電機(jī)中ABC到dq0坐標(biāo)變換的梳理與辨析

付興賀，陳 銳

（東南大學(xué) 電氣工程學(xué)院，南京210096）

0 引 言

近百年來(lái)，坐標(biāo)變換方法已廣泛應(yīng)用于電氣工程的各個(gè)領(lǐng)域，解決三相（甚至多相）交流系統(tǒng)中數(shù)學(xué)模型表征、多變量解耦及不對(duì)稱(chēng)分量分析等難題［1?2］。隨著智能電網(wǎng)的提出，高品質(zhì)電機(jī)系統(tǒng)的迫切需求，以及高效電能變換的發(fā)展，交流電氣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)日漸復(fù)雜，坐標(biāo)變換方法已成為系統(tǒng)設(shè)計(jì)、建模和分析的重要手段，因此深入理解和正確使用坐標(biāo)變換方法非常必要。

Clarke變換和Park變換是兩種典型的坐標(biāo)變換方法，主要用于電機(jī)系統(tǒng)建模分析及驅(qū)動(dòng)控制［3?4］、電力系統(tǒng)微電網(wǎng)分析［5?6］和電力電子逆變器建模［7?8］等方面。從數(shù)學(xué)角度出發(fā)，Clarke變換和Park變換實(shí)現(xiàn)了機(jī)電或電氣系統(tǒng)中物理量在不同坐標(biāo)系下的表征。目前，廣大工程技術(shù)人員及專(zhuān)家學(xué)者已基本了解Clarke變換和Park變換，能夠嘗試應(yīng)用Clarke變換和Park變換，分析交流系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。但是，也出現(xiàn)了沒(méi)能抓住坐標(biāo)變換的本質(zhì)問(wèn)題、對(duì)坐標(biāo)變換方法使用不當(dāng)?shù)那闆r，導(dǎo)致教學(xué)和科研工作偏離主題、得出錯(cuò)誤結(jié)果。文獻(xiàn)［9］對(duì)坐標(biāo)系的定義有誤，并且采用坐標(biāo)變換的假設(shè)條件表述不清；文獻(xiàn)［10?17］將Park變換定義為從兩相靜止到兩相旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)變換，理解有失偏頗；文獻(xiàn)［16］混淆了等功率和等幅值變換矩陣；文獻(xiàn)［10，15，17］未給出d，q坐標(biāo)軸的定義，并且混淆了d，q軸的基本概念。文獻(xiàn)［18］雖然點(diǎn)明了坐標(biāo)變換誤用的問(wèn)題，但此類(lèi)現(xiàn)象仍然沒(méi)有得到足夠重視。因此，回溯Clarke變換和Park變換的發(fā)展歷程，深究Clarke變換和Park變換的本質(zhì)內(nèi)涵，對(duì)于教學(xué)和科研工作具有重要意義和價(jià)值。

部分學(xué)者試圖從數(shù)學(xué)角度出發(fā)，重新審視Clarke變化和Park變換的推導(dǎo)過(guò)程，明確兩種變換的數(shù)學(xué)意義。文獻(xiàn)［18］在綜合矢量基礎(chǔ)上利用三角函數(shù)關(guān)系對(duì)ABC／αβ0變換進(jìn)行了數(shù)學(xué)意義的推導(dǎo)，說(shuō)明了限制條件；文獻(xiàn)［19?20］在基于空間旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)的基礎(chǔ)上開(kāi)展了幾何分析工作，分析過(guò)程相對(duì)復(fù)雜；在三相交流系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［21］提出了四相到任意相交流系統(tǒng)Park變換矩陣推演方式；文獻(xiàn)［22］利用求電感矩陣特征值的方法，解得ABC／dq0變換矩陣，該方法具有一定的普適性?？傮w而言，上述工作更多的意義在于數(shù)學(xué)或幾何證明，缺乏物理指導(dǎo)意義，同時(shí)也沒(méi)有指出坐標(biāo)變換間的相互關(guān)系，沒(méi)有指明應(yīng)用過(guò)程的注意事項(xiàng)。在上述工作基礎(chǔ)上，本文旨在繼續(xù)加深和完善對(duì)Clarke和Park變換的認(rèn)識(shí)，指出兩種變換應(yīng)用中出現(xiàn)的問(wèn)題及應(yīng)對(duì)措施。

