左潛“釋”《割圓密率捷法》的相關問題探微

王鑫義 郭世榮

(內(nèi)蒙古師范大學科學技術史研究院，呼和浩特 010022)

左潛(？—1874)，字壬叟，湖南湘陰人。1873年，為徐有壬(1800—1860)的《割圓八線綴術》(以下稱“《綴術》”)補草，其中有八式(1)弦求矢、矢求弦、弦求切、切求弦、弧求割、小切求大切、小切求大弦和小割求大矢。為吳嘉善(1818—1885)(2)王海林認為“吳嘉善只是起到了記述作用”(參見參考文獻[14]，第42頁)似有不妥。述草[1]。丁取忠(1810—1877)認為此項工作“以己意稍變其式，脫誤處多所更正，綴小注以便初學”[2]，又將補草后的《綴術》輯入《白芙堂算學叢書》(以下稱“《叢書》”)。徐有壬所創(chuàng)的“綴術”使無窮級數(shù)的表示與運算趨于簡單和規(guī)范。左潛通過為《綴術》補草掌握了“綴術”，以“綴術”改造了明安圖的《割圓密率捷法》(以下稱“《捷法》”)，寫成了《綴術釋明》(以下稱“《釋明》”)，該書首次刊行于《叢書》中，是對1839年正式刊行的《捷法》作較全面研究，并加圖解簡釋的第一本著作[3]。事實上，19世紀割圓級數(shù)的發(fā)展，皆建基于《捷法》?！夺屆鳌贩稚?、下兩卷，刪去了《捷法》卷一“步法”和卷二“用法”，上卷將《捷法》卷三中的“法解上”命為“弧與弦相求圖解”，下卷將《捷法》卷四中的“法解下”命為“弧與矢相求圖解”。開卷即寫明所用版本以及他們各自的工作性質(zhì)：“明靜庵先生原本，左潛釋，丁取忠刊?！?[4]，頁5a)通過對比各版本(3)高紅成教授和魏雪剛博士提醒筆者注意各版本的差異問題，并提供了與此文相關的資料，謹致謝忱。的《捷法》和《釋明》[5]，左潛在細節(jié)上的改造顯而易見，之后，崔朝慶在《古今算學叢書》本中，又對《釋明》[6]作了校訂。

1871—1872年間，左潛、黃宗憲、曾紀鴻聚于長沙。丁取忠與他們共同學習漢譯西方數(shù)學著作，研究無窮級數(shù)、對數(shù)等內(nèi)容，這是“長沙數(shù)學學派”最為活躍的一個時期[7]。1873年，丁取忠囑托左潛為《綴術》補草，左潛將其補為四卷，并認識到了“綴術”能因式立法，因法入算。在《捷法》中，明安圖用“第幾率”和“又幾率”的形式來構(gòu)造兩種公比不同的連比例，但在推導過程中，他又努力將其轉(zhuǎn)化為一組連比例，用一個未知數(shù)的形式來處理。事實上，如果欲以借根方處理多于一元的高次方程，需要全面改進其表述系統(tǒng)和運算系統(tǒng)[8]。此后的中算家雖嘗試過將借根方發(fā)展為多元方程，但沒發(fā)展起來。左潛發(fā)現(xiàn)了“借根方”的局限性，“不能廣杜氏之法也，不能立式，究不如天元一之巧變莫測也”([1]，頁3a)，并發(fā)現(xiàn)了“綴術”的優(yōu)越性，“試取明氏書馭之以‘綴術’，其遞降各率，頃刻可求”([1]，頁4a)，這激起了他改造《捷法》的興趣?！毒Y術》有式無草，且對鐘愛天元術的學者來說，《捷法》既不易理解也未能普及，適于初學者參考的割圓級數(shù)著作并不多見，左潛認為有必要進一步詳細整理供學者參考的普及讀物。

從以下評述中可見左潛諸多工作之一斑：

諸可寶(1845—1903)在《疇人傳三編》中指出了左潛的中算背景，并對左潛的工作給予較高評價：“所學自大衍、天元以及借根比例諸新法，無不通貫，且能出己意，變其式，勘其誤?！盵9]

