試論數(shù)學教學中的“平衡”

于道洋 寧連華

【摘 要】 “平衡”是中華傳統(tǒng)文化的重要觀點，也是數(shù)學教學所追求的更高境界.數(shù)學教學中的平衡主要包含了教學內(nèi)容、教學提示語、課堂處理方式、教學材料選取等方面，從以上幾個角度入手可以對數(shù)學教學當中如何實現(xiàn)精妙的“平衡”展開論述，并結(jié)合具體課例詳細闡釋相應的教學設計、教學策略、預期和實際的教學效果.通過教學中各個環(huán)節(jié)的設計，數(shù)學課堂能在動態(tài)平衡中引領學生走向更高的層次.

【關鍵詞】 平衡;啟發(fā)用語;教學材料

1 研究背景

當前，數(shù)學教育工作者在優(yōu)化教學策略、完善教育教學理論、提高教學境界等方面可謂用心良苦.在傳統(tǒng)文化復興和數(shù)學文化日漸引起人們重視的時代背景下，具有中國特色和中國氣派的教學策略、教學風格熱度漸升，逐步進入了研究者的視線.其中，“平衡”這一概念引發(fā)了筆者的濃厚研究興趣，它既是我國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的要義，又符合我國現(xiàn)代數(shù)學教育的理念、目標與追求：培養(yǎng)學生邏輯推理能力與數(shù)學直覺并重，數(shù)學基本能力與數(shù)學興趣并重，這無疑都體現(xiàn)著一種平衡的意味.因此，筆者將結(jié)合個人的教學實踐，從以下幾個方面試圖對數(shù)學教學中“平衡”的運用和把握展開論述和探究.

2 數(shù)學教學“遠與近”的平衡

2.1 教學內(nèi)容的“遠與近”

著名教育家杜威在他的名著《思維與教學》中寫到：“在地理科里，兒童絕不喜歡研究鄉(xiāng)土的環(huán)境，卻神往于大海高山.在語文科里，他們很不愿意描寫切身的經(jīng)驗，而暢寫著深文奧義……相熟的和相近的本身并不能引起思維，只有拿它們來了解陌生的和相遠的才有用處.”這啟發(fā)我們，在設計教學內(nèi)容時，應當注意“遠與近”的平衡，也即現(xiàn)實生活中頻繁接觸到的事物與抽象思辨話題的配置比例.為深入闡發(fā)這一分論題，特舉例如下.

筆者在為高中學生講解平面向量時，提到了“建立坐標系”的解題策略.顯然，學生對于高中數(shù)學題目中的各類技巧并無太多興趣，因為這距離他們太“近”了.基于這樣的現(xiàn)實情況，筆者從“數(shù)學哲思”的角度進行了新的教學設計.首先告訴學生，“坐標系絕不僅僅是一種數(shù)學工具，事實上，它教會我們思考問題要從兩個維度出發(fā)：縱向看歷史，橫向看世界.時?；赝c，環(huán)顧不同象限，才能找準人生的坐標”.這番話一出，學生頓時來了興致，因為這距離他們比較“遠”，在平素學習中也從未有過這樣的思索.筆者因勢利導，進一步提出“高中數(shù)學的世界里，我們只見過平面直角坐標系、空間直角坐標系、極坐標系，其實這個大家族里的成員還有球坐標系，柱坐標系等等.你自然會問，不同的坐標系之間可以相互轉(zhuǎn)換嗎，當然可以.有時候，變換了坐標系，也是變換了一種評價體系和衡量尺度.你無法改變社會的評價，但你可以控制自己內(nèi)心的標準.我們的生命歷程，就是發(fā)掘、體會更多評價方式的歷程，當我們真正學會了認識自己，才能心安，心定，專注于真正重要的事情”.這引發(fā)了學生更加強烈的思考欲望，最后，筆者回到他們熟悉的“建系”技巧，只不過又將距離拉“遠”了一些：“通過建立坐標系，原來凌亂無序的事物被瞬間統(tǒng)一在了某個系統(tǒng)之內(nèi)，這一方法才因之成為解題的利器”.至此，學生對于建立坐標系這樣一個平凡技巧的認識煥然一新.

2.2 教學啟發(fā)用語的“遠與近”

在數(shù)學的課堂教學環(huán)節(jié)中，教師常常需要根據(jù)學生掌握情況使用啟發(fā)式教學用語以推進教學進程.每每談到啟發(fā)用語，數(shù)學教育領域研究者們通常想到早在數(shù)千年前孔子的名句“不憤不啟，不悱不發(fā)”，它道出了啟發(fā)式教學的真諦.而筆者此處意在強調(diào)這句話的后半部分：舉一隅不以三隅反，則不復也.這句話的字面意思是十分容易理解的，然而，它也恰恰暗示了另外一層含義：不是所有的學生都能舉一反三，這是教學過程中客觀存在的現(xiàn)實情形.這一點應當引起數(shù)學教育工作者的注意，面對領悟能力不同的學生，應當使用“遠近高低各不同”的教學啟發(fā)用語.對于課堂中使用的提示語，筆者舉例如下：

設函數(shù)f（x）=x·2x+x，A0為坐標原點，An為函數(shù)y=f（x）圖象上橫坐標為n（n∈N*）的點，向量an=∑nk=1Ak-1Ak，i=（1，0），設θn為an與i的夾角，則∑nk=1tanθk=.