首先，本文給出了Clarke變換和Park變換的初始定義，揭示了兩種變換的初衷和目的。然后，理論推演了電機(jī)分析中常用的三相靜止坐標(biāo)系、兩相靜止坐標(biāo)系及兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系之間的變換，分析了幾種變換矩陣之間的聯(lián)系與差異。接著，指出了應(yīng)用中存在的混淆坐標(biāo)定義、誤解坐標(biāo)變換及使用不當(dāng)?shù)葐?wèn)題。最后，以永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)為例，開(kāi)展分析和示教工作，驗(yàn)證不同的變換矩陣及其誤用對(duì)系統(tǒng)性能的影響。

雖然本文不屬于技術(shù)或方法創(chuàng)新，但通過(guò)對(duì)坐標(biāo)變換開(kāi)展深入細(xì)致的梳理與辨析，有助于工程技術(shù)人員熟悉坐標(biāo)變換的發(fā)展歷程，理解理論基礎(chǔ)，掌握使用方法。此外，對(duì)高等學(xué)校教師及學(xué)生而言，本文關(guān)于坐標(biāo)變換的歷史探究、相關(guān)定義澄清及誤用糾正等方面的嘗試，也將為課堂教學(xué)、理論學(xué)習(xí)和實(shí)踐指導(dǎo)等提供借鑒和幫助。

1 Clarke變換與Park變換的初始定義

1.1 Clarke變換

1918年，F(xiàn)ortescue提出了用于分析不對(duì)稱(chēng)三相系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)分量法，即將不對(duì)稱(chēng)的三相分量分解為正序、負(fù)序和零序分量。三相的正序、負(fù)序分量相序相反，零序分量幅值、相位均相同。1937年左右，Clarke提出了αβ0分量法以改進(jìn)對(duì)稱(chēng)分量法，簡(jiǎn)化了電力系統(tǒng)中不對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的分析。1951年，Clarke指出采用αβ0坐標(biāo)系可以簡(jiǎn)化電機(jī)中部分公式的推導(dǎo)過(guò)程［1］。因此，她將原來(lái)用于電力系統(tǒng)分析的αβ0分量法推廣到同步電機(jī)分析中，建立了瞬時(shí)相量ABC和αβ0分量、αβ0分量和dq0分量之間的變換關(guān)系。隨著坐標(biāo)變換在電機(jī)領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用，考慮到Clarke的理論貢獻(xiàn)，ABC／αβ0變換逐漸被稱(chēng)為了Clarke變換。

1.2 Park變換

1899年，Blondel針對(duì)凸極同步電機(jī)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)提出了雙反應(yīng)理論，用兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的交、直軸電樞反應(yīng)描述復(fù)雜難解的電樞反應(yīng)。即將電樞基波磁動(dòng)勢(shì)Fa分解為作用在直軸上的直軸電樞反應(yīng)磁動(dòng)勢(shì)Fd和作用在交軸上的交軸電樞反應(yīng)磁動(dòng)勢(shì)Fq［23］。1929年，Park在雙反應(yīng)理論的基礎(chǔ)上提出了分析同步電機(jī)的一般化方法：將磁鏈、電流、電壓等三相物理量等效成隨轉(zhuǎn)子同步旋轉(zhuǎn)的直軸分量與交軸分量，消除了變量之間的耦合。根據(jù)同步電機(jī)方程及ABC與dq0坐標(biāo)系之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，Park推導(dǎo)出由空間靜止的ABC坐標(biāo)系變換到空間旋轉(zhuǎn)的dq0標(biāo)系的變換式，即Park變換。在分析中，一般均假設(shè)三相對(duì)稱(chēng)，故0軸略去。因此，Park變換本質(zhì)上是ABC／dq0的坐標(biāo)變換方式。

2 電機(jī)分析中的坐標(biāo)變換

2.1 坐標(biāo)變換的目的

在直流電機(jī)中，勵(lì)磁繞組軸線方向?yàn)橹鞔磐ǚ较颍摲较蚨x為直軸（d軸），電樞繞組產(chǎn)生的電樞磁動(dòng)勢(shì)的軸線方向則被定義為交軸（q軸）。電樞繞組通過(guò)位于幾何中性線上的電刷與電源連接，因此，電樞磁動(dòng)勢(shì)的軸線被電刷限定在q軸。d軸與q軸相差90°電角度，d軸磁場(chǎng)與q軸磁場(chǎng)正交，這是直流電機(jī)數(shù)學(xué)模型及其控制系統(tǒng)比較簡(jiǎn)單的根本原因。

