基于改進(jìn)微分器設(shè)計(jì)的TIADC 增益誤差校準(zhǔn)算法*

趙曉龍李 博*賈 芃黎澤清

(1.中北大學(xué)儀器科學(xué)與動(dòng)態(tài)測(cè)試教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西太原 030051；2.上海航天電子技術(shù)研究所，上海 201109)

隨著科技水平的不斷提高，對(duì)電子器件精度也有所要求，模數(shù)轉(zhuǎn)換器(Analog to Digital Converter)的應(yīng)用范圍越來越廣，對(duì)于模數(shù)轉(zhuǎn)換器的要求也越來越高了，時(shí)間交織模數(shù)轉(zhuǎn)換器(Time-Interleaved Analog to Digital Converter，TIADC)成為應(yīng)用最為廣泛的轉(zhuǎn)換器件之一。

TIADC 系統(tǒng)的誤差產(chǎn)生有很多原因，包括電子元器件的精度、環(huán)境問題等因素。眾多研究者針對(duì)不同的誤差問題提出了不同的解決方法。Abbaszadeh A 等人[1]利用TIADC 系統(tǒng)通道數(shù)多的特性多個(gè)通道同時(shí)輸入，通過時(shí)間失配誤差來校準(zhǔn)的方法，該方案增加了一個(gè)參考通道，使得硬件結(jié)構(gòu)消耗巨大，校準(zhǔn)系統(tǒng)設(shè)計(jì)過于復(fù)雜不利于實(shí)驗(yàn)進(jìn)行。Li J Y 等人[2]通過相鄰?fù)ǖ乐g的相關(guān)性聯(lián)系，對(duì)于它的輸出信號(hào)進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，硬件上增加了FIR濾波器來實(shí)現(xiàn)校準(zhǔn)，但是該方法僅僅適用于奈奎斯特頻帶內(nèi)。Van-Thanh Ta 等人提出的算法在低頻率可以達(dá)到很好的校準(zhǔn)水平，但不適用高頻率，具有局限性[3]。針對(duì)上述問題提出了改進(jìn)微分器設(shè)計(jì)的TIADC 增益誤差校準(zhǔn)算法，整體方案由信號(hào)調(diào)制和誤差系數(shù)估計(jì)2 個(gè)部分組成，通過改進(jìn)傳統(tǒng)濾波器實(shí)現(xiàn)算法。

1 校準(zhǔn)算法

1.1 算法基本構(gòu)成

通過2 通道TIADC 系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)頻譜轉(zhuǎn)換可以有效了解誤差消除過程的實(shí)現(xiàn)方法，TIADC 系統(tǒng)中的誤差主要就是頻譜中會(huì)存在雜散[4]，圖1(a)通過調(diào)制函數(shù)的運(yùn)算后可以得到圖1(b)，調(diào)制前后信號(hào)頻譜上的主頻點(diǎn)經(jīng)過調(diào)制變換到了雜散點(diǎn)的的位置，第1 階段完成后利用特定參數(shù)計(jì)算可以得到圖1(c)的頻譜圖，第2 階段完成后利用減法運(yùn)算可以得到圖1(d)。

圖1 2 通道的標(biāo)準(zhǔn)頻譜變換

1.2 增益誤差參數(shù)估計(jì)

根據(jù)調(diào)制校準(zhǔn)的原理[5]，設(shè)計(jì)了圖2 校準(zhǔn)算法的過程。

圖2 校準(zhǔn)算法的過程

同樣以兩通道為例求出該參數(shù)的值:

為了消除信號(hào)中的雜散，令式(1)中的雜散項(xiàng)為零:

由式(2)觀察可得，需要公式兩邊都為0 即左邊2 部分同時(shí)為0。將得到的參數(shù)代入式(2)中得到:

已知微分器響應(yīng)j(ω-π)，由圖2 可以看出G′(ejω)和G(ejω)經(jīng)過了同一個(gè)微分器，所有會(huì)有2個(gè)不同的參數(shù)，計(jì)算出的參數(shù)分別為:

同理可以推算出4 通道中誤差參數(shù)的估計(jì)值:

誤差參數(shù)的估計(jì)算出來后，根據(jù)相關(guān)性可以得到式(8)、式(9):

1.3 改進(jìn)微分器設(shè)計(jì)及校準(zhǔn)算法

1.3.1 改進(jìn)微分器設(shè)計(jì)

