集合平均方法的建立及海洋動(dòng)力系統(tǒng)耦合作用的性質(zhì)分析

楊永增孫 盟

(1.自然資源部 第一海洋研究所,山東 青島266061;2.青島海洋科學(xué)與技術(shù)試點(diǎn)國(guó)家實(shí)驗(yàn)室 區(qū)域海洋動(dòng)力學(xué)與數(shù)值模擬功能實(shí)驗(yàn)室,山東 青島266061;3.自然資源部 海洋環(huán)境科學(xué)與數(shù)值模擬重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,山東 青島266061)

對(duì)于海洋與大氣系統(tǒng)來(lái)說(shuō),系統(tǒng)組分之間的非線性相互作用決定著這個(gè)系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu),20世紀(jì)發(fā)展起來(lái)的系統(tǒng)論是我們從整體上認(rèn)識(shí)、理解海洋與大氣運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一個(gè)有效方法論。Wunsch和Ferrari[1],Wang和Huang[2-3]基于能量分析的角度探討了海洋運(yùn)動(dòng)類之間的能量通量及平衡關(guān)系。冒家友等[4]和Yuan等[5]基于海洋多時(shí)空尺度運(yùn)動(dòng)的擬線性色散特征,從“時(shí)-空特征尺度分析”和“控制力及其平衡狀態(tài)分析”兩個(gè)方面探討海洋運(yùn)動(dòng)類的劃分,前者著眼于運(yùn)動(dòng)的時(shí)空表象,但不能給出運(yùn)動(dòng)類的“不疊置-全覆蓋”劃分;后者按控制力及其平衡狀態(tài)兩個(gè)層次實(shí)現(xiàn)控制機(jī)制互不疊置和海洋運(yùn)動(dòng)全覆蓋的運(yùn)動(dòng)類劃分。此處的控制力包括黏性-傳導(dǎo)-擴(kuò)散分子力、重力、地轉(zhuǎn)力和熱學(xué)-化學(xué)力等,平衡狀態(tài)包括動(dòng)態(tài)平衡與靜態(tài)平衡。按物理控制力及其平衡狀態(tài)可將海洋運(yùn)動(dòng)分為湍流、波動(dòng)、渦旋及環(huán)流四類子系統(tǒng)。在數(shù)學(xué)處理上,則基于前三類運(yùn)動(dòng)統(tǒng)計(jì)上的近各態(tài)歷經(jīng)性通過(guò)三重集合Reynolds平均(樣本集合平均)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)間的層級(jí),從而簡(jiǎn)潔、清晰地建立起了大尺度運(yùn)動(dòng)對(duì)小尺度運(yùn)動(dòng)的輸運(yùn)、剪切生成作用和小尺度運(yùn)動(dòng)對(duì)大尺度運(yùn)動(dòng)的混合作用框架。值得指出的是,后者的混合作用是概念性的,不同運(yùn)動(dòng)子集平均下的輸運(yùn)通量剩余量混合過(guò)程可產(chǎn)生不同物理意義下的層化或混合均勻性效應(yīng)。