曾紀鴻(1848—1881)在《釋明》序(1875)中提到，左潛以天元入算，并對左潛的工作頗為贊賞：“吾友左君壬叟，曾釋徐君青氏《綴術》，又釋戴鄂士《求表捷術》，茲又釋明靜庵‘弧矢捷術’，而一貫以天元寄分之式。于圓率一道，三致意焉，可謂勇矣?！盵10]

吳誠在《割圓通解》的序中把左潛的工作與明安圖、董祐誠、項名達的工作視為同類：“割圓之法最繁，自杜氏術出，而繁者簡。厥后，明氏、陳氏、董氏、項氏、左氏闡其理，徐氏、戴氏、李氏、夏氏、顧氏補其法?！盵11]對左潛的工作給予充分肯定。

數(shù)學史家錢寶琮(1892—1974)認為：“徐有壬于微積分學傳入中國之前自發(fā)的創(chuàng)立‘綴術’記法是有積極意義的。左潛于《代微積拾級》(1859)、《代數(shù)術》(1872)等書出版以后孜孜不倦地發(fā)揮徐氏舊術，似有故步自封之嫌?！盵12]

事實上，左潛對“綴術”的認識是比較深入的，對借根方不能很好解決兩組連比例問題的洞察力是敏銳的，這并非完全意義上的封閉保守?！督莘ā返母脑斐尸F(xiàn)了一個不同要素之間的優(yōu)劣比較、選擇取舍、觀念轉(zhuǎn)變的過程，有簡化與改進，并非僅為“釋”。左潛的改造，推廣了“綴術”的應用范圍，也可以看到明安圖、徐有壬等中算家的著作與思想于左潛的滲透與影響。

1 左潛對《捷法》的改造

以借根方入算的《捷法》為清代中算家無窮級數(shù)展開式研究的嚆矢，后來的中算家不同程度受其啟發(fā)，而《綴術》的完成和補草于西方代數(shù)學傳入后但未完全取代天元術成為主流方法之時。左潛對《捷法》和《綴術》作“他者”的對照后，發(fā)現(xiàn)了借根方、天元術和代數(shù)學的一些不同特征，除了術語表達，還有運算問題等。在這樣的背景下，他既采用天元術的體例與表達方式，也自覺不自覺地反映一些代數(shù)學的內(nèi)容。

一般而言，在中國古代算學著作中，草起法、術的補充作用[13]，既利于讀者對原文進行深入解讀，也使文本內(nèi)容更加清晰化、條理化。由于《綴術》原稿有式無草，左潛以雙行夾注等形式作了補草與說明，其中出現(xiàn)的“潛案”和小字注釋是左潛補充的內(nèi)容[14]，還加入了大量的具體算例。這樣的補草要求其深入理解徐氏原意，對徐氏“綴術”的運演機制有深刻認識，同時，還要求掌握明氏算理?！皾摪浮敝械幕帧⑼ǚ?、方格乘法、尾數(shù)截留等多是為《綴術》補草時所創(chuàng)，而明氏在《捷法》中很少涉及。由“潛案”可以說明其解決問題的方法和意圖，透視出其方法的多樣性。在《釋明》中，左潛的見解散在校補或注解中，或以小字注釋附于文后，并指明了相關算法的本源，如“即《割圓綴術》中‘還原術’，此即‘借徑術’見《割圓綴術》中”([4]，頁25b)，還標明了他所校正的舛誤。以下從化分、通分、方格乘法、尾數(shù)截留等方面分析左潛的改造工作。

1.1 化分

自《捷法》起，化分與通分并不僅僅用于分數(shù)，多是對整式而言?！毒Y術》中的化分方法為：“或以一數(shù)乘其母子，或以一數(shù)除其母子，變其式不變其實?！?[15]，頁8b)“潛案”中對此有詳解：“凡通分化分皆須變之，以從簡也。分母參差則不可以入算，化分者已得各式而分母尚未畫(劃)一，乃化其分母而后求其分子也?！?[15]，頁8b)如：