微分器的通道數(shù)量是決定微分器運(yùn)算能力的重要因素[6]，通道數(shù)量增加可以提升微分器的性能。為了滿足校準(zhǔn)要求該設(shè)計(jì)采用40 階微分器，提升性能的同時(shí)還會(huì)增加高階運(yùn)算帶來的大量的復(fù)雜運(yùn)算，為了解決這一問題使得微分器運(yùn)行的時(shí)候更為簡(jiǎn)單，精簡(jiǎn)微分器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，可以借鑒差值微分?jǐn)?shù)學(xué)思想，因?yàn)樾盘?hào)為連續(xù)輸入信號(hào)，任意選取n個(gè)不同的點(diǎn)，對(duì)n個(gè)不同的點(diǎn)進(jìn)行求導(dǎo)，通過導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可以省去大量冗長(zhǎng)的運(yùn)算。

任意取5 個(gè)連續(xù)輸入點(diǎn)，依次對(duì)5 個(gè)點(diǎn)進(jìn)行求導(dǎo)可得到公式為:

計(jì)算出式(10)中相鄰點(diǎn)之間的水平距離h，通過對(duì)求導(dǎo)過程進(jìn)行分析選取f′(x2)來做運(yùn)算即:

利用差微分思想[7]可以設(shè)計(jì)一個(gè)如圖3 所示的改進(jìn)微分器。

圖3 改進(jìn)微分器

相比于傳統(tǒng)微分器[8]，該結(jié)構(gòu)很大程度上節(jié)約了硬件資源，將改進(jìn)后的微分器與傳統(tǒng)40 階階微分器的資源消耗相比較，以濾波器結(jié)構(gòu)為例進(jìn)行分析可以得到如下分析，如表1 所示。

表1 傳統(tǒng)微分器與改進(jìn)微分器硬件對(duì)比 單位:個(gè)

通過表1 對(duì)傳統(tǒng)微分器和改進(jìn)后的微分器的硬件進(jìn)行對(duì)比，改進(jìn)后的微分器通過利用差微分?jǐn)?shù)學(xué)思想使得硬件結(jié)構(gòu)上變得更為簡(jiǎn)單改進(jìn)后的微分器，相比于傳統(tǒng)微分器結(jié)構(gòu)十分精簡(jiǎn)，需要的加法器，乘法器等都更少更有利于校準(zhǔn)算法的設(shè)計(jì)，但是由于該校準(zhǔn)算法引入了希爾伯特變換以拓寬校準(zhǔn)頻率范圍，希爾伯特變換運(yùn)算量較大，使得整個(gè)算法復(fù)雜度提升，后期可通過FPGA 或高性能DSP 器件承擔(dān)算法實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)。

1.3.2 引入Hilbert 濾波器

上面的改進(jìn)只能在第1 奎奈斯特，為了使得該改進(jìn)微分器可以適用于更好的頻率，引入1 個(gè)Hilbert濾波器，將改進(jìn)后的微分器Hilbert 濾波器并聯(lián)。可以通過利用差微分思想使得該硬件系統(tǒng)可以適用更高頻率的信號(hào)輸入。Hilbert 濾波器的頻率響應(yīng)為:

根據(jù)傅里葉逆變換可以得到Hilbert 變化器的沖擊響應(yīng)為:

Hilbert 變換器的作用相當(dāng)于1 個(gè)數(shù)學(xué)模擬模塊當(dāng)信號(hào)x(n)輸入時(shí)通過卷積運(yùn)算，可以得到如下公式:

Hilbert 變換器可以將信號(hào)中的頻率實(shí)現(xiàn)逆轉(zhuǎn)[9]。輸入1 個(gè)超頻信號(hào)V(f)，可以分為右頻譜VP和左頻譜VN。已知Hilbert 濾波器的頻率響應(yīng)為:

信號(hào)V(f)與VP、VN的關(guān)系為:

由上述條件可以得出:

因?yàn)檩斎胄盘?hào)在第1 奎奈思特頻率之外，經(jīng)過特定周期后可以重復(fù)得到數(shù)值。

由此可以得到:

對(duì)V3(n)求導(dǎo)可得:

同理可得第3 奎奈斯特[10]范圍內(nèi)的信號(hào)求導(dǎo)為:

綜上所述，在不同奎奈斯特范圍內(nèi)的求導(dǎo)分別為:

上述第4 奎奈斯特范圍求導(dǎo)系數(shù)為4，第4 奎奈斯特信號(hào)先轉(zhuǎn)化求出與第2 奎奈斯特信號(hào)的關(guān)系綜上可得:

圖4 改進(jìn)的微分器結(jié)構(gòu)

改進(jìn)后的微分模型如圖4 所示。上述改進(jìn)的微分器可以對(duì)超過奎奈斯特信號(hào)的頻率進(jìn)行求導(dǎo)，進(jìn)而使得整個(gè)校準(zhǔn)算法不受頻率限制。

