一種面內(nèi)彎縱復(fù)合模態(tài)的直線超聲電動(dòng)機(jī)研究

萬志堅(jiān)，梅 紅

（1.深圳職業(yè)技術(shù)學(xué)院，深圳518055；2.廣東新安職業(yè)技術(shù)學(xué)院，深圳518053）

0 引 言

超聲電動(dòng)機(jī)由于其獨(dú)有的特點(diǎn)，在微小型機(jī)械的小功率驅(qū)動(dòng)和高精度定位、有無磁要求的醫(yī)療器械等場(chǎng)合具有廣闊的應(yīng)用前景。直線超聲電動(dòng)機(jī)作為超聲電動(dòng)機(jī)的一個(gè)分支，也有各種型式，其中，面內(nèi)彎縱型直線超聲電動(dòng)機(jī)是較熱的研究方向之一。這種電機(jī)在原理上是利用了矩形板的面內(nèi)二階彎振和一階縱振的復(fù)合模態(tài)來進(jìn)行工作。最具代表性的是以色列nanomotion電機(jī)［1］，它采用一整塊壓電陶瓷進(jìn)行分區(qū)極化來制作電機(jī)定子，這種定子制作工藝較復(fù)雜，成本較高。南京航空航天大學(xué)的劉劍和清華大學(xué)的鹿存躍也對(duì)此類電機(jī)進(jìn)行了研究，他們所研究的電機(jī)定子由一塊金屬板和若干壓電陶瓷片粘貼而成［2?3］。電機(jī)定子利用的復(fù)合振動(dòng)模態(tài)中，其中一個(gè)為面內(nèi)的二階彎曲振動(dòng)模態(tài)。但是由于矩形板的寬度比其厚度大很多，所以該定子的面內(nèi)的彎曲振動(dòng)模態(tài)激發(fā)較困難，從而電機(jī)的動(dòng)力輸出較低。為此，筆者對(duì)這種面內(nèi)彎縱型直線超聲波電動(dòng)機(jī)定子矩形板進(jìn)行了改進(jìn)，以期望提高電機(jī)的動(dòng)力輸出。

1 超聲電動(dòng)機(jī)的定子設(shè)計(jì)

一般而言，面內(nèi)彎縱型直線超聲波電動(dòng)機(jī)的定子是由1塊矩形金屬板和8片壓電陶瓷組成的［3?4］，金屬板和壓電陶瓷是粘接在一起的。根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)可知，為使彎、縱頻率基本一致，金屬矩形板的長(zhǎng)寬比約為4.2［2］。筆者設(shè)計(jì)的電機(jī)中，定子的矩形板長(zhǎng)度L為42 mm，寬度B為10 mm，厚度T為2 mm。

由于這種電機(jī)定子矩形板的寬度遠(yuǎn)大于其厚度，所以其面內(nèi)彎曲振動(dòng)較難得到激發(fā)。而矩形板彎曲振動(dòng)時(shí)，它的驅(qū)動(dòng)足的橫向動(dòng)作正是電機(jī)動(dòng)子（滑塊）作直線運(yùn)動(dòng)的原因，因此矩形板彎曲振動(dòng)的幅度對(duì)電機(jī)的工作效率有決定性的影響。為了提高電機(jī)的工作效率，筆者改進(jìn)了定子矩形板的結(jié)構(gòu)，如圖1所示。我們?cè)陔姍C(jī)的定子矩形板上開設(shè)了4個(gè)長(zhǎng)條形孔，由矩形板的力學(xué)性質(zhì)可知，矩形板開設(shè)長(zhǎng)條孔有利于它作面內(nèi)彎曲振動(dòng)。考慮到壓電陶瓷片與矩形板的粘接強(qiáng)度，小孔的寬度不宜過大，此處取值0.5 mm。

圖1 矩形金屬板的結(jié)構(gòu)

圖2為超聲電動(dòng)機(jī)定子矩形板上的壓電陶瓷布置方式、極化方向和電極的接線方式。圖3為所設(shè)計(jì)的直線超聲電動(dòng)機(jī)。電機(jī)定子的兩側(cè)用若干軟墊固定，以減少外圍約束對(duì)定子的彎、縱復(fù)合模態(tài)的影響。軟墊的材料可以選用橡膠、塑料等，還有絕緣作用。定子的驅(qū)動(dòng)足與電機(jī)動(dòng)子（滑塊，可沿導(dǎo)軌滑動(dòng)）相接觸，調(diào)節(jié)螺釘可以調(diào)整定子的驅(qū)動(dòng)足和動(dòng)子之間的壓力，以使電機(jī)達(dá)到合適的工作狀態(tài)。