交流電機(jī)是一個(gè)多變量、非線性、強(qiáng)耦合的系統(tǒng)，各物理量（電壓u、電流i、磁通Φ、電磁轉(zhuǎn)矩Te等）相互關(guān)聯(lián)，存在較強(qiáng)的耦合。例如，電磁轉(zhuǎn)矩正比于主磁通Φ和電流i，而Φ和i是隨時(shí)間變化的函數(shù)。因此，電磁轉(zhuǎn)矩的表達(dá)式中將出現(xiàn)兩個(gè)變量的乘積項(xiàng)，電機(jī)的數(shù)學(xué)模型復(fù)雜。采用坐標(biāo)變換的目的就是將交流電機(jī)的物理模型等效為直流電機(jī)。

在理想條件下，當(dāng)空間上三相互差120°的交流電機(jī)定子繞組中通以相位互差120°、頻率為ω的三相正弦交流電時(shí)，在空間上產(chǎn)生一個(gè)角速度為ω的旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)。同理，在空間上相互垂直的兩相繞組（α，β）中通入相位互差90°、頻率為ω的兩相平衡交流電流，也能建立同樣的角速度為ω的旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)。在兩個(gè)相互垂直的靜止繞組d和q中分別通入直流電流產(chǎn)生的合成磁動(dòng)勢(shì)也是靜止的。如果讓兩個(gè)繞組以一定速度旋轉(zhuǎn)，則原來(lái)靜止的合成磁動(dòng)勢(shì)變?yōu)樾D(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)。通過(guò)控制直流電流大小和旋轉(zhuǎn)速度，可保證該旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)與交流電流形成的旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)等效，即該套直流繞組與前述的交流繞組等效。從靜止側(cè)看，d和q繞組是與三相或兩相交流繞組等效的旋轉(zhuǎn)直流繞組；從旋轉(zhuǎn)側(cè)（d和q繞組）看，它們是相互垂直的靜止直流繞組［24］。

為了表達(dá)不同繞組之間的關(guān)系，坐標(biāo)變換方法應(yīng)運(yùn)而生，即利用不同的坐標(biāo)系用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)繞組間的等效關(guān)系。從數(shù)學(xué)角度出發(fā)，上述過(guò)程分作兩步執(zhí)行更好理解：將三相靜止交流繞組等效為兩相靜止交流繞組，再等效為兩相旋轉(zhuǎn)直流繞組，即從ABC坐標(biāo)系變換到αβ0坐標(biāo)系再變換到dq0坐標(biāo)系。經(jīng)過(guò)上述坐標(biāo)變換，交流電機(jī)具有了直流電機(jī)的特點(diǎn)，交流電機(jī)的數(shù)學(xué)模型大為簡(jiǎn)化。

2.2 三相靜止到兩相靜止坐標(biāo)變換

在電機(jī)分析中，常用的Clarke變換與最初的αβ0分量法在物理意義上不盡相同，但在數(shù)學(xué)意義上相似。在兩相靜止坐標(biāo)系中，坐標(biāo)軸可以定義為x，y或者m，n。但是，該變換由Clarke提出，并由αβ0分量法推廣而來(lái)，故坐標(biāo)軸的定義保持不變，仍采用α，β變量描述。三相靜止坐標(biāo)系和兩相靜止坐標(biāo)系間的關(guān)系如圖1所示。

圖1 ABC／αβ0坐標(biāo)變換示意圖

根據(jù)變換前后物理量之間的關(guān)系，Clarke變換包括等幅值變換和等功率變換。

2.2.1 等幅值變換

電機(jī)矢量控制中常用的是等幅值變換。根據(jù)變換前后旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)等效的原則，等幅值變換需維持綜合矢量（電流、電壓等）的幅值不變。

假設(shè)復(fù)平面上任意矢量x可以用ABC坐標(biāo)系（α軸為復(fù)平面實(shí)軸，且與xa方向重合；β軸為復(fù)平面虛軸）下互差120°的分量xa，xb，xc表示。定義：