在不考慮耦合作用下,夏季中緯度海溫模擬計(jì)算存在著海表溫度偏高、海洋上混合層深度過(guò)淺的問(wèn)題,這也是現(xiàn)今所有非耦合環(huán)流模式共同的缺陷[6-7]。研究試驗(yàn)表明,海浪生湍流混合作用是有效解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵機(jī)制。Yuan等[8]提出的海浪生湍流理論可以通過(guò)2種不同但相對(duì)一致的方式建立:一是類比經(jīng)典Prandtl混合長(zhǎng)理論的海浪混合參數(shù)化形式[9];二是基于高確定性二階湍流閉合模型,通過(guò)海浪剪切作用下近各向同性飽和湍流的平衡解析解建立海浪生湍流對(duì)大尺度環(huán)流的混合作用理論。Babanin和Haus[10],Dai等[11]基于風(fēng)-浪-流多功能實(shí)驗(yàn)水槽,開展了波-湍相互作用的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)驗(yàn)證。Yang等[12]估計(jì)了中國(guó)海夏季海浪的垂向混合強(qiáng)度。Qiao等[13-15],Xia等[16-17]通過(guò)浪-潮-流耦合數(shù)值模式顯著改善了上層海洋溫度結(jié)構(gòu)。Yang等[18]提出了波浪尺度平均意義下波浪-湍流相互作用的混合模型。Huang和Qiao[19],Huang等[20]通過(guò)Stokes漂流引入了波-湍相互作用導(dǎo)致的湍動(dòng)能耗散率,加入到Mellor-Yamada(M-Y)湍封閉模式中,結(jié)果表明波-湍相互作用可以有效地改正經(jīng)典M-Y模式混合不足的問(wèn)題。Qiao等[21]基于海上平臺(tái)觀測(cè)資料,利用EMD分析方法揭示了波浪對(duì)湍流的調(diào)制增強(qiáng)作用。Shi等[22]探討了海浪生湍動(dòng)能及湍動(dòng)能耗散率對(duì)渤海冬季海水結(jié)冰、融冰過(guò)程的熱力學(xué)影響。管長(zhǎng)龍等[23]評(píng)述了近年來(lái)浪致混合研究進(jìn)展,探討了湍流、波浪驅(qū)動(dòng)耗散的能量平衡等涉及物理本質(zhì)的問(wèn)題,并提出了可控實(shí)驗(yàn)室混合觀測(cè)驗(yàn)證及滿足一定相似律的外海應(yīng)用設(shè)想。另外,Agrawal等[24],Craig和Banner[25],Terry等[26-28]等還考慮了波浪破碎對(duì)海洋湍動(dòng)能、混合長(zhǎng)度的影響,以此來(lái)改進(jìn)對(duì)海洋上混合層的數(shù)值模擬。

Yuan等[5]所揭示的系統(tǒng)內(nèi)部相互作用理論表明,小尺度海浪對(duì)大尺度渦旋/環(huán)流的混合作用表現(xiàn)為二階矩平均的剩余量形式即輸運(yùn)通量剩余量形式,而后者對(duì)前者的剪切生成作用表現(xiàn)為驅(qū)動(dòng)海浪諸源函數(shù)之一的波-流相互作用源函數(shù)[29]。但是,海浪輸運(yùn)通量剩余量的混合成因機(jī)制尚不清楚,Yang等[30]利用剪切流作用下的一階近似波動(dòng)解,建立了簡(jiǎn)化的海浪輸運(yùn)混合實(shí)用模型,揭示了強(qiáng)流剪切引起的波動(dòng)擾動(dòng)項(xiàng)的混合主導(dǎo)作用,同時(shí)估算對(duì)比了臺(tái)風(fēng)條件下海浪生湍流及海浪輸運(yùn)通量剩余量相對(duì)于海流對(duì)流強(qiáng)度的擬雷諾數(shù)。Shi等[31],張鐵成等[32]分析了黑潮強(qiáng)流剪切區(qū)域波浪輸運(yùn)通量剩余量對(duì)海洋上層溫度及混合層深度的影響。

海浪對(duì)大尺度環(huán)流的驅(qū)動(dòng)作用還可以通過(guò)Hasselmann[33]提出的波浪誘導(dǎo)Coriolis-Stokes力來(lái)實(shí)現(xiàn),Polton等[34],Lewis和Belcher[35]研究了其對(duì)海洋Ekman層剖面結(jié)構(gòu)的影響。在國(guó)內(nèi),孫孚等[36]首先開展了此方向的機(jī)制研究,吳克儉等[37]在此基礎(chǔ)上建立了波浪對(duì)Ekman層能量輸入的理論模型,計(jì)算表明在中高緯度和風(fēng)速較大的情況下,波浪對(duì)Ekman層的能量輸入可達(dá)到與風(fēng)能輸入可比較的量級(jí);吳克儉等[38]還研究了波浪誘導(dǎo)的Stokes漂經(jīng)向輸運(yùn)對(duì)東赤道太平洋海表溫度變化的影響,提出了波浪過(guò)程對(duì)厄爾尼諾影響的新觀點(diǎn);Shi等[39]探討了南大洋涌浪輸運(yùn)與拉尼娜信號(hào)之間的關(guān)系,提出了一種拉尼娜事件的可能預(yù)測(cè)方法。

在近岸波流相互作用研究方面,Longuent-Higgins和Stewart[40],Mellor[41]提出并探討了輻射應(yīng)力的作用,McWilliam等[42]和Kumar等[43]則基于渦度力動(dòng)力機(jī)制開展相關(guān)研究。丁平興等[44]、鄭金海和嚴(yán)以新[45]、尹寶樹等[46]等提出了計(jì)算輻射應(yīng)力的方法并應(yīng)用于三維懸沙輸運(yùn)等實(shí)際問(wèn)題和風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估等。