圖2 壓電陶瓷的極化方向和電壓設(shè)置

圖3 直線超聲電動(dòng)機(jī)

2 利用瑞利?里茲法計(jì)算電機(jī)的定子頻率

與有限元法相比，瑞利?里茲法計(jì)算機(jī)械結(jié)構(gòu)的頻率無需建模、無需劃分單元，參數(shù)改變靈活，對(duì)于形狀簡(jiǎn)單的彈性體的低階頻率的估算有較明顯的優(yōu)勢(shì)。

由于電機(jī)定子矩形板有4個(gè)孔，導(dǎo)致了矩形板不是等截面的，故不能直接用機(jī)械振動(dòng)理論公式來計(jì)算定子頻率。開孔的定子矩形板是一個(gè)簡(jiǎn)單的幾何結(jié)構(gòu)，并且我們只需要計(jì)算它的低階頻率（一階縱向振動(dòng)頻率和面內(nèi)二階彎曲振動(dòng)頻率），所以利用瑞利?里茲法計(jì)算就比較方便。需要說明的是，利用有限元軟件ANSYS的模態(tài)分析也可以計(jì)算開孔矩形板的彎縱頻率，但是對(duì)于矩形板的不同的開孔尺寸，需要設(shè)置優(yōu)化參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，過程比較繁瑣；并且對(duì)于內(nèi)有開孔的定子矩形板，當(dāng)貼上壓電陶瓷后，在進(jìn)行網(wǎng)格劃分時(shí)也常常遇到困難。相比較而言，利用瑞利?里茲法計(jì)算開孔矩形板的頻率更為快捷和方便：對(duì)應(yīng)開孔尺寸的改變，僅需要改變MATLAB程序中孔的尺寸變量賦值，就可以快速地計(jì)算出相應(yīng)的頻率值。筆者同時(shí)也利用ANSYS的模態(tài)分析進(jìn)行了矩形板的頻率分析，所得到的頻率與瑞利?里茲法所得到的頻率基本一致［8］。

下面利用瑞利?里茲法來計(jì)算定子矩形板的彎縱頻率，同時(shí)確定定子矩形板內(nèi)的開孔長(zhǎng)度。

設(shè)圖1的定子矩形板長(zhǎng)度為L(zhǎng)，寬度為B，厚度為T。4個(gè)長(zhǎng)條形孔的長(zhǎng)度一致，孔的長(zhǎng)和寬分別為l和b。矩形板的橫截面積A（x）和截面慣性矩I（x）：

2．1 定子矩形板一階縱向振動(dòng)頻率計(jì)算

對(duì)于兩端自由的矩形板一階縱向振動(dòng)的情形，設(shè)矩形板前兩階縱向振動(dòng)的試探函數(shù)為u（x）［6?7］，根據(jù)振動(dòng)理論有：

矩形板的最大勢(shì)能：

矩形板的參考動(dòng)能：

瑞利商：

若使估計(jì)量R（U）逼近真實(shí)值，則泛函R（U）需成為駐值。而使泛函R（U）成為駐值的必要條件是：泛函R（U）對(duì)每個(gè)系數(shù)ar（r＝1，2）的偏導(dǎo)數(shù)等于零，則有：

將式（7）瑞利商代入式（8）得：

系數(shù)kij，mij：

將系數(shù)kij，mij代入式（9），得到齊次方程組：

改寫為矩陣形式，即：

令上述齊次方程的系數(shù)矩陣的行列式等于零，然后求解，得到矩形板彈性體的一階縱振頻率ω。電機(jī)定子矩形板的材料采用磷青銅（楊氏模量E＝1．01×105MPa，密度為8 624 kg／m3）。通過MAT?LAB軟件編程，利用瑞茲－里茲法計(jì)算矩形板的一階縱向振動(dòng)頻率。篇幅所限，MATLAB程序代碼省略（以下同）。

MATLAB程序計(jì)算得到了矩形板的一階縱向振動(dòng)頻率的變化趨勢(shì)，如圖4所示。

圖4 一階縱向振動(dòng)頻率變化趨勢(shì)

