基于改進(jìn)電極敏感場(chǎng)的ECT 圖像重建算法研究*

龔 君王 麗周 濤

(1.正德職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程系，江蘇南京 211106；2.東南大學(xué)能環(huán)學(xué)院，江蘇南京 210096)

電容層析成像(Electrical Capacitance Tomography，ECT)技術(shù)是一種基于電容傳感器機(jī)理的無損檢測(cè)技術(shù)[1-2]，其原理是將均勻分布于管道外壁電極之間的電容值采集到計(jì)算機(jī)，然后通過相應(yīng)的圖像重建算法將管道中的介質(zhì)分布情況以可視化圖像形式呈現(xiàn)[3-4]。該技術(shù)以其非侵入、無輻射、成本低、安全性能好等優(yōu)點(diǎn)在石油、化工、冶金等領(lǐng)域[5]具有廣泛的應(yīng)用前景。

針對(duì)目前電容層析成像技術(shù)中重建圖像質(zhì)量有待提高的問題，可以從增加電容投影數(shù)據(jù)[6]和改進(jìn)圖像重建算法2 個(gè)途徑來解決此問題。由于ECT 技術(shù)在求解過程中需要將電容值作為投影數(shù)據(jù)來進(jìn)行敏感場(chǎng)內(nèi)介質(zhì)分布情況的重建，而電極數(shù)目對(duì)投影數(shù)據(jù)起著重要的影響，因而將對(duì)該參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化從而提高成像質(zhì)量。另外，圖像重建算法也是反問題求解的關(guān)鍵技術(shù)之一，針對(duì)經(jīng)典圖像算法中靈敏度場(chǎng)分布不均勻而影響成像精度的問題，將經(jīng)典圖像算法LBP 算法和Landweber 迭代算法中的靈敏度矩陣進(jìn)行了均值濾波處理，從而在一定程度上提高了中心區(qū)域的靈敏度而降低了極板區(qū)域附近的靈敏度，使得靈敏度場(chǎng)分布更加均勻，圖像重建精度進(jìn)一步提高。

1 電容層析成像技術(shù)的成像原理

電容層析成像技術(shù)的成像的數(shù)學(xué)原理可以概括為正問題和反問題[7]，如圖1 所示。

圖1 正問題與反問題框圖

正問題是在已知傳感器的結(jié)構(gòu)參數(shù)和管道中介質(zhì)分布先決條件下，求解各電極相互組合形成的電容值[8]，可用式(1)所示的數(shù)學(xué)模型表示:

式中:Cij表示i極板和j極板之間的電容值，ε(x，y)表示管道截面的介電常數(shù)分布，D為管道截面面積，Sij((x，y)，ε(x，y))表示當(dāng)(x，y)點(diǎn)處的介質(zhì)分布為ε(x，y)時(shí)i-j極板對(duì)間電容的靈敏度場(chǎng)分布。

反問題則通過測(cè)量得到的電容數(shù)據(jù)和已建立的數(shù)學(xué)模型對(duì)被測(cè)介質(zhì)分布進(jìn)行求解[9]，可用式(2)所示數(shù)學(xué)模型表示:

式中:λ是m維的歸一化電容向量，m為獨(dú)立電容數(shù)目；g是n維歸一化介電常數(shù)分布向量，也表示圖像灰度分布，n為成像區(qū)域像素個(gè)數(shù)；S為m×n階矩陣，表示靈敏度分布矩陣。

可以依據(jù)正、反問題來提高圖像重建質(zhì)量。正問題將通過增加電極數(shù)目來優(yōu)化電容傳感器結(jié)構(gòu)，反問題將對(duì)圖像重建算法進(jìn)行改進(jìn)，這些改進(jìn)方法最終對(duì)圖像質(zhì)量造成影響，而圖像質(zhì)量可以通過重建圖像和原始圖像之間的圖像差異程度來評(píng)價(jià)，即圖像誤差，可用式(3)表示:

式中:g和分別代表原始圖像和重建圖像灰度值，該值可以反映圖像重建的精度，該值越小，表示圖像重建精度越高。

2 不同電極數(shù)目的成像仿真與比較

對(duì)于N個(gè)電極的電容傳感器，采用單電極激勵(lì)模式時(shí)，將產(chǎn)生M＝N(N-1)/2 個(gè)獨(dú)立電容。傳統(tǒng)ECT 系統(tǒng)中電容傳感器的電極數(shù)目通常是8 個(gè)，獨(dú)立電容數(shù)目為28 個(gè)，本研究將電極數(shù)目增加至12電極，獨(dú)立電容增加為66 個(gè)。圖2 所示為8 電極和12 電極的二維截面模型，圖3 所示為8 電極與12電極時(shí)管道中介質(zhì)為低介電常數(shù)，即空管與介質(zhì)全部為高介電常數(shù)，即滿管情況下的電容值曲線圖，以及與之對(duì)應(yīng)電極之間電容變化量的曲線圖，圖4 所示為8 電極和12 電極不同流型的成像結(jié)果對(duì)比。

圖2 8 電極和12 電極二維截面模型圖

由圖3 可知，電極數(shù)目增加表示各極板之間相互組合形成的獨(dú)立電容數(shù)目增加，即用于圖像重建的投影數(shù)據(jù)增加，這會(huì)改善圖像重建的欠定性。

由圖4 可以得出，12 電極的重建圖像更接近真實(shí)圖像，中心介質(zhì)邊緣更為清晰，多物體流型也更容易區(qū)分，圖像重建誤差比8 電極的小，成像效果更為理想，因此極板數(shù)目的增多有利于重建圖像質(zhì)量的提高。但是電極數(shù)目不斷增加，能夠反映對(duì)介質(zhì)敏感程度的電容變化量隨之減小，而且電極數(shù)目的增加也會(huì)增加計(jì)算量，因此，經(jīng)過綜合考慮，電極數(shù)目不能無限增加。

圖3 8、12 電極空滿管電容值及變化量曲線圖

圖4 8 電極和12 電極成像結(jié)果對(duì)比圖

3 圖像重建算法

3.1 靈敏度均值濾波處理

由式(2)可知，靈敏度場(chǎng)是ECT 技術(shù)中反問題求解的關(guān)鍵，該參數(shù)最終會(huì)影響成像質(zhì)量。研究將圍繞優(yōu)化后的12 電極電容傳感器的靈敏度場(chǎng)展開研究，因此將有66 個(gè)獨(dú)立電容值，對(duì)應(yīng)有66 個(gè)敏感場(chǎng)，總的敏感場(chǎng)分布可用靈敏度矩陣S表示。排布在ECT 傳感器管道外壁的極板是均勻?qū)ΨQ分布的，因此將會(huì)形成6 種典型的靈敏度矩陣分布。6 種未作任何處理的靈敏度分布如圖5 所示。

由圖5 可知，傳感器靈敏度分布中心低周圍高，分布非常不均勻，并且還存在一些尖峰值，這將造成ECT 系統(tǒng)對(duì)管道內(nèi)部各處的分辨率差異較大，從而影響圖像重建的精度。針對(duì)該問題，將通過均值濾波的方法對(duì)原始靈敏度矩陣進(jìn)行改進(jìn)，使得靈敏度場(chǎng)更加均勻，從而進(jìn)一步改善重建圖像質(zhì)量。

均值濾波的原理是采用模板計(jì)算的思想，選擇某一包含N個(gè)像素的模塊作為濾波模塊，將該模塊覆蓋的所有像素點(diǎn)的平均值用作該模塊的中心像素，假設(shè)第e個(gè)像素的位置就是模板中心，均值濾波后像素點(diǎn)e的靈敏度可表示為:

Sa(i，j)(e)表示第e個(gè)像素點(diǎn)經(jīng)過均值濾波處理后的靈敏度，S(i，j)(k)表示第k個(gè)像素點(diǎn)未處理的靈敏度值，鄰近像素點(diǎn)的靈敏度差異通過均值濾波的方法變小，該方法可起到均勻靈敏度場(chǎng)分布的作用。

圖5 處理前的部分極板間靈敏度分布圖

圖6 所示為經(jīng)過均值濾波處理的部分極板間靈敏度場(chǎng)分布。由該圖可知，相較于原始靈敏度場(chǎng)管道中心區(qū)域，靈敏度值顯著提高，同時(shí)在一定程度上消除了原始靈敏度場(chǎng)中局部區(qū)域的尖峰值。