根據(jù)式（1）將x寫(xiě)成復(fù)平面表達(dá)式，即：

為分析方便，引入變量x0，定義：

由式（4）可得：

將式（5）代入到式（2）中可得：

等幅值變換時(shí)，規(guī)定：

將式（7）代入到式（6）可得：

根據(jù)待定系數(shù)法，由式（8）可解得：

將解得的k，k0值代入式（2）、式（3）可得等幅值的變換形式：

將式（9）寫(xiě)為矩陣形式：

式中：Cclarke為等幅值的Clarke變換矩陣。

2.2.2 等功率變換

區(qū)別于等幅值變換，在使用等功率變換矩陣時(shí)需注意保持變換前后系統(tǒng)的功率不變［25］。

如圖1所示，結(jié)合上述原則，有：

式中：iα和iβ表示αβ坐標(biāo)系下的兩相電流；iA，iB和iC表示ABC坐標(biāo)系下的三相電流；N1和N2分別表示兩相和三相繞組的有效匝數(shù)。

式（11）經(jīng)整理后，用矩陣表示：

變換矩陣C3s／2s不是方陣，不能求逆，需引入一個(gè)獨(dú)立于iα，iβ的新變量i0，稱(chēng)為零軸。零軸同時(shí)正交于α軸和β軸，構(gòu)成三維空間的αβ0坐標(biāo)系。

定義：

式中：k為待定系數(shù)。

引入新的變量后，式（12）可改寫(xiě)：

將兩相靜止坐標(biāo)系下的電壓u和電流i變換到三相靜止坐標(biāo)系下的電壓u′和電流i′，因此有：

為實(shí)現(xiàn)可逆變換，C－1為矩陣C的逆矩陣，所以：

式中：z，z′為不同坐標(biāo)系下的阻抗矩陣；u，u′，i，i′為不同坐標(biāo)系下電壓和電流的行向量和列向量。

為滿足功率不變?cè)瓌t，在一個(gè)坐標(biāo)系下的電功率應(yīng)等于另一坐標(biāo)系下的電功率，即：

式中：CT為C的轉(zhuǎn)置矩陣；iT為i的轉(zhuǎn)置矩陣；i′T為i′的轉(zhuǎn)置矩陣。

為使式（18）成立，必須有

式中：I為單位矩陣。

因此，根據(jù)式（19），在功率不變?cè)瓌t的基礎(chǔ)上，變換矩陣C應(yīng)該是一個(gè)正交矩陣。

定義矩陣C及其轉(zhuǎn)置矩陣CT：

將C及CT代入式（19），則有：

根據(jù)式（20），可分別求得：

根據(jù)解得的值可求得C和C－1：

“我國(guó)的天主教、基督教一方面是宗教問(wèn)題，另一方面，在長(zhǎng)時(shí)期中又被帝國(guó)主義利用為對(duì)我國(guó)進(jìn)行文化侵略的工具，其中一部分組織又被帝國(guó)主義利用為進(jìn)行間諜活動(dòng)的機(jī)關(guān)。這兩個(gè)宗教在我國(guó)都辦有教堂、學(xué)校、醫(yī)院及其他文化事業(yè)及救濟(jì)事業(yè)機(jī)關(guān)，都受外國(guó)津貼，都有大量外國(guó)傳教士占據(jù)領(lǐng)導(dǎo)地位?！雹噌槍?duì)這一情況，河南展開(kāi)了一系列全面清理帝國(guó)主義在宗教領(lǐng)域的影響的工作。

因此，等功率的變換式：

等功率的逆變換式：

上述三相靜止坐標(biāo)系到兩相靜止坐標(biāo)系的變換與Clarke當(dāng)初為了進(jìn)行不對(duì)稱(chēng)分析而采用的αβ0分量法的性質(zhì)不同，目的不同。但是，Clarke變換與αβ0分量法具有相似性，都實(shí)現(xiàn)了三相物理量到兩相物理量的轉(zhuǎn)換，因此人們將上述過(guò)程稱(chēng)之為Clarke變換。筆者認(rèn)為電機(jī)分析中的Clarke變換是一種廣義的變換，與最原始的αβ0分量法在本意上存在一定區(qū)別。