(1)

至于分母用4還是2×2的形式則根據(jù)具體的率式而定。

《綴術》中對于加(減)法，首先要保持率名相同，分母不同的兩率名相加(減)要先進行處理：“各如其等以相加(減)，有正負者如正負術入之，分母不同者先齊其分?！?[15]，頁5b)乘法是用一整數(shù)乘算式：“常乘其子，若母受除者除母以代之。”([15]，頁7b)如：

(2)

若用一整數(shù)(不為0)除算式：“常寄于率上，若子受約者約之?！?[15]，頁7b)如：

(3)

左潛掌握了上述預備知識后，《釋明》中再未作詳解，而是直接拿來使用。他的化分主要是與各率式中以“級數(shù)式”布列有關。“級數(shù)”這一術語由李善蘭在《代微積拾級》中首創(chuàng)[16]，而徐有壬在《綴術》中稱：“各率數(shù)即近日新譯西算所云‘級數(shù)’是也，其求法初若繁重，究之得數(shù)級后，其余級數(shù)可以推類而得，以等級井然也。”([15]，頁21a)說明徐氏已見過《代微積拾級》，對“級數(shù)”等術語是清楚的，把“級”解釋為“等級”，通過“級數(shù)”來把握各項的變化規(guī)律。

以《綴術》中的“弦求矢式”為例：

(4)

左潛將上式化為：

(5)

并詳解道：“所謂‘級數(shù)’者，指將上式化分，九率之十五為三五相乘之數(shù)，十一率之一〇五為三五七連乘之數(shù)，偶數(shù)連乘為分母，奇數(shù)連乘為分子?！?[15]，頁21a)根據(jù)左潛所給的簡便方法：“所少為乘法則加入其分母，所多為除法則減去其分母。若分母相較，有少無多者則只有乘法，有多無少者則只有除法?！?[15]，頁9a)在式(4)(5)中，七率原分母與所化之分母相比較少三，故原分母中加入三，以三乘七率原分子得六，再用多余的二除六便得三，故所化之分母中去掉二，后仿此。這一簡便方法主要是針對分母的不同之處而言，對其相同之處則保持不變。以“弧背求通弦式”為例，明安圖在確定了各率數(shù)的分母后，得到下式：

(6)

左潛將上式化為：

(7)

明安圖認為各分母漸漸增大后較為不便，把分母分解為有順序的、較小的數(shù)[17]：

(8)

兩相比較，一是左潛算至十二率，明安圖算至十六率，二是左潛將各率數(shù)的分母按“級數(shù)式”排列。還可看到，左潛把各率系數(shù)化為最簡形式，在化分時力求簡約快捷。明安圖保留形式為便于在算圖中統(tǒng)一進行通分，如，二分之四，四分之八等，左潛則化為二的形式，均化為最簡形式再運算，包括他所列出的各率式，也都為最簡形式，這與明安圖的處理方法是有所不同的。

在《釋明》中，左潛將偶數(shù)連乘為分母，奇數(shù)連乘為分子，其化分方法依據(jù)齊同術，理論基礎是同值變換，達到化繁為簡的目的。同時，左潛效仿徐有壬的作法，為使分子分母隨乘隨消，各率的分母采用其因數(shù)的連乘積形式[18]，對于比較簡單的運算均不進行演算說明?！褒R”和“同”等術語在《捷法》《綴術》和《釋明》中多次出現(xiàn)，相應于具體的算法環(huán)境，在不同地方出現(xiàn)所表示的運算方法也是不盡相同的。明安圖與左潛對各率系數(shù)分母的不同表示，主要是“第”“又”的差別，明安圖用“第幾率”“又幾率”引出了公比不同的連比例，為了構(gòu)造相消，兩邊同除16(或同乘以十六分之一)，而左潛不用“第”“又”的作法，歸為一種連比例，一步到位，因而分母都用4×4×……，而不用16×16×……的記法。

