正交多相碼波形設(shè)計方法

西安電子工程研究所 扈月松 史小斌 楊千禾 張苡寧

數(shù)字陣列雷達(dá)通過發(fā)射、接收和分離正交波形實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)搜索和跟蹤，而雷達(dá)正交波形的正交性對后續(xù)的數(shù)據(jù)處理環(huán)節(jié)有很大影響。研究序列二次規(guī)劃算法、代數(shù)法兩種正交波形產(chǎn)生方法后，提出了自適應(yīng)遺傳算法產(chǎn)生正交波形的方法，并分別闡述了三種方法的優(yōu)缺點(diǎn)和改進(jìn)點(diǎn)。

數(shù)字陣列雷達(dá)是雷達(dá)發(fā)展的方向之一，它通過發(fā)射、接收和分離正交波形實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)搜索和跟蹤。相比于傳統(tǒng)的相控陣?yán)走_(dá)，數(shù)字陣列雷達(dá)有更強(qiáng)的多目標(biāo)搜索和跟蹤能力，更高的距離分辨力。

數(shù)字陣列雷達(dá)的波形需要使用正交波形來抑制不同目標(biāo)回波的互相干擾，實(shí)現(xiàn)從回波中提取每一個目標(biāo)的獨(dú)立信息。波形的正交性極大的影響了后續(xù)的脈沖壓縮及恒虛警處理環(huán)節(jié)。在數(shù)學(xué)上一般用自相關(guān)旁瓣峰值和互相關(guān)峰值來描述波形的正交性。

2004年，Deng采用了模擬退火算法設(shè)計了正交四相碼波形，自相關(guān)旁瓣峰值為-14.8dB，互相關(guān)峰值為-13.5dB；2006年，劉波等使用遺傳算法設(shè)計的正交波形進(jìn)一步降低了信號的自相關(guān)旁瓣峰值和互相關(guān)峰值；2011年，胡亮兵采用約束非線性規(guī)劃算法設(shè)計的正交多相碼，其正交性優(yōu)于文獻(xiàn)；2014年吉林大學(xué)孫明亮使用混沌序列設(shè)計二相編碼信號，運(yùn)算速度和波形的多樣性都有了提升。

本文擬對正交多相碼波形設(shè)計的遺傳算法，序列二次規(guī)劃算法和代數(shù)法三種方法進(jìn)行研究，分別仿真得到正交多相碼波形，并在波形的正交性、算法的復(fù)雜度等方面比較三種算法的優(yōu)缺點(diǎn)，提出三種算法的改進(jìn)方法。

1 數(shù)學(xué)模型

一般的相位編碼信號形式為u(t)=a(t)ejφ(t)，其中a(t)為矩形脈沖，φ(t)為信號的相位。假設(shè)一個正交數(shù)字陣列雷達(dá)有L個子陣，每個子陣的發(fā)射天線發(fā)射一個正交信號集中的不同正交信號。若信號集種所有的正交信號符合一般的相位編碼信號形式，且為恒模信號，則該信號集形式為。

正交信號重要的性質(zhì)之一是正交性，與它相關(guān)的兩個參數(shù)如式(1)所示，其中A(φl,k)為自相關(guān)函數(shù)，C(φp,φq,k)為互相關(guān)函數(shù)。

理想狀態(tài)下，A(φl,k)和C(φp,φq,k)需要滿足波形的自相關(guān)旁瓣峰值均為0，波形的互相關(guān)峰值均為0。但在實(shí)際信號中，不存在完全正交的一組正交信號，所以在設(shè)計時只能讓波形的自相關(guān)旁瓣峰值和互相關(guān)峰值或者自相關(guān)積分旁瓣能量和互相關(guān)積分能量盡量小，如式(2)所示。

式(2)中E1為極小化峰值電平準(zhǔn)則，E2為極小化積分旁瓣能量準(zhǔn)則。在實(shí)際設(shè)計中，因?yàn)樵O(shè)計要求不同可以選擇不同準(zhǔn)則使用。本文中將介紹兩種正交多相碼波形設(shè)計的方法，以及在傳統(tǒng)遺傳算法基礎(chǔ)上改進(jìn)的自適應(yīng)遺傳算法方法。

2 序列二次規(guī)劃（SQP）算法

準(zhǔn)則E1和E2是帶約束的非線性規(guī)劃問題，SQP算法是一種解決非線性規(guī)劃問題非常有效的算法，它的形式如式(3)所示。

式(3)中f(x)為目標(biāo)函數(shù)，ceq(x)是等式約束條件，c(x)是不等式約束。應(yīng)用在設(shè)計正交連續(xù)相位波形中，問題模型變形后如式(4)所示。

式(4)中t為輔助變量，也是目標(biāo)函數(shù)。w為一可調(diào)參數(shù)，當(dāng)設(shè)計要求自相關(guān)峰值旁瓣較低時則w＜1，要求互相關(guān)峰值較低時則w≥1。SQP算法通過該模型可以設(shè)計出正交連續(xù)相位編碼。