1.3 校準(zhǔn)算法建模

在建模過程中選取通道數(shù)為4，采樣時(shí)間為200 MHz 的TIADC 來構(gòu)建誤差校準(zhǔn)系統(tǒng)。利用MATLAB/Simulink 仿真進(jìn)行算法建模，理想狀態(tài)的模型沒有誤差存在，需要人為加入模擬的隨機(jī)誤差變量，通過仿真結(jié)果可以看出校準(zhǔn)算法的效果，不同通道間的誤差分析如表2 所示。

在實(shí)際使用中因?yàn)榄h(huán)境因素或者受制于電子器件的工藝水平會(huì)存在誤差變量[11]，通過模擬實(shí)際的誤差量可以實(shí)現(xiàn)仿真模擬，下面的仿真也是基于同樣的隨機(jī)誤差進(jìn)行驗(yàn)證，改進(jìn)后的微分器本質(zhì)上就是一個(gè)調(diào)制模塊，可以對(duì)時(shí)間雜散進(jìn)行調(diào)制，調(diào)制后的的結(jié)果可以與初始變量進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，通過校準(zhǔn)后可以得到算法結(jié)果，校準(zhǔn)算法整體方案如圖5 所示。

表2 不同通道誤差分析

圖5 校準(zhǔn)算法整體方案

2 仿真驗(yàn)證與分析

2.1 奎奈斯特頻率帶內(nèi)高低頻率仿真

對(duì)建模后的系統(tǒng)輸入歸一化頻率fin/fs＝0.015和fin/fs＝0.432 進(jìn)行MATLAB 仿真，同時(shí)利用人為方式加入同樣的模擬隨機(jī)誤差。校準(zhǔn)前后的頻譜圖如圖6 所示。

圖6 校準(zhǔn)前后的頻譜圖

2.2 奎奈斯特頻率帶外信號(hào)仿真

同樣利用建模后的系統(tǒng)輸入一個(gè)歸一化頻率在奎奈斯特范圍外的信號(hào)進(jìn)行MATLAB 仿真，加入與第1 奎奈思特同樣的模擬隨機(jī)變量，校準(zhǔn)前后的頻譜圖如圖7 所示。

圖7 超頻的校準(zhǔn)前后頻譜圖

通過計(jì)算可以知道當(dāng)輸入信號(hào)的歸一化頻率在奎奈斯特范圍之外時(shí)，其主頻率點(diǎn)的位置在1-0.854 6＝0.145 4，從圖10 可以看出與理論計(jì)算結(jié)果一致，原來由于誤差引起的雜散在頻譜圖中已經(jīng)不存在了?？梢缘贸鲂?zhǔn)后輸入信號(hào)中的雜散已經(jīng)被完全消除，(3)SNR(信噪比)指標(biāo)由校準(zhǔn)前的18.03 dB 提高至校準(zhǔn)后的68.53 dB，說明算法對(duì)系統(tǒng)采樣數(shù)據(jù)過程中的累積噪聲實(shí)現(xiàn)了有效抑制，SNR 指標(biāo)得到了一定程度改善；校準(zhǔn)效果明顯。通過上述仿真過程可以看出在第1 奎奈斯特頻率內(nèi)低頻、高頻信號(hào)和第1 奎奈斯特頻率外，該算法都可以較好的實(shí)現(xiàn)校準(zhǔn)結(jié)果，該校準(zhǔn)算法相較于常規(guī)算法，可將校準(zhǔn)帶寬拓展至第1 奈奎斯特頻帶以外，實(shí)現(xiàn)寬頻帶范圍信號(hào)的校準(zhǔn)。

將與部分已有的校準(zhǔn)算法與改進(jìn)的算法進(jìn)行對(duì)比如表4 所示。

表4 不同校準(zhǔn)算法的對(duì)比

相較于其他算法，該設(shè)計(jì)算法具有更廣的頻率適用范圍，其實(shí)現(xiàn)可采用全數(shù)字式算法實(shí)現(xiàn)，復(fù)雜度低于模數(shù)混合實(shí)現(xiàn)方式。

3 結(jié)論

針對(duì)TIADC 系統(tǒng)中存在的增益誤差，通過改進(jìn)微分器與Hilbert 濾波器相結(jié)合通過構(gòu)建誤差校準(zhǔn)算法使得該算法在第1 奎奈斯特頻率內(nèi)都適用，還可以擴(kuò)展到第1 奎奈斯特范圍之外，MATLAB 仿真結(jié)果表明，該算法結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，硬件資源消耗低，改進(jìn)微分器大大降低了運(yùn)算成本，有良好的校準(zhǔn)效果。