1.2 通分捷法

1874年，左潛在《求一術通解》序中提到：“余增訂徐君青先生《割圓綴術》既成，忽悟‘通分捷法’，析分母分子為極小數(shù)根而同者去之，凡多項通分頃刻立就?！盵19]與化分方法不同的是，通分捷法是左潛在為《綴術》補草之后總結(jié)出來的。左潛認識到將一個數(shù)分解成素數(shù)乘積的重要性，于是用于通分，吳嘉善校閱時曰醇(1807—1880)的《求一術指》時，發(fā)現(xiàn)將左潛的這一方法應用于泛母求定母和求乘率，可以極大地簡化運算，且能說明原理[7]，這影響并促進了《求一術通解》的完成。

《捷法》中的“齊母通分”說：“將原分母數(shù)書于右各率之下，通之，使其同母?！?[20]，頁917)這里是將左右公比不同的兩級數(shù)展開式同類項的系數(shù)之分母進行通分。明安圖在通分時的關鍵是規(guī)定分母和調(diào)整分子。

《綴術》“潛案”中的通分方法則是：“分母不同，用通分法互乘齊之。凡通分中有多式者皆用此法為便，多式通分用互乘甚覺繁難且得數(shù)必大，既得式后又須多用一化分，此法隨乘隨除，故較便也?！?[15]，頁9a)實際上，明安圖的通分方法，在規(guī)定了分母后，調(diào)整分子會變得很容易，而“潛案”中的通分方法，在多式通分時計算量較大，且通分后還需化分。如圖1([15]，頁6a)，表示率名相同而分母分子不同的通分，即：

(9)

圖1

然而，在已知通弦求弧長的問題中，規(guī)定分母，調(diào)整分子，所得的各率系數(shù)中有些是有奇零、不盡的，出現(xiàn)這樣的情形用分數(shù)來表示。以《捷法》和《釋明》中的“通弦求弧背式”為例：

在《捷法》中，求又三率時有5處的得數(shù)用帶分數(shù)表示，求又四率時有13處的得數(shù)用帶分數(shù)表示，任舉其中一例：二十四分之一四率自乘，除以一率，得到的二十四乘以二十四分之一七率，統(tǒng)一后的分母為二十四乘以八十，第一個二十四與其它類同不用約簡，而第二個二十四需要化簡為統(tǒng)一分母中的八十，只需用八十除以二十四就可得到七率的分數(shù)，其它各處的方法與此相同。其相當于作了如下處理：

(10)

若取半徑為1，通弦記為c，弧背記為2a，則有：

(11)

(12)

(13)

……= ……

左潛以求得的弧背求通弦公式為二率，利用“比例法”求得以下各式：

(14)

(15)

(16)

(17)

十率式： φ10+……

(18)

……： ……

不難看出，明安圖將計算與調(diào)整分子置于同一算圖中進行，雖在通分過程中較為省便，但出現(xiàn)了帶分數(shù)，在計算的過程中，各率數(shù)名又不統(tǒng)一，如又三率的表達式中各率數(shù)名均為奇數(shù)，又四率的表達式中各率數(shù)名均為偶數(shù)。左潛先用“比例法”徑求各率式，得到各率式后，再規(guī)定分母，調(diào)整分子，相消后即得所求，整個過程中既沒出現(xiàn)帶分數(shù)，也沒出現(xiàn)各率數(shù)名奇偶不同的情形，且各率數(shù)的分母均以“級數(shù)式”布列。二者的作法雖只是計算順序的不同，但為什么會存在較大的差別呢？究其原因有二：一是明安圖一開始構(gòu)造了用“第幾率”和“又幾率”表達的兩組公比不同的連比例，致使在上述過程中出現(xiàn)了各率數(shù)名奇偶并存的情形；二是左潛用“級數(shù)式”表達各率系數(shù)的分母分子，既方便統(tǒng)一，也沒有出現(xiàn)帶分數(shù)，但明安圖已指出分母的表達可用連乘的形式，只是當時還沒“級數(shù)式”的概念。

