基于廣義Snell 定律的聲超表面折射

楚琦琦胡 宇林 瑋

(南京航空航天大學(xué)應(yīng)用物理系，江蘇南京 211100)

材料是人類社會存在的重要物質(zhì)基礎(chǔ)，與社會生產(chǎn)力的發(fā)展息息相關(guān)。但傳統(tǒng)材料受其本身物理、化學(xué)性質(zhì)的限制，無法滿足人們對其在某些場合的特殊需求。而超材料的出現(xiàn)沖破了傳統(tǒng)材料固有性質(zhì)的束縛，解決了這一難題[1]。超材料[2]是一類不同于傳統(tǒng)材料、由亞波長人工微結(jié)構(gòu)單元組成、具有特殊功能的材料，人們可以通過改變微結(jié)構(gòu)的構(gòu)型實現(xiàn)所需要的不同功能[3]。其中，屬于超材料的超表面[4-6]由于體積小，因此由其制作出相應(yīng)的器件具有尺寸較小、結(jié)構(gòu)簡單、低損耗等優(yōu)點，得到了越來越廣泛的應(yīng)用[7-9]。

2013 年，李勇等人[10]設(shè)計了類似于叉指換能器形狀折疊空間結(jié)構(gòu)聲超表面，這是第1 次在亞波長尺度下利用聲超表面實現(xiàn)對聲波相位的有效調(diào)控，該結(jié)構(gòu)各單元相位覆蓋范圍為0～2π 且規(guī)律變化，很好地模擬了聲學(xué)異常反射現(xiàn)象；2015 年Tian 等人[11]通過設(shè)計梯度單元聲超表面也實現(xiàn)了聲波的異常折射、貝塞爾波束、聲聚焦等一系列奇異現(xiàn)象；南京大學(xué)朱一凡等人[12]設(shè)計了一種梯度型超表面，實現(xiàn)了寬頻帶范圍內(nèi)聲波的異常反射現(xiàn)象?；谇拜厒兊墓ぷ?，可總結(jié)出由于聲波在聲超表面單元內(nèi)傳播路徑的長短不同實現(xiàn)對其相位的調(diào)制，從而實現(xiàn)對聲波靈活操控的經(jīng)驗。因此，文章利用一種深淺窄阱型聲超表面，較好地仿真了聲波的異常折射現(xiàn)象。

1 理論基礎(chǔ)

已知作為幾何光學(xué)的基本實驗定律之一的折射定律滿足關(guān)系式:

式中:n1、n2分別為分界面兩側(cè)介質(zhì)的折射率，θi為入射波相應(yīng)的入射角、θt為折射波相應(yīng)的折射角，如圖1(a)所示。以上也被稱為傳統(tǒng)Snell 定律。

由于光波、聲波具有相似性，即滿足相似的波動方程，具有相同的波矢等波參數(shù)，故聲波也遵循上述Snell 定律。但當(dāng)在兩介質(zhì)分界面上引入相位突變時，入射波、折射波不再滿足普通的折射定律，如圖1(b)所示。

圖1 兩種折射定律示意圖

聲波從A(Xa，Za)點出發(fā)，經(jīng)附帶相位φ(x)的聲超表面?zhèn)鞑サ紹(Xb，Zb)點。由費馬原理，即光沿實際光程取極小值的路徑傳播，將其應(yīng)用在上述聲波傳播的路徑中，即聲波沿聲程取極小值的路徑傳播，換一種說法，聲波沿相位取極小值的路徑傳播。設(shè)分界點坐標(biāo)為(X，0)，聲波由A點傳播到B點的相位變化為:

式中:k1、k2分別是入射介質(zhì)面、折射介質(zhì)面的波矢，且有k＝2π/λ。

式中:λ1、λ2為入射波、折射波的波長。上式可化簡為:

此為廣義Snell 折射定律的表達式。由式(5)可看出，當(dāng)＝0 時，表達式滿足普通廣義Snell定律；當(dāng)≠0 時，我們可以通過適當(dāng)設(shè)計的值，給定不同的入射角，獲得想要的不同折射角，達到任意控制聲波的目的。

2 構(gòu)建模型

2.1 設(shè)計結(jié)構(gòu)

