動(dòng)勢(shì)頻率fEM=50 Hz，采樣周期Ts=50 μs。

圖4 實(shí)驗(yàn)裝置構(gòu)成Fig.4 Composition of experimental devices

3.1 負(fù)載參數(shù)擾動(dòng)下的穩(wěn)態(tài)性能分析

首先，基于實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行了穩(wěn)態(tài)實(shí)驗(yàn)，F(xiàn)CSMPC控制器中的電感參數(shù)設(shè)置為L(zhǎng)0=10 mH，而實(shí)際負(fù)載電感分別設(shè)置為5 mH，10 mH和15 mH。實(shí)驗(yàn)中設(shè)置不同的電流參考值，并同時(shí)進(jìn)行了線性電流控制器的測(cè)試。圖5為負(fù)載電感參數(shù)誤差下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果匯總。

圖5 負(fù)載電感參數(shù)誤差下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果匯總Fig.5 Summary of experimental results under load inductance parameter error

由圖5可知，線性電流控制器能夠在所有測(cè)試條件下實(shí)現(xiàn)零穩(wěn)態(tài)誤差，這是因?yàn)槠湓O(shè)置了積分項(xiàng)。另一方面，F(xiàn)CSMPC控制器在|i*|低于0.2（標(biāo)幺值）時(shí)具有更大的穩(wěn)態(tài)誤差，即使實(shí)際負(fù)載電感參數(shù)與模型參數(shù)保持一致，這是因?yàn)镕C-SMPC控制器中僅僅將電流跟蹤作為控制目標(biāo)導(dǎo)致的。此外，負(fù)載電感參數(shù)誤差對(duì)預(yù)測(cè)控制器的穩(wěn)態(tài)誤差有一定的影響，并在實(shí)際電感值低于模型中電感值的情況下趨于嚴(yán)重。

與負(fù)載電感擾動(dòng)類似，將FCSMPC控制器中的電阻參數(shù)設(shè)置為R0=10 Ω，而實(shí)際負(fù)載電阻分別設(shè)置為5 Ω，10 Ω和20 Ω進(jìn)行了第二組測(cè)試，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6所示。圖6實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，與負(fù)載電感參數(shù)擾動(dòng)的情況不同，當(dāng)R/R0=2且參考電流增大時(shí)，線性電流控制器出現(xiàn)飽和導(dǎo)致了較大的穩(wěn)態(tài)誤差，但對(duì)應(yīng)FCSMPC在此種情況下具有更小的穩(wěn)態(tài)誤差，因?yàn)槠涫芫€性調(diào)制范圍限制。同時(shí)類似于電感參數(shù)擾動(dòng)，F(xiàn)CSMPC的穩(wěn)態(tài)誤差也受電阻參數(shù)擾動(dòng)的影響，并在參考電流較小的情況下更為嚴(yán)重。

圖6 負(fù)載電阻參數(shù)誤差下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果匯總Fig.6 Summary of experimental results under load resistance parameter error

進(jìn)一步設(shè)置兩組負(fù)載參數(shù)擾動(dòng)，即L/L0=1.5和R/R0=2，以及L/L0=0.5和R/R0=0.5，進(jìn)行輸出電流總諧波含量iTHD的對(duì)比分析，結(jié)果如圖7所示。

圖7 負(fù)載參數(shù)擾動(dòng)下的電流諧波分析Fig.7 Current harmonic analysis under load parameters disturbance

圖7中，負(fù)載參數(shù)擾動(dòng)對(duì)FCSMPC控制器和線性電流控制器的穩(wěn)態(tài)諧波控制性能均有負(fù)面影響，因?yàn)樨?fù)載電阻和電感參數(shù)決定了負(fù)載電流的動(dòng)態(tài)特性，從而影響了與諧波含量密切相關(guān)的紋波特性。圖7a為L(zhǎng)/L0=1和R/R0=1時(shí)，即參數(shù)準(zhǔn)確的情況下逆變器輸出電流參考值不同時(shí)的iTHD，圖7b為L(zhǎng)/L0=1.5和R/R0=2時(shí)，即建模參數(shù)偏小的情況下的iTHD分布，對(duì)比兩者可看出，實(shí)際負(fù)載參數(shù)大于模型參數(shù)時(shí)，輸出電流THD是減小的。圖7c為L(zhǎng)/L0=0.5和R/R0=0.5時(shí)，即建模參數(shù)偏小的情況下的iTHD分布，對(duì)比圖7b可看出，兩種控制器的輸出電流THD都將顯著增大。