圖6 處理后的部分極板間靈敏度分布圖

3.2 LBP 算法及其改進(jìn)

線性反投影算法，即LBP 算法是一種線性單步重建算法，具有計(jì)算量小、簡(jiǎn)單快速的特點(diǎn)。該算法實(shí)質(zhì)是將某點(diǎn)的所有投影射線進(jìn)行累加，然后再把射線積分均勻地反投影到射線所經(jīng)過的各點(diǎn)[10]。電容值作為投影數(shù)據(jù)，其個(gè)數(shù)遠(yuǎn)小于像素個(gè)數(shù)，因此求解時(shí)存在病態(tài)問題，于是該算法采用ST作為S-1的近似解，線性反投影算法的表達(dá)式如下:

式中:表示歸一化后的電容矢量，ST表示靈敏度矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，g表示灰度向量。

為了改善該算法帶來的邊緣模糊現(xiàn)象，需對(duì)LBP 算法做如下閾值處理:

t的求解公式如式(7)所示:

式中:AVG 是平均因子，λij為靈敏度矩陣S的奇異值。

LBP 算法的改進(jìn)是通過將均值濾波處理后的靈敏度矩陣取代原始算法中的靈敏度矩陣，即改進(jìn)后LBP 算法公式為:

Sa表示均值濾波處理后的靈敏度矩陣。

3.3 Landweber 迭代法及其改進(jìn)

Landweber 迭代法以最速下降法作為其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，該算法目標(biāo)是將數(shù)據(jù)的迭代殘差最小化，即得到最小化目標(biāo)為[11-13]:

以灰度值g作為自變量，優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為:

其梯度為:

按最優(yōu)化理論原理，以負(fù)梯度作為迭代方向，迭代公式為:

式中:αk表示迭代步長(zhǎng)，通?？扇楣潭ǖ介L(zhǎng)α，其取值范圍在之間。

Landweber 迭代法的改進(jìn)與LBP 算法改進(jìn)類似，同樣用濾波處理后的靈敏度矩陣取代原始靈敏度矩陣，則改進(jìn)后的迭代公式為:

式中:Sa表示均值濾波處理后的靈敏度矩陣。

4 仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比

為驗(yàn)證算法的有效性，采用數(shù)值仿真法來進(jìn)行圖像重建的仿真實(shí)驗(yàn)，最終以圖像重建誤差error 作為重建圖像質(zhì)量的衡量標(biāo)準(zhǔn)，見圖7 和圖8。

圖7 改進(jìn)前后的LBP 算法成像結(jié)果對(duì)比圖

圖8 改進(jìn)前后的Landweber 迭代法成像結(jié)果對(duì)比圖

ECT 傳感器采用12 電極敏感陣列，采用COMSOL Multiphysics 4.2 有限元分析軟件對(duì)傳感器3 種典型介質(zhì)分布建模，成像介質(zhì)介電常數(shù)設(shè)為3，最終得到66 個(gè)獨(dú)立電容用于圖像重建，并利用MATLAB 軟件編程構(gòu)建66×4 096 維的靈敏度矩陣，改進(jìn)前后的LBP 算法和Landweber 迭代法成像結(jié)果圖如圖7 和圖8 所示，由圖可知，改進(jìn)后的2 種算法的重建圖像效果更為理想，中心介質(zhì)更加清晰，多個(gè)介質(zhì)的流型也更易區(qū)分，圖像邊緣更加清晰，較之于原始算法圖像誤差，2 種改進(jìn)后的算法圖像誤差均變小，因此圖像重建精度提高，且相比于LBP 算法，Landweber 迭代法整體成像效果更為理想。

5 結(jié)論

通過數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)電容層析成像技術(shù)的正問題和反問題分別進(jìn)行了改進(jìn)。通過增加電極數(shù)目來增加投影數(shù)據(jù)從而提高重建圖像質(zhì)量，并且在12 電極敏感陣列的基礎(chǔ)上對(duì)靈敏度場(chǎng)進(jìn)行均值濾波處理，從而使得靈敏度場(chǎng)靠近極板區(qū)域與中心區(qū)域差異減小，分布更加均勻，基于改進(jìn)后的靈敏度場(chǎng)對(duì)經(jīng)典圖像算法LBP 算法和Landweber 迭代法進(jìn)行了改進(jìn)，仿真結(jié)果表明改進(jìn)后的2 種算法較之于原始算法，成像精度提高，且2 種算法中，改進(jìn)后的Landweber 迭代法成像效果更好。