以往針對(duì)海洋內(nèi)部的相互作用過(guò)程進(jìn)行了相當(dāng)細(xì)致的研究,Yuan等[5]基于系統(tǒng)論方法構(gòu)建了海洋動(dòng)力系統(tǒng)框架,通過(guò)集合樣本統(tǒng)計(jì)意義下的Reynolds平均實(shí)現(xiàn)物理量遞級(jí)運(yùn)算,在理論上是完備的,但其特性還缺乏深入探討且在實(shí)際應(yīng)用方面存在困難。本文針對(duì)集合平均概念提出了其更廣泛的含義,分析了其基本屬性,揭示了相互作用過(guò)程中重要因子的貢獻(xiàn)效應(yīng);提出了一種簡(jiǎn)單實(shí)用的集合平均計(jì)算方法,可方便應(yīng)用于實(shí)際物理量(觀測(cè)值或模擬值)的平均計(jì)算。

1 集合平均概念及特性分析

文中提到的基本變量及有關(guān)變量均指海洋動(dòng)力系統(tǒng)中的物理量函數(shù),數(shù)學(xué)上滿足海洋動(dòng)力控制方程所要求的各階求導(dǎo)。為表述方便,引入了代數(shù)學(xué)上的線性空間、代數(shù)域等概念。為簡(jiǎn)化討論,將Yuan等[5]運(yùn)動(dòng)分解中提出的渦旋及環(huán)流暫歸于一類,即將海水運(yùn)動(dòng)分解為三類集合:集合A和A*,集合B和B*,集合C和C*。其中,集合A為由湍流類運(yùn)動(dòng)變量組成的基本變量線性空間,集合A*為由湍流類運(yùn)動(dòng)導(dǎo)出量組成的變量代數(shù)域。集合B為由波動(dòng)類運(yùn)動(dòng)變量組成的基本變量線性空間,集合B*為由波動(dòng)類運(yùn)動(dòng)導(dǎo)出量組成的變量代數(shù)域;集合C為由渦旋/環(huán)流類運(yùn)動(dòng)變量組成的基本變量線性空間,集合C*為由渦旋/環(huán)流類運(yùn)動(dòng)導(dǎo)出量組成的變量代數(shù)域。這樣,集合B⊕C={x|x=b+c,b∈B,c∈C}就表征了由波動(dòng)/渦旋/環(huán)流類運(yùn)動(dòng)變量組成的基本變量線性空間,用集合B*?C*表征由波動(dòng)/渦旋/環(huán)流類運(yùn)動(dòng)變量通過(guò)加法、乘法運(yùn)算組成的變量代數(shù)域。用集合T表征海水運(yùn)動(dòng)所有基本變量的和集,即T=A⊕B⊕C={x|x=a+b+c,a∈A,b∈B,c∈C},用集合T*表征由集合A*,B*和C*中的變量經(jīng)過(guò)通常的加法與乘法運(yùn)算構(gòu)成的變量代數(shù)域。海洋動(dòng)力系統(tǒng)非線性相互作用中存在復(fù)雜的二階矩形式,即關(guān)于變量相乘,有基本特性:

1)同類變量相乘則屬于同類變量代數(shù)域,即:設(shè)a1,a2∈A*,b1,b2∈B*,c1,c2∈C*,有a1a2∈A*,b1b2∈B*,c1c2∈C*。

2)非同類變量相乘情況較為復(fù)雜,有:設(shè)a∈A*,b∈B*,c∈C*,則ab∈T*,ac∈T*,bc∈B*?C*;設(shè)a∈A,b∈B,c∈C,則ab∈A,ac∈A,bc∈B。

集合平均概念類似于大氣海洋領(lǐng)域的Reynolds平均,但它有更廣泛的含義。對(duì)于各類集合上的平均特性,可通過(guò)其所屬集合類別來(lái)表征,即:

1)設(shè)a1,a2∈A(或A*),有

2)設(shè)b1,b2∈B(或B*),有

3)設(shè)a∈A(或A*),b∈B(或B*),c∈C(或C*),有

式(1)～式(3)中,〈·〉A(chǔ)*,〈·〉B*分別表示在集合A*,B*上的平均,這表明三類集合A*,B*,C*存在集合層級(jí),由低到高為L(zhǎng)ev(A*)＜Lev(B*)＜Lev(C*)。實(shí)際上,式(1)～式(3)也可以作為集合平均的更廣泛定義,其具有以下基本性質(zhì):