當(dāng)矩形板沒有開孔時(shí)，其一階縱向振動(dòng)頻率可直接按照彈性力學(xué)公式進(jìn)行計(jì)算，即：

代入相關(guān)參數(shù)，計(jì)算得到的頻率f＝40 741 Hz，與瑞利?里茲法的計(jì)算結(jié)果一致。

2.2 定子矩形板的面內(nèi)二階彎曲振動(dòng)頻率計(jì)算

對(duì)于矩形板的面內(nèi)二階彎曲振動(dòng)，根據(jù)振動(dòng)理論，設(shè)前兩階面內(nèi)彎曲振動(dòng)試探函數(shù)：

式中：β1L＝4．730 041，β2L＝7．853 205。

矩形板的最大勢(shì)能：

參考動(dòng)能：

系數(shù)kij，mij的表達(dá)式：

考慮到電機(jī)定子的矩形板寬度遠(yuǎn)大于其厚度，利用瑞茲－里茲法求解面內(nèi)二階彎振頻率ω時(shí)需要考慮剪切變形的影響，故計(jì)算出來的頻率需按照鐵木辛柯梁的情形進(jìn)行處理。

兩端自由的邊界條件下的二階彎曲振動(dòng)頻率的經(jīng)驗(yàn)公式［5?6］：

式中：ω02為忽略截面的剪切變形、繞截面中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等因素的二階彎振頻率；ωB2為考慮截面的剪切變形、繞截面中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等因素的二階彎振頻率為壓電陶瓷材料的剪切模量，I為壓電陶瓷的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，R＝I／A，k＝0．833。

與前述一階縱振頻率計(jì)算類似，計(jì)算面內(nèi)二階彎振頻率時(shí)，先推導(dǎo)得到一個(gè)齊次方程組，再將該齊次方程組改寫為矩陣的形式，令系數(shù)矩陣的行列式為零，然后利用MATLAB軟件編程，即可計(jì)算出矩形板的面內(nèi)二階彎振頻率。

當(dāng)改變開孔的長(zhǎng)度時(shí)，矩形板的面內(nèi)二階彎曲頻率的變化趨勢(shì)如圖5所示。

圖5 矩形板的面內(nèi)二階彎曲頻率的變化趨勢(shì)

當(dāng)矩形板沒有開孔時(shí)，如果按照彈性力學(xué)的振動(dòng)頻率公式進(jìn)行計(jì)算，公式如下：

代入相關(guān)參數(shù)，并考慮鐵木辛柯梁的剪切變形的影響后，求得矩形板面內(nèi)二階彎曲的振動(dòng)頻率f＝42 895 Hz，與瑞利?里茲法的計(jì)算結(jié)果一致。

2.3 矩形板開孔尺寸的確定

圖6為矩形板開孔后對(duì)其面內(nèi)二階彎曲振動(dòng)頻率和一階縱向振動(dòng)的頻率的影響趨勢(shì)?？梢钥闯?，定子矩形板開孔對(duì)面內(nèi)二階縱向振動(dòng)頻率的影響較為明顯。

圖6 開孔長(zhǎng)度對(duì)彎、縱頻率的影響趨勢(shì)

當(dāng)金屬矩形板上的開孔長(zhǎng)度約為12 mm時(shí)，矩形板的面內(nèi)一階縱振頻率和二階彎振頻率最為接近。根據(jù)電機(jī)原理可知，矩形板面內(nèi)二階彎曲振動(dòng)頻率和一階縱向振動(dòng)的頻率越接近，就越有利于矩形板的彎縱復(fù)合模態(tài)的激發(fā)。因此，將電機(jī)定子的矩形板的開孔長(zhǎng)度取值為12 mm。此時(shí)，電機(jī)的頻率參考值取彎、縱模態(tài)頻率的均值41.7 kHz。

2.4 定子矩形板的諧響應(yīng)分析

確定了定子矩形板的尺寸后，在ANSYS中進(jìn)行了建模，并進(jìn)行了諧響應(yīng)分析。

根據(jù)前面所計(jì)算的頻率結(jié)果，諧響應(yīng)分析時(shí)，頻率掃描區(qū)間設(shè)為35～45 kHz，加載的子步數(shù)為100步。壓電陶瓷電壓信號(hào)的連接情況如圖2所示，電壓信號(hào)的幅值為200 V。