2.3 兩相靜止到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換

在Clarke變換所定義的αβ0坐標(biāo)系中，一般規(guī)定α軸超前β軸90°，且α軸與A相繞組軸線方向重合。但對(duì)于Park變換，不同文獻(xiàn)給出了不同的dq0坐標(biāo)系的定義。目前，主要有三種不同的dq0軸定義方式，具體如圖2所示。圖2（a）中，d軸超前q軸90°，規(guī)定d軸與A軸間的夾角為α；圖2（b）中，q軸超前d軸90°，規(guī)定d軸超前于A軸的夾角為α；圖2（c）中，q軸超前d軸90°，規(guī)定d軸滯后于A軸的夾角為θ。

圖2 不同dq0軸定義的坐標(biāo)系統(tǒng)示意圖

不同的坐標(biāo)軸定義，從ABC到dq0坐標(biāo)系的變換矩陣不同，即對(duì)應(yīng)上述三種情況的變換矩陣不同。下面對(duì)圖2（a）進(jìn)行詳細(xì)分析。為便于理解，由靜止的αβ0坐標(biāo)系變到dq0旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的變換稱(chēng)為2s／2r變換。

由圖2（a）可得：

將式（23）改寫(xiě)為矩陣形式：

對(duì)式（23）進(jìn)行變換可得：

將式（26）改寫(xiě)為矩陣形式：

將式（27）與Clarke等幅值變換矩陣相乘，可得ABC／dq0變換的等幅值變換矩陣T3s／2r：

將式（27）與Clarke等功率變換矩陣相乘，可得ABC／dq0變換的等功率變換矩陣T3s／2r：

式（28）和式（29）分別為等幅值和等功率的ABC／dq0變換矩陣。

與圖2（a）相比，圖2（b）和圖2（c）中對(duì)dq軸的定義不同，所對(duì)應(yīng)的2s／2r變換矩陣也不同，因此最終的ABC／dq0變換矩陣有所差別。

對(duì)于圖2（b），對(duì)應(yīng)的2s／2r變換矩陣：

將式（30）與Clarke等幅值變換矩陣相乘，可得ABC／dq0變換的等幅值變換矩陣T3s／2r：

對(duì)于圖2（c），對(duì)應(yīng)的2s／2r變換矩陣：

將式（32）與Clarke等幅值變換矩陣相乘，可得ABC／dq0變換的等幅值變換矩陣T3s／2r：

在等功率變換時(shí)，圖2（b）和圖2（c）的情況讀者可以自行推導(dǎo)，本文不再贅述。

上述兩相靜止坐標(biāo)系到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的變換與當(dāng)初Park為了分析凸極電機(jī)電樞反應(yīng)而采用的dq0坐標(biāo)變換的最終目的相同。但是，原始的Park變換是指從ABC到dq0的坐標(biāo)變換，而目前大部分文獻(xiàn)所指的Park變換專(zhuān)指從αβ0到dq0的坐標(biāo)變換。由此，筆者認(rèn)為目前的Park變換是一種“狹義”的Park變換，僅是原始Park變換的一部分。

3 坐標(biāo)變換的誤用及混淆

3.1 誤用實(shí)例

由于文獻(xiàn)編輯工作失誤、排版印刷錯(cuò)誤、參考引用過(guò)程漏洞等原因，部分文獻(xiàn)、資料及書(shū)籍在介紹、使用Clarke變換和Park變換時(shí)出現(xiàn)偏差，致使三相對(duì)稱(chēng)交流量到兩相直流量的變換失敗，最終誤導(dǎo)工程技術(shù)人員、延緩工程項(xiàng)目開(kāi)發(fā)以及延誤科研項(xiàng)目攻關(guān)。

文獻(xiàn)［26］中（1.2.1 Clarke變換與仿真）提到：

與式（10）和式（21）相比，式（34）表示的Clarke變換矩陣既不是等幅值變換，也不是等功率變換。

該書(shū)中后文（1.2.2 Park變換與仿真建模）提到：

根據(jù)式（35），我們推斷式（34）應(yīng)是等幅值的Clarke變換。因此，根據(jù)本文前面給出的定義，式（34）最后一行系數(shù)應(yīng)為另外，文獻(xiàn)［16］也存在該問(wèn)題。