1)若a∈A,b∈B,b*∈B*,c∈C,c*∈C*,即a,b,c分別為集合A,B,C中的基本變量,而b*,c*為相關(guān)導(dǎo)出 量,則 有

2)若b∈B,x∈B⊕C(或B*?C*),且x=x b+x c,其中x b∈B(或B*),x c∈C(或C*)。若〈bx〉B*≠0,由于,而x c對(duì)〈bx〉B*≠0沒(méi)有貢獻(xiàn)效應(yīng)。

2 動(dòng)力系統(tǒng)相互作用及貢獻(xiàn)因子分析

2.1 湍流對(duì)渦旋/環(huán)流的混合作用

設(shè)x∈B*?C*代表湍流對(duì)波動(dòng)及渦旋/環(huán)流的混合作用項(xiàng),由于湍流過(guò)程由波動(dòng)/渦旋/環(huán)流運(yùn)動(dòng)剪切生成,Yuan等[8]利用高確定性閉合假定的Fourier輸運(yùn)通量表示,變量x可寫成形式,其中為進(jìn)一步討論貢獻(xiàn)因子及其效應(yīng),將變量y寫成B*上的平均〈x〉B*≠0代表了湍流對(duì)渦旋/環(huán)流的混合作用,即

則y b通過(guò)對(duì)〈x〉B*≠0起貢獻(xiàn)效應(yīng),y c通過(guò)起貢獻(xiàn)效應(yīng)。另外,若,則;若,則

2.2 湍流對(duì)波動(dòng)的混合作用與能量貢獻(xiàn)效應(yīng)

設(shè)x∈B*?C*代表湍流對(duì)波動(dòng)及渦旋/環(huán)流的混合作用項(xiàng),且則x在B*空 間 上 的 剩 余 量x-〈x〉B*代表了湍流對(duì)波動(dòng)的混合作用,即

對(duì)于湍流對(duì)波動(dòng)的能量貢獻(xiàn)作用,設(shè)b∈B,x∈B*?C*,且x=yx′b,其中x′b∈B,y∈B*?C*,且y=y b+y c,y b∈B*,y c∈C*。若〈bx〉B*≠0,由于

則y b通過(guò)〈by b x′b〉B*對(duì)〈bx〉B*≠0起貢獻(xiàn)效應(yīng),y c通過(guò)〈by c x′b〉B*對(duì)〈bx〉B*≠0起貢獻(xiàn)效應(yīng)。

2.3 波動(dòng)對(duì)渦旋/環(huán)流的混合作用

對(duì)于波動(dòng)對(duì)渦旋/環(huán)流的混合作用,設(shè)x∈B*,Yang等[30]給出了x=(b10+b11)(b20+b21)表示形式,即b10,b20代表波動(dòng)的主要線性分量;b11,b21代表背景流場(chǎng)剪切生成的小擾動(dòng)分量;由于

渦旋/環(huán)流對(duì)湍流、波動(dòng)的輸運(yùn)、剪切生成作用及波動(dòng)對(duì)湍流的輸運(yùn)、剪切生成作用可以統(tǒng)一用Uu′和u U′形式表示,其中u和u′為低層級(jí)集合基本變量,U和U′為高層級(jí)集合基本變量。該類相互作用表示結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,機(jī)制清楚,不再贅述。

3 一種實(shí)用的集合平均方法及應(yīng)用分析

Yuan等[5]在湍流、波動(dòng)、渦旋及環(huán)流四類運(yùn)動(dòng)集上定義的Reynolds平均可以寫成

式中,f a,f b,f c分別為集合A*,B*,C*內(nèi)的函數(shù)變量,t為時(shí)間;q am,q bm,q m分別為對(duì)應(yīng)函數(shù)變量的Fourier系數(shù);m為級(jí)數(shù)項(xiàng)序號(hào),且m1＜m2≤m3＜m4≤m5＜m6;ω0為常數(shù)。時(shí)間緩變Fourier系數(shù)表示為

