正確理解概率公式

文 王玉珍

我們?cè)诮鉀Q概率問題時(shí)，常常會(huì)因?yàn)閷?duì)一些概念把握不到位，而與正確答案失之交臂。

一、使用概率公式的前提

一般地，設(shè)一個(gè)試驗(yàn)的所有可能發(fā)生的結(jié)果有n個(gè)，它們都是隨機(jī)事件，每次試驗(yàn)有且只有其中的一種結(jié)果出現(xiàn)。如果每種結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等，那么我們說這n個(gè)事件的發(fā)生是等可能的，也稱這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果具有等可能性。

這個(gè)概念比較抽象。細(xì)讀之后我們能發(fā)現(xiàn)，等可能性需要同時(shí)具備三個(gè)條件：（1）n表示試驗(yàn)的結(jié)果是有限個(gè)；（2）都是隨機(jī)事件；（3）每次試驗(yàn)有且只有其中的一種結(jié)果出現(xiàn)，并且每種結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等。這三個(gè)條件缺一不可。下面，我們一起來看看蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第128頁的例題：

一只不透明的袋子中裝有1個(gè)白球和2個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個(gè)球。摸到白球與摸到紅球的可能性相同嗎？

小明同學(xué)說：摸到的球不是白球就是紅球，所以摸到白球和摸到紅球這兩個(gè)事件是等可能的。

小麗同學(xué)說：摸到每一個(gè)球的可能性相同，而紅球有2個(gè)，白球只有1個(gè)，摸到紅球的可能性大。

小明、小麗的說法哪一個(gè)正確？

【分析】我們從題目中的關(guān)鍵詞“不透明”“這些球除顏色外都相同”“攪勻”等不難發(fā)現(xiàn)，摸到白球和摸到紅球都是隨機(jī)事件；3個(gè)球中任意摸出1個(gè)球說明試驗(yàn)的結(jié)果是有限種。根據(jù)試驗(yàn)的結(jié)果具有等可能性的定義，本試驗(yàn)已經(jīng)具備兩個(gè)條件，還缺一個(gè)條件，即每種結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等。因此，我們只要把2個(gè)紅球編號(hào)：紅球1和紅球2，這樣從中摸到每一個(gè)球的機(jī)會(huì)就均等了。攪勻后從中任意摸出一個(gè)球會(huì)出現(xiàn)3種等可能的結(jié)果：白球、紅球1、紅球2，所以摸到紅球的可能性大。綜上可見，小麗對(duì)概念的理解是到位的。

細(xì)心的同學(xué)還會(huì)發(fā)現(xiàn)，摸球這個(gè)典型的試驗(yàn)貫穿了概率的整個(gè)章節(jié)。

二、等可能條件下的概率公式

一般地，如果一個(gè)試驗(yàn)有n種等可能的結(jié)果，當(dāng)其中的m種結(jié)果之一出現(xiàn)時(shí)，事件A發(fā)生。那么事件A發(fā)生的概率是P（A）=（其中m表示事件A發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，n表示所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)）。

在對(duì)月相的變化進(jìn)行講解時(shí)，單純的依靠教材中的圖片和教師的講解，對(duì)缺乏空間思維能力的小學(xué)生而言，并不能很好的理解月球運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，也就無法發(fā)現(xiàn)月相變化的規(guī)律，導(dǎo)致教學(xué)效果不明顯。如果應(yīng)用信息技術(shù)，教師可以從網(wǎng)上下載一些模擬月球運(yùn)動(dòng)的視頻或自己動(dòng)手制作演示動(dòng)畫，通過反復(fù)播放能將月相的變化更清晰地展示在學(xué)生面前。

細(xì)讀之后，我們能發(fā)現(xiàn)使用概率公式的前提條件是：一個(gè)試驗(yàn)有n種等可能的結(jié)果，也就是試驗(yàn)的結(jié)果必須具有等可能性。

【拓展1】上面的例題，繼續(xù)問你：摸到紅球的概率是多少？

【分析】這屬于一步摸球試驗(yàn)。我們可以先做出判斷：這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果具有等可能性，然后列出所有等可能的結(jié)果，直接代入公式求解。

解：把2個(gè)紅球編號(hào)為紅球1和紅球2。攪勻后從中任意摸出一個(gè)球會(huì)出現(xiàn)3種等可能的結(jié)果：白球、紅球1、紅球2。摸到紅球1、摸到紅球2這兩種結(jié)果之一出現(xiàn)時(shí)，“摸到紅球”這一事件發(fā)生，所以P（摸到紅球）=。

【拓展2】我們將上面的例題改編如下：

一只不透明的袋子中裝有1個(gè)白球和2個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同。攪勻后從袋中任意摸出1個(gè)球，記錄顏色后放回。攪勻后再從中任意摸出1個(gè)球。求兩次都摸到紅球的概率。

【分析】這屬于兩步摸球試驗(yàn)。我們要先做出判斷：這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果具有等可能性，然后列出所有等可能的結(jié)果，再直接代入公式求解即可。這個(gè)試驗(yàn)的所有等可能結(jié)果不能一眼看出，需要借助列表或畫樹狀圖進(jìn)行分析。當(dāng)然要想做對(duì)，還需仔細(xì)讀題，“放回”是這個(gè)問題的關(guān)鍵詞。

解：把2個(gè)紅球編號(hào)為紅球1、紅球2，用表格列出所有可能的結(jié)果：

白紅1紅2白（白，白）（紅1，白）（紅2，白）紅1（白，紅1）（紅1，紅1）（紅2，紅1）紅2（白，紅2）（紅1，紅2）（紅2，紅2）結(jié)果第二次摸球第一次摸球

由表格可知，共有9種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，“兩次都摸到紅球”的結(jié)果有4種，所以P（兩次都摸到紅球）=。

【拓展3】將【拓展2】的“放回”前加一個(gè)字“不”，你還能正確求出結(jié)果嗎？

【分析】解答過程與【拓展2】類似，唯一不同的是第一次摸出白球，不放回，第二次摸時(shí)袋子里只有紅球1和紅球2，不可能摸出白球了，所以列表如下：

白紅1紅2白（紅1，白）（紅2，白）紅1（白，紅1）（紅2，紅1）紅2（白，紅2）（紅1，紅2）結(jié)果第二次摸球第一次摸球

【拓展4】又按照之前【拓展3】的方法再摸一次，求前兩次都摸到紅球，最后一次摸到白球的概率。又應(yīng)該怎么做呢？

【分析】這屬于三步摸球試驗(yàn)。我們還是要先做出判斷：這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果具有等可能性，然后列出所有等可能的結(jié)果代入公式求解。我們嘗試列表發(fā)現(xiàn)，第三步不便于書寫，所以本題應(yīng)借助樹狀圖來完成。

解：把2個(gè)紅球編號(hào)為紅球1、紅球2，用樹狀圖列出所有可能的結(jié)果。

由上圖可知，共有6種等可能的結(jié)果，其中“前兩次都摸到紅球，最后一次摸到白球”的結(jié)果有2種，所以P（前兩次都摸到紅球，最后一次摸到白球）=。