當(dāng)建立被控對(duì)象在dq0坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型時(shí)，文獻(xiàn)［9］在進(jìn)行坐標(biāo)變換時(shí)沒(méi)有給出相應(yīng)的假設(shè)（前提）條件，對(duì)αβ坐標(biāo)軸的定義有誤，并且混淆了等功率和等幅值的變換，推導(dǎo)過(guò)程不連貫。文獻(xiàn)［10］未給出dq坐標(biāo)軸的定義。文獻(xiàn)［13］將id作為iq進(jìn)行控制，混淆了dq軸的基本概念。文獻(xiàn)［17］描述的dq坐標(biāo)系與dq軸的實(shí)際定義不相符。上述情況出現(xiàn)較多，本文不再贅述。

3.2 定義混淆

目前，不同文獻(xiàn)對(duì)Park變換的定義存在一定分歧。諸多電機(jī)及其控制的相關(guān)文獻(xiàn)、書(shū)籍等將Clarke變換定義為ABC／αβ0變換，將Park變換定義為αβ0／dq0變換［8?16，26］。但是，文獻(xiàn)［27］中將Park變換定義為ABC／dq0變換，具體變換矩陣：

同樣的，文獻(xiàn)［17］也提到：“交流電機(jī)理論所研究的內(nèi)容主要是處于相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的電路行為問(wèn)題，由于電機(jī)中布置有許多在磁路上耦合又處于相對(duì)運(yùn)動(dòng)中的電路，分析工作顯得十分復(fù)雜，甚至難以進(jìn)行。1929年，Park針對(duì)凸極同步電機(jī)轉(zhuǎn)子不對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)，提出了著名的Park方程。這是一個(gè)將實(shí)際存在的三相靜止電路中的電壓、電流等變量變換到與之等效的旋轉(zhuǎn)dq軸參考坐標(biāo)系內(nèi)相應(yīng)量的坐標(biāo)變換公式?！?/p>

回顧Park于1929年發(fā)表的文章，該文章在雙反應(yīng)理論基礎(chǔ)上推導(dǎo)出ABC／dq0變換，并未經(jīng)過(guò)αβ0坐標(biāo)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換，式（37）是最初Park提出的變換方程。

值得注意的是，Clarke首次提出αβ0坐標(biāo)系大約是在20世紀(jì)30年代末期，因此，無(wú)論是從時(shí)間上來(lái)看，還是從推導(dǎo)原理與過(guò)程上來(lái)看，Park變換所指的應(yīng)當(dāng)是ABC／dq0變換，與αβ0并沒(méi)有直接關(guān)系。若將αβ0坐標(biāo)系作為Park變換（3s／2r）的中間環(huán)節(jié)，即我們所熟知的3s／2s／2 r變換，可使抽象的坐標(biāo)變換更容易理解，在一定程度上簡(jiǎn)化推導(dǎo)過(guò)程。雖然這種經(jīng)αβ0坐標(biāo)系過(guò)渡的坐標(biāo)變換推導(dǎo)方法已在教學(xué)和科研中廣泛采用，但原則上Park變換本質(zhì)是由ABC三相靜止坐標(biāo)系變換到dq0旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系這一點(diǎn)不可混淆，且有必要澄清。在教學(xué)與科研過(guò)程中，部分文獻(xiàn)忽略了Park變換與Clarke變換的歷史演變過(guò)程，混淆了兩種坐標(biāo)變換間的先后關(guān)系，導(dǎo)致目前Park變換定義混亂。

雖然，目前所應(yīng)用的Clarke變換和Park變換與它們的原始定義存在偏差，但為了避免引起混亂，便于閱讀和理解，本文在后續(xù)討論中暫且采用Clarke變換和Park變換分別描述ABC／αβ0變換和αβ0／dq0變換。

4 仿真分析及驗(yàn)證

4.1 基本坐標(biāo)變換的仿真分析

圖3 坐標(biāo)變換仿真模型

圖3為在Simulink軟件中搭建的等幅值Clarke變換和不同dq0坐標(biāo)系下的Park變換仿真模型，用于對(duì)比坐標(biāo)變換的不同結(jié)果。

仿真模型的輸入信號(hào)為三相對(duì)稱(chēng)的幅值均為1的正弦電流信號(hào)，頻率為50 Hz。圖3中，3s／2s模塊即為等幅值的Clarke變換，①、②、③三個(gè)模塊分別對(duì)應(yīng)圖2（a）、圖2（b）、圖2（c）中三種不同dq0坐標(biāo)系下的2s／2r變換。