通分的目的是齊之，《釋明》中將各率式乘以中間參數(shù)，為的是各率式對應的各率數(shù)中各系數(shù)與其欲消去的中間參數(shù)相齊，依據(jù)的仍是齊同術，同值變換仍是其通分的理論根據(jù)?！督莘ā放c《釋明》中兩種不同的思路代表了兩種齊同方式，是對同一問題給出了不同的方法和思路。由此看來，左潛借助于化分與通分，使之成為運算的準則，他的通分捷法是對《捷法》中通分方法的一種簡化。

1.3 方格乘法

吳敬在《九章算法比類大全》中將“格子算法”稱為“寫算”，程大位在《算法統(tǒng)宗》中稱其為“鋪地錦”，明代多部著作中都有記載[21]。“寫算”在后來影響很大，清代數(shù)學著作涉及“寫算”的很多[22]?！毒Y術》中的“比例法”，即以比例式列為四行，進行比例相除。其中的乘法較為簡單，借鑒“鋪地錦”的方法，在《綴術》和《釋明》中稱為“方格捷法”或“方格乘法”，使人們對“鋪地錦”有了新的認識?！秴矔返亩嗖恐髦袆t稱為“鋪地錦”。

圖2

左潛在《綴術》中指明了“方格乘法”的獨特之處：“每式中首位率名既定，則以下可以類推，不必逐一求也。若大小八線相求，則中兩行相乘須畫方格如天元術乘法逐層求之?！?[15]，頁10a)因為在大小八線相求中，某些率式中的“率數(shù)”不是常數(shù)，而是多項式，所以要用天元術[23]。左潛又補充：“比例術其二三兩行相乘，亦可用方格如天元術乘之，較此更便，但大小八線相求，每層須用方格，則兩行相乘自不便再用方格，故草中諸式仍用本法求之，以歸畫(劃)一。”([15]，頁12b)實際上，在簡單的“比例法”中“乘”和“實”兩行(5)即現(xiàn)在所稱的“兩列”。的計算量較小，操作簡單，基本為單項式與多項式相乘，但在大小八線相求問題的“乘”和“實”兩行中運算對象變成了多項式，需要進行多項式與多項式相乘，計算量較大，涉及的步驟較多，“方格乘法”不能很好地呈現(xiàn)其運算過程。因此，“方格乘法”可以根據(jù)實際的運算對象和計算量的多少來選擇。

除此之外，“方格乘法”的重要作用在于：一是在方格內(nèi)可進行通分的操作，如圖1。二是在方格內(nèi)可進行同類項的連線，如圖2([15]，頁12b)。“虛線斜聯(lián)之即如齊等列而相并也”([15]，頁13a)，把同一率數(shù)的各數(shù)用虛線標明，易于同率數(shù)相加減。在《綴術》中，徐有壬通過使用“方格乘法”，對“連綴而下”和“斜綴而下”起到了解釋作用?！督莘ā分械乃闶蕉际羌?、合并在一個算圖中，而《釋明》中的“方格乘法”相當于《捷法》中有些連算的分解步驟，還可以拆開分析具體的計算。

1.4 尾數(shù)截留

左潛與明安圖的做法也是不同的，前者以三率為恒定的乘數(shù)，后者算至十五率是因為求至十五率后出現(xiàn)了純小數(shù)或各率系數(shù)分子遠小于分母[24]，而《釋明》中均求至十一率便停止計算。關鍵在于，左潛在《綴術》中對“級數(shù)式”作出了解釋，是將各率數(shù)的分母化為連乘的形式，認為十一率以后不會影響整體效果，且在《綴術》中就已采用了這樣的處理方法。這是左潛吸收西學的結(jié)果，不僅把《捷法》中的各率數(shù)看作是帶有“連續(xù)”意義的“級數(shù)式”，而且對各率式的簡潔性有所要求。而明安圖多用自乘的方法，很快便可求得其他各率，求到十一率、十三率時，系數(shù)絕對值小于1，求至十五率后截去不用，認為十五率已能滿足所需精度，對于弧矢弦相求時，可根據(jù)率數(shù)的順序、變化規(guī)律直接確定。