通過諧響應(yīng)分析，得到了電機(jī)定子在上述頻段的振動(dòng)情況。取定子的右端中點(diǎn)為觀測(cè)點(diǎn)，結(jié)合定子的振動(dòng)模態(tài)，并通過對(duì)觀測(cè)點(diǎn)的位移情況進(jìn)行分析。當(dāng)頻率為37 300 Hz時(shí)，電機(jī)的定子發(fā)生面內(nèi)二階彎曲振動(dòng)；當(dāng)頻率為39 500 Hz時(shí)，電機(jī)的定子發(fā)生一階縱向振動(dòng)。在頻率38 400 Hz時(shí)，產(chǎn)生面內(nèi)二階彎曲振動(dòng)、一階縱向振動(dòng)的復(fù)合振動(dòng)，觀測(cè)點(diǎn)通過在X和Y方向的綜合位移形成了橢圓運(yùn)動(dòng)軌跡。圖7為定子觀測(cè)點(diǎn)在X和Y方向振幅隨頻率的響應(yīng)圖。圖8為面內(nèi)彎縱復(fù)合振動(dòng)模態(tài)。圖9為瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析所得到的定子觀測(cè)點(diǎn)的橢圓運(yùn)動(dòng)軌跡。

圖7 面內(nèi)二階彎曲和一階縱向振動(dòng)的位移響應(yīng)

圖8 面內(nèi)彎縱復(fù)合振動(dòng)模態(tài)

圖9 定子觀測(cè)點(diǎn)的橢圓運(yùn)動(dòng)

上述計(jì)算和分析表明，矩形板開設(shè)條形孔，不僅不會(huì)破壞定子矩形板的上述彎、縱復(fù)合模態(tài)的激發(fā)，而且還可以通過調(diào)節(jié)孔的尺寸使上述彎、縱兩種振動(dòng)的頻率更為接近，從而有利于彎、縱模態(tài)的同頻激發(fā)。

3 超聲電動(dòng)機(jī)實(shí)驗(yàn)

在前述研究的基礎(chǔ)上，制作了超聲電動(dòng)機(jī)樣機(jī)，建立了實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，對(duì)電機(jī)定子的驅(qū)動(dòng)足的振動(dòng)幅值、電機(jī)動(dòng)子的輸出速度和輸出力等參數(shù)進(jìn)行了測(cè)試。

3．1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)搭建

圖10為電機(jī)樣機(jī)。電機(jī)定子中矩形板材料為磷青銅，壓電陶瓷材料為PZT8，相關(guān)尺寸如前所述。圖11為電機(jī)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，相關(guān)設(shè)備有超聲電動(dòng)機(jī)樣機(jī)、信號(hào)發(fā)生器、直流電源、高頻功放器、示波器、激光測(cè)振儀等設(shè)備。

圖10 超聲電動(dòng)機(jī)樣機(jī)

圖11 超聲電動(dòng)機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

圖12為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)框圖。由于超聲電動(dòng)機(jī)需要sin和cos兩路電壓信號(hào)來對(duì)電機(jī)進(jìn)行驅(qū)動(dòng)，信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生兩路高頻sin電壓信號(hào)后，必須利用移相電路圖先對(duì)電壓信號(hào)進(jìn)行移相，以輸出sin和cos兩路電壓信號(hào)。移相電路圖如圖13所示，電路中使用了OPA2277PA芯片。

圖12 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)組成框圖

圖13 移相電路圖

超聲電動(dòng)機(jī)工作所需要的驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)幅值一般在100 V以上，電壓信號(hào)的頻率在20 kHz以上。上述移相電路輸出sin和cos兩路信號(hào)的頻率可以滿足要求，但是電壓較低，因此選用了容性負(fù)載高頻功率放大器對(duì)電壓信號(hào)進(jìn)行放大；為了獲知電機(jī)定子的驅(qū)動(dòng)足振動(dòng)情況，選用了激光測(cè)振儀來測(cè)試驅(qū)動(dòng)足指定點(diǎn)的振幅。另外，在電機(jī)的導(dǎo)軌上安裝了光電傳感器，以觀測(cè)電機(jī)動(dòng)子的運(yùn)動(dòng)速度；由于電機(jī)的輸出力較小，故通過懸掛砝碼的方式測(cè)量電機(jī)輸出的動(dòng)力，砝碼通過一根細(xì)線與電機(jī)動(dòng)子（滑塊）相連接。

在實(shí)驗(yàn)中，電機(jī)采用了兩種結(jié)構(gòu)的定子，即定子的金屬矩形板有開孔和無開孔兩種情形，以進(jìn)行性能對(duì)比。定子驅(qū)動(dòng)足都設(shè)置在矩形板的端部。