Clarke變換的結(jié)果如圖4所示。α軸分量超前于β軸90°，且變換前后變量的幅值相等，均為1。

圖4 Clarke變換仿真結(jié)果

圖2（a），圖2（b）和圖2（c）三種坐標(biāo)系下Park變換的結(jié)果分別如圖5（a），圖5（b）和圖5（c）所示。

圖5 Park變換仿真結(jié)果

由于坐標(biāo)軸定義不同，在圖5（a）和圖5（b）中變換后的dq軸分量顛倒，或體現(xiàn)為dq軸超前和滯后的變化。在圖5（c）中，Park變換未能將三相對(duì)稱(chēng)的正弦量變換為兩相直流量，分析圖2（c）的dq0坐標(biāo)系，其定義的角度θ為d軸滯后于α軸的角度，相較于圖2（b）所定義的角度α，兩者之間關(guān)系滿足θ＝－α。由于仿真模型中采用的角度為α，因此修改仿真模型，將α乘以－1以符合對(duì)θ的定義，結(jié)果如圖5（d）所示。

上述仿真分析揭示了不同dq0坐標(biāo)系定義對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)變換結(jié)果差別，給出了輸出錯(cuò)誤的具體形式。相關(guān)科研人員可以借鑒該結(jié)果，指導(dǎo)各自的仿真分析工作。

4.2 錯(cuò)誤使用變換矩陣的影響

MATLAB／Simulink軟件庫(kù)中含有封裝好的坐標(biāo)變換模塊，該模塊默認(rèn)的坐標(biāo)系定義與圖2（b）一致。建立電機(jī)數(shù)學(xué)模型時(shí)，若采用圖2（b）的dq0坐標(biāo)系，則仿真時(shí)可直接調(diào)用坐標(biāo)變換模塊。但是，若所建立的數(shù)學(xué)模型與仿真模型采用的坐標(biāo)系不一致，則無(wú)法得到預(yù)期的結(jié)果。例如，若建立電機(jī)數(shù)學(xué)模型時(shí)選用圖2（c）的dq0坐標(biāo)系，而仿真時(shí)直接調(diào)用Simulink庫(kù)中的坐標(biāo)變換模塊，會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤出現(xiàn)。此時(shí)所得dq軸分量不是直流量，無(wú)法達(dá)到預(yù)期效果，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

以永磁同步電動(dòng)機(jī)調(diào)速控制系統(tǒng)為例，采用id＝0的控制策略開(kāi)展仿真分析。將三相電流變換為旋轉(zhuǎn)的兩相直流量，分別對(duì)id和iq進(jìn)行控制。

1）采用圖2（b）的q軸超前d軸（常用）坐標(biāo)系，即Simulink中坐標(biāo)變換模塊默認(rèn)的定義，仿真結(jié)果如圖6所示。永磁同步電動(dòng)機(jī)能夠正常運(yùn)行，在準(zhǔn)確跟蹤給定轉(zhuǎn)速的同時(shí)，若負(fù)載突變，轉(zhuǎn)速仍可以維持穩(wěn)定且波動(dòng)較小，控制性能較好。

圖6 Park變換中q軸超前d軸時(shí)的仿真結(jié)果

2）采用圖2（a）中的d軸超前q軸的坐標(biāo)系，仿真結(jié)果如圖7所示。假設(shè)建立的數(shù)學(xué)模型與仿真模型采用的坐標(biāo)系不一致，即Park變換矩陣不同，此時(shí)若不對(duì)仿真模型加以調(diào)試、改動(dòng)，整個(gè)系統(tǒng)不能按照預(yù)期的控制效果正常運(yùn)行。經(jīng)分析，該坐標(biāo)系與前述q軸超前d軸坐標(biāo)系的區(qū)別在于兩者q軸的方向相反（相差180°）。因此，在模型中將q軸電流乘以－1再進(jìn)行控制，電機(jī)可以穩(wěn)定運(yùn)行且控制性能較好。具體仿真結(jié)果如圖7所示，與圖6所示類(lèi)似，此處不再贅述。

圖7 Park變換中d軸超前q軸時(shí)的仿真結(jié)果

3）采用圖2（c）中的q軸超前d軸的坐標(biāo)系，對(duì)角度的定義與圖2（b）不同，仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 Park變換中q軸超前α軸時(shí)的仿真結(jié)果