1.5 左潛對《捷法》的?？?/h3>

通過細致對比發(fā)現(xiàn)：左潛在改造表達形式和相關內(nèi)容時，刪繁就簡，增補注釋，改變術語，校正舛誤，使《釋明》變得條理清楚，但也有新的舛誤產(chǎn)生，包括文字錯訛衍脫、語句順序錯亂、圖形標記混亂等。經(jīng)統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)一些問題，以資說明(表1)：

表1 刪、增、改、校、誤的統(tǒng)計說明

其中，左潛所增加的內(nèi)容多是小字注釋部分，以說明解釋為主，改動的內(nèi)容多是術語的表達，校訂的內(nèi)容是在《捷法》原本的基礎上作的修改，在校正的60余處中多處被崔朝慶采用，因左潛改動了《捷法》原圖中的標記而引起的舛誤崔朝慶并未采用。崔朝慶在《古今算學叢書》本的《釋明》各卷末既標明了左潛改造的正確之處，也指出了其改造后存在的舛誤之處(多為“己、巳”的混用)，并對多處進行了校改，也有左潛校正但崔朝慶未改之處?？傮w來說，左潛對《捷法》多為無窮級數(shù)的表達和文字等形式上的?？保瑢γ靼矆D在割圓級數(shù)中根本性的算法，如弧矢弦之間的互求方法等問題未作改進。這一形式上的改造是值得肯定的，但對一些細節(jié)問題處理得較為粗糙。

2 左潛對借根方、天元術和代數(shù)學的理解

1873年，左潛在《綴術釋戴》序中說：“余因思綴術乃天元一之變法，用以立式，巧變莫測。至求式各法，已詳綴術草中，茲不再述?！盵25]他指出了天元術與“綴術”的關系，把“綴術”視為天元術的變形，給“綴術”賦予了天元術本有的特性。但他更看到了天元術可以立式立法，“明氏之未能立式也，借根方法取兩等數(shù)，其分母分子，雜糅繁重而不可通也。其多號少號，輾轉(zhuǎn)互變而不可約也”([1]，頁3b)。此外，在《益古演段》的序言中他亦提到：“天元之正負可互易，借根之多少亦可互易，無不同也。凡兩邊相等數(shù)，左邊加減至于無數(shù)，則右邊正負各數(shù)即等于左邊之〇。”[26]

可見，“綴術”的創(chuàng)造，為左潛審視天元術提供了工具。左潛對天元術與借根方的態(tài)度較為明顯，是從二者內(nèi)部出發(fā)進行優(yōu)劣比較，擇善而從?！熬Y術”以天元布式，依術推演，互通變換。雖然天元術與借根方本質(zhì)都為一元高次方程的列式方法，但不同的運算工具，使兩者在表現(xiàn)形式上并不相同[27]。前已述及，明安圖利用借根方引入了含有未知數(shù)的等式，以“多、少”表示“+、-”，試圖設立兩個未知數(shù)。在左潛看來，明安圖未能立式的原因是未改進借根方。在《益古演段》的序言中，左潛則看到了借根方與天元術之間的共性。關鍵在于，他認識到天元術與借根方的兩大區(qū)別：一是“多、少”，借根方各項系數(shù)為正，且基本上沒有負次方項，而天元術的系數(shù)正負均可，對于負次方項的表示，簡單自在，不需要額外的加號和減號，只需將其與各率數(shù)的系數(shù)分子結(jié)合在一起。二是等式兩邊的“加減相消”，借根方建立等式后，化簡的方式是利用“兩邊加減”，但必須維持等號兩邊皆不為零，移項需要改變一次符號，因此借根方不直截了當[28]。例如，在《捷法》中，明安圖經(jīng)過等式兩邊加減相消后，等式其中一邊只有一項。至于天元術，在列出相等的“寄左數(shù)”與“又數(shù)”后，化簡是采取“相消”的方式[29]。其中，“寄分”之法是天元術較之借根方的獨特之處。文章《白芙堂諸子對冪級數(shù)展開的研究》[30]中，選取了《捷法》和《釋明》中的兩題進行了比較分析，表明了左潛使用的方法較為簡捷，但對其中的原因未作詳細說明(6)事實上，左潛在改造前就已認識到借根方與天元術的本質(zhì)區(qū)別，深諳選擇天元術作為改造的工具引起計算的簡捷是必然的。。