仿真驗(yàn)證時，假設(shè)信號組中的正交波形個數(shù)為L=4，每個信號的編碼長度為N= 40，參數(shù)w=1。使用matlab中的fmincon函數(shù)進(jìn)行序列二次規(guī)劃算法仿真設(shè)計正交多相碼波形設(shè)計，最終得到的信號組中所有信號的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)圖如圖1所示。從圖中可以看出，使用SQP算法設(shè)計的正交連續(xù)相位編碼信號組中信號的自相關(guān)旁瓣峰值為-17.48dB，互相關(guān)函數(shù)旁瓣峰值為-17.48dB，自相關(guān)性和互相關(guān)性都非常好。

SQP算法的缺點(diǎn)是計算量巨大，且只能設(shè)計連續(xù)相位編碼信號。在SQP算法計算過程中涉及到求解海森矩陣等復(fù)雜運(yùn)算，因此當(dāng)信號組中信號數(shù)L增大或者相位編碼數(shù)N增大時，SQP算法的時間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度會大大增加。解決這一問題的關(guān)鍵在于尋找算法過程中替代求解海森矩陣的算法，比如使用線性擬合，這樣可以大大降低SQP算法的時間復(fù)雜度。

3 代數(shù)法

代數(shù)法通過求解k階本原多項(xiàng)式，進(jìn)而得到一系列序列碼如最長序列碼M和序列族F等等來設(shè)計正交相位編碼。代數(shù)法避免了數(shù)值優(yōu)化的過程，在計算量、效率和空間復(fù)雜度上占有優(yōu)勢。最長序列碼M是正交二相編碼，序列族F是正交四相編碼，本文中為了方便與其他兩種算法進(jìn)行比較，選擇序列族F進(jìn)行研究。

圖1 SQP算法得到的正交信號組的歸一化自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)圖

圖2 代數(shù)法得到的正交信號組的歸一化自相關(guān)函數(shù)圖

序列組F的產(chǎn)生是由本原多項(xiàng)式開始的。假設(shè)Z2是以2為模的余數(shù)集{0,1},Z2[x]是以Z2為系數(shù)的多項(xiàng)式集合。Z2(x)中的不可約多項(xiàng)式稱為本原多項(xiàng)式。若本原多項(xiàng)式的最高階數(shù)為k，則稱該本原多項(xiàng)式為k階本原多項(xiàng)式。Z4是以4為模的余數(shù)集{0,1,2,3}，Z4(x)是以Z4為系數(shù)的多項(xiàng)式集合。將Z4(x)的系數(shù)進(jìn)行模2運(yùn)算，得到對應(yīng)的Z2(x)多項(xiàng)式，這一操作稱為規(guī)約。與之對應(yīng)的，由Z2(x)得到Z4(x)的操作稱為逆規(guī)約。

為了得到序列族F，需要將本原多項(xiàng)式經(jīng)過如下步驟操作：

（1）將Z2(x)中的k階本原多項(xiàng)式通過逆規(guī)約得到f(x)。

（2）接著令H(x2) =f(x)f(－x)，再對H(x2)進(jìn)行變量代換得到H(x)。

（3）當(dāng)k為偶數(shù)時，令P(x) =H(x)；當(dāng)k為奇數(shù)時，令P(x) =－H(x)。

（4）再求解以P(x)為特征多項(xiàng)式的線性迭代方程，最終得到一組序列族F編碼。這一過程可以用移位寄存器的方法實(shí)現(xiàn)。

（5）將序列族F編碼通過映射關(guān)系exp(j{0,1,2,3}/4*2π)變?yōu)橄辔恍问骄幋a，就得到了我們最終需要的正交信號編碼。

序列族F可以設(shè)計的正交信號個數(shù)L=2k+1和正交信號編碼長度N=2k－1也與本原多項(xiàng)的最高階數(shù)k有關(guān)。

仿真驗(yàn)證時，通過matlab的gfprimfd函數(shù)產(chǎn)生一個k=5的5階本原多項(xiàng)式g(x)=x5+x2+1，再由g(x)產(chǎn)生多項(xiàng)式P(x)=x5+3x2+2x+3。用matlab實(shí)現(xiàn)移位寄存器來求解以P(x)為特征多項(xiàng)式的線性迭代方程得到序列族F，通過映射關(guān)系由該序列族F得到了一組正交信號相位編碼。該信號組相位編碼長度N=25－1=31，信號組中信號數(shù)L=25+1。

信號組中所有信號的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)如圖2所示。信號組的所有正交信號的自相關(guān)旁瓣峰值平均值為-12.93dB，所有正交信號間的互相關(guān)峰值平均值為-12.04dB。

盡管代數(shù)法設(shè)計的信號在自相關(guān)和互相關(guān)性能上不及SQP算法，但是在算法時間和空間消耗上遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于SQP算法。上述代數(shù)法在仿真耗時不超過1s，而如果使用SQP算法設(shè)計正交信號數(shù)為L= 33,N= 31的正交信號組，耗時將至少是代數(shù)法耗時的105倍，空間消耗同樣更加巨大。而且隨著正交信號數(shù)量需求L增大，理論上信號組的整體正交性必然會降低，兩種算法結(jié)果的正交性差距會越來越小。所以代數(shù)法適合正交信號數(shù)較大，信號長度較長的正交離散相位編碼設(shè)計。代數(shù)法的關(guān)鍵在于如何設(shè)計出更好的編碼，使得映射后得到的正交信號組正交性更好，比如應(yīng)用混沌序列，多相互補(bǔ)碼等等。

