數(shù)學(xué)概念深度教學(xué)須“五理解”①
——以人教版“一次函數(shù)”為例

潘 超

(重慶第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院 400065)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基本單元，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，其成效直接影響到學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果.部分教師在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)忽視課標(biāo)(1)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》，簡稱“課標(biāo)”.要求[1]、忽視教材意圖[2]、忽視概念本質(zhì)[3-4]、忽視學(xué)生現(xiàn)實(shí)[5]、忽視教學(xué)程式等現(xiàn)象[6-9].這些現(xiàn)象直接導(dǎo)致了學(xué)生對(duì)概念的理解不夠透徹或偏頗，對(duì)概念內(nèi)涵和外延不能抓住本質(zhì)，教學(xué)活動(dòng)處于表層狀態(tài).為了消減這些現(xiàn)象，提高數(shù)學(xué)概念教學(xué)實(shí)效，教師須借助有利于概念形成的活動(dòng)情境，帶領(lǐng)學(xué)生超越概念學(xué)習(xí)的感性認(rèn)識(shí)層面，進(jìn)入數(shù)學(xué)概念的內(nèi)在邏輯系統(tǒng)和意義領(lǐng)域，挖掘概念內(nèi)涵和外延，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念對(duì)學(xué)生發(fā)展的價(jià)值[10],由此我們呼吁，數(shù)學(xué)概念教學(xué)要從表層教學(xué)走向深度教學(xué)，即要從符號(hào)教學(xué)走向概念邏輯體系和意義教學(xué)的統(tǒng)一，形成教育數(shù)學(xué)邏輯語境下的相對(duì)完備體系，也即教師在數(shù)學(xué)概念教學(xué)上須達(dá)到深度教學(xué)狀態(tài).而要做到這一點(diǎn)須在課標(biāo)要求、教材意圖、概念本質(zhì)、學(xué)生現(xiàn)實(shí)、教學(xué)程式等方面做到深度理解.

1 深度理解課標(biāo)要求

課標(biāo)是通過多領(lǐng)域?qū)＜野l(fā)揮集體智慧在實(shí)踐總結(jié)的基礎(chǔ)上對(duì)課程的性質(zhì)、理念、目標(biāo)、內(nèi)容、教學(xué)實(shí)施等方面進(jìn)行研制，符合國家教育方針和當(dāng)前教育背景和需求的綱領(lǐng)性文件.課標(biāo)對(duì)各項(xiàng)內(nèi)容的描述都很精當(dāng)，為一線教師開展概念教學(xué)帶來重要的指導(dǎo)和參考意義.教師在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中要達(dá)到深度教學(xué)狀態(tài)須對(duì)課標(biāo)達(dá)到較高的理解層次，并且教師除卻對(duì)課程理念、目標(biāo)等一般性方面達(dá)到深度理解外，還應(yīng)對(duì)概念內(nèi)容在宏觀上的定位達(dá)到深度理解.以“一次函數(shù)”為例，從課標(biāo)內(nèi)容來看，對(duì)它的要求有六點(diǎn)直接的描述[11].這六點(diǎn)要求包含了一次函數(shù)的意義、解析式、圖象等主體內(nèi)容，引出了求解析式的待定系數(shù)法，也包含了已學(xué)內(nèi)容和后續(xù)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)，此外，還包含了一次函數(shù)解決簡單實(shí)際問題的應(yīng)用拓展.通過梳理課標(biāo)中的目標(biāo)及課程內(nèi)容的邏輯結(jié)構(gòu)，可以得到“一次函數(shù)”的概念體系，我們可以用如下的“十字模型”來表達(dá)(圖1).

圖1 初中階段“一次函數(shù)”的概念體系

課標(biāo)要求為教材編寫和教學(xué)內(nèi)容的安排提供了指南.對(duì)“一次函數(shù)”的課標(biāo)要求達(dá)到了深度理解，教材編寫和教學(xué)實(shí)施中就明確了哪些內(nèi)容與一次函數(shù)在邏輯先后上有緊密的聯(lián)系，在主體內(nèi)容的安排上就厘清了重難點(diǎn)，有利于落實(shí)課程的基本目標(biāo)，從而抓住各項(xiàng)課程內(nèi)容之間的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系.