3.2 負(fù)載參數(shù)擾動(dòng)下的動(dòng)態(tài)性能分析

圖8、圖9分別為FCSMPC控制器和傳統(tǒng)線性電流控制器在不同負(fù)載電感參數(shù)擾動(dòng)下的a相參考電流ia階躍動(dòng)態(tài)響應(yīng)結(jié)果。由于實(shí)際電感參數(shù)對(duì)電流濾波特性有很大影響，故圖8c和圖9c中的電流紋波較大，同時(shí)FCSMPC控制器更為明顯。如前述分析，當(dāng)建模電感參數(shù)大于實(shí)際負(fù)載電感時(shí)，F(xiàn)CSMPC的預(yù)測(cè)誤差將受到更大影響，圖8c中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果也證實(shí)了這一論述。盡管隨著負(fù)載電感參數(shù)的擾動(dòng)，F(xiàn)CSMPC出現(xiàn)了明顯的電流紋波，但FCSMPC的動(dòng)態(tài)響應(yīng)基本不受影響。但根據(jù)圖9所示的實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示負(fù)載電感參數(shù)的擾動(dòng)對(duì)線性電流控制器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)造成了不利影響，這是因?yàn)榫€性電流控制器的控制參數(shù)是基于負(fù)載參數(shù)整定的。綜上，圖8、圖9實(shí)驗(yàn)波形表明，F(xiàn)CSMPC控制器和傳統(tǒng)線性電流控制器相比，在涉及負(fù)載電感參數(shù)較大擾動(dòng)，即L/L0=0.5時(shí)，F(xiàn)CSMPC出現(xiàn)了明顯的電流紋波，即諧波增多、穩(wěn)態(tài)性能欠佳，其原因是實(shí)際電感值低于模型中電感值的情況下，F(xiàn)CSMPC控制器每個(gè)步長(zhǎng)的預(yù)測(cè)誤差偏大，從而在成本函數(shù)計(jì)算時(shí)，有一定的概率沒(méi)有得到最優(yōu)的電壓矢量進(jìn)行輸出，從而造成了諧波性能下降。但是FCSMPC控制器的動(dòng)態(tài)性能并沒(méi)有受到影響，反之傳統(tǒng)線性電流控制器在涉及負(fù)載電感參數(shù)較大擾動(dòng)時(shí)，電流紋波較小，即諧波增加不明顯，但是動(dòng)態(tài)性能受到影響。

圖8 負(fù)載電感參數(shù)擾動(dòng)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)（FCSMPC控制器）Fig.8 Dynamic response under disturbance of load inductance parameters（FCSMPC controller）

圖9 負(fù)載電感參數(shù)擾動(dòng)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)（線性電流控制器）Fig.9 Dynamic response under disturbance of load inductance parameters（linear current controller）

圖10、圖11分別為FCSMPC控制器和傳統(tǒng)線性電流控制器在不同負(fù)載電阻參數(shù)擾動(dòng)下的a相參考電流階躍動(dòng)態(tài)響應(yīng)結(jié)果。

圖10 負(fù)載電阻參數(shù)擾動(dòng)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)（FCSMPC控制器）Fig.10 Dynamic response under disturbance of load resistance parameters（FCSMPC controller）

圖11 負(fù)載電阻參數(shù)擾動(dòng)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)（線性電流控制器）Fig.11 Dynamic response under disturbance of load resistance parameters（linear current controller）

對(duì)比圖10、圖11可以看出，在不同負(fù)載電阻參數(shù)擾動(dòng)下，包括參數(shù)匹配的情況下，F(xiàn)CSMPC的動(dòng)態(tài)響應(yīng)是明顯快于線性電流控制器的。同時(shí)，如圖11c所示，當(dāng)負(fù)載電阻參數(shù)只有其標(biāo)稱值的50%時(shí)，線性電流控制器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)呈現(xiàn)出更高的超調(diào)和振蕩。綜上，圖10、圖11實(shí)驗(yàn)波形表明，F(xiàn)CSMPC控制器和傳統(tǒng)線性電流控制器相比，在涉及負(fù)載電阻參數(shù)較大擾動(dòng)時(shí)，兩者的穩(wěn)態(tài)性能沒(méi)有受到太大影響，但是傳統(tǒng)線性電流控制器出現(xiàn)了較大的超調(diào)和振蕩，故動(dòng)態(tài)性能明顯不如FCSMPC控制器。

4 結(jié)論

本文研究了模型參數(shù)擾動(dòng)對(duì)FCSMPC控制策略的影響，研究基于三相二電平逆變器的電流預(yù)測(cè)控制開(kāi)展，現(xiàn)總結(jié)主要結(jié)論如下：

1）理論推導(dǎo)表明，F(xiàn)CSMPC的預(yù)測(cè)誤差不僅取決于模型中各個(gè)負(fù)載參數(shù)的不確定性，還取決于逆變器當(dāng)前步長(zhǎng)的負(fù)載電流值和輸出電壓值，尤其是當(dāng)2個(gè)矢量方向完全相反時(shí)，預(yù)測(cè)誤差達(dá)到最大。

2）通過(guò)與線性電流控制器的對(duì)比動(dòng)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在負(fù)載電阻參數(shù)擾動(dòng)下，F(xiàn)CSMPC的穩(wěn)態(tài)誤差將增加，而負(fù)載電感參數(shù)的變化導(dǎo)致較大的電流紋波，尤其在預(yù)測(cè)模型高估實(shí)際電感值時(shí)趨于嚴(yán)重。但當(dāng)負(fù)載參數(shù)不匹配的情況下，F(xiàn)CSMPC的動(dòng)態(tài)階躍響應(yīng)比線性電流控制器的魯棒性更好。

考慮到模型中電感值與實(shí)際電感值不匹配導(dǎo)致FCSMPC控制器預(yù)測(cè)誤差偏大，進(jìn)而使得穩(wěn)態(tài)性能下降的問(wèn)題，進(jìn)一步的研究方向?yàn)椋涸贔CSMPC控制器每次迭代中計(jì)算預(yù)測(cè)誤差，優(yōu)化電壓矢量輸出，從而改善和加強(qiáng)控制器的魯棒性。