3.2 定子矩形板的開孔對(duì)定子驅(qū)動(dòng)足振幅的影響

如圖14所示，用激光測(cè)振儀測(cè)試了觀測(cè)點(diǎn)的振幅（觀測(cè)點(diǎn)為電機(jī)定子驅(qū)動(dòng)足的中點(diǎn)）。當(dāng)輸入電壓的峰－峰值為400 V、頻率為38.5 kHz、兩相電壓相位差為90°時(shí)，測(cè)得定子矩形板在是否有開孔兩種情況下驅(qū)動(dòng)足的振幅，如表1所示。

圖14 用激光測(cè)振儀對(duì)定子驅(qū)動(dòng)足測(cè)振

表1 矩形板開孔前后驅(qū)動(dòng)足的振幅比較

從表1中可以看出，矩形板開孔后，驅(qū)動(dòng)足的x方向（縱向）振幅增加116%，y方向（橫向）振幅增加112%。由于超聲電動(dòng)機(jī)是依靠定子驅(qū)動(dòng)足的橢圓運(yùn)動(dòng)來實(shí)現(xiàn)電機(jī)的動(dòng)力輸出的，驅(qū)動(dòng)足振動(dòng)幅度越大，其橢圓運(yùn)動(dòng)軌跡的尺寸就越大。因此驅(qū)動(dòng)足質(zhì)點(diǎn)振幅的增加，對(duì)提高超聲電動(dòng)機(jī)的動(dòng)力輸出有重要意義［7］，此處不贅述。

3．3 電機(jī)的動(dòng)力參數(shù)測(cè)定與分析

實(shí)驗(yàn)中，在電機(jī)的兩相輸入電壓信號(hào)相位差為90°、電壓頻率為38．7 kHz的情形下，改變輸入電壓的幅值，觀測(cè)電機(jī)的運(yùn)動(dòng)情況。圖15為電機(jī)空載的速度與電壓關(guān)系曲線，圖16為電機(jī)的輸出力與電壓關(guān)系曲線。結(jié)果表明，在輸入電壓信號(hào)不變的情況下，電機(jī)的定子矩形板開設(shè)一定尺寸的孔后，電機(jī)的運(yùn)動(dòng)速度和輸出力明顯變大。

圖15 矩形板有無開孔時(shí)電機(jī)空載速度與電壓的關(guān)系

圖16 矩形板有無開孔時(shí)電機(jī)輸出力與電壓的關(guān)系

從圖15、圖16可以注意到，電機(jī)在左右兩個(gè)方向的輸出速度和輸出力略有不同，通過調(diào)整電機(jī)的裝配精度可以縮小其差異。這種現(xiàn)象可能是電機(jī)樣機(jī)的制造和安裝精度不夠高造成的，后續(xù)研究需要提高電機(jī)的制造精度。

實(shí)驗(yàn)觀測(cè)得到的電機(jī)工作頻率約為38.7 kHz，比前述計(jì)算所得到頻率略低。這是因?yàn)殡姍C(jī)樣機(jī)的定子由矩形板和8片壓電陶瓷片組成，而不是前述計(jì)算的對(duì)象為單一矩形板；另外，在電機(jī)實(shí)驗(yàn)時(shí)，電機(jī)定子被多個(gè)橡膠墊約束，而瑞利?里茲法計(jì)算時(shí)矩形板是完全自由的。這兩個(gè)因素導(dǎo)致了對(duì)應(yīng)的頻率略有不同。

4 結(jié) 語

通過對(duì)面內(nèi)彎縱型直線超聲電動(dòng)機(jī)進(jìn)行研究，得到如下結(jié)論：

（1）對(duì)于結(jié)構(gòu)較簡(jiǎn)單、某些局部尺寸需要調(diào)整的定子，可以用瑞利?里茲法和MATLAB相結(jié)合計(jì)算定子頻率，與有限元軟件相比更為方便。

（2）通過上述頻率計(jì)算和分析可以確定矩形板的開孔長(zhǎng)度，設(shè)計(jì)出新型的定子。

（3）彎縱型直線超聲電動(dòng)機(jī)在矩形板定子基體的上適當(dāng)開孔，有利于薄矩形板的二階面內(nèi)彎曲振動(dòng)和一階縱向振動(dòng)的復(fù)合振動(dòng)，可以增大超聲電動(dòng)機(jī)定子的驅(qū)動(dòng)足的振幅，從而增大電機(jī)的動(dòng)力輸出。