集合B*和A*上的集合平均定義為

我們將該平均處理方法應(yīng)用于簡(jiǎn)單單波運(yùn)動(dòng)個(gè)例,討論波生湍流及波動(dòng)輸運(yùn)通量剩余量的變化性態(tài)。取具有天氣尺度變化(周期T C=12 h)的海流過(guò)程u C=a1sin(m1ω0t),其中a1=1.0 m·s-1。取周期T B=8 s,波長(zhǎng)λB=60 m的波動(dòng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程u B=c2u Csin(m3ω0t),其中c2=5.0。取特征時(shí)間尺度T A=1 s,特征長(zhǎng)度λA=1 m的湍流運(yùn)動(dòng)過(guò)程u A=c3u Bsin(m5ω0t),其中c3=0.01。式中常數(shù)ω0設(shè)為s-1,則m1=1,m3=5 400,m5=12×3 600。

其中,ν0=1.5×10-6m2·s-1。

圖1 a為一個(gè)波動(dòng)周期內(nèi)湍動(dòng)能變化過(guò)程,周期性波動(dòng)特征明顯,實(shí)際上其蘊(yùn)含著顯著的天氣尺度緩變趨勢(shì),可用其諸周期上的上包絡(luò)反映(圖1b)。在本文第2部分,我們對(duì)此進(jìn)行了分解,以便揭示各分量的貢獻(xiàn)效應(yīng)。

圖1 集合平均下的湍動(dòng)能及其包絡(luò)的變化Fig.1 The temporal variation of ensemble averaged turbulence kinetic energy and its upper envelope

利用式(16)和式(17),根據(jù)Yuan等[8],湍運(yùn)動(dòng)集合平均下的混合系數(shù)為

圖2 a為其中一個(gè)波周期內(nèi)湍流混合系數(shù)變化過(guò)程,同樣其蘊(yùn)含顯著的天氣尺度緩變趨勢(shì),其上包絡(luò)如圖2b所示。平均約為0.8 m2·s-1的混合強(qiáng)度對(duì)海洋垂向結(jié)構(gòu)分布起著關(guān)鍵性作用,這為以往數(shù)值試驗(yàn)研究與現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)所證實(shí)[13-17]。

圖2 集合平均下的波生湍流混合系數(shù)及其包絡(luò)的變化Fig.2 The temporal variation of ensemble averaged turbulence mixing coefficient and its upper envelope

我們進(jìn)一步估算波動(dòng)輸運(yùn)通量剩余量的作用,依據(jù)Yang等[30],其可簡(jiǎn)化為

式中,u′B=c20a1k Bcos(m1ω0t)sin(m3ω0t);c20=0.001。波動(dòng)輸運(yùn)通量剩余量(Tr)的變化過(guò)程如圖3所示,量值上具有6 h的天氣尺度周期變化特征。實(shí)際海洋是復(fù)雜的多波非線性疊加運(yùn)動(dòng),Tr的分布呈現(xiàn)多樣的大尺度空間結(jié)構(gòu),比如臺(tái)風(fēng)路徑兩側(cè)的正負(fù)值變化增強(qiáng)了物理意義下的層化或混合均勻性效應(yīng)[30]。

圖3 集合平均下的波動(dòng)輸運(yùn)通量剩余量變化Fig.3 The temporal variation of ensemble averaged wave transport flux residue

4 結(jié) 語(yǔ)

海洋動(dòng)力系統(tǒng)非線性相互作用決定著系統(tǒng)內(nèi)部的分布結(jié)構(gòu)與外觀表征,其研究已成為海洋耦合數(shù)值模式與數(shù)值預(yù)報(bào)發(fā)展的關(guān)鍵科學(xué)問(wèn)題。本研究針對(duì)集合平均概念進(jìn)行了其屬性分析,通過(guò)引入代數(shù)學(xué)上的線性空間、代數(shù)域等表示方法,揭示了其基本性質(zhì)和運(yùn)動(dòng)集合的層級(jí)特征。

通過(guò)緩變Fourier系數(shù)的特殊積分處理,提出了一種實(shí)用的集合平均方法。分析了不同海洋動(dòng)力過(guò)程之間的相互作用機(jī)理,重點(diǎn)揭示了湍流、波動(dòng)對(duì)渦旋/環(huán)流的輸運(yùn)通量剩余量主要分量所起的作用,探討了波動(dòng)強(qiáng)剪切生成湍流的能量貢獻(xiàn)效應(yīng)等性質(zhì),為海浪-海流耦合實(shí)用模塊的研發(fā)及數(shù)據(jù)資料處理提供了一種設(shè)計(jì)方法。