再者，因為天元術可表示整式和分式，而借根方只可表示整式，多項式運算時，天元術可加、減、乘、單項式除，借根方可加、減、乘、除[31]。左潛基于這樣的認識，給出了無法立術的緣由：其式為天元式而其數(shù)不合天元術，主要表現(xiàn)為整式和分式的異同。事實上，借根方與天元術在術語表達、運算規(guī)則上有互補的空間。由此看來，左潛并非是要回歸天元術，而是對天元術和借根方的重新審視。

1859年，《代數(shù)學》的出版，作為與天元術截然不同的參照系統(tǒng)，引起中算家對天元術的反思和再評估。而左潛對“綴術”有先入之見，認為“綴術”已能解決所遇到的問題，既沒有把關注點放在代數(shù)學上，也沒有試圖接受其優(yōu)越性，又因徐有壬在《綴術》中對代數(shù)學的態(tài)度，致使左潛對代數(shù)學的興趣不夠濃厚。

諸可寶在《疇人傳三編》中講到，左潛對于中西新舊諸法，皆能“循其當然，而抉其所以然”[9]，此評價呼應了左潛所說的：“吾之宗中宗西，不必分其畛域，直以為自得新法也?！盵9]左潛理解天元術是為了學習代數(shù)而準備，正如丁取忠所言，“為不知代數(shù)者，開其先路也”[32]，雖熱衷于發(fā)揚天元術，但對于西方代數(shù)的學習還是抱著肯定的態(tài)度?！兑婀叛荻巍返男蛑幸脖砻髁怂膽B(tài)度：“借根方天元一術異理同……因習代數(shù)者必習借根?！盵26]而且，左潛在曾紀鴻“借根代數(shù)術”之后，“再用借根法以真數(shù)求之”同一發(fā)商生息問題，也足以顯示該法已經(jīng)不是純粹的借根方，而同時結(jié)合了代數(shù)學的符號[33]。

從《叢書》中的著作所涉及的范圍來看，在丁取忠的學圈中，是兼容并包天元、借根和代數(shù)([27]，頁292)，他們將三者并列比較，目的是讓讀者易于領悟。如，丁取忠在《數(shù)學拾遺》中編述割圓捷法的目的是推廣、普及[34]。他們已經(jīng)知道《代微積拾級》等譯著，只是興趣不同，研究內(nèi)容存在差異而已[35]。研究興趣是前提，理解本質(zhì)則是核心。李善蘭(1811—1882)和丁取忠在1860—1880年間所主導的學術活動都與自強運動息息相關，也因此都明顯地指向西方數(shù)學的學習了[36]。事實上，以丁取忠為首的“長沙數(shù)學學派”對傳入的代數(shù)學的回應較為積極，特別是吳嘉善在《代數(shù)術》傳入之前就受《代數(shù)學》影響，對新代數(shù)學頗有理解。在《代數(shù)術》出版后第二年，他們就在自己的研究中直接或間接地使用了《代數(shù)術》中的內(nèi)容[37]和方法。晚清學者較快掌握了代數(shù)學正是因為有天元術、四元術的基礎，而左潛等強調(diào)天元術的重要性，對理解代數(shù)學是有積極意義的。

3 《釋明》中由“數(shù)”到“式”的改變

明安圖在《捷法》中，“詳著算式于后，以與圖互發(fā)焉”([20]，頁894)，提供“圖解”，作出幾何解釋，使之“可以形察”[38]。左潛在《釋明》中沿用《捷法》原圖，幾何解釋基本與明氏作法相同?！督莘ā泛汀夺屆鳌分械摹八闶健本扇糠謽?gòu)成：連比例各率、各率的分子和各率的分母。不同之處在于：明氏稱為“幾率數(shù)”，左氏稱為“幾率式”，由“數(shù)”到“式”的轉(zhuǎn)變是他改造的獨特之處。明氏均給出詳細運演程序，并保留具體求解過程，左氏似受了徐氏影響，省去諸多求解過程，“可類推，不列草”的本意即為此。如，明氏算至14率或16率，左氏只算至11率或12率，往后截去不用，等等。