若不對(duì)模型進(jìn)行調(diào)試，此時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定，無(wú)法按照預(yù)期正常運(yùn)行。根據(jù)前述分析，該坐標(biāo)系定義的角度θ為d軸與α軸之間的夾角，與仿真模型實(shí)際采用的角度α之間滿足θ＝－α。因此，修改模型中對(duì)應(yīng)的電角度，將其乘以－1再進(jìn)行變換，電機(jī)正常運(yùn)行。

對(duì)比上述三種情況可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)dq軸的選取與模型中坐標(biāo)變換矩陣不一致時(shí)，整個(gè)控制系統(tǒng)出現(xiàn)紊亂，無(wú)法達(dá)到預(yù)期的調(diào)速效果，甚至系統(tǒng)無(wú)法正常運(yùn)行。

4.3 總結(jié)與分析

根據(jù)理論與仿真分析結(jié)果，使用Clarke變換與Park變換時(shí)需注意：

1）采用坐標(biāo)變換時(shí)，需假設(shè)三相繞組空間相差120°，且繞組內(nèi)的各物理量幅值相等，相位互差120°，若實(shí)際不滿足上述假設(shè)條件，變換后的參數(shù)無(wú)法解耦；

2）選定等幅值或等功率變換后，應(yīng)保證數(shù)學(xué)建模和仿真分析采用的變換矩陣一致，不可隨意更改；

3）區(qū)分αβ軸和dq軸的超前滯后關(guān)系，不應(yīng)混淆：αβ0坐標(biāo)系為靜止坐標(biāo)系，對(duì)αβ分量的超前滯后判斷應(yīng)參考各自的時(shí)間相位；dq0坐標(biāo)系為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，對(duì)dq分量的超前滯后判斷應(yīng)參考各自的空間位置；

4）旋轉(zhuǎn)角α（或θ）定義為d軸與α軸的夾角，仿真分析與數(shù)學(xué)建模所采用的角度應(yīng)保持一致。

目前Park變換中初始定義的q軸超前d軸的坐標(biāo)系已被廣泛使用，并且Simulink中默認(rèn)的坐標(biāo)變換模塊也采用了該定義，仿真時(shí)直接調(diào)用該模塊或簡(jiǎn)單調(diào)試后基本可以保證系統(tǒng)正常運(yùn)行。在實(shí)際仿真過(guò)程中，遇到上述系統(tǒng)不穩(wěn)定的情況并不常見(jiàn)。但脫離仿真軟件，獨(dú)立建立電機(jī)數(shù)學(xué)模型時(shí)，部分學(xué)者、學(xué)生及工程技術(shù)人員并不注意坐標(biāo)系的定義和采用坐標(biāo)變換的前提條件等問(wèn)題，直接套用變換矩陣。實(shí)際上，數(shù)學(xué)建模采用的坐標(biāo)系與仿真建模采用的坐標(biāo)系可能不一致，故人為地將數(shù)學(xué)建模與仿真建模割裂開(kāi)，這也是目前高度依賴仿真軟件而忽視理論分析的體現(xiàn)。此外，若實(shí)際上應(yīng)用坐標(biāo)變換的條件并不滿足而仍采用坐標(biāo)變換進(jìn)行分析，那么所得結(jié)論也是不可靠的。出現(xiàn)上述情況后，雖然仿真系統(tǒng)經(jīng)過(guò)調(diào)試能夠正常運(yùn)行，但對(duì)坐標(biāo)變換定義不清晰、理解不深刻、用法不恰當(dāng)?shù)葐?wèn)題沒(méi)有明顯體現(xiàn)出來(lái)，因此造成無(wú)法真正掌握、靈活運(yùn)用Clarke變換與Park變換等問(wèn)題。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文梳理了Clarke變換和Park變換的發(fā)展歷程，分析了對(duì)坐標(biāo)變換定義混淆和由于闡述不嚴(yán)謹(jǐn)導(dǎo)致的變換矩陣誤用等問(wèn)題，通過(guò)永磁同步電動(dòng)機(jī)調(diào)速系統(tǒng)仿真展示了變換矩陣的誤用后果。通過(guò)本文不同角度的分析，希望學(xué)生、學(xué)者和工程技術(shù)人員加深對(duì)坐標(biāo)變換的理解，激發(fā)對(duì)基本理論的探索，樹(shù)立嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的態(tài)度，合理、準(zhǔn)確地應(yīng)用坐標(biāo)變換方法。