在為高三學生講解上述題目時，筆者先提出了一個問題：“這道題的本質(zhì)是在求什么？”，這是較“遠”的提示語，對于班上學習能力較強的學生，意在啟發(fā)他們透過此題紛繁的符號表達直擊本質(zhì).而這對于學生的確難度不低，于是筆者進一步給出稍“近”的提示語：“向量an的坐標實際上只與誰有關？”，如此一來，絕大部分學生都能夠找到解題的切入點.在解題結(jié)束后，筆者又給出了一句較“遠”的提示語：“解決這道題目，你們用了哪些提示語來幫助自己推進解題過程？”，這一問法意在啟發(fā)學生做解題后的自我反思，強化元認知，對自己的思維過程進行回溯，從而提高其解題能力.

3 無意識處理與有意識處理的平衡

在數(shù)學教學當中，教師往往習慣于有意識處理，即對題目與知識點進行詳盡的講解.但某些情形下，適度采用無意識處理也許會收到事半功倍之效.例如，在為即將升入高中的學生講解因式分解一節(jié)時，筆者設置了這樣幾道習題：（1）x3-3x2+4;（2）x3-9x+8;（3）x9+x6+x3-3.面對中考成績接近滿分的幾名學生，筆者講解了上述題目的因式分解過程之后，并沒有立刻提出任何問題，而是繼續(xù)講解下一類因式分解方法.因為，筆者希望通過此處的無意識處理，讓學生自然產(chǎn)生好奇：一個多項式能夠進行因式分解的判斷依據(jù)是什么.這比教師進行有意識處理，也就是強行灌輸?shù)男Ч@然會好得多.為了讓這種無意識處理收到預期的效果，我在上述習題的選擇上做了“有意識處理”，即滿足因式分解定理的多項式和不滿足的均選入習題，如此一來，學生在尋找規(guī)律的過程中遭遇到挫折，便自然產(chǎn)生疑問.果然，該講解結(jié)束時，學生提問：“起初我找到的規(guī)律是滿足各項系數(shù)和為0的才可以因式分解，但是題目當中出現(xiàn)了反例”.此時，教師再給出因式分解定理，然后進行解釋：“滿足該定理的一定可以因式分解，不滿足的未必不能因式分解，但是有了該定理作為判斷依據(jù)，本身已經(jīng)對解題產(chǎn)生了重要的作用.”至此，無意識處理的作用得到了展現(xiàn)，學生對因式分解的理解也上升了一個臺階.

4 教學材料“新與舊”的平衡

在數(shù)學教學的新課引入環(huán)節(jié)，如何巧妙地利用學生已有的知識引導學生接受新知，是對每一位數(shù)學教育工作者的考驗.在此過程中，新材料與舊知識的取舍和使用比例，無疑決定著引入的效果，因此，教師需要找尋其中的平衡.談到教學材料新與舊的選擇，不能不提到維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)”理論，找準學生的最近發(fā)展區(qū)，才能把握好新舊知識之間的平衡.

例如，在為幾名準高一學生講解初升高銜接課當中的乘法公式部分時，筆者事先了解到，他們的中考成績十分優(yōu)異，且已經(jīng)學習過完全立方公式和基本的排列組合知識.因此，筆者做了如下設計：首先請他們寫出（a+b）n，n=2，3，4的各項展開式，并尋找規(guī)律.隨后，將學生找到的各項系數(shù)規(guī)律加以總結(jié)規(guī)范，寫出楊輝三角，再以楊輝三角作為新舊知識的交匯點引出二項式定理.對于學生而言，排列組合與完全平方（立方）公式均是舊知識，但他們從未想過兩者之間有何種聯(lián)系.因此，筆者給出這種教學設計的意圖恰恰在于，向?qū)W生揭示“二項式定理的本質(zhì)是用排列組合的方式在各項當中選擇因式參與運算”，從而在學生的新舊知識之間建立聯(lián)系，拓寬他們思考的維度，使學生對數(shù)學產(chǎn)生更為整體化的認識.

5 結(jié)語

正所謂“致廣大而盡精微，極高明而道中庸”，中庸一詞的核心恰恰在于不偏不倚的平衡.平衡，不僅是數(shù)學教學中值得深思的關鍵點，更是我國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化所強調(diào)的核心思想，在傳統(tǒng)文化的語境中，平衡，是動態(tài)的，是處于不斷發(fā)展變化當中的.正因如此，平衡是一種難以言傳、難以把握、難以到達的至高境界，也是一種難以量化、難以測評的數(shù)學教學的高水準、高品位.為了縮短與這樣的高境界、高水準之間的距離，筆者認為既應當從傳統(tǒng)文化的養(yǎng)料中挖掘教育智慧為數(shù)學課堂所用，又應當對大量的講課、聽課、評課的課堂案例進行系統(tǒng)總結(jié)，從課堂引入、教學用語等方面將“平衡”落實為具體的教學設計，以服務于此后的課堂教學.因為從某種層面而言，數(shù)學教學既是一門科學，又可以稱作一門藝術(shù)，其分寸、火候的拿捏，是教學工作者經(jīng)驗、智慧、知識面等多個因素的綜合作用.教無定法，貴在得法，只有在長期的教學實踐中不斷摸索總結(jié)，方能達到“運用之妙，存乎一心”的教學境界，也方能在多種教學策略的動態(tài)平衡中引領學生走向更高的層次.

作者簡介 于道洋（1996—），男，山東濟南人，南京師范大學數(shù)學科學學院碩士研究生，研究方向為數(shù)學教育.

寧連華（1966—），男，江蘇豐縣人，南京師范大學數(shù)學科學學院教授，博士生導師，研究方向為數(shù)學教育.