明氏在合并各率數(shù)時，將“正、負”置于各率系數(shù)分子旁，用“多、少”標記，作加減運算時，用“加、減”以示不同運算。左氏在合并各率數(shù)時，都用“加”標記，若率數(shù)系數(shù)為負，則在所乘系數(shù)的分子上用一標記以示區(qū)分。即：

明氏：f=ax-by+cz-dv+……

左氏：f=ax+(-b)y+cz+(-d)v+……

左潛對此有注解：“各數(shù)命為負者，式之正負相間，欲與式合故也。”([4]，頁35a)而這正是借根方表示“多、少”與天元術表示“正、負”的不同特征。

《綴術》中每個“術”相當于一個公式，徐有壬試圖從內(nèi)部探索通則，尋求內(nèi)在共性?！耙蚴搅⑿g”是用“綴術”處理無窮級數(shù)展開式問題的重要環(huán)節(jié)。左潛在《綴術》序言中有過論述：“是故綴術之生，因于明氏而又足以盡明氏之變，明氏之未能立式也?！?[1]，頁3b)他把“綴術”視為一種可用來立式的方法。《綴術》中的算式實指單項式，各率式實指多項式或無窮級數(shù)，“術”為一般的無窮級數(shù)。受徐氏“綴術”的影響，左潛在《釋明》中以算式表示無窮級數(shù)展開式各項，“式”是在“數(shù)”的基礎上提煉而出。由“算式”轉(zhuǎn)化為“術”的形式，只需列出展開式中的前有限幾項，求其以后各項的遞推規(guī)律[39]。由“數(shù)”到“式”的改變，可以估摸出，左潛將“綴術”不僅視為表示方法，還將“綴術”視為推演方法，輔以四種(7)“比例法”“比例商除法”“還原術”和“借徑術”。計算方法，以“綴術”運演級數(shù)，正如“綴術”的質(zhì)由“綴術”的形——連綴之形來反映，而“綴術”的形由“綴術”的質(zhì)來顯現(xiàn)。運算和表達在一定程度上是互相補充、可離可合的，這也是為何其改造具有可行性和可操作性的原因。

4 結(jié)語

通過分析左潛對一些微觀問題的改造，較之于《捷法》中明安圖的作法，可以得出以下幾點結(jié)論：其一，左潛的化分力求簡捷，將各率數(shù)的分母化為“級數(shù)式”。其二，明安圖將通分與運算置于同一算圖中進行，左潛的通分捷法則是先計算各率式，再進行通分，有效避免了明安圖的通分方法所引起的帶分數(shù)問題。其三，左潛將“方格乘法”移植到了《釋明》中，便于分析具體的操作步驟，相當于《捷法》中有些連算的分解步驟。此外，左潛發(fā)現(xiàn)天元術能表達公比不同的連比例，選擇天元術作為改造的工具，同時，使用天元術也是為了學習代數(shù)學而準備。

左潛的改造對《捷法》中繁雜冗長的運算程式無疑是一種簡化和改進，并非只是對相關內(nèi)容的簡單綴集。雖在改造中雜有民族情緒，但他還是以借根方、天元術和代數(shù)學的優(yōu)劣、實用與否作為主要參考。不寧唯是，左潛不僅將徐氏“綴術”視為一種級數(shù)表示法，而且當作是一種級數(shù)推演方法，他對“綴術”的理解是深刻的，以“綴術”尋求與《捷法》內(nèi)在的共性來實現(xiàn)其改造的目的，這也決定了改造的實施與細節(jié)的改進。

致謝衷心感謝匿名審稿專家提出的修改意見。