為實現(xiàn)對聲波的相位調(diào)制，利用一種窄阱結(jié)構(gòu)，基于聲波在聲超表面各單元傳播時路徑長短不同而使得相位不同的原理，在相鄰高矮井之間實現(xiàn)0 到2π 范圍的相位調(diào)制，部分結(jié)構(gòu)如圖2 所示。

圖2 聲超表面結(jié)構(gòu)圖

此結(jié)構(gòu)由一排周期性的深淺凹槽構(gòu)成，且每組深淺凹槽有3 個窄阱單元，其尺度設(shè)計在亞波長級別，設(shè)計參數(shù)如下:h1＝35 cm，h2＝9.75 cm，d＝10 cm，故Δh＝25.25 cm。窄阱內(nèi)部填充介質(zhì)1 材料鉛，窄阱外部以及上表面填充介質(zhì)2 材料鐵，二者相關(guān)參數(shù)如表1 所示。

表1 介質(zhì)材料參數(shù)表

聲波在深淺凹槽中傳播至分界面處的相位差為Δφ＝(k1-k2)*Δh，由公式k＝2π/λ，λ＝c/f，其中f為入射聲波的頻率，在此我們設(shè)定8 500 Hz，可求得聲波通過相鄰凹槽后的相位差為π，則將結(jié)構(gòu)排列成偶數(shù)周期型凹槽結(jié)構(gòu)，可實現(xiàn)0 到2π 范圍的相位變化。

2.2 模擬仿真

研究方法采用有限元分析法，構(gòu)建一半徑為720 cm 的圓域，將其一分為二，并將上述聲超表面結(jié)構(gòu)導(dǎo)入到二者分界面處，然后在上下表面分別填充不同的介質(zhì)，結(jié)構(gòu)模型如圖3 所示。

在下表面我們給定y軸方向平面波輻射的背景壓力場，使得聲波以0°入射，且聲超表面結(jié)構(gòu)左右兩側(cè)的分界面處設(shè)置硬聲壁，使入射波不透過，從而明顯地看出聲超表面對入射波產(chǎn)生的影響。

圖3 構(gòu)建幾何模型圖

2.3 結(jié)果分析

由上述理論，當(dāng)聲波以0°入射，聲波通過相鄰高矮窄井的相位差為π，而一組窄井寬度Δx為30 cm，將該數(shù)據(jù)代入廣義Snell 折射定律表達式可得折射角約為53°，仿真結(jié)果如圖4 所示。

圖4 仿真結(jié)果圖

由圖4(a)、圖4(b)可以看出，實際出射聲波角度在誤差范圍內(nèi)符合理論計算角度，且由于聲波通過相鄰高矮窄阱后的相位差為π，使得聲波出射有2 個方向，從而有對稱的兩束出射波，且聲壓幅值分別在約為48°、137°處表現(xiàn)明顯，較好地驗證了廣義Snell 折射定律。

將上述聲超表面結(jié)構(gòu)進行周期性地拓展，各單元尺度大小不變，使其鋪滿兩介質(zhì)分界面，如圖5所示。

圖5 拓展周期結(jié)構(gòu)模型圖

同樣在下表面給定平面波輻射的背景壓力場，且壓力幅值設(shè)為1，計算后散射壓力場如圖6 所示。

圖6 拓展周期結(jié)構(gòu)散射壓力場

由圖6 可知，透過聲超表面的聲波依然遵循廣義Snell 定律，折射角符合理論計算，但與部分周期結(jié)構(gòu)透過聲波不同的是，往左右方向折射的聲波交疊部分較大，若過濾一個方向的聲波，折射現(xiàn)象就顯得較為明顯了。

3 總結(jié)

文中利用的聲超表面結(jié)構(gòu)很好地驗證了廣義Snell 折射定律，實現(xiàn)了聲波的異常折射。通過改變結(jié)構(gòu)的參數(shù)，即窄阱的高矮比例，得到任意的波方向。此結(jié)構(gòu)在設(shè)置好匹配材料的前提下，不需考慮透射率的大小，但不足之處在于頻帶范圍較窄，后期需進一步改善，實現(xiàn)寬頻帶折射。人們可以以上述結(jié)構(gòu)為啟發(fā)，進一步地實現(xiàn)聲聚焦功能。