圖3 遺傳算法得到的正交信號組的歸一化自相關(guān)函數(shù)圖

4 自適應(yīng)遺傳算法

SQP算法和代數(shù)法在設(shè)計正交波形問題上均有波形類型的限制，在智能算法中，遺傳算法對解決準(zhǔn)則E1和E2這類復(fù)雜的非線性優(yōu)化問題有較好的效果，并且遺傳算法設(shè)計正交波形自由性更大。參考傳統(tǒng)遺傳算法，將每個信號集S作為算法中的個體，信號集中的正交波形作為染色體，波形信號中的相位編碼作為基因。為了盡可能降低信號的自相關(guān)旁瓣峰值和互相關(guān)峰值，結(jié)合準(zhǔn)則E1和E2，使用式(5)作為算法的代價函數(shù)：

式(5)中[w1,w2,w3,w4]為權(quán)值，其數(shù)值需要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)整。如果想要自相關(guān)性更高的波形，則需要增大w1,w3權(quán)值；如果需要互相關(guān)性更高的波形，則需要增大w2,w4的權(quán)值。

本文中為了使遺傳算法中的進(jìn)化速度加快，同時避免遺傳算法陷入過早陷入局部最優(yōu)解，加入了自適應(yīng)算子，將交叉概率Pc和變異概率Pm做如式(6)調(diào)整，這樣使得算法在前期產(chǎn)生多種變異和組合，后期可在小范圍內(nèi)搜索最優(yōu)解。

在基因變異環(huán)節(jié)和基因交換中使用了父子競爭法，使得每次變異和交換環(huán)節(jié)產(chǎn)生種只有正交性較好的新個體才能進(jìn)入新種群，進(jìn)一步加快了算法的收斂性。但這樣做可能會破壞群體的活性，因此在最佳個體選擇環(huán)節(jié)中每次新增少數(shù)隨機(jī)生成的新個體，避免群體收斂過快陷入局部最優(yōu)解。在算法中最佳個體長期無法進(jìn)化的時候，使用貪心算法強(qiáng)制對最佳個體的每一位基因改變，并觀察正交性是否更佳，使得算法在后期也可以讓最佳個體進(jìn)化，產(chǎn)生更好的正交波形。

通過上述自適應(yīng)遺傳算法可以產(chǎn)生任意相位的正交多相碼波形，本文為了方便和上述方法進(jìn)行比較，選擇產(chǎn)生正交四相碼波形。

仿真驗(yàn)證時，假設(shè)信號組中的正交波形個數(shù)為L=4，信號編碼長度為N=40，相位編碼方式為離散四相編碼。給定遺傳算法種群總數(shù)P=500，算法迭代次數(shù)G=1000，權(quán)值[w1,w2,w3,w4]為[10, 20, 4, 3]。最終得到的信號組中所有信號的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)如圖3所示。從圖中可以看出，本文設(shè)計使用的自適應(yīng)遺傳算法的自相關(guān)旁瓣峰值最大值為-16.76dB，互相關(guān)峰值最大值為-13.72dB，正交性較好。

遺傳算法設(shè)計正交信號的最大特點(diǎn)是較為靈活。通過修改代價函數(shù)，遺傳算法可以設(shè)計任意波形個數(shù)L、任意信號編碼長度N和任意相位數(shù)M的正交波形信號組，還可以實(shí)現(xiàn)信號的多普勒敏感性改善等功能。缺點(diǎn)是算法的效果較為一般，且算法耗時較長。遺傳算法可以通過增大信號編碼長度N、展寬主瓣和增加信號的相位數(shù)M，增強(qiáng)信號的正交性。

結(jié)束語：本文仿真和比較了兩種現(xiàn)有的正交多項(xiàng)碼波形設(shè)計方法，并提出了設(shè)計性更加靈活的自適應(yīng)遺傳算法。其中SQP算法設(shè)計的正交信號組在正交性上表現(xiàn)最好，但是只能設(shè)計連續(xù)相位編碼信號，且時間空間復(fù)雜度較高。代數(shù)法時間空間復(fù)雜度最低，可以實(shí)現(xiàn)在線設(shè)計，但目前只能設(shè)計正交二相碼或正交四相碼等正交離散編碼信號，且信號編碼長度N只可取固定幾種值。自適應(yīng)遺傳算法比較靈活，可以設(shè)定任意信號數(shù)目L、信號相位數(shù)M和信號編碼長度N的正交相位編碼信號組，但信號組正交性較為一般。為了加快算法的進(jìn)化速度，同時避免算法過早陷入局部最優(yōu)解，本文采用了自適應(yīng)算子，父子競爭法和貪心算法等對遺傳算法進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)后的算法產(chǎn)生正交波形的速度更快，正交性更好。三種方法各有利弊，需要在實(shí)際應(yīng)用中斟酌使用。