2 深度理解教材意圖

教材內(nèi)容是按照順序性、連續(xù)性、整合性等規(guī)則組織的，順序性確保內(nèi)容的邏輯科學(xué)，連續(xù)性確保核心概念的連貫與重現(xiàn)，整合性確保學(xué)科知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，理解教材需要考慮縱向與橫向、邏輯與心理、直線與螺旋等錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系[12].數(shù)學(xué)概念深度教學(xué)須對(duì)教材中的這些關(guān)系達(dá)到深度理解的程度，并處理好各種關(guān)系.理解教材除了要理解內(nèi)容外，還要更多的理解教材(編排)意圖，即大力開發(fā)“浮于水面的冰山”之“水下部分”[13].理解教材意圖是“教教材”和“用教材教”的前提，而從“教教材”到“用教材教”又是理解教材到吃透教材，再到超越教材的過程，這個(gè)過程一定程度上反映出理解教材意圖的深度[14].只有深度理解教材意圖，教學(xué)活動(dòng)才不會(huì)偏離教學(xué)目標(biāo)，真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考和情感態(tài)度價(jià)值觀的共同發(fā)展[15].從聚焦教材內(nèi)容的層次來看，理解教材意圖既要從宏觀上把握教材體系的結(jié)構(gòu)、主線，從中觀上要明晰教材內(nèi)容呈現(xiàn)的方式、邏輯思路等，從微觀上把握知識(shí)點(diǎn)的具體表征方式、內(nèi)容，以及所涉及的思想方法等[16].就數(shù)學(xué)概念教學(xué)而言，厘清一節(jié)數(shù)學(xué)概念課的教材意圖可以從三個(gè)基本問題進(jìn)行展開，即弄清概念關(guān)于“是什么”、“為什么”和“怎么樣”的問題.

2.1 弄清概念“是什么”問題

弄清概念“是什么”問題是指弄清概念表征過程中涉及的文字、符號(hào)、圖表等表達(dá)了什么信息.一般來說，概念的表征包括文字表征、符號(hào)表征、圖形表征、操作表征等多種形式，弄清概念的“是什么”就要弄清概念的表征內(nèi)容、表征形式、前后順序等.“一次函數(shù)”在人教版教材上是第19章第2節(jié)第2部分內(nèi)容.“一次函數(shù)”是繼“正比例函數(shù)”后安排的內(nèi)容，涉及的內(nèi)容欄目包括“問題”“分析”“思考”“定義”“練習(xí)”“例題”“探究”等，主要呈現(xiàn)“一次函數(shù)”的引例、定義、解析式、圖象、性質(zhì)，以及涉及的方法等，呈現(xiàn)的形式包括文字、符號(hào)、式子、圖表.

2.2 弄清概念“為什么”問題

弄清概念“為什么”問題是指挖掘教材在表征概念過程中為什么要表達(dá)某些信息.這往往需要讀者認(rèn)真閱讀、思考、研究，才能弄清的隱含內(nèi)容，主要包括教材的背景，數(shù)學(xué)知識(shí)的背景，課標(biāo)的理念，教育學(xué)、心理學(xué)原理，教學(xué)的程序，以及教學(xué)的方法、手段等.弄清概念“為什么”問題能更好地全面理解教材中概念知識(shí)，為教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂教學(xué)實(shí)施提供參考.“一次函數(shù)”在人教版教材的安排上主要體現(xiàn)了如下幾點(diǎn)意圖：第一，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想，按邏輯構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò).“一次函數(shù)”概念的呈現(xiàn)過程是數(shù)學(xué)建模的過程，經(jīng)歷從特殊到一般，從具體到抽象，從文字表達(dá)到符號(hào)表達(dá)的過程；第二，多視角刻畫“一次函數(shù)”，突出函數(shù)本質(zhì).具體體現(xiàn)是：在“引例”中建立感性認(rèn)識(shí)，形成概念表象；在“思考”中抽象特征，突出本質(zhì)；在“練習(xí)”中變式強(qiáng)化，明確外延；在“例題”中建立模型，探究性質(zhì).第三，創(chuàng)設(shè)情境，實(shí)現(xiàn)概念的自然生長.教材中運(yùn)用了“登山隊(duì)員所處海拔與氣溫關(guān)系”引出概念，通過“蟋蟀鳴叫與溫度的關(guān)系”、“成人標(biāo)準(zhǔn)體重與身高的關(guān)系”、“城市電話收費(fèi)與通話時(shí)間關(guān)系”、“長方形面積與邊長變化關(guān)系”深入認(rèn)識(shí)變量，并建立變量之間關(guān)系，得到解析式特征，在此基礎(chǔ)上歸納定義，這些情境涉及生物學(xué)規(guī)律、生理學(xué)規(guī)律、生活中的規(guī)律、幾何學(xué)中的規(guī)律，其后還涉及到物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的規(guī)律.

2.3 弄清概念“怎么樣”問題

弄清概念“怎么樣”問題是指綜合性地分析和統(tǒng)整教材中的概念體系，判斷體系結(jié)構(gòu)、呈現(xiàn)方式與學(xué)生素質(zhì)提升的關(guān)系，評(píng)判其價(jià)值怎么樣？以及教材的屬性與學(xué)生需要的價(jià)值關(guān)系能否以觀念的形式呈現(xiàn)出來？經(jīng)過有目的、有針對(duì)性、有比較地分析教材后，從教材的各個(gè)維度作出評(píng)估，為后續(xù)教材處理過程提供全面信息和充分的處理依據(jù).“一次函數(shù)”在教材上基于呈現(xiàn)的內(nèi)容和方式，很好地架構(gòu)了概念邏輯思路，為學(xué)生深化理解函數(shù)概念和認(rèn)清一次函數(shù)本質(zhì)做好鋪墊.如圖2所示，一方面從某些現(xiàn)實(shí)問題中變量之間的練習(xí)通過建立數(shù)學(xué)模型的方法，借助上位概念(函數(shù))引出下位概念(一次函數(shù))；另一方面，通過一次函數(shù)的應(yīng)用認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)問題之間存在的一些聯(lián)系，反映數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性和刻畫世界規(guī)律的深刻性.這兩個(gè)過程是“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”“用數(shù)學(xué)的思維思考世界”以及“用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”的體現(xiàn).此外，教材總體設(shè)計(jì)上，把握了從“形”和“數(shù)”兩個(gè)維度來學(xué)習(xí)“一次函數(shù)”，并且揭示了兩個(gè)維度的關(guān)聯(lián)性.

3 深度理解概念本質(zhì)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)理論的核心和精華，是反映客觀事物關(guān)于空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性的思維形式.一個(gè)概念所反映的對(duì)象的本質(zhì)屬性的總和稱為這個(gè)概念的內(nèi)涵，所反映的對(duì)象的總和稱為這個(gè)概念的外延[17].概念的內(nèi)涵和外延是概念的兩個(gè)基本特征，深度理解數(shù)學(xué)概念本質(zhì)上就是理解概念的內(nèi)涵與外延，能清楚數(shù)學(xué)概念的來龍去脈，善于區(qū)分體現(xiàn)核心概念和思想方法的本原性問題與無關(guān)數(shù)學(xué)本質(zhì)的“細(xì)枝末節(jié)”的問題，具備將數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為有利于學(xué)生理解和消化的教育形態(tài)的能力和“技術(shù)”[18]，而要做到這樣程度，就需要抓住有關(guān)概念的以下要點(diǎn).

3.1 領(lǐng)會(huì)概念內(nèi)涵與外延的科學(xué)范疇

深度理解概念本質(zhì)需要首先明確在什么樣的數(shù)學(xué)體系中來認(rèn)識(shí)和研究該概念，這說明數(shù)學(xué)體系(本質(zhì)上是基于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平下的知識(shí)體系)對(duì)概念學(xué)習(xí)具有制約性.“一次函數(shù)”是在義務(wù)教育階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容，屬于初等數(shù)學(xué)科學(xué)知識(shí)范疇，因此，我們要從本階段數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)來認(rèn)識(shí)“一次函數(shù)”概念及相關(guān)知識(shí)，是基于“變量對(duì)應(yīng)”觀下的函數(shù)概念基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的概念，既不是小學(xué)階段數(shù)量角度來學(xué)習(xí)的概念體系范疇，也不是高中階段集合論和映射角度來學(xué)習(xí)的概念體系范疇.“一次函數(shù)”是最基本的常見函數(shù)，其內(nèi)涵刻畫的是兩個(gè)變量之間存在的某種特定的函數(shù)關(guān)系.

3.2 領(lǐng)會(huì)概念的定義結(jié)構(gòu)和定義方式

概念的定義是準(zhǔn)確揭示一個(gè)概念的內(nèi)涵或外延的邏輯方法.任何定義都由被定義項(xiàng)、定義項(xiàng)、定義聯(lián)項(xiàng)三部分組成[17]，領(lǐng)會(huì)定義的結(jié)構(gòu)有利于促進(jìn)對(duì)概念本質(zhì)理解；揭示內(nèi)涵的定義稱為內(nèi)涵定義，明確外延的定義稱為外延定義.數(shù)學(xué)概念的具體定義方式主要包括描述式、屬種式、發(fā)生式、關(guān)系式、外延式、遞歸式、約定式等若干種.教材中，“一次函數(shù)”的定義是：形如y=kx+b(k,b是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)，叫做一次函數(shù).該定義結(jié)構(gòu)中，“一次函數(shù)”是被定義項(xiàng)，“形如y=kx+b(k,b是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)”是定義項(xiàng)，“叫做”是定義聯(lián)項(xiàng).這是采用“屬種式”定義的概念.函數(shù)是其“屬”概念，具有y=kx+b(k≠0)的解析式是其“種差”概念.

3.3 領(lǐng)會(huì)概念內(nèi)涵與外延的相稱性與反變關(guān)系

概念描述的內(nèi)涵與外延必須相互匹配，這就是相稱性.在理解概念過程中，要防備學(xué)生對(duì)概念外延理解“過寬”或“過窄”現(xiàn)象.“一次函數(shù)”定義后安排的三個(gè)練習(xí)題的本質(zhì)就是讓學(xué)生對(duì)“一次函數(shù)”的內(nèi)涵與外延在理解上的匹配，做到概念辨析的準(zhǔn)確性；概念的限定和概括是明確概念內(nèi)涵和外延的邏輯方法，正確運(yùn)用概念的限定和概括，不僅有利于數(shù)學(xué)概念體系的形成，還有助于深刻理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)區(qū)別.“一次函數(shù)”的概念教學(xué)本質(zhì)上是一個(gè)概念的限定和概括問題，因此，教師領(lǐng)會(huì)概念或者引導(dǎo)學(xué)生理解概念時(shí)，要講清內(nèi)涵和外延，既不能增加屬性來描述，也不能減少屬性來描述，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)，教師可以通過舉正例和反例來強(qiáng)化概念屬性.

3.4 領(lǐng)會(huì)概念間的邏輯關(guān)系

數(shù)學(xué)概念不是孤立存在的，許多數(shù)學(xué)概念之間或這些概念的要素之間有廣泛的聯(lián)系，形成了一個(gè)概念域.概念間的關(guān)系依據(jù)概念的內(nèi)涵與外延的關(guān)系可以分為相容關(guān)系(同一關(guān)系、屬種關(guān)系、交叉關(guān)系)和不相容關(guān)系(對(duì)立關(guān)系、矛盾關(guān)系)[17].學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，必須用分類、對(duì)比、舉反例等方法揭示概念間的內(nèi)在聯(lián)系，掌握一定范圍內(nèi)的一大套概念[19].“一次函數(shù)”一節(jié)中主要涉及函數(shù)、一次函數(shù)、正比例函數(shù)等概念，它們兩兩是屬種關(guān)系，一次函數(shù)與方程(組)、不等式雖然不是屬種關(guān)系，但它們之間存在內(nèi)在的邏輯關(guān)系.為此，教材專門安排了一節(jié)內(nèi)容，從函數(shù)的角度去研究方程、不等式，也用方程、不等式的方法去解決函數(shù)的問題，體現(xiàn)函數(shù)與方程(組)、不等式的互相聯(lián)系.

此外，深度理解數(shù)學(xué)概念，還要理解概念的不同表現(xiàn)方式(或表征方式)、概念的形成過程，以及所涉及的數(shù)學(xué)思想和方法等.

4 深度理解學(xué)生現(xiàn)實(shí)

數(shù)學(xué)概念深度教學(xué)需以理解學(xué)生現(xiàn)實(shí)為前提.學(xué)生現(xiàn)實(shí)包括生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和其他學(xué)科現(xiàn)實(shí).

4.1 理解學(xué)生生活現(xiàn)實(shí)

初中學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了生動(dòng)的背景和廣闊的資源，初中生在學(xué)習(xí)中能自覺關(guān)注來源于自然、社會(huì)中的現(xiàn)象和問題，對(duì)有一定挑戰(zhàn)性的內(nèi)容表現(xiàn)出興趣.“一次函數(shù)”在生活中有一定的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，它不是完全超驗(yàn)性的，但“一次函數(shù)”仍然是一個(gè)抽象性的新概念，學(xué)生在學(xué)習(xí)這個(gè)新概念時(shí)容易在認(rèn)知上引起誤解.教師要充分衡量教材中涉及的幾個(gè)實(shí)例(海拔與氣溫、蟋蟀鳴叫與溫度、體重與身高等的關(guān)系)是否能與學(xué)生的認(rèn)識(shí)相對(duì)接，如果能進(jìn)行對(duì)接，則充分挖掘素材中的教育價(jià)值，如果不能對(duì)接，則在領(lǐng)會(huì)教材意圖基礎(chǔ)上，根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況創(chuàng)設(shè)更為貼近學(xué)生生活現(xiàn)實(shí)的例子來實(shí)施教學(xué)，以使概念的生長基于情境的土壤，同時(shí)，也使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的價(jià)值和趣味.

4.2 理解學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)

學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)就是學(xué)生所積累的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提供了依據(jù).教師理解學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)就是理解學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)和方法基礎(chǔ)，尤其把握教材與已有基礎(chǔ)的落差，保障教學(xué)實(shí)施的針對(duì)性.[20]概念教學(xué)中，理解學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)需要深度分析知識(shí)系統(tǒng)與能力系統(tǒng)兩個(gè)層面，這有利于學(xué)生更好地理解所學(xué)概念的內(nèi)涵，更好地揭示概念間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，有利于從整體上理解數(shù)學(xué)和構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).“一次函數(shù)”概念相對(duì)變量與函數(shù)概念而言是比較簡單的概念，從教材體系來看，“一次函數(shù)”是安排在變量與函數(shù)、正比例函數(shù)之后的內(nèi)容，學(xué)生學(xué)習(xí)它時(shí)已初步掌握了用解析式、表格式和圖象式來刻畫函數(shù)的方法，具備了必要的知識(shí)基礎(chǔ)和方法基礎(chǔ).

4.3 理解學(xué)生其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)

學(xué)生的其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)也是學(xué)生現(xiàn)實(shí)的一部分，數(shù)學(xué)中的許多內(nèi)容本身與其他學(xué)科之間有密切的聯(lián)系，教師深刻理解學(xué)生的其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)有利于創(chuàng)造數(shù)學(xué)應(yīng)用廣泛空間，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)并不是孤立的.

5 深度理解教學(xué)程式

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)具有一定的科學(xué)程式，遵循學(xué)科知識(shí)生長邏輯，遵從學(xué)生認(rèn)知規(guī)律和心理發(fā)展要求，遵從教育教學(xué)原理等.只有深刻理解概念教學(xué)的基本程式才能科學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，教學(xué)實(shí)施才可能達(dá)到一定深度.數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)一般要經(jīng)歷概念的引入、概念的獲得、概念的應(yīng)用等基本程式，在這幾個(gè)過程中，概念的獲得是最重要的[21].心理學(xué)研究表明，概念的獲得有兩種方式，即概念的形成與概念的同化[22].由此，數(shù)學(xué)概念的獲得也對(duì)應(yīng)兩種方式，即數(shù)學(xué)概念的形成與數(shù)學(xué)概念的同化[23].數(shù)學(xué)概念形成就是讓學(xué)生從大量同類事物的不同例證中發(fā)現(xiàn)同類事物的本質(zhì)屬性，從而形成概念的過程.因此，數(shù)學(xué)概念的形成實(shí)質(zhì)上是從一類數(shù)學(xué)對(duì)象中抽象出其共同本質(zhì)屬性的過程.數(shù)學(xué)概念同化是利用學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的原有概念，以定義的方式直接向?qū)W生揭示概念的本質(zhì)屬性.前者強(qiáng)調(diào)以學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，用歸納的方式抽取出一類事物的共同屬性，從而達(dá)到對(duì)概念的理解，后者則以學(xué)生的間接經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)語言為工具，依靠新、舊概念的相互作用理解概念[24].簡言之，概念形成是從具體實(shí)例出發(fā)的，以歸納的思維來形成新概念.而概念同化則是從抽象定義出發(fā)，以演繹的思維方式理解和掌握新概念[25].以上兩種概念的獲得方式都經(jīng)常單獨(dú)使用或融合使用，選用的方式本身并無優(yōu)劣之分.只是由于初中生的年齡、認(rèn)知水平的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)比較簡單而具體，數(shù)學(xué)知識(shí)比較貧乏，在學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，能作為同化新知識(shí)的已有知識(shí)較少，相對(duì)而言，概念形成方式使用得多一些[26].下面，我們嘗試融合使用兩種方式對(duì)“一次函數(shù)”概念的獲得程式進(jìn)行設(shè)計(jì)，見圖3.

圖3 “一次函數(shù)”概念的獲得程式

5.1 辨別實(shí)例，概括屬性

從情境中抽取關(guān)系式，比如由登山隊(duì)員所處海拔與氣溫關(guān)系得到的解析式：y=5-6x，以及其它幾個(gè)解析式：c=7t-35(20≤t≤25)；G=h-105；y=0.1x+22；y=-5x+50(0≤x≤10).對(duì)上述關(guān)系式進(jìn)行“個(gè)別地看”，即逐個(gè)分別進(jìn)行觀察，概括每個(gè)式子具有的屬性，為認(rèn)識(shí)一次函數(shù)建立表象.

5.2 抽象本質(zhì)，提出定義

通過更為“一般地看”上述解析式，從中進(jìn)一步抽象出本質(zhì)屬性，去除非本質(zhì)屬性，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到這些式子本質(zhì)上表達(dá)的是具備一定特征的函數(shù)關(guān)系，這個(gè)特征就是：“常數(shù)k與自變量的積與常數(shù)b的和的形式”，然后從數(shù)學(xué)角度提出定義，給出名稱、符號(hào)等.

5.3 聯(lián)系舊知，辨析概念

使新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的概念建立聯(lián)系，將新舊概念進(jìn)行“比較地看”.教學(xué)時(shí)，則可以新舊概念對(duì)比講，復(fù)雜概念分為簡單概念講，難懂的概念正反兩面講，以及舊概念新角度講等[5].本程式中，可以把一次函數(shù)與函數(shù)、一次多項(xiàng)式、正比例函數(shù)等概念進(jìn)行辨析，勾畫關(guān)鍵詞，對(duì)比概念的內(nèi)涵、外延等，認(rèn)識(shí)到一次函數(shù)與這些概念的聯(lián)系與區(qū)分.

5.4 強(qiáng)化應(yīng)用，明確外延

在基本明確概念內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，通過設(shè)置有針對(duì)性、典型性、梯度性的例題、習(xí)題開展“應(yīng)用地看”，即從應(yīng)用中進(jìn)一步強(qiáng)化概念的認(rèn)識(shí)，特別是應(yīng)用中舉出正例、反例來明確概念外延，除了教材上的練習(xí)題外，還可以舉出判斷是否是一次函數(shù)的例子：y=x+1,y=-x+b,y=0,y=1，y=-x，y=x2，ay=x-3(a≠0)，要求學(xué)生說出判斷的理由，并對(duì)照定義中的解析式指出常數(shù).

5.5 融合概念，形成整體

當(dāng)學(xué)生通過“應(yīng)用地看”后，并不意味著它們就獲得了概念，還應(yīng)當(dāng)把新概念納入到相應(yīng)的概念體系中，對(duì)新概念開展“整體地看”，即從整體上再認(rèn)識(shí)概念，做到概念的融會(huì)貫通，使之成為概念體系中的一個(gè)重要節(jié)點(diǎn).“一次函數(shù)”概念教學(xué)在本程式中的實(shí)質(zhì)就是形成概念圖式，或者生成“一次函數(shù)”的整體和局部上的思維導(dǎo)圖.要求學(xué)生能表達(dá)出“一次函數(shù)”的定義、解析式、圖象、性質(zhì)等，甚至能根據(jù)“一次函數(shù)”的某個(gè)特征，提供有關(guān)“一次函數(shù)”的一切特征，也能表達(dá)出“一次函數(shù)”在函數(shù)概念體系，乃至代數(shù)知識(shí)體系中的定位，包括與其它概念的區(qū)分和聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)“一次函數(shù)”概念從宏觀和微觀上的融會(huì)貫通.

以上“五看”可以看成是概念獲得的認(rèn)知連續(xù)體，每一個(gè)階段都是不可或缺的，也是不能逾越的，前一個(gè)階段是后一個(gè)階段的基礎(chǔ)，而后一個(gè)階段是對(duì)前一個(